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Optical spectroscopy of bound excitonic states in single walled carbon nanotubes / É tude spectroscopique des états excitoniques liés dans les nanotubes de carbones monoparois

Morim Santos, Silvia 16 May 2012 (has links)
Dans ce manuscrit nous décrivons des études originales sur les propriétés photophysiques des nanotubes de carbone monoparois réalisées à l'échelle de la molécule unique. Nous nous sommes concentrés sur deux problématiques : l'effet du remplissage des nanotubes par de l'eau sur leurs propriétés de photoluminescence (PL) et la création de complexes multi-excitoniques en régime de forte excitation laser. Dans ce but nous avons utilisé une combinaison de microscopie, de spectroscopie et de mesures de déclin de PL. Nos résultats montrent pour des nanotubes de différents diamètres un décalage vers le rouge des énergies d'émission pour les nanotubes remplis d'eau. De plus, des déclins de PL biexponentiels sont obtenus pour des nanotubes individuels (6,4) vides et remplis d'eau. Les temps de déclin caractéristiques de ces deux espèces de nanotubes sont distincts, avec une réduction de la composante courte pour les nanotubes remplis. Ces résultats sont expliqués par une augmentation de la constante diélectrique dans les nanotubes remplis d'eau. Notre résultat le plus conséquent a été l'observation de la génération de trions dans des nanotubes non dopés en utilisant des moyen tout optiques. L'émission du trion apparaît dans les spectres de PL comme une bande latérale décalée vers le rouge. Basé sur nos observations expérimentales, nous proposons le modèle de génération du trion suivant lequel dans un régime multiexcitonique les interactions d'annihilation exciton-exciton créent des porteurs de charge qui sont piégés dans les fluctuations de potentiel électrostatique induites par les inhomogénéités de l'environnement. L'absorption subséquente d'un photon amène à la formation d'un trion localisé sur les charges piégées. / In this dissertation we report on original experimental investigations of the photophysical properties of individual single-walled carbon nanotubes (SWCNTs) at the single molecule level. We focused on two problems: the effect of water-filling nanotubes on their photoluminescence (PL) properties and generation of multi-excitonic complexes in regimes of strong laser excitation. To do so we used a combination of microscopy, PL spectroscopy and PL time decay measurements. Our results show, for different nanotube diameters, a red-shift of the PL emission energy for water-filled nanotubes. Furthermore, biexponential PL time decay behaviors are obtained for individual water-filled and empty (6,4) SWCNTs. The characteristic decay times for both species of nanotubes are distinct, with a reduction of the short component in water-filled SWCNTs. These results are explained by an increase of the dielectric constant for water-filled nanotubes. Our most consequential experimental result was the observation of all optical trion generation in undoped nanotubes. Trion emission appears in the PL spectrum as a red-shifted sideband. Based on our experimental observations, we propose a trion generation model according to which, at a multiexcitonic regime, exciton-exciton annihilation interactions create charge carriers that are transiently trapped at electrostatic potential fluctuations induced by the inhomogeneities of the environment. Subsequent photon absorption leads to trion formation localized at the trapped carriers.
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Mécanique du mouvement rapide de la plante carnivore Dionée : mesures élasto-hydrodynamiques à l'échelle de la cellule et du tissu - conséquences pour le mécanisme de fermeture / Mechanics of rapid motion in the Venus Flytrap

Colombani, Mathieu 22 July 2013 (has links)
Bien qu’elles ne disposent pas de muscles, les plantes ont réussi à développer un nombre remarquable de mécanismes permettant de créer des mouvements rapides, du repliement rapide des feuilles de mimosa pudica à la dispersion de graines par explosion. Parmi ces exemples spectaculaires qui ont depuis longtemps fasciné les scientifiques, la plante carnivore dionée, dont les feuilles se referment en une fraction de secondes pour capturer des insectes, fait figure de paradigme. Récemment, nous avons montré que ce mouvement met en jeu une instabilité de flambage élastique, due à la forme de coque mince des feuilles du piège. Cependant, l’origine microscopique du mouvement qui permet à la plante de franchir le seuil d’instabilité et de changer activement sa courbure reste méconnue. Dans cette thèse nous étudions ce mouvement actif en utilisant un dispositif micro-fluidique, la sonde de pression, qui donne accès directement aux paramètres élastiques et hydrodynamiques à l’échelle de la cellule (pression osmotique, perméabilité cellulaire, élasticité de la paroi, ...). Nos résultats remettent en question le rôle des flux d’eau d’origine osmotique souvent mis en avant pour expliquer la fermeture active du piège de la dionée. De plus, nous développons un dispositif de micro indentation original utilisant un rhéomètre, pour mesurer la réponse locale des tissus et les propriétés mécaniques des épidermes interne et externe. Nous mesurons une signature claire du mouvement actif de la dionée, et fournissons ainsi de nouveaux arguments pour discuter le mécanisme de fermeture, et plus généralement les mouvements rapides dans les plantes. / Although they lack muscle, plants have evolved a remarkable range of mechanisms to create rapid motion, from the rapid folding of sensitive plants to seed dispersal. Of these spectacular examples that have long fascinated scientists, the carnivorous plant Venus flytrap, whose leaves snap together in a fraction of second to capture insects, has long been a paradigm for study. Recently, we have shown that this motion involves a snap-buckling instability due to the shell-like geometry of the leaves of the trap. However, the origin of the movement that allows the plant to cross the instability threshold and actively bend remains largely unknown. In this study, we investigate this active motion using a micro-fluidic pressure probe that gives direct hydraulic and mechanical measurements at the cellular level (osmotic pressure, cell membrane permeability, cell wall elasticity). Our results challenge the role of osmotically-driven water flows usually put forward to explain Venus flytrap’s active closure. Moreover, we developp a micro-indentation original setup using a rheometer, to measure the local tissue response and mechanical properties of the lower and upper epidermis. Then, we detect a clear signature of the active movement in the Venus Flytrap, and thus provide new arguments to discuss this mechanism, and more generally the movements in plants.
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Dynamique non-linéaire et hors-équilibre des membranes lipidiques confinées / Nonlinear and out-of-equilibrium dynamics of confined lipid membranes

Le Goff, Thomas 03 December 2015 (has links)
Les membranes lipidiques auto-assemblées présentent une riche phénoménologie de comportements dynamiques, et sont présentes dans de nombreux systèmes biologiques. Au cours de cette thèse nous avons étudié la dynamique de ces membranes dans des situations de fort confinement par des modèles théoriques simples. Nous nous sommes focalisés sur le cas d'un confinement entre deux murs, en présence d'un potentiel double-puits menant à deux états possibles d'adhésion (sur le mur du haut, ou sur celui du bas). A l'aide de modèles de lubrification, nous avons obtenu une équation différentielle nonlinéaire et nonlocale décrivant l'évolution de la morphologie de la membrane. Nous avons surtout étudié son comportement dans les systèmes bidimensionnels, où la membrane est un objet unidimensionnel. Dans ce cadre, nous avons montré que la rigidité de courbure de la membrane mène à une dynamique différente de la dynamique de mûrissement obtenue habituellement en présence d'une tension de surface. En effet, la membrane atteint rapidement une configuration gelée, qui dépend des conditions initiales. L'arrêt de la dynamique la conséquence d'une interaction oscillante entre les kinks –définis ici comme parois de domaines dans les systèmes unidimensionnels. L'organisation spatiale de la configuration finale peut être contrôlée par la perméabilité des murs : par exemple, si la membrane est initialement plane, et à mi-chemin entre les deux murs, des morphologies désordonnées sont obtenues pour des murs perméables, alors qu'un ordre à longue distance est obtenu dans le cas imperméable. Nous avons de plus montré que différents ingrédients physiques tels qu'une tension de membrane, l'asymétrie du potentiel d'adhésion, ou le bruit thermique sont susceptibles de restaurer le mûrissement, généralement au dessus d'un seul fini. Inspirés par la biolubrification, nous avons par ailleurs étudié l'influence d'un cisaillement imposé par le mouvement des murs. Les simulations montrent une dynamique riche de plusieurs régimes, qui influence la friction effective entre les murs. Pour les faibles taux de cisaillements, nous obtenons une dynamique complexe et chaotique qui engendre du mûrissement, et mène à un comportement thixotrope, où la force décroît avec le temps. Pour des taux de cisaillement modérés et fort, nous obtenons respectivement des solutions stationnaires périodiques ou du chaos spatiotemprel. Dans ces deux régimes, le système est rhéo-fluidifiant / Self-assembled lipid membranes exhibit a rich variety of dynamical behaviors, and are ubiquitous in biology. In this thesis, we report on the study of dynamics of membranes in strong confinement, using simple theoretical models. We focus on the case of confinement between two walls, in the presence of a double-well potential leading to two possible states of adhesion (on the upper or the lower wall). Using a lubrication model, we obtained a nonlinear and nonlocal partial differential equation describing the evolution of the membrane morphology. We have mainly studied the twodimensional case, where the membrane is a one-dimensional object. Within this frame, we have shown that the membrane bending rigidity leads to dynamics that are different from the coarsening behavior obtained usually in the presence of surface tension. Indeed, the membrane reaches a frozen state, which depends on the initial conditions. The freezing of the dynamics is the consequence of the oscillatory interaction between kinks –here defined as domain walls in one-dimensional systems. The spatial organization of the final state can be controlled by the wall permeability : as an example, starting from a plane membrane half-way between the two walls, disordered configurations are obtained for very permeable walls, while long range order is obtained with impermeable walls. In addition, we have shown that different physical ingredients such as membrane tension, potential asymmetry, or thermal noise, can restore coarsening, usually above a finite threshold. Inspired by biolubrication, we have also studied the influence of shear imposed by the motion of the two confining walls. Simulations show a rich behavior with several regimes, which influence the effective friction between the walls. For weak shear rates, we obtain complex and chaotic dynamics, which induce coarsening, leading to a thixotropic behavior, where the force decreases with time. For moderate or large shear rates, we respectively obtain frozen periodic stationary solutions, or spatio-temporal chaos. In these two regimes, the system exhibits shear-thinning
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Nanotubes de carbone pour la délivrance transdermique électro-stimulée de substances biologiquement actives / Carbon nanotubes for electro-stimulated transdermal delivery of biologically active substances

Guillet, Jean-François 09 November 2017 (has links)
La perméabilité de la peau ne permet pas la diffusion passive de grandes molécules, comme l'insuline ou encore les plasmides d'ADN, au travers de l'épiderme dans le but d'atteindre les vaisseaux sanguins. Cela est uniquement possible pour des molécules de plus petite taille comme la nicotine par exemple. Il existe différentes voies alternatives (électrique, mécanique, thermique) de délivrance transdermique permettant d'éviter l'utilisation de la seringue d'injection, qui pourraient améliorer la qualité de vie des patients atteints de maladies comme le diabète. Ces méthodes incluent par exemple les micro-aiguilles, l'électro-perméabilisation, et l'iontophorèse. L'électroperméabilisation permet, via l'application d'un champ électrique, d'augmenter momentanément la perméabilité de la peau et par conséquent de permettre le passage transdermique de molécules de haut poids moléculaire. L'objectif de ces travaux de thèse était de concevoir et de réaliser un patch nanocomposite à base de nanotubes de carbone permettant de stocker, mais également de relarguer un médicament lorsque qu'il est soumis à une électrostimulation. Pour ce faire, différents polymères ainsi que différentes techniques de mise en forme ont été explorées et développées pour permettre de démontrer la faisabilité de notre approche. Les études ont permis de proposer et de développer un hydrogel nanocomposite biocompatible comportant une matrice polymère agarose et contenant de nanotubes de carbone biparois dans le but d'améliorer les propriétés à la fois électriques et mécanique du matériau. Nous en avons étudié les différentes caractéristiques telles que la microstructure, la capacité de stockage et de relargage, ainsi que les propriétés électriques. Dans le contexte général de précaution en relation avec la mise en œuvre de nanoparticules, et sur la base de travaux antérieurs démontrant l'innocuité des nanotubes utilisés lorsqu'ils ne sont pas en contact direct avec des cellules. Nous avons aussi démontré qu'il n'y a pas de relargage des nanotubes dans des conditions extrêmes (sans électrostimulation) de température en milieu sueur artificielle. L'avancée de ces travaux a permis d'effectuer les premiers tests de délivrance transdermique ex-vivo sur peau de souris et a démontré ainsi la faisabilité et l'intérêt d'utiliser les nanotubes de carbones biparois dans une matrice en polymère pour la délivrance transdermique électrostimulée de molécules de masse molaire de l'ordre de celle de l'insuline. Cette thèse en co-direction alliant la Science des Matériaux (CIRIMAT) et la Science du Vivant (IPBS) a réuni différentes compétences lui donnant un véritable contexte interdisciplinaire. Elle s'est intégrée dans un projet de plus grande ampleur associant la Sociologie et le Droit (Défi Nano CNRS), centré sur le cas du diabète. Ceci a permis de démontrer l'intérêt de développer un tel dispositif (du point de vue des médecins et des patients), mais aussi en nous orientant vers un dispositif médical afin d'éviter de futurs écueils juridiques en termes d'application. / The permeability of skin does not allow the passive diffusion across epidermis to reach blood vessels for large molecular weight molecules such as insulin or DNA plasmids. This is possible only for small molecules such as nicotine, for example. Alternative routes of transdermal delivery exist (thermal, electrical, mechanical) that avoid injections and improve the quality of life of patients suffering of diseases like diabetes. These methods known as "Transdermal Drug Delivery" (TDD) technologies, include for example electroporation, iontophoresis and micro needles. In particular, electropermeabilisation is known to temporarily increase the permeability of the skin, consequently allowing transdermal passage of molecules of high molecular weight. The aim of this work was to conceive and elaborate an innovative needle-free device for transdermal drug delivery, made of a nanocomposite material containing carbon nanotubes to improve both electrical and mechanical properties of the biocompatible polymer matrix. This nanocomposite device aims at permeabilising the skin and delivering drug molecules simultaneously when electrically stimulated. To reach this goal, we investigated different biocompatible polymers and shaping processes, finally demonstrating the feasibility of the fabrication of such a device. We have developed a bio-sourced and biocompatible nanocomposite hydrogel with an agarose matrix and containing double-walled carbon nanotubes, and characterized it in terms of microstructure, storage and release capacity, as well as electrical properties. In the general context of precaution in relation to the implementation of nanoparticles, and on the basis of previous work demonstrating the safety of nanotubes used when they are not in direct contact with cells, we have also demonstrated that there is no release of the nanotubes under extreme conditions of temperature (without electrostimulation) in an artificial sweat medium. Finally, we have demonstrated the feasibility of its first use as a TDD system using an ex vivo mouse skin model. These results provide good evidence that the use of double-walled carbon nanotubes makes possible the transdermal delivery of large molecules with a molecular weight similar to insulin with such a nanomaterial. This thesis was in co-direction, combining Materials Science (CIRIMAT) and Life Science (IPBS) in order to gather different skills, giving it a real interdisciplinary context. Moreover, this work was integrated into a larger project (CNRS, "Nano challenge"), also including Sociology and Law, focusing on diabetes. This has demonstrated the actual demand for such a device from both the medical doctors and the patients, but also directed our work towards a medical device thanks from the juridical point of view.
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Impact des technologies sur les architectures de calcul

Klein, Jacques-Olivier 30 April 2009 (has links) (PDF)
Je présente mon parcours scientifique au sein de l'IEF dont le fil conducteur est constitué par l'étude de l'impact des technologies sur les architectures de calcul. <br />Durant ma thèse au sein du département AXIS de l'IEF, j'ai étudié les architectures analogiques dédiées à la simulation d'un modèle stochastique de réseau de neurone, du point de vue de sa robustesse, des possibilités de compensation des défauts par apprentissage et des vitesses de simulation. Je montre comment les conclusions de ces travaux m'ont conduit à travailler sur les applications au traitement d'image et plus particulièrement sur des rétines programmables.<br />Ensuite, j'explique comment j'ai abordé la synthèse logique adaptée aux circuits à parois de domaines magnétiques à l'occasion d'une conversion thématique où j'ai rejoint le département NST de l'IEF. Enfin, je présente les développements récents sur l'utilisation des méthodes d'apprentissage d'inspiration neuronale permettant de donner une fonction à une assemblée de nanocomposants émergents organisée en cross-bar.
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De l'adaptation à la variation continue de la vitesse de broche afin de contrôler le broutement en fraisage de parois minces : modélisations et études expérimentales

Sébastien, Seguy 03 December 2008 (has links) (PDF)
Les travaux présentés dans cette thèse s'inscrivent dans le contexte des vibrations d'usinage et plus spécialement des parois minces, typiques des pièces de structure aéronautique. L'objectif est de contribuer à la maîtrise des phénomènes vibratoires à la fois au niveau théorique et pratique.<br />Nous avons identifié plusieurs voies de recherche visant : l'extension des méthodes classiques utilisant les « lobes de stabilité », la modélisation des phénomènes transitoires intervenant pendant une même passe d'usinage et enfin l'utilisation de la variation continue de la vitesse de rotation de l'outil.<br />La généralisation du tracé des lobes de stabilité sur une pièce à paroi fine, avec un comportement vibratoire très riche, impose l'ajout d'une troisième dimension permettant de prendre en compte les évolutions des paramètres au cours de l'usinage. Cette démarche permet l'amélioration notable d'une opération d'usinage. Cependant, certaines phases sont impossibles à optimiser et présentent un comportement très complexe, difficile à modéliser en pratique. La troisième partie porte sur le développement d'un modèle numérique relativement simple, permettant de prendre en compte tous les aspects, jugés indispensables à la modélisation de parois minces. L'utilisation de ce modèle temporel permet notamment d'interpréter les états de surface évolutifs, très souvent observés sur les passes d'usinage, mais rarement expliqués dans le détail, à notre connaissance.<br />La dernière partie présente l'étude et la mise au point d'une solution de réduction des vibrations régénératives, par une variation continue de la vitesse de rotation de la broche. Cette méthode apporte des gains importants en usinage grande vitesse, notamment dans la zone du « flip lobe ». Cependant, elle peut faire apparaître des vibrations transitoires, à l'échelle de la période de variation, qui réduisent son efficacité.
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Renversement d'aimantation dans des nanostructures par propagation de parois de domaines sous champ magnétique et courant électrique

Cormier, Mathieu 05 December 2008 (has links) (PDF)
La paroi de domaine magnétique est un concept essentiel à la compréhension du renversement d'aimantation dans un film ou une nanostructure magnétique, et peut être mise en jeu dans les processus d'écriture et de transmission d'une information dans un nano-dispositif. Théoriquement, nous avons mis en évidence, dans une nanostructure magnétique sans défauts, des effets de confinement sur la propagation d'une paroi sous champ magnétique et/ou sous courant polarisé en spin. Ceci a été illustré par l'étude, par microscopie magnéto-optique, de la propagation de paroi dans des films ultraminces Pt/Co/Pt à anisotropie perpendiculaire. Dans ces films, nous avons réalisé des nano-pistes lithographiées et irradiées à très faible dose par des ions hélium. Ces dispositifs se sont révélés être des systèmes modèles, idéaux pour étudier la propagation de paroi sous champ, et nous ont paru prometteurs pour l'étude de la propagation induite par transfert de spin. Pourtant, pour toute la gamme des impulsions de courant injectées dans ces pistes, aucun des effets de propagation observés expérimentalement n'a pu être attribué au transfert de spin. Au vu de l'évaluation quantitative du courant et de sa polarisation dans la couche de cobalt, ceci est justifié par un rapport défavorable entre l'échauffement par effet Joule et le transfert de spin.<br /><br />Nous avons également construit un magnétomètre Kerr polaire à haute résolution, utilisant un faisceau laser hautement focalisé, dont la résolution, la stabilité et la sensibilité exceptionnelles sont bien adaptées à l'étude de nanostructures magnétiques ultraminces à anisotropie perpendiculaire, et ce jusqu'à des dimensions largement sub-microniques.<br /><br />Enfin, nous avons étudié le renversement de l'aimantation sous champ magnétique dans un empilement de type jonction tunnel magnétique à anisotropie planaire, destiné au développement industriel de mémoires magnétiques à accès aléatoires. L'effet d'un recuit à haute température sur les propriétés magnétiques de cet empilement a été testé. En outre, dans la couche magnétique douce de la jonction tunnel, soumise à un couplage magnétique dipolaire à travers la barrière tunnel, nous avons mis en évidence une asymétrie des processus de nucléation de domaines et de propagation de parois en fonction du sens de balayage du champ, que nous avons associée à de légères inhomogénéités du champ de couplage dipolaire.
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Etude des propriétés physiques des films de Fe3O4 épitaxiés et de la polarisation en spin à l'interface Fe3O4/γ-Al2O3

Bataille, Alexandre 12 December 2005 (has links) (PDF)
La magnétite Fe3O4 est un matériau prometteur pour l'électronique de spin, puisque des calculs de structure de bande la prédisent demi-métallique, ce qui laisse supposer des effets de magnétorésistance importants pour des jonctions tunnel magnétiques utilisant Fe3O4 comme électrode. Nous avons fait croître des films minces de Fe3O4 de 3 à 50 nm d'épaisseur sur α-Al2O3 par épitaxie par jets moléculaires. Les films sont monocristallins mais contiennent des parois d'antiphase. Celles-ci sont responsables des anomalies magnétiques observées sur les films, que nous avons pu reproduire à l'aide d'un modèle unidimensionnel, les résultats ayant étés confrontés avec la taille caractéristique des parois mesurée par une analyse<br />fractale. <br /><br />Nous avons de plus mis au point la croissance de couches minces de γ-Al2O3 épitaxiée sur les films de Fe3O4, en contrôlant la stoechiométrie à l'interface entre oxydes. Les films de γ-Al2O3 d'épaisseur supérieure à 2 nm sont continus, et assurent le découplage magnétique entre les électrodes. Les mesures directes par photoémission résolue en spin conduisent à une polarisation en spin de -40 % pour l'interface Fe3O4/ γ-Al2O3 tandis que l'on mesure<br />une magnétorésistance tunnel, réduite du fait du désordre magnétique induit par les parois d'antiphase, de +3 % à température ambiante pour les jonctions Fe3O4/ γ-Al2O3/Co, ce qui implique une polarisation effective positive pour l'interface Fe3O4/ γ-Al2O3 dans les mesures de transport tunnel.
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Simulation des Grandes Echelles d'écoulements turbulents avec transferts de chaleur

Chatelain, Alexandre 07 September 2004 (has links) (PDF)
La Simulations des Grandes Echelles d'écoulements turbulents anisothermes a été utilisée dans le cadre de problèmes d'interaction thermique fluide/solide. Le but de ce travail réside non seulement dans l'identification des divers éléments susceptibles de mésestimer les fluctuations de température à la paroi mais aussi à l'introduction de modélisations de parois adaptées. Le choix d'un schéma de convection "optimisant" le transport de scalaire a conduit à l'adoption d'un schéma décentré avec limiteur de pente : le schéma QUICK. Deux nouvelles approches de reconstruction de fluctuations de température en proche paroi sont proposées et testées. La première repose sur une résolution complète des équations de Navier-Stokes sur une grille fine en proche paroi permettant de reconstruire le champ fluctuant. Une seconde méthode repose sur la résolution 1D et simultanée d'une équation de température moyenne et d'une équation de transport pour la variance de température en proche paroi.
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Etude asymptotique et numérique d'écoulements de fluides non-newtoniens dans des structures tubulaires minces

Fares, Roula 21 November 2011 (has links) (PDF)
Afin de modéliser le flux sanguin dans les vaisseaux, l'équation de Stokes avec une viscosité variable est considérée dans une structure tubulaire mince, c'est à dire, dans une union de rectangles minces avec des hauteurs d'ordre ε et des bases d'ordre 1. Un développement asymptotique de la solution est construit. Dans le cas des perturbations aléatoires de la viscosité constante, nous prouvons que le premier terme de la vitesse est déterministe, alors que pour la pression, il est aléatoire, mais les espérances de la pression satisfont l'équation déterministe de Darcy. Les estimations pour la différence entre la solution exacte et son approximation asymptotique sont prouvées. Enfin, nous donnons quelques résultats numériques. Nous étendons les résultats à une structure tubulaire mince composée de deux rectangles minces avec des parois élastiques qui sont reliés par un domaine dont les parois sont rigides. Après une approche variationnelle du problème qui nous donne des résultats d'existence, d'unicité, de régularité, et certaines estimations, a priori, nous construisons une solution asymptotique. Nous présentons et résolvons les problèmes de tous les termes du développement asymptotique. Pour deux cas différents, nous décrivons l'ordre des étapes de résolution de l'algorithme du problème et nous construisons le terme principal du développement asymptotique. Et enfin, nous présentons une analyse variationnelle et asymptotique pour un cas plus général où la viscosité dépend du tenseur des déformations dans un canal mince. Par le biais des estimations a priori, nous justifions nos constructions asymptotiques, par l'obtention d'une petite erreur entre les solutions exactes et asymptotiques

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