La fórmula de Poincaré-Euler para poliedros convexos se generaliza a través de triangulaciones y la homología simplicial. Esto permite captar de manera intuitiva la idea de homología.

Submitted by Joyce Melo (joycemello79@gmail.com) on 2016-03-14T14:28:35Z No. of bitstreams: 1 DIssertação-Eder.pdf: 2150158 bytes, checksum: 370b81b52ed3a734cc7753e25cd017ab (MD5) / Approved for entry into archive by Divisão de Documentação/BC Biblioteca Central (ddbc@ufam.edu.br) on 2016-03-15T14:52:32Z (GMT) No. of bitstreams: 1 DIssertação-Eder.pdf: 2150158 bytes, checksum: 370b81b52ed3a734cc7753e25cd017ab (MD5) / Approved for entry into archive by Divisão de Documentação/BC Biblioteca Central (ddbc@ufam.edu.br) on 2016-03-15T15:15:56Z (GMT) No. of bitstreams: 1 DIssertação-Eder.pdf: 2150158 bytes, checksum: 370b81b52ed3a734cc7753e25cd017ab (MD5) / Made available in DSpace on 2016-03-15T15:15:56Z (GMT). No. of bitstreams: 1 DIssertação-Eder.pdf: 2150158 bytes, checksum: 370b81b52ed3a734cc7753e25cd017ab (MD5) Previous issue date: 2013-06-21 / CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / In this work we will do a study of one of the most beautiful theorems of geometry: Euler's theorem for polyhedra Convex, which lists the number of vertices V, edges A and F faces using the formula V -A + F = 2. The focus of the work is its use as a support to high school teacher. For this a little history of the theorem is presented and are given three statements distinct approaches. Moreover, it is made a brief analysis of how it is being done teaching spatial geometry, particularly the Euler's theorem in high school. For fi m, it is a suggestion for use of computer resources for the teaching of Euler's theorem using the software A Plethora of Polyhedra, open software, Universidade Federal Fluminense (UFF). / Neste trabalho fazemos um estudo de um dos mais belos teoremas da Geometria: o Teorema de Euler para Poliedros Convexos, que relaciona o número de vértices V , de arestas A e de faces F por meio da fórmula V −A+F = 2. O foco do trabalho é sua utilização como suporte ao professor do Ensino Médio. Para isto é apresentada um pouco da história do teorema e são dadas 3 demonstrações com abordagens distintas. Além disso, é feita uma breve análise de como está sendo feito o ensino de Geometria Espacial, particularmente o Teorema de Euler, no Ensino Médio. Por fim, faz-se uma sugestão para utilização de recursos computacionais para o ensino do Teorema de Euler através do software Uma Pletora de Poliedros, software aberto da Universidade Federal Fluminense (UFF).

No presente trabalho é investigada a obtenção de nanocompósitos de poliestireno atático (PS) e poliedros oligoméricos silsesquioxano (POSS) através de processamento reativo em reômetro de torque. As proporções em massa de PS/POSS foram mantidas em 100/0, 99/1, 98/2 e 95/5. Diferentes condições de processamento foram utilizadas, as quais foram variadas a velocidade dos rotores do reômetro (100, 150 e 200rpm a 190ºC/15min.), quantidade de iniciador de radicais livres e a adição de estireno. Para os nanocompósitos sem estireno, o aumento da velocidade de processamento resultou em pequena redução do torque estabilizado, cisão de cadeias e aumento na conversão de enxertia. A adição de estireno resultou em um pequeno aumento no torque estabilizado, aumentos de massas molares e conversão da reação de enxertia. As micrografias dos nanocompósitos apresentaram a formação de estruturas aglomeradas de POSS. Entretanto, para algumas amostras foi observada a dispersão do POSS em nível molecular. O uso do estireno resultou na redução do tamanho da interface entre o PS/POSS. A degradação térmica e termo-oxidativa, assim como a cinética de degradação termo-oxidativa foram alteradas pela presença do POSS, porém a adição de estireno acelera a degradação do poliestireno puro. A temperatura de transição vítrea (Tg) não é afetada quando não é adicionado estireno ao sistema. A fração de volume livre é praticamente a mesma para as amostras sem estireno, já para as amostras com estireno é notado aumento na fração de volume livre para a amostra com 5% de POSS. Esse fato está relacionado com a maior conversão da reação de enxertia, uma vez que o estireno atua como agente de transferência de radical. Todos os sistemas apresentaram pseudoplasticidade, entretanto foram notados desvios da lei de Einstein para escoamento de suspensões de esferas rígidas para as amostras com estireno. A região terminal de escoamento não segue a teoria de reptação de Doi-Edwards em virtude da heterogeneidade do sistema. No entanto, a adição de estireno melhora a compatibilidade PS-POSS, por apresentar menor tamanho de interface que reflete diretamente nos gráficos de Hant. / In this work nanocomposites of atatic polystyrene (PS) and polyhedral oligomeric silsesquioxane (POSS) were obtained by reactive processing in a torque rheometer. The PS/POSS mass ratios were kept constant 100/0, 99/1, 98/2 e 95/5. Different processing conditions were used changeable rheometer rotor speed (100, 150 and 200rpm at 190ºC/15min), free initiator content and styrene addition. For nanocomposites system without styrene addition the increasing of rotor speed resulted in small increase in stabilized torque values, chain scissions and higher grafting conversion degree. The styrene addition resulted in small increase in stabilized torque values, higher molar mass values and conversion degree. The micrographs showed the agglomerated POSS structure in micrometric size. However, for the hybrid nanocomposites it was observed POSS structures distributed in molecular size. The styrene addition resulted in reduction of the interfacial thickness between PS and POSS. The thermal degradation, thermo-oxidative degradation and kinetics process were small changed by POSS addition, but the thermo-oxidative reaction of pure PS was accelerated by styrene addition. The glass transition temperature (Tg) had not measurable effect in samples without styrene. The fractional free volume was practically constant in samples without styrene. The higher grafting conversion degree induced by styrene addition resulted in increasing of the fractional free volume for sample with 5wt% of POSS. All samples showed a pseudoplastic behavior. However a non-Einstein liquid like behavior was observed in samples with styrene addition. The Doi-Edwards reptation theory does not describe the terminal flow region because of the heterogeneity of the nanocomposites system. The styrene addition improves the PS-POSS compatibility due to reduction interfacial thickness which reflects in the Han plots.

MELO, Henrique Alves de. Fórmula de Euler no plano e para poliedros. 2013. 54 f. Dissertação (Mestrado em Matemática em Rede Nacional) – Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2013. / Submitted by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br) on 2014-03-26T16:16:01Z No. of bitstreams: 1 2013_dis_hamelo.pdf: 14135976 bytes, checksum: e309e7f484cd1319bc4d472ff39b05ae (MD5) / Approved for entry into archive by Rocilda Sales(rocilda@ufc.br) on 2014-03-26T16:18:25Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2013_dis_hamelo.pdf: 14135976 bytes, checksum: e309e7f484cd1319bc4d472ff39b05ae (MD5) / Made available in DSpace on 2014-03-26T16:18:25Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2013_dis_hamelo.pdf: 14135976 bytes, checksum: e309e7f484cd1319bc4d472ff39b05ae (MD5) Previous issue date: 2013 / Polyhedra are geometric solids formed by a finite number of polygons they can be convex or non-convex, regular or not regular. This work we make three demonstrations of Euler’s theorem for polyhedra in one plane being used graphs. We will adopt preliminary definitions of polygons, polyhedra and graphs and make a brief study of the theorem before the demonstrations analysis when the theorem is valid and what conditions exist polyhedra, since the theorem is accepted. The work brings some applications in the form of questions in the theory presented. / Os poliedros são sólidos geométricos formados por uma quantidade finita de polígonos. Eles podem ser convexos ou não convexos, regulares ou não regulares . Neste trabalho fazemos três demonstrações do teorema de Euler para poliedros no plano, sendo uma utilizado grafos. Adotaremos definições preliminares de polígonos, poliedros e grafos e faremos um breve estudo do teorema antes das demonstrações analisado quando o teorema é valido em quais condições existem os poliedros, uma vez que o teorema é aceito. O trabalho traz algumas aplicações em forma de questões da teoria apresentada.

No presente trabalho é investigada a obtenção de nanocompósitos de poliestireno atático (PS) e poliedros oligoméricos silsesquioxano (POSS) através de processamento reativo em reômetro de torque. As proporções em massa de PS/POSS foram mantidas em 100/0, 99/1, 98/2 e 95/5. Diferentes condições de processamento foram utilizadas, as quais foram variadas a velocidade dos rotores do reômetro (100, 150 e 200rpm a 190ºC/15min.), quantidade de iniciador de radicais livres e a adição de estireno. Para os nanocompósitos sem estireno, o aumento da velocidade de processamento resultou em pequena redução do torque estabilizado, cisão de cadeias e aumento na conversão de enxertia. A adição de estireno resultou em um pequeno aumento no torque estabilizado, aumentos de massas molares e conversão da reação de enxertia. As micrografias dos nanocompósitos apresentaram a formação de estruturas aglomeradas de POSS. Entretanto, para algumas amostras foi observada a dispersão do POSS em nível molecular. O uso do estireno resultou na redução do tamanho da interface entre o PS/POSS. A degradação térmica e termo-oxidativa, assim como a cinética de degradação termo-oxidativa foram alteradas pela presença do POSS, porém a adição de estireno acelera a degradação do poliestireno puro. A temperatura de transição vítrea (Tg) não é afetada quando não é adicionado estireno ao sistema. A fração de volume livre é praticamente a mesma para as amostras sem estireno, já para as amostras com estireno é notado aumento na fração de volume livre para a amostra com 5% de POSS. Esse fato está relacionado com a maior conversão da reação de enxertia, uma vez que o estireno atua como agente de transferência de radical. Todos os sistemas apresentaram pseudoplasticidade, entretanto foram notados desvios da lei de Einstein para escoamento de suspensões de esferas rígidas para as amostras com estireno. A região terminal de escoamento não segue a teoria de reptação de Doi-Edwards em virtude da heterogeneidade do sistema. No entanto, a adição de estireno melhora a compatibilidade PS-POSS, por apresentar menor tamanho de interface que reflete diretamente nos gráficos de Hant. / In this work nanocomposites of atatic polystyrene (PS) and polyhedral oligomeric silsesquioxane (POSS) were obtained by reactive processing in a torque rheometer. The PS/POSS mass ratios were kept constant 100/0, 99/1, 98/2 e 95/5. Different processing conditions were used changeable rheometer rotor speed (100, 150 and 200rpm at 190ºC/15min), free initiator content and styrene addition. For nanocomposites system without styrene addition the increasing of rotor speed resulted in small increase in stabilized torque values, chain scissions and higher grafting conversion degree. The styrene addition resulted in small increase in stabilized torque values, higher molar mass values and conversion degree. The micrographs showed the agglomerated POSS structure in micrometric size. However, for the hybrid nanocomposites it was observed POSS structures distributed in molecular size. The styrene addition resulted in reduction of the interfacial thickness between PS and POSS. The thermal degradation, thermo-oxidative degradation and kinetics process were small changed by POSS addition, but the thermo-oxidative reaction of pure PS was accelerated by styrene addition. The glass transition temperature (Tg) had not measurable effect in samples without styrene. The fractional free volume was practically constant in samples without styrene. The higher grafting conversion degree induced by styrene addition resulted in increasing of the fractional free volume for sample with 5wt% of POSS. All samples showed a pseudoplastic behavior. However a non-Einstein liquid like behavior was observed in samples with styrene addition. The Doi-Edwards reptation theory does not describe the terminal flow region because of the heterogeneity of the nanocomposites system. The styrene addition improves the PS-POSS compatibility due to reduction interfacial thickness which reflects in the Han plots.

No presente trabalho é investigada a obtenção de nanocompósitos de poliestireno atático (PS) e poliedros oligoméricos silsesquioxano (POSS) através de processamento reativo em reômetro de torque. As proporções em massa de PS/POSS foram mantidas em 100/0, 99/1, 98/2 e 95/5. Diferentes condições de processamento foram utilizadas, as quais foram variadas a velocidade dos rotores do reômetro (100, 150 e 200rpm a 190ºC/15min.), quantidade de iniciador de radicais livres e a adição de estireno. Para os nanocompósitos sem estireno, o aumento da velocidade de processamento resultou em pequena redução do torque estabilizado, cisão de cadeias e aumento na conversão de enxertia. A adição de estireno resultou em um pequeno aumento no torque estabilizado, aumentos de massas molares e conversão da reação de enxertia. As micrografias dos nanocompósitos apresentaram a formação de estruturas aglomeradas de POSS. Entretanto, para algumas amostras foi observada a dispersão do POSS em nível molecular. O uso do estireno resultou na redução do tamanho da interface entre o PS/POSS. A degradação térmica e termo-oxidativa, assim como a cinética de degradação termo-oxidativa foram alteradas pela presença do POSS, porém a adição de estireno acelera a degradação do poliestireno puro. A temperatura de transição vítrea (Tg) não é afetada quando não é adicionado estireno ao sistema. A fração de volume livre é praticamente a mesma para as amostras sem estireno, já para as amostras com estireno é notado aumento na fração de volume livre para a amostra com 5% de POSS. Esse fato está relacionado com a maior conversão da reação de enxertia, uma vez que o estireno atua como agente de transferência de radical. Todos os sistemas apresentaram pseudoplasticidade, entretanto foram notados desvios da lei de Einstein para escoamento de suspensões de esferas rígidas para as amostras com estireno. A região terminal de escoamento não segue a teoria de reptação de Doi-Edwards em virtude da heterogeneidade do sistema. No entanto, a adição de estireno melhora a compatibilidade PS-POSS, por apresentar menor tamanho de interface que reflete diretamente nos gráficos de Hant. / In this work nanocomposites of atatic polystyrene (PS) and polyhedral oligomeric silsesquioxane (POSS) were obtained by reactive processing in a torque rheometer. The PS/POSS mass ratios were kept constant 100/0, 99/1, 98/2 e 95/5. Different processing conditions were used changeable rheometer rotor speed (100, 150 and 200rpm at 190ºC/15min), free initiator content and styrene addition. For nanocomposites system without styrene addition the increasing of rotor speed resulted in small increase in stabilized torque values, chain scissions and higher grafting conversion degree. The styrene addition resulted in small increase in stabilized torque values, higher molar mass values and conversion degree. The micrographs showed the agglomerated POSS structure in micrometric size. However, for the hybrid nanocomposites it was observed POSS structures distributed in molecular size. The styrene addition resulted in reduction of the interfacial thickness between PS and POSS. The thermal degradation, thermo-oxidative degradation and kinetics process were small changed by POSS addition, but the thermo-oxidative reaction of pure PS was accelerated by styrene addition. The glass transition temperature (Tg) had not measurable effect in samples without styrene. The fractional free volume was practically constant in samples without styrene. The higher grafting conversion degree induced by styrene addition resulted in increasing of the fractional free volume for sample with 5wt% of POSS. All samples showed a pseudoplastic behavior. However a non-Einstein liquid like behavior was observed in samples with styrene addition. The Doi-Edwards reptation theory does not describe the terminal flow region because of the heterogeneity of the nanocomposites system. The styrene addition improves the PS-POSS compatibility due to reduction interfacial thickness which reflects in the Han plots.

Neste trabalho utilizamos a tecnica de construcao de campos de vetores controlados para obter estimativas do valor da filtracao de uma aplicacao polinomial $Theta:R^n,0 ightarrowR^p,0$ para que a familia $f_t=f+tTheta$ seja $C^ell$-$mathcal{G}$-trivial, bi-lipschitz trivial ou topologicamente trivial, onde $ellgeq 1$, $mathcal{G}=mathcal{R}$, $mathcal{C}$ ou $mathcal{K}$ e $f:R^n,0 ightarrow R^p,0$ e um germe de aplicacao polinomial satisfazendo uma condicao de nao-degeneracao com relacao a algum poliedro de Newton. Obtemos tambem resultados sobre a trivializacao $C^ell$-modificada para familias de aplicacoes semi-quase-homogeneas de classe $C^{ell + 1}$, e familias de funcoes Newton nao-degeneradas de classe $C^{ell + 1}$. / In this work we use controlled vector fields to obtain estimates for the filtration of a polynomial map-germ $Theta:R^n,0 ightarrowR^p,0$ such that the family $f_t=f+tTheta$ is $C^ell$-$mathcal{G}$-trivial, bi-Lipschitz trivial, or topologicaly trivial, where $ellgeq 1$, $mathcal{G}=mathcal{R}$, $mathcal{C}$ or $mathcal{K}$ and $f:R^n,0 ightarrowR^p,0$ is a polynomial map-germ satisfying a non-degeneracy condition. Results are also obtained on the modified $C^ell$-trivialization for families of semi-wheighted homogeneous maps of class $C^{ell+1}$ with an isolated sigularity at the origin, and families of Newton non-degenerate functions of class $C^{ell+1}$.

Neste trabalho utilizamos a tecnica de construcao de campos de vetores controlados para obter estimativas do valor da filtracao de uma aplicacao polinomial $Theta:R^n,0 ightarrowR^p,0$ para que a familia $f_t=f+tTheta$ seja $C^ell$-$mathcal{G}$-trivial, bi-lipschitz trivial ou topologicamente trivial, onde $ellgeq 1$, $mathcal{G}=mathcal{R}$, $mathcal{C}$ ou $mathcal{K}$ e $f:R^n,0 ightarrow R^p,0$ e um germe de aplicacao polinomial satisfazendo uma condicao de nao-degeneracao com relacao a algum poliedro de Newton. Obtemos tambem resultados sobre a trivializacao $C^ell$-modificada para familias de aplicacoes semi-quase-homogeneas de classe $C^{ell + 1}$, e familias de funcoes Newton nao-degeneradas de classe $C^{ell + 1}$. / In this work we use controlled vector fields to obtain estimates for the filtration of a polynomial map-germ $Theta:R^n,0 ightarrowR^p,0$ such that the family $f_t=f+tTheta$ is $C^ell$-$mathcal{G}$-trivial, bi-Lipschitz trivial, or topologicaly trivial, where $ellgeq 1$, $mathcal{G}=mathcal{R}$, $mathcal{C}$ or $mathcal{K}$ and $f:R^n,0 ightarrowR^p,0$ is a polynomial map-germ satisfying a non-degeneracy condition. Results are also obtained on the modified $C^ell$-trivialization for families of semi-wheighted homogeneous maps of class $C^{ell+1}$ with an isolated sigularity at the origin, and families of Newton non-degenerate functions of class $C^{ell+1}$.

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:26:56Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2013-04-13Bitstream added on 2014-06-13T20:55:43Z : No. of bitstreams: 1 mialich_fr_me_sjrp.pdf: 707207 bytes, checksum: 0335d58e9114dcc029b4d78ec2a82f51 (MD5) / Este trabalho tem como tema central Poliedros e o Teorema de Euler. Foi feita uma breve análise da definição de Poliedros e apresentadas algumas considerações históricas a respeito dos Poliedros e o Teorema de Euler. Foram abordadas duas versões/demonstrações do Teorema de Euler, a primeira para poliedros convexos, e a segunda, conhecida como de Teorema de Euler segundo Cauchy (que engloba certos poliedros não convexos, que são homeomorfos à esfera). Ainda, como consequência do Teorema de Euler, foi demonstrado o teorema da existência de apenas cinco poliedros regulares, conhecidos como Poliedros de Platão. Analisou-se também o conteúdo/ensino de Poliedros em certos documentos oficiais (PCN, Currículo do Estado de SP, Matrizes do SARESP e ENEM). Por último foi elaborada uma proposta de atividades explorando poliedros, o Teorema de Euler e os conteúdos de área, volume e planificação, bem como análise e resolução de algumas questões do SARESP e ENEM (relativas a tais conteúdos), utilizando, para melhor compreensão e visualização, o software matemático Poly, a fim de construir uma aprendizagem mais significativa para os alunos. Com o desenvolvimento do trabalho foi possível compreender melhor a definição de poliedros, o Teorema de Euler e refletir um pouco sobre o desenvolvimento das pesquisas Matemáticas a partir de alguns aspectos históricos. Através da análise do conteúdo, em certos documentos oficiais, pode-se verificar que o assunto/tema tratado no trabalho faz parte desses documentos e têm sido cobrados em avaliações, mas, em geral, de forma bastante simples. Observamos também, que em algumas questões analisadas os enunciados não estavam muito claros, o que pode confundir os alunos / This work has as its central theme Polyhedra and Euler's Theorem. We made a brief analysis of the definition of Polyhedra and some historical considerations about Polyhedra and Euler's Theorem. We considered two versions/proofs of Euler's Theorem, the first for convex polyhedra, and the second, known as Euler's Theorem according to Cauchy (which includes certain nonconvex polyhedra that are homeomorphic to the sphere). Also, as a consequence of Euler's theorem, it was demonstrated the theorem of existence of only five regular polyhedra, known as Plato’s Polyhedra. We also analyzed the content/teaching of Polyhedra in certain official documents (PCN, SP State Curriculum, SARESP matrices and ENEM). Finally we presented a proposal of activities exploring polyhedra, Euler's Theorem, the contents area, volume and planning, as well as an analysis and resolution of some questions from SARESP and ENEM (for such contents), by using, for better understanding and visualization, the Poly mathematical software in order to build a more meaningful learning for students. With the development of this work we got a better understand of the definition of polyhedra, the Euler's Theorem and we reflected a little on research and development of mathematics from some historical aspects. By analysing the content in certain official documents, it can be seen that the subject/topics covered in this work are parts of these documents and have been rated in tests, but generally in a quite simple form. We also observed that in some questions discussed, the statements were not very clear, which can confuse the students

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:26:56Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2013-03-28Bitstream added on 2014-06-13T20:47:33Z : No. of bitstreams: 1 dias_r_me_sjrp.pdf: 272282 bytes, checksum: b1e44b8f25de4abb1780694b335cbf0c (MD5) / O objetivo principal deste trabalho é provar o Teorema de Dehn. Esse teorema é resposta ao Terceiro Problema de Hilbert, este problema refere-se à seguinte situação: Se dois poliedros possuem o mesmo volume eles são congruentes por corte, ou seja, é sempre possível tomar dois poliedros de mesmo volume e decompor um em poliedros menores de tal maneira que os reorganizando seja possível montar o outro. A resposta para esta questão é negativa e sua prova ficou conhecida como teorema de Dehn. Inicialmente estudaremos conceitos de área, volume e congruência por corte para figuras planas e no espaço. Nesta etapa discutiremos a decomposição de figuras em polígonos e poliedros. Em seguida usando algumas propriedades de funções aditivas e os ângulos diedros de um poliedro, construiremos um invariante que será a ferramenta principal na demonstração do Teorema de Dehn. Como considerações finais, cito o Paradoxo de Banach-Tarski, uma vez que o mesmo é relacionado naturalmente ao problema de congruência por corte e decomposição de figuras no espaço e apresento um capítulo com algumas atividades que podem ser desenvolvidas na educação básica / The main object of this work is study the Third Problem of Hilbert and the Dehn Theorem