Esta dissertação apresenta uma análise numérica do controle de vibrações estruturais através de cerâmicas piezoelétricas em extensão e em cisalhamento conectadas a circuitos ativo-passivos compostos por resistência, indutância e fonte de tensão. Para tal, um modelo de elementos finitos de vigas sanduíche com três camadas elásticas e/ou piezoelétricas foi desenvolvido. Realizou-se também uma modelagem dos componentes do circuito elétrico e seu acoplamento à estrutura gerando assim uma equação de movimento acoplada para a estrutura com elementos piezoelétricos conectados aos circuitos elétricos. Uma análise harmônica das equações obtidas foi realizada para se obter uma avaliação preliminar dos efeitos causados pelos componentes elétricos do circuito na estrutura. Observou-se que os elementos passivos do circuito, resistência e indutância, tem não somente um efeito de absorvedor dinâmico de vibrações mas, também, promovem uma amplificação da autoridade de controle no caso de se atuar através da fonte de tensão. Usando a metodologia tradicional de projeto de absorvedores dinâmicos de vibrações, derivou-se expressões para os valores de resistência e indutância de modo a maximizar o desempenho passivo do sistema. Uma análise numérica do desempenho na redução das amplitudes de vibração em um viga engastada-livre com uma cerâmica piezoelétrica em extensão ou cisalhamento foi realizada mostrando bons resultados. Em seguida, uma análise da autoridade de controle para estas estruturas foi realizada visando a implementação de um controle híbrido ativo-passivo. A parcela ativa do controle foi obtida usando-se uma estratégia de controle por retroalimentação ótima do tipo linear quadratic regulator para calcular a tensão aplicada ao circuito. Uma comparação entre os resultados mostra que o controle híbrido ativo-passivo é sempre superior aos controles puramente ativos ou passivo para os dois casos estudados, com cerâmicas piezoelétricas em extensão e cisalhamento. / This work presents a numerical analysis of the structural vibration control using piezoelectric materials in extension and shear mode connected to active-passive electric circuits composed of the resistance, inductance and voltage source. For that, a finite element model for sandwich beams with three elastic or piezoelectric layers was developed. A modeling of the electric circuit dynamics and its coupling to the structure with piezoelectric elements was also done. A harmonic analysis of the resulting equations was performed to yield a preliminary evaluation of the effects caused by the electric circuit components on the structure. It was observed that the passive circuit components not only lead to a dynamic vibration absorber effect but also to an amplification of the control authority in case of actuation using the voltage source. Using the standard methodology for the design of dynamic vibration absorbers, expressions were derived for the resistance and inductance values that optimize the passive vibration control performance of the system. A numerical analysis of the passive vibration control was performed for cantilever beams with extension and shear piezoelectric ceramics showing satisfactory results. Then, an analysis of the control authority was carried out for the same structures aiming at an active-passive vibration control. The active control was achieved using a linear quadratic regulator optimal feedback strategy to evaluate the voltage applied to the circuit. A comparison between the obtained results show that hybrid active-passive control is always superior to the purely active or purely passive control for both cases studied, with extension and shear piezoelectric ceramics.

O presente trabalho visa o desenvolvimento de uma formulação de um elemento finito de casca com capacidade de prever o comportamento de materiais compósitos inteligentes. Além disso, tem-se a implementação da referida formulação junto ao pacote comercial de elementos finitos Abaqus™, através de sub-rotinas em Fortran via sua ferramenta UEL (User Element). De posse da formulação implementada, realiza-se a avaliação de suas potencialidades e limitações através de estudos de casos. Para selecionar de forma criteriosa a formulação a ser avaliada, executa-se, inicialmente, uma revisão bibliográfica aprofundada sobre trabalhos relevantes na área. Posteriormente apresenta-se a fundamentação teórica da formulação selecionada, bem como uma discussão acerca dos diferentes modelos matemáticos existentes para piezeletricidade linear. Há também uma descrição sobre modelos de casca e do comportamento mecânico de materiais laminados. Além disso, tem-se que as particularidades existentes devido ao acoplamento piezoelétrico e a utilização da ferramenta UEL são discutidas. A metodologia utilizada no trabalho é abordada, evidenciando-se as diferentes etapas empregadas. Por fim, sete estudos de casos são investigados, comparando os resultados providos pelo elemento implementado via UEL com resultados da literatura, bem como, com resultados de experimentos realizados pelo Grupo de Estruturas Aeronáuticas da EESC/USP. Concluindo o trabalho, perspectivas futuras de novos projetos de pesquisas, fruto do presente trabalho, são apresentadas. Por fim, com base na análise dos resultados, conclui-se que a formulação proposta é capaz de simular o comportamento de estruturas fabricadas a partir de materiais compósitos inteligentes. No entanto, trabalhos futuros devem ser realizados com o intuito de melhorar a precisão dos resultados obtidos via UEL, sem gerar um elevado custo computacional. / The present work aims at the development of a shell finite element formulation in order to simulate the behavior of smart composite materials. Furthermore, the referred formulation is implemented within the commercial finite element package Abaqus™ by using Fortran subroutines through its UEL (User Element) tool. Based on the implemented formulation, case studies are used to evaluate its potentialities and limitations. A deep review of works in the area is carried out in order to perform a careful selection of the finite element formulation, which is implemented. After that, the theory for the selected formulation is presented, as well as a discussion of the different existing mathematical models for linear piezoelectricity. Also, a description of the mechanical behavior of laminated shells is shown. Besides, the particularities of the piezoelectric coupling and its implementations by using UEL tool are discussed. The used methodology is addressed, detailing its phases. Finally, seven case studies are investigated, comparing results provided by simulations by using the implemented element with results found in the literature and experimental results from experiments performed by the Aeronautical Structures Group of the EESC/USP. In conclusion, based on the analysis of the aforementioned results, it is established that the proposed formulation is capable of simulating the behavior of smart composite structures. However, future works should be introduced to enhance the precision of the solutions obtained through the UEL tool, without increasing the inherent computational cost.

A three-layer finite element model for the analysis of sandwich plates with laminated composite face-sheets is evaluated. In the model, the face-sheets are represented as Reissner-Mindlin plates and the core is modeled as a three-dimensional continuum. This representation allows accurate modeling for a wide range of core types. The three-dimensional problem is reduced to two dimensions by analytical through-thickness integration of the energy expressions for the evaluation of elastic and geometric stiffness, and mass matrices. The results from this model are compared to finite element results based on solid elements, laminated Reissner-Mindlin, and laminated classical plate theory. The objective of the work is to analyze the following aspects of sandwich plates using the developed model for a broad range of core stiffness: natural frequencies and corresponding mode shapes, critical buckling loads, stress stiffening effects, and the dynamic analysis including piezoelectric actuation on the face-sheets. When large differences between face-sheet and core stiffness is present it is illustrated that traditional laminate theories yield significant inaccuracy. Moreover, unlike plate models, the present theory is also capable of representing a variety of three dimensional boundary conditions. Furthermore, compared to solid models, the present sandwich model avoids numerical problems due to three dimensional element aspect ratio that facilitates modeling sandwich plates with thin faces and thick core. Therefore, the present model provides a powerful general tool for a wide variety of structural analyses of sandwich plates.

Apresentam-se as bases teóricas do Método de Elementos Finitos (MEF) piezoelétrico, e a sua aplicação na modelagem de transdutores de ultra-som piezoelétricos, que consiste na determinação das características vibracionais (frequências de ressonância e anti-ressonância, modos de vibrar e coeficiente de acoplamento eletromecânico), obtenção da curva de admitancia, análise transiente da estrutura piezoelétrica sujeita a uma excitação pulsada e análise da influência da variação das constantes piezoelétricas do transdutor com o raio. Utilizando-se o MEF aplicado a acústica obteve-se o campo acústico gerado pelo transdutor operando em onda contínua, bem como iniciou-se o estudo da propagação de ondas num líquido, analisando-se as ondas geradas pela excitação pulsada de um pistão plano em contato com o fluido. Os modos de vibrar e os valores de frequências de ressonância obtidos para um transdutor, foram comparados com os resultados experimentais. / The theoretical basis of piezoelectric finite element method (FEM), and its application in piezoelectric ultrasonic transducer modelling is presented. Among these applications we have the calculation of resonance and antiresonance frequencies, vibration modes, piezoelectric coupling coefficient, admittance curve and transient analysis of piezoelectric structure excited by a short pulse. By means of piezoelectric FEM the influence of variation of piezoelectric constant with radius is analysed. It is discussed three kind of functions (linear, cosinoidal and Gaussian). This technique is called apodization. The acoustic filed generated by the transducer operating in continuous wave (CW) was calculated by using FEM applied to acoustic, considering the fluid-structure coupling. The study of wave propagation in liquids is started by using FEM, analyzing the waves generated by a plane piston in contact with the fluid, excited by a short pulse. For each case discussed above, all boundary conditions and hypothesis assumed in the construction of finite element models are discussed. Although the models considered are circular transducers, the concepts acquired can be expanded to other geometries. The vibrational modes were visualized by means of a laser interferometry technique (ESPI), and the admittance curves were measured by using an impedometer. These results were compared with the FEM results, and the models precision was discussed.

A utilização de materiais piezoelétricos, na função de sensores e atuadores distribuídos, para o controle e monitoramento de vibrações estruturais tem um enorme potencial de aplicação nas indústrias aeronáutica, aeroespacial, automobilística e eletroeletrônica. O uso de sensores piezoelétricos integrados para monitoramento de integridade estrutural (ou detecção de falhas), em particular, tem evoluído bastante na última década. Por conseguinte, o número de técnicas utilizadas para esse fim são as mais variadas possíveis. Dentre elas estão às técnicas que avaliam o efeito dos danos em baixa freqüência usando parâmetros modais, em especial freqüências naturais e modos, ou em média-alta freqüência medindo-se a impedância/admitância eletromecânica. O objetivo dessa dissertação é desenvolver, com auxílio de um modelo 2D ANSYS em elementos finitos, uma análise de diferentes técnicas para detecção da posição e tamanho da delaminação em estruturas compósitas utilizando pastilhas piezoelétricas. Várias métricas e técnicas são avaliadas em termos de sua capacidade de identificar, com relativa acurácia, a presença, localização e severidade do dano. Os resultados mostram que ambas as técnicas modal e baseada na impedância são capazes de identificar a presença de danos do tipo delaminação, desde que as pastilhas piezoelétricas estejam próximas do dano. Também é mostrado que as técnicas baseadas na impedância parecem ser mais eficientes do que as modais para detecção da posição e tamanho da delaminação. / The use of piezoelectric materials in the function of distributed sensors and actuators for the control and monitoring of structural vibrations has enormous potential for application in the aeronautical, aerospace, automotive and electronics. The use of integrated piezoelectric sensors for structural health monitoring (or damage detection), in particular, has evolved greatly over the last decade. Consequently, the numbers of techniques used for this purpose are highly diverse. Among them are techniques that evaluate the effect of damages on low frequency modal parameters, especially natural frequencies and mode shapes, or on medium-high frequency measurements of electromechanical impedance/admittance. The objective of this dissertation is to perform, with the aid of a 2D ANSYS finite element model, an analysis of different techniques for the detection of position and size of a delamination in a composite structure using piezoelectric patches. Several metrics and techniques are evaluated in terms of their capability of identifying, with relative accuracy, the presence, location and severity of the damage. Results show that both modal and impedance-based techniques are able to identify the presence of the delamination-type damages, provided the piezoelectric patches are close enough to the damage. It is also shown that impedance-based techniques seem more effective than modal ones for the detection of delamination position and size.

Este trabalho apresenta uma modelagem de placas laminadas com sensores/atuadores piezoelétricos integrados e conectados a circuitos tipo shunt resistivo-indutivo (RL). O modelo faz uso de duas teorias de placa, FSDT (First-order Shear Deformatíon Theory) e TSDT (Third-order Shear Deformatíon Theory), e considera a possibilidade de inserção de pastilhas piezoelétricas trabalhando nos modos de extensão e cisalhamento. Um modelo de elementos finitos para placas laminadas piezoelétricas, em camada equivalente (Equivalent Single Layer), foi desenvolvido usando como graus de liberdade os deslocamentos mecânicos generalizados e a carga elétrica gerada nos circuitos acoplados. Após, uma implementação computacional foi realizada e validada através de comparações com resultados encontrados na literatura. Então, foram realizados estudos para configurações de placa laminada com diferentes quantidades de pastilhas piezoelétricas através de uma análise paramétrica para obtenção das posições de maior acoplamento entre pastilhas e estrutura para os primeiros modos de vibração da placa. Estes resultados possibilitaram a otimização da eficiência do acoplamento eletromecânico através da distribuição das pastilhas piezoelétricas para uma placa com maior quantidade de pastilhas bem como a comparação dos resultados obtidos entre as duas teorias utilizadas. / This work presents the modeling of laminate plates with embedded piezoelectric sensors and actuators connected to resistive-inductive (RL) shunt circuits. The model considers two plate theories, FSDT (First-order Shear Deformation Theory) and TSDT (Third-order Shear Deformation Theory) and allows embedded piezoelectric patches in extension and thickness-shear modes. A finite element model for piezoelectric laminate plates, using equivalent single layer (ESL), was developed considering the generalized mechanical displacements and the electric charges induced in the coupled electric circuits as degrees of freedom. Then, the model was implemented and validated by means of comparisons with results found in the literature. Thereafter, some laminate plate configurations with different numbers of piezoelectric patches were studied through a parametric analysis to obtain the positions that maximize the electromechanical coupling between patches and structure for the first vibration modes. These results allowed the optimization of the electromechanical coupling efficiency through piezoelectric patches distribution for a plate with a larger number of patches and the comparison between the results obtained with the two plate theories considered.

Com o aperfeiçoamento de materiais compósitos de alto desempenho, surge a possibilidade do desenvolvimento de estruturas inteligentes, onde atuadores e sensores piezelétricos estão integrados na estrutura com sistemas de controle adequados para a atenuação de vibrações. Projetos multidisciplinares se tornam cada vez mais complexos e sofisticados, envolvendo diversas fontes de incertezas que devem ser analisadas e quantificadas. O escopo principal desse trabalho visa o estudo da propagação de incertezas em estruturas de materiais compósitos laminados com atuadores e sensores piezelétricos, onde entradas e parâmetros do projeto podem ser fontes aleatórias e/ou nebulosas. Para atingir esse objetivo é adotada a metodologia fuzzy, com a aplicação de otimização de cortes-α. Essa técnica é utilizada na presença de informações vagas ou imprecisas acerca da aleatoriedade presente. Nesse estudo projetam-se, através do método dos elementos finitos, estruturas em forma de placa e casca de material compósito laminado com atuadores e sensores piezelétricos acoplados, controlados pelos reguladores Linear Quadratic Regulator (LQR) e Linear Quadratic Gaussian (LQG). Inicialmente são realizados estudos de otimização para encontrar a melhor localização dos componentes piezelétricos pelos Gramianos de controlabilidade e observabilidade, assim como os fatores de ponderação das leis de controle. O desenvolvimento é realizado no espaço modal reduzido visando um melhor desempenho computacional. As métricas escolhidas para avaliação do controle de vibração e análise das saídas incertas do sistema são baseadas nas energias cinética, potencial e elétrica. Também apresentam-se estudos de envelopes relacionados ao deslocamentos e às frequências naturais da estrutura devido às incertezas. Os resultados mostraram que as otimizações por corte-α para tratar números fuzzy nesse tipo de problema são robustas e eficientes, encontrando-se valores extremos das saídas desejadas. Além de ser um método não intrusivo, também pode ser utilizado em problemas com um número elevado de parâmetros incertos como entrada. / The possibility of developments of smart structures arises with high performance composite materials improvements, where piezoelectric actuators and sensors are embedded into the structures, following a suitable control laws for vibration attenuation. Multidisciplinary projects are becoming highly complex and sophisticated, involving several sources of uncertainty that should be analyzed and quantified. The main objective for this work is to study the uncertainty propagation in composite laminate structures with embedded piezoelectric actuators and sensors, considering random and/or fuzzy sources for the inputs and design parameters. To accomplish this objective, it is adopted the fuzzy α-cut optimizations methodology. This technique is used when the available information related to the actual randomness is vague or imprecise. In this study, laminated composite shells and plates structures are designed and analyzed by the finite element method, where embedded piezoelectric actuators and sensors controlled by Linear Quadratic Regulator (LQR) and Linear Quadratic Gaussian (LQG) are present. Initially, optimization analyses are executed to find the best arrangement for the piezoelectric material using controllability and observability Gramians metrics, as well as the best controller parameters. This study is developed in the reduced modal space looking for computational costs savings. The chosen rating metrics for the vibration control and uncertainty analysis are based on kinetic, potential and electrical energies. Structural displacements and natural frequency envelopes due uncertainty are also studied and presented. The results have shown that the fuzzy α-cut optimizations methodology is robust and efficient to find extreme values for the sought outputs. In addition to being a non-intrusive method, it is also able to deal with a large number of uncertain input parameters.

Apresentam-se as bases teóricas do Método de Elementos Finitos (MEF) piezoelétrico, e a sua aplicação na modelagem de transdutores de ultra-som piezoelétricos, que consiste na determinação das características vibracionais (frequências de ressonância e anti-ressonância, modos de vibrar e coeficiente de acoplamento eletromecânico), obtenção da curva de admitancia, análise transiente da estrutura piezoelétrica sujeita a uma excitação pulsada e análise da influência da variação das constantes piezoelétricas do transdutor com o raio. Utilizando-se o MEF aplicado a acústica obteve-se o campo acústico gerado pelo transdutor operando em onda contínua, bem como iniciou-se o estudo da propagação de ondas num líquido, analisando-se as ondas geradas pela excitação pulsada de um pistão plano em contato com o fluido. Os modos de vibrar e os valores de frequências de ressonância obtidos para um transdutor, foram comparados com os resultados experimentais. / The theoretical basis of piezoelectric finite element method (FEM), and its application in piezoelectric ultrasonic transducer modelling is presented. Among these applications we have the calculation of resonance and antiresonance frequencies, vibration modes, piezoelectric coupling coefficient, admittance curve and transient analysis of piezoelectric structure excited by a short pulse. By means of piezoelectric FEM the influence of variation of piezoelectric constant with radius is analysed. It is discussed three kind of functions (linear, cosinoidal and Gaussian). This technique is called apodization. The acoustic filed generated by the transducer operating in continuous wave (CW) was calculated by using FEM applied to acoustic, considering the fluid-structure coupling. The study of wave propagation in liquids is started by using FEM, analyzing the waves generated by a plane piston in contact with the fluid, excited by a short pulse. For each case discussed above, all boundary conditions and hypothesis assumed in the construction of finite element models are discussed. Although the models considered are circular transducers, the concepts acquired can be expanded to other geometries. The vibrational modes were visualized by means of a laser interferometry technique (ESPI), and the admittance curves were measured by using an impedometer. These results were compared with the FEM results, and the models precision was discussed.

O principal objetivo do controle de vibrações é a sua redução ou minimização, através da modificação automática da resposta estrutural. Em muitas situações isto é necessário para promover a estabilidade estrutural, e para alcançar o alto desempenho mecânico necessário em diversas áreas técnicas, tais como a engenharia aeroespacial, civil e mecânica, bem como a biotecnologia, inclusive em escala micro e nano mecânica. Uma alternativa é o uso de estruturas inteligentes, que são o resultado da combinação de sensores e atuadores integrados em uma estrutura mecânica, e um método de controle adequado. O principal objetivo deste trabalho é o desenvolvimento de rotinas computacionais para a simulação, via método dos elementos finitos, do controle ativo de estruturas inteligentes de cascas, placas e vigas delgadas de material compósito laminado com camadas de material piezoelétrico como sensores e/ou atuadores. Caracterizam esta pesquisa a utilização do elemento GPL-T9 de três nós e seis graus de liberdade mecânicos por nó, mais um grau de liberdade elétrico por camada piezoelétrica, assim como a avaliação de dois métodos de controle, o Proporcional-Integral-Derivativo (PID) e o Regulador Quadrático Linear ou Linear Quadratic Regulator (LQR), incluindo o LQR Modal, e a otimização da localização de pastilhas piezoelétricas através de um Algoritmo Genético (AG). Várias aplicações são apresentadas e os resultados obtidos são comparados aos disponíveis na literatura especializada. / The main objective of vibration control is its reduction or even its minimization by the automatic modification of the structural response. Sometimes this is necessary to increase structural stability and to attain a high mechanical behavior in several areas such as aerospace, civil and mechanical engineering, biotechnology, including macro, micro and nanomechanical scales. An alternative is to use a smart structure, which results of the combinations of integrated sensors and actuators in a mechanical structure and a suitable control method. Development of a computational code to simulate, using finite elements, the active control in smart structures such as slender shells, plates and beams of composite materials with embedded piezoelectric layers acting as actuators and sensors is the main objective of this work. This research is characterized by the use of the GPL-T9 element with three nodes and six mechanical degrees of freedom and one electrical degree of freedom per piezoelectric layer, by the evaluation of two control methods, the Proportional Integral Derivative (PID) and the Linear Quadratic Regulator (LQR), including the Modal LQR, and, finally by the optimization of piezoelectric patches placement using a Genetic Algorithm (GA). Several examples are presented and compared with those obtained by other authors.

Sabe-se que materiais compostos laminados são, hoje em dia, geralmente usados nas indústrias aeronáutica, aeroespacial, naval e outras, principalmente por causa de suas atrativas propriedades se comparadas aos materiais isotrópicos, como alta rigidez/peso, alta resistência, alto amortecimento e boas propriedades relacionadas ao isolamento térmico e acústico, entre outras. Porém, o comportamento de estruturas feitas de materiais compostos pode ser aperfeiçoado através da utilização de materiais inteligentes. Dentre os diferentes tipos comercialmente disponíveis de materiais inteligentes, os materiais piezelétricos são amplamente usados como sensores e atuadores para o monitoramento e controle de estruturas. O efeito piezelétrico direto define que uma deformação mecânica aplicada ao material é convertida em uma carga elétrica. Por outro lado, o efeito piezelétrico inverso define que um potencial elétrico aplicado ao material é convertido em deformação mecânica. Estes efeitos governam a interação eletromecânica nos materiais piezelétricos. O Método dos Elementos Finitos, uma ferramenta amplamente reconhecida e poderosa para a análise de estruturas complexas, é capaz de realizar a integração dos componentes inteligentes e das partes estruturais clássicas. Sendo assim, o comportamento estático e dinâmico, linear e geometricamente não-linear, de estruturas compostas laminadas delgadas com lâminas piezelétricas incorporadas é analisado neste trabalho usando o Método dos Elementos Finitos (MEF). Elementos triangulares, chamados GPL-T9, com três nós e seis graus de liberdade por nó (três componentes de deslocamento e três de rotação) e um grau de liberdade por camada piezelétrica (potencial elétrico) são usados. Para a análise estática não-linear as equações de equilíbrio são solucionadas usando o Método do Controle de Deslocamentos Generalizados (MCDG) enquanto a solução dinâmica é obtida usando o Método de Newmark com Formulação Lagrangeana Atualizada (FLA). O sistema de equações é resolvido usando o Método dos Gradientes Conjugados (MGC) e nos casos não-lineares um esquema iterativo-incremental é empregado. Diversos exemplos numéricos são apresentados e comparados com resultados obtidos por outros autores com diferentes tipos de elementos e diferentes formulações. A concordância entre estes resultados demonstra a validade e a eficácia dos modelos desenvolvidos. / It is well known that laminate composite materials are nowadays commonly used in the aeronautical, aerospace, naval and other industries mainly because their attractive properties as compared to isotropic materials, such as higher stiffness/weight, higher strength, higher damping and good properties related to thermal or acoustic isolation, among others. However, the behavior of structures made of composite materials can be improved using smart materials. Among several kinds of commercially available smart materials, the piezoelectric materials are widely used as sensors and actuators for the monitoring and control of structures. The direct piezoelectric effect states that a mechanical strain applied to the material is converted to an electric charge. On the other hand, the converse piezoelectric effect states that an electric potential applied to the material is converted to mechanical strain. These effects govern the electromechanical interaction in piezoelectric materials. The finite element method, a widely accepted and powerful tool for analyzing complex structures, is capable of dealing with the integration of smart components and classic structural parts. So, linear and geometrically nonlinear static and dynamic behavior of thin laminate composite structures embedded with piezoelectric layers are analyzed in this work using the Finite Element Method (FEM). Triangular elements, called GPL-T9, with three nodes and six degrees of freedom per node (three displacement and three rotation components) and one degree of freedom per piezoelectric layer (electrical potential) are used. For static analysis the nonlinear equilibrium equations are solved using the Generalized Displacement Control Method (GDCM) while the dynamic solution is performed using the classical Newmark Method with an Updated Lagrangean Formulation (ULF). The system of equations is solved using the Gradient Cojugate Method (GCM) and in nonlinear cases an iterative-incremental scheme is employed. Several numerical examples are presented and compared with results obtained by other authors with different kind of elements and different schemes. The agreement among these results demonstrates the validity and effectiveness of the developed models.