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La téléportation quantique promet d'être centrale à de nombreuses applications du futur tels la cryptographique quantique et l'ordinateur quantique. Comme toute mise en œuvre physique s'accompagne inévitablement d'imperfections expérimentales, on étudie la téléportation dans un contexte où la ressource quantique, c'est-à-dire l'intrication, que l'on consomme est brouillée. Pour ce faire, on introduit en premier lieu le formalisme de l'informatique quantique. En seconde partie, on approche les protocoles de téléportation quantique standard, de téléportation avec relais quantiques et de téléportation multi-ports. Notre analyse de la téléportation standard et de la téléportation multi-ports poursuit trois objectifs principaux. Le premier est de comparer l'emploi d'un canal brouillé pour la téléportation d'un état quantique avec l'utilisation de ce même canal pour l'envoi direct de l'état. On trouve ainsi les conditions pour lesquelles les deux protocoles de transmission sont équivalents. Le second but est d'observer le caractère non-local de l'intrication brouillée en regardant quand et comment Alice peut réduire le bruit chez elle à un bruit exclusivement chez Bob. En troisième, on quantifie par une borne inférieure la qualité d'un canal de téléportation en réduisant l'effet de toute intrication brouillée à celui d'un bruit de Pauli à un seul paramètre. On accomplit cette tâche en effaçant au moment approprié l'information classique superflue et en appliquant la wernerisation. Finalement, on analyse la composition de bruits de Pauli et l'effet du taux d'effacement sur la téléportation avec relais quantiques pour mieux comprendre comment se combinent les effets de l'intrication brouillée dans un réseau de téléportation quantique. La suite logique est d'établir des protocoles plus robustes de téléportation quantique qui prennent en compte l'effet de l'intrication brouillée. / Quantum teleportation will be a centerpiece of practical quantum cryptography and quantum computing in a soon to be future. As no physical implementation is perfect, we study quantum teleportation in the context of impaired quantum resources which we call noisy entanglement. In a first part, we introduce how quantum mechanics is formalized by quantum information theory. In the second part, we study standard quantum teleportation, in both the absence and presence of quantum repeaters, as well as port-based teleportation. Our analysis of standard quantum teleportation and port-based teleportation follows three main directions. The first goal is to compare the use of a noisy channel for teleportation to the one of the same channel for direct transmission. We thus find the conditions under which the two cases are equivalent. Our second objective is to observe the non-local properties of noisy entanglement by finding when and how Alice can blame Bob for her noise. Thirdly, we quantify, in the worst-case scenario, the quality of a teleportation channel by reducing the effect of any noisy entanglement to the one of a one-parameter Pauli channel that can be interpreted as a depolarizing channel in most instances. We achieve this task by erasing unneeded classical information at the appropriate time and by twirling either the entanglement or the teleported state. Finally, we analyze the composition of Pauli noises and the impact of the erasure channel parameter on the protocol of teleportation with quantum repeaters. We thus aim to understand how the effects of noisy entanglement cumulate in a teleportation network. The next logical step is to create robust teleportation schemes that take into account the effects of noisy entanglement.

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Cette thèse explore des aspects du monde naturel par la lentille de l'information algorithmique. La notion de l'émergence, intuitivement reliée à tant de phénomènes naturels, se voit offrir une définition cadrée dans le domaine plus spécifique des statistiques algorithmiques. Capturant toutes deux l'organisation non triviale d'un objet, la sophistication et la profondeur logique sont relativisées à un objet auxiliaire puis remises en relation. Enfin, des modèles proposant une description locale des systèmes quantiques sont démontrés équivalents, ont leur coût de description quantifié et sont généralisés aux systèmes continus. / This thesis explores aspects of the physical world through the lens of algorithmic information. The notion of emergence, intuitively linked to many natural phenomena, is offered a definition framed in the field of algorithmic statistics. Both capturing non-trivial organization of an object, sophistication and logical depth are compared once relativized to an auxiliary object. Finally, models proposing a local description of the quantum systems are shown equivalent, have their description cost quantified and are generalized to continuous systems.

Cette thèse porte sur l’étude des familles de polynômes orthogonaux et leurs liens avec les modèles exactement résolubles. Elle se décline en deux parties. Dans la première, on caractérise quatre nouvelles familles de polynômes orthogonaux à l’aide de processus limites appliqués à des familles appartenant aux schéma d’Askey et de Bannai-Ito. Des troncations singulières des polynômes de Wilson et d’Askey-Wilson sont considérées. Deux premières extensions bivariées de polynômes appartenant au tableau de Bannai-Ito sont également introduites. La deuxième partie présente quatre modèles exactement résolubles en lien avec la théorie des polynômes orthogonaux. Les propriétés de transfert parfait d’information quantique et de partage d’intrication d’un modèle de chaîne de spin XX dont les couplage sont liés aux polynômes de para-Racah sont examinées. Deux modèles superintégrables contenant des opérateurs de réflexions sont proposés. Leurs solutions sont obtenues et leurs symétries s’encodent respectivement dans l’algèbre de Bannai-Ito de rang deux et de rang arbitraire ce qui mène à conjecturer l’apparition des polynômes de Bannai-Ito multivariés comme coefficients de connection. Finalement, par la théorie des représentations de la superalgèbre osp(1|2), deux identités de convolution pour des familles de polynômes du tableau de Bannai-Ito sont offertes. Une réalisation en termes d’opérateurs de Dunkl conduit à une fonction génératrice bilinéaire pour les polynômes de Big −1 Jacobi. / This thesis is concerned with the study of families of orthogonal polynomials and their connection to exactly solvable models. It comprises two parts. In the first one, four novel families of orthogonal polynomials are caracterized through limit processes applied to families belonging to the Askey and Bannai-Ito schemes. Singular truncations of the Wilson and Askey-Wilson polynomials are considered. The first two bivariate extensions of families of the Bannai-Ito tableau are also introduced. The second part presents four exactly solvable models connected to the theory of orthogonal polynomials. The perfect transfer of quantum information and entanglement generation properties of an XX spin chain model whose couplings are linked to the para-Racah polynomials are examined. Two superintegrable models containing reflexion operators are proposed. Their solutions are obtained and their symmetries are encoded respectively in the rank two and arbitrary rank Bannai-Ito algebra which leads to conjecture the apparition of multivariate Bannai-Ito polynomials as overlaps. Finally, via the representation theory of the osp(1|2) Lie superalgebra, two convolution identities for families of orthogonal polynomials of the Bannai-Ito tableau are offered. Realizations in terms of Dunkl operators lead to a bilinear generating function for the Big −1 Jacobi polynomials.

Le but est d’explorer l’interaction entre les particules quantiques et la gravitation. On utilisera la quantification de Landau, l’effet Hall quantique et on examinera la relation entre la gravitation et l’effet Josephson. On propose une version de l’expérience "COW" (Colella-Overhauser-Werner) pour examiner les déviations de la loi du carré inverse de type Yukawa et de puissance inverse. Il est question de montages permettant d’investiguer la possibilité de mesurer le gravitomagnétisme et la constante de la gravitation G. On a examiné les transitions quantiques pour des neutrons ultra-froids (Ultra-Cold Neutron : UCN). Les résultats étaient satisfaisants pour 105 UCN. On a imaginé un effet laser avec ces neutrons émetteurs de gravitons : le phénomène est cependant très faible. Pour les corrections des niveaux de Landau : on a utilisé trois types d’espace-temps. Pour Schwarzschild, en utilisant une masse perturbatrice, les corrections d’ordres 1 et 2 dépendent du niveau n et du nombre quantique `. Cela enlève la dégénérescence des niveaux conventionnels. On obtient des résultats similaires pour les espaces-temps de Kerr et de Levi-Civita. On a proposé une expérience analogue à l’expérience COW. On a des déphasages malgré de faibles valeurs anticipées : de 10^−18 rad à 10^−4 rad pour le type Yukawa et de 10^−3 rad à 10^−9 rad pour puissance inverse. On a proposé des mesures possibles pour le gravitomagnétisme. On a aussi repris l’étude de l’influence de la gravitation sur l’effet Hall quantique. On obtient de faibles corrections pour un champ gravitationnel. On ne peut toutefois pas conclure à des quantités mesurables pour les déviations de type Yukawa et de puissance inverse. Par contre, on peut utiliser l’effet pour mesurer G avec grande précision. On a examiné l’effet Josephson sous l’effet de la gravitation en imaginant un montage simple. On a d’excellents résultats : des corrections de 10^−7 à 10^−9 Hz pour des déviations de type Yukawa et 10^−6 Hz pour des déviations en puissance inverse. Surtout, le lien entre la gravitation et la fréquence du courant de Josephson est clairement établit et mesurable. / The goal is to explore the interaction between quantum particles and gravitation. We will use Landau quantization, the quantum Hall effect and we will examine the relationship between gravity and Josephson’s effect. We propose a version of "COW" experience (Colella-Overhauser-Werner) to examine the Yukawa and inverse power deviations. We propose setups to investigate the possibility to measure gravitomagnetism and the gravitational constant G. Quantum transitions for ultra-cold neutrons (UCN) have been examined. The results were satisfactory for 105 UCN. We imagined a laser effect with these graviton emitting neutrons: the phenomenon is however very weak. For Landau level corrections: we proceeded with three types of space-times. For Schwarzschild, using a disturbing mass, the corrections of orders 1 and 2 depend on the level n and the quantum number "`". This removes the degeneracy of conventional levels. Similar results are obtained for the Kerr and the Levi-Civita spacetimes. We took over an analog of the COW experiment. We have phase shifts despite low expected values: from 10^−18 rad to 10^−4 rad for Yukawa and from 10^−3 rad to 10^−9 rad for inverse power laws. The same setup has been proposed for testing gravitomagnetism. We have also resumed the study of the influence of gravity on the quantum Hall effect. Small corrections are obtained for a gravitational field. We cannot however conclude with measurable quantities for Yukawa and inverse power laws. On the other hand, one can use the effect to measure G with great precision. We examined the Josephson effect under the effect of gravity by imagining a simple setup. We have excellent results: corrections from 10^−7 to 10^−9 Hz for Yukawa and 10^−6 Hz for inverse power law. Above all, the link between gravity and the frequency of Josephson’s current is clearly established and measurable.

L'informatique quantique, ce surprenant mariage entre informatique et physique, est un domaine riche en nouvelles idées, autant pour la technologie future qu'une meilleure compréhension de notre univers. C'est le phénomène de l'intrication qui est au coeur de cette nouvelle façon de voir l'information. Ce mémoire porte sur l'étude des corrélations quantiques observées dans la nature, mises de l'avant, entre autres, par John Bell. Plus particulièrement, deux jeux non signalants, dans lesquels ces corrélations se manifestent, sont étudiés: le jeu CHSH, probablement l'exemple le plus connu à ce jour, et le jeu de pseudotélépathie du carré magique. Pour ce faire, deux points de vue seront adoptés, soit probabiliste et algorithmique. Le premier est motivé par la prédiction (ce qui aurait pu se passer), tandis que le second s'intéresse à l'information intrinsèque contenue dans un objet (ce qui s'est passé). Les concepts «aléatoire» et «information» seront donc abordés premièrement à la Shannon (approche probabiliste) puis à la Kolmogorov (approche algorithmique). C'est la complexité de Kolmogorov qui sera utilisée pour quantifier l'information de façon factuelle. De plus, le cas particulier où plusieurs répétitions d'un jeu sont jouées en parallèle dans un monde classique sera examiné. Le théorème des répétitions parallèles, résultat important sur le sujet démontré par Ran Raz, sera présenté et utilisé par la suite dans l'étude algorithmique des jeux CHSH et du carré magique. / Quantum information, this intriguing marriage between computer science and physics, is a promising field of research for future technologies as well as a better understanding of our universe. Entanglement is at the very heart of this new way of understanding information. This thesis focuses on quantum correlations that are observed in nature. They have been studied in great detail by, among others, John Bell. More specifically, two non-signaling games, in which these correlations arise, are studied: the CHSH game, which is probably the best-known example of such games, and the magic square pseudotelepathy game. To do so, two points of view will be adopted: probabilistic and algorithmic. The first is motivated by prediction (what could have happened) and the second focuses on the intrinsic information about an object (what happened). Therefore, the concepts of randomness and information are first addressed from Shannon’s point of view (probabilistic approach) and second from Kolmogorov’s point of view (algorithmic approach). Kolmogorov complexity is used to quantify information in a factual way. Furthermore, the particular case in which multiple repetitions of a game are played in parallel in a classical world is considered. The parallel repetition theorem, an important result on the subject proven by Ran Raz, is presented and used in the algorithmic study of the CHSH game and the magic square game.

Cette thèse porte sur la gravitation et certains de ses liens avec la théorie des champs. Le point de départ de cette recherche a été l’étude de la limite newtonienne de la relativité générale. Très vite, notre intérêt s’est porté sur l’effet du temps retardé et son rôle dans l’absence d’aberration. Ce manque d’aberration est la raison pour laquelle la force pointe dans la direction instantanée (extrapolée) pour des sources sans accélération, malgré la vitesse finie de la gravitation (c’est aussi le cas pour l’électromagnétisme). Ceci nous a conduit à calculer le champ résultant entre deux masses accélérées avec la présence d’aberration. Nous avons en particulier considéré le mouvement de deux masses de telle façon que la force totale de Newton à une position s’annule alors que les effets du temps retardé soient bien différents de zéro. Nous avons pu calculer ces derniers et proposer deux situations où ils pourraient être observés dans le futur. L’étude de la linéarisation de la relativité générale a naturellement porté notre intérêt sur la physique du graviton, la version quantifiée de la théorie classique linéaire. Plusieurs travaux sur l’impossibilité d’observer directement ce graviton [1,2] ainsi que des expériences de pensée sur la possibilité de le quantifier ou non [3] ont piqué notre curiosité. C’est ce qui a lancé la recherche de la section efficace (et du potentiel) dans le cas d’une diffusion gravitationnelle sur une particule initialement dans une superposition spatiale. En parallèle de ces recherches, des discussions avec mon collègue Kévin Nguyen et la lecture de son article [4], ont attiré mon attention sur le problème de la constante cosmologique et l’élégante solution proposée. Cette dernière est basée sur l’ajout d’un scalaire couplé non minimalement avec la gravité et permet d’expliquer la valeur minuscule de la constante cosmologique par certains très petits paramètres du champ scalaire. Leur solution était cependant encore très théorique, car elle n’était valable que dans un univers sans matière. Nous avons donc analysé l’effet de la matière sur l’évolution du champ scalaire et montré que dans une partie de l’espace des paramètres, la théorie considérée résolvait le problème de la constante cosmologique tout en restant indistinguable de la relativité générale. / This thesis concerns gravitation and some of its connections with field theory. The starting point of this research was the study of the Newtonian limit of general relativity. Our interest was focused on the effect of retarded time and its role in the absence of aberration. Lack of aberration is the reason why the gravitational force points in the instantaneous (extrapolated) direction for unaccelerated sources, despite the finite speed of propagation of gravity (this also holds true for electromagnetism). Naturally this led us to compute the resulting gravitational field of accelerating masses, where aberration is not absent. In particular, we considered the motion of two masses such that their total Newtonian force at a position vanished but the retarded gravitational effects were non-zero. We were able to calculate these retarded effects and to propose two situations where they could be observed in the future. The study of the linearization of general relativity naturally arouse our interest toward the physics of gravitons, the quantized version of the linear classical theory. In particular, there has been much thought and literature on the impossibility of directly observing a graviton [1, 2] as well as thought experiments on the possibility of quantizing gravity or not [3]. This led to the calculation of the cross section (and gravitational potential) in the case of the gravitational scattering off a massive particle that is in a spatially non-local quantum superposition. In parallel with this research, some discussions with my colleague Kévin Nguyen about his article [4] on the problem of the cosmological constant, focussed my interest on this problem and the elegant solution proposed. The solution is based on the addition of a nonminimally coupled scalar and makes it possible to explain the tiny value of the cosmological constant through some small parameters of the scalar field. The solution is however very theoretical as it was only done in a matter free universe. We therefore examined at the effect of different kinds of matter on the evolution of the scalar field. We show that in one part of the parameter space, the theory we considered resolved the cosmological constant problem while being indistinguishable from general relativity.

Le présent mémoire est dédié à l’étude du rôle de la mécanique quantique supersymétrique dans la construction d’opérateurs d’échelle et de leurs applications pour le système quantique de Rosen-Morse. L’aboutissement de ces travaux est contenu dans un article qui constitue le dernier chapitre du mémoire. Précisément, on motive l’échec de la réalisation des opérateurs d’échelle comme opérateurs différentiels pour le potentiel de Rosen-Morse avec les méthodes traditionnelles. On exploite la propriété d’invariance de forme dans le contexte de la mécanique quantique supersymétrique comme un outil alternatif pour offrir une première approche quantique à la réalisation des opérateurs d’échelle pour la version hyperbolique de ce potentiel. On utilise cette réalisation pour obtenir celle d’opérateurs d’échelle pour une classe particulière d’extensions rationnelles du potentiel de Rosen-Morse hyperbolique avec des techniques issues de la supersymétrie. Des états cohérents sont construits à partir des réalisations obtenues pour les différents systèmes. Certaines de leurs propriétés sont analysées et mises en comparaison. En parallèle, on utilise une transformation canonique ponctuelle pour déduire une première réalisation des opérateurs d’échelle comme opérateurs différentiels pour le système de Rosen-Morse trigonométrique. De cette réalisation sont construits des états cohérents pour lesquels des propriétés sont similairement analysées. / This master thesis is dedicated to the study of the role of supersymmetric quantum mechanics in the construction of ladder operators and of their applications for the quantum Rosen-Morse system. The results of this work are presented in an article that constitutes the last chapter of the thesis. Precisely, we motivate the failure of traditional methods in providing a realization for the Rosen-Morse ladder operators as differential operators. We provide a first quantum-based solution to this problem by using the shape invariance property in supersymmetric quantum mechanics as a tool in the construction of the ladder operators for the hyperbolic version of this potential. We use the latter realization to obtain that of a specific class of rational extensions of the hyperbolic Rosen-Morse system by means of supersymmetric techniques. Coherent states are constructed from the ladder operators obtained for the different systems. Some properties are analyzed and compared. In addition, we make use of a point canonical transformation in the derivation of the first realization of the ladder operators of the trigonometric Rosen-Morse system as differential operators. From this realization, we construct coherent states for which some properties are similarly analyzed.

Cette thèse présente une étude des applications des groupes de réflexion finis aux problems liés aux réseaux bidimensionnels et aux polytopes tridimensionnels. Plusieurs familles de fonctions orbitales, appelées fonctions orbitales de Weyl, sont associées aux groupes de réflexion cristallographique. Les propriétés exceptionnelles de ces fonctions, telles que l’orthogonalité continue et discrète, permettent une analyse de type Fourier sur le domaine fondamental d’un groupe de Weyl affine correspondant. Dans cette considération, les fonctions d’orbite de Weyl constituent des outils efficaces pour les transformées discrètes de type Fourier correspondantes connues sous le nom de transformées de Fourier–Weyl. Cette recherche limite notre attention aux fonctions d’orbite de Weyl symétriques et antisymétriques à deux variables du groupe de réflexion cristallographique A2. L’objectif principal est de décomposer deux types de transformations de Fourier–Weyl du réseau de poids correspondant en transformées plus petites en utilisant la technique de division centrale. Pour les cas non cristallographiques, nous définissons les indices de degré pair et impair pour les orbites des groupes de réflexion non cristallographique avec une symétrie quintuple en utilisant un remplacement de représentation-orbite. De plus, nous formulons l’algorithme qui permet de déterminer les structures de polytopes imbriquées. Par ailleurs, compte tenu de la pertinence de la symétrie icosaédrique pour la description de diverses molécules sphériques et virus, nous étudions la brisure de symétrie des polytopes doubles de type non cristallographique et des structures tubulaires associées. De plus, nous appliquons une procédure de stellation à la famille des polytopes considérés. Puisque cette recherche se concentre en partie sur les fullerènes icosaédriques, nous présentons la construction des nanotubes de carbone correspondants. De plus, l’approche considérée pour les cas non cristallographiques est appliquée aux structures cristallographiques. Nous considérons un mécanisme de brisure de symétrie appliqué aux polytopes obtenus en utilisant les groupes Weyl tridimensionnels pour déterminer leurs extensions structurelles possibles en nanotubes. / This thesis presents a study of applications of finite reflection groups to the problems related to two-dimensional lattices and three-dimensional polytopes. Several families of orbit functions, known as Weyl orbit functions, are associated with the crystallographic reflection groups. The exceptional properties of these functions, such as continuous and discrete orthogonality, permit Fourier-like analysis on the fundamental domain of a corresponding affine Weyl group. In this consideration, Weyl orbit functions constitute efficient tools for corresponding Fourier-like discrete transforms known as Fourier–Weyl transforms. This research restricts our attention to the two-variable symmetric and antisymmetric Weyl orbit functions of the crystallographic reflection group A2. The main goal is to decompose two types of the corresponding weight lattice Fourier–Weyl transforms into smaller transforms using the central splitting technique. For the non-crystallographic cases, we define the even- and odd-degree indices for orbits of the non-crystallographic reflection groups with 5-fold symmetry by using a representation-orbit replacement. Besides, we formulate the algorithm that allows determining the structures of nested polytopes. Moreover, in light of the relevance of the icosahedral symmetry to the description of various spherical molecules and viruses, we study symmetry breaking of the dual polytopes of non-crystallographic type and related tube-like structures. As well, we apply a stellation procedure to the family of considered polytopes. Since this research partly focuses on the icosahedral fullerenes, we present the construction of the corresponding carbon nanotubes. Furthermore, the approach considered for the non-crystallographic cases is applied to crystallographic structures. We consider a symmetry-breaking mechanism applied to the polytopes obtained using the three-dimensional Weyl groups to determine their possible structural extensions into nanotubes.