Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro de Ciências Físicas e Matemáticas. Programa de Pós-Graduação em Matemática e Computação Científica. / Made available in DSpace on 2012-10-23T16:31:05Z (GMT). No. of bitstreams: 1 258571.pdf: 4103462 bytes, checksum: e408cf9b53562ebbc62cffe0b1b88595 (MD5) / Neste trabalho ser´a apresentado o programa POLIEDRO V1 que tem como objetivo visualizar poliedros limitados (em R2 e R3), para auxiliar na compreens#ao da evoluc¸#ao dos algoritmos Simplex e Branch-and-Bound. Primeiramente, ser#ao estudados alguns conceitos fundamentais de otimizac¸ #ao irrestrita e restrita, as condic¸ #oes de otimalidade e o problema dual em Programac¸ #ao Linear (PL). A segunda fase do texto concentra-se no estudo te´orico de poliedros, formas de representar poliedros e caracterizac¸ #ao de faces. Ap´os, ´e apresentado o programa POLIEDRO V1 em linguagem Matlab, que consiste em visualizar politopos, gerando faces atrav´es da selec¸ #ao e ordenac¸ #ao de v´ertices. A ´ultima fase do trabalho concentra-se no estudo e desenvolvimento dos algoritmos Simplex e Branch-and-Bound. Aplica-se o programa POLIEDRO V1 em Programac¸ #ao Linear visualizando a regi#ao vi´avel como politopo e apresentase a evoluc¸ #ao, passo a passo, do m´etodo Simplex. J´a em Programac¸ #ao Inteira (PI) visualiza-se graficamente o m´etodo Branch-and-Bound, resolvendo o problema de Programac¸ #ao Linear Inteira (PLI) atrav´es de subproblemas gerados por planos de corte. Os subproblemas s#ao resolvidos recursivamente pelo m´etodo Simplex. This work presents the program POLIEDRO V1, whose objective is to visualize bounded polyhedra in R2 and R3, to help the understanding of the evolution of the simplex and branch and bound algorithms. Initially some fundamental concepts in unconstrained and constrained optimization are studied, including the optimality conditions and the dual problem in Linear Programming. The second part of the text is dedicated to the theoretical study of polyhedra, ways of representing polyhedra and the characterization of faces. The program POLIEDRO V1 is then presented in the languageMatlab, consisting in the visualization of polytopes by generating facets through the selection and ordering of vertices. The last phase of the work concentrates on the study and development of the Simplex and Branch-and-Bound algorithms. The program POLIEDRO V1 is applied to visualize the feasible region of a linear programming problem, on which the step by step evolution of the simplex method is drawn. In Integer Programming, the branch-and-bound algorithm is graphically represented by solving recursively the linear programming subproblems generated by adding cutting planes. These subproblems are solved by the simplex method and visualized.

Orientador: Parham Salehyan / Banca: Ana Claudia Nabarro / Banca: Jefferson Luiz Rocha Bastos / Resumo: O objetivo principal desse trabalho é estudar o conceito de congruência por corte de polígonos e poliedros. Primeiro é apresentado o teorema de Bolyai-Gerwien que afirma a equivalência entre a igualdade de área e congruência por corte de polígonos. No caso de poliedros é apresentado o teorema de Dehn no qual veremos que a congruência por corte e a igualdade de volumes, em geral, não são equivalentes. No final serão apresentadas algumas atividades onde se pode verificar de maneira intuitiva e dedutiva a congruência por corte entre alguns polígonos com a mesma área / Abstract: The main object of this work is study some elementary comcepts in Euclidean geometry. After studying the scissors-congruence between polygons, we prove the Bolayi-Gerwein theorem. We study also this concept for polyhedra and we see the Dehn theorem which claims that in the case of polyhedra the equality between the volume and the scissors-congruence are not equivalent in general. Finally, we present some activities where it is possible to check by an intuitive and a deductive manner the congruence by cutting between some polygons with the same area / Mestre

MENESES, Paulo de Oliveira. Teorema de Pick e teorema espacial tipo-Pick: demonstrações e aplicações no ensino médio. 2016. 84 f. Dissertação (Mestrado em Matemática em Rede Nacional) – Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2016. / Submitted by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br) on 2016-06-27T13:14:24Z No. of bitstreams: 1 2016_dis_pomeneses.pdf: 8880492 bytes, checksum: 2116f6152464950d6130404a0eb876d9 (MD5) / Approved for entry into archive by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br) on 2016-06-27T13:15:17Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2016_dis_pomeneses.pdf: 8880492 bytes, checksum: 2116f6152464950d6130404a0eb876d9 (MD5) / Made available in DSpace on 2016-06-27T13:15:17Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2016_dis_pomeneses.pdf: 8880492 bytes, checksum: 2116f6152464950d6130404a0eb876d9 (MD5) Previous issue date: 2016 / Studies show that the performance of students in Mathematics is not satisfactory, since only a small portion of these students has the knowledge needed to pursue studies. The present work aims to create tools that can assist and improve classroom practices, more precisely in the studies of Geometry. We will present by counting Pick's Theorem, which calculates the area of a simple polygon by counting the points of the boundary and of the interior of the figure on a fixed lattice, making it a powerful tool of simple use for the understanding of the study of areas. Then we will present Reeve's Theorem that, similarly to Pick's, calculates the volume of a convex polyhedron by counting their lattice points, working on a secondary lattice of points Z3n, making a link between Geometry and counting. / Estudos mostram que o desempenho do aluno em Matemática não é satisfatório, pois apenas uma pequena parcela desses alunos tem os conhecimentos necessários para prosseguir nos estudos. O presente trabalho visa criar ferramentas que possam auxiliar e melhorar as práticas em sala de aula, mais precisamente nos estudos de Geometria. Apresentaremos o Teorema de Pick, que visa calcular a área de um polígono simples usando contagem, analisando os pontos do bordo e do interior da figura em uma rede fixada, tornando-se uma ferramenta de uso simples e poderosa para a compreensão do estudo de áreas. Logo em seguida, mostraremos o Teorema de Reeve que, de modo análogo a Pick, calcula o volume de um poliedro convexo contando os seus pontos de rede, trabalhando em uma rede secundária de pontos Z3n, realizando um elo entre Geometria e contagem.

FREITAS, Júlio César Matias de. Trabalhando poliedros através de aprendizagem cooperativa utilizando softwares. 2015. 108 f. Dissertação (Mestrado em Matemática em Rede Nacional) – Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Juazeiro do Norte, 2015. / Submitted by Erivan Almeida (eneiro@bol.com.br) on 2015-12-16T14:43:50Z No. of bitstreams: 1 2015_dis_jcmfreitas.pdf: 6768313 bytes, checksum: 574d4c59d3c05239c1c81f5405380080 (MD5) / Approved for entry into archive by Rocilda Sales(rocilda@ufc.br) on 2015-12-16T16:08:08Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2015_dis_jcmfreitas.pdf: 6768313 bytes, checksum: 574d4c59d3c05239c1c81f5405380080 (MD5) / Made available in DSpace on 2015-12-16T16:08:08Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2015_dis_jcmfreitas.pdf: 6768313 bytes, checksum: 574d4c59d3c05239c1c81f5405380080 (MD5) Previous issue date: 2015 / This work is focused on the application os spatial geometry teaching techniques especially the teaching of polyhedrons, being detached the Euler's theorem and regular polyhedrons (Plato's polyhedrons).Initially we analyzed the definitions and theorems and their respective demonstrations, including some history of the fantastic mathematical Leonhardo Euler, and his curiosities about his theorem for polyhedrons. We also discussed the educational difficulties of mathematics teaching and the elements that can be linked to these difficulties as well as alternatives that may be applied to teachers' teaching practice in this area. With so many difficulties, we proposed a teaching methodology based on a combination of two techniques: use of software and cooperative learning, for both methods have been much discussed as a viable alternative to education. We also detached the main thought strands of the use of software as a teaching tool or teaching machine, as well as we analyzed the cooperative teaching characteristics, showing the difficulties encountered when we tried to implement this teaching method, in addition, we also put in relief the advantages achieved after overcoming the initial obstacles. It was also analyzed the softwares Poly and Educandus that have been used in the different educational project, where we detached their potential beyond their limitations, suggesting alternatives for due complementation of the teacher who accompanied the students involved in the study. We also suggested, activities directed for the use of Poly in order to lead the participant to explore the software's potential to its maximum in order to minimize the visualization difficulties and representation of polyhedrons. Finally, we applied qualitative and quantitative assessments where we verified the potential of the used methodology compared to formal education, and we did an analysis of the most common mistakes / Este trabalho tem como tema central a aplicação de técnicas de ensino de geometria espacial em especial o ensino de poliedros, destacando-se o Teorema de Euler e os poliedros regulares (poliedros de Platão). Analisamos as definições, teoremas e suas demonstrações, destacando-se um pouco da história do matemático Leonhardo Euler, e as curiosidades acerca do seu teorema para poliedros. Discutimos ainda as dificuldades educacionais do ensino de matemática e os elementos que podem estar ligados a essa dificuldade como também alternativas que podem ser aplicadas na prática de ensino de professores dessa área. Diante das dificuldades propomos uma metodologia de ensino baseada na combinação de duas técnicas: uso de softwares e aprendizagem cooperativa, pois, ambas vem sendo muito discutidas como alternativa viável de ensino. Destacamos inclusive quais as principais vertentes do pensamento do uso de software como ferramenta de ensino ou máquina de ensinar, assim como, analisarmos as características de ensino cooperativo, apresentando as dificuldades encontradas na tentativa de implantação desse método de ensino, além, de ressaltarmos também as vantagens alcançadas após a superação dos obstáculos iniciais. Analisou-se também os softwares Poly e Educandus que foram utilizados no projeto de ensino diferenciado, onde destacamos as potencialidades, além das limitações que estes apresentavam, sugerindo alternativas para a devida complementação do professor que acompanhe os alunos envolvidos no estudo. Sugerimos também, atividade direcionada para uso do Poly, no intuito de levar o participante a explorar todos os recursos do software ao máximo assim para minimizarmos as dificuldades de visualização e representação dos poliedros. Por último aplicamos avaliações qualitativas e quantitativas onde verificamos as potencialidades da metodologia utilizada em comparação com o ensino convencional, além de fazermos uma análise dos erros mais comuns cometidos pelos alunos do ensino convencional e os alunos do ensino experimental.

Made available in DSpace on 2015-04-09T12:28:28Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2014-03-28Bitstream added on 2015-04-09T12:47:25Z : No. of bitstreams: 1 000811533.pdf: 482329 bytes, checksum: 0976b8826895590ad47ec9f1a4f95e20 (MD5) / O objetivo principal desse trabalho é estudar o conceito de congruência por corte de polígonos e poliedros. Primeiro é apresentado o teorema de Bolyai-Gerwien que afirma a equivalência entre a igualdade de área e congruência por corte de polígonos. No caso de poliedros é apresentado o teorema de Dehn no qual veremos que a congruência por corte e a igualdade de volumes, em geral, não são equivalentes. No final serão apresentadas algumas atividades onde se pode verificar de maneira intuitiva e dedutiva a congruência por corte entre alguns polígonos com a mesma área / The main object of this work is study some elementary comcepts in Euclidean geometry. After studying the scissors-congruence between polygons, we prove the Bolayi-Gerwein theorem. We study also this concept for polyhedra and we see the Dehn theorem which claims that in the case of polyhedra the equality between the volume and the scissors-congruence are not equivalent in general. Finally, we present some activities where it is possible to check by an intuitive and a deductive manner the congruence by cutting between some polygons with the same area

Orientador: Parham Salehyan / Banca: Ali Tahzibi / Banca: Luciana de Fátima Martins / O PROFMAT - Programa de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional é coordenado pela Sociedade Brasileira de Matemática e realizado por uma rede de Instituições de Ensino Superior. / Resumo: O objetivo principal deste trabalho é provar o Teorema de Dehn. Esse teorema é resposta ao Terceiro Problema de Hilbert, este problema refere-se à seguinte situação: Se dois poliedros possuem o mesmo volume eles são congruentes por corte, ou seja, é sempre possível tomar dois poliedros de mesmo volume e decompor um em poliedros menores de tal maneira que os reorganizando seja possível montar o outro. A resposta para esta questão é negativa e sua prova ficou conhecida como teorema de Dehn. Inicialmente estudaremos conceitos de área, volume e congruência por corte para figuras planas e no espaço. Nesta etapa discutiremos a decomposição de figuras em polígonos e poliedros. Em seguida usando algumas propriedades de funções aditivas e os ângulos diedros de um poliedro, construiremos um invariante que será a ferramenta principal na demonstração do Teorema de Dehn. Como considerações finais, cito o Paradoxo de Banach-Tarski, uma vez que o mesmo é relacionado naturalmente ao problema de congruência por corte e decomposição de figuras no espaço e apresento um capítulo com algumas atividades que podem ser desenvolvidas na educação básica / Abstract: The main object of this work is study the Third Problem of Hilbert and the Dehn Theorem / Mestre

Orientador: Ermínia de Lourdes Campello Fanti / Banca: João Carlos Viera Sampaio / Banca: Flávia Souza Machado da Silva / O PROFMAT - Programa de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional é coordenado pela Sociedade Brasileira de Matemática e realizado por uma rede de Instituições de Ensino Superior. / Resumo: Este trabalho tem como tema central Poliedros e o Teorema de Euler. Foi feita uma breve análise da definição de Poliedros e apresentadas algumas considerações históricas a respeito dos Poliedros e o Teorema de Euler. Foram abordadas duas versões/demonstrações do Teorema de Euler, a primeira para poliedros convexos, e a segunda, conhecida como de Teorema de Euler segundo Cauchy (que engloba certos poliedros não convexos, que são homeomorfos à esfera). Ainda, como consequência do Teorema de Euler, foi demonstrado o teorema da existência de apenas cinco poliedros regulares, conhecidos como Poliedros de Platão. Analisou-se também o conteúdo/ensino de Poliedros em certos documentos oficiais (PCN, Currículo do Estado de SP, Matrizes do SARESP e ENEM). Por último foi elaborada uma proposta de atividades explorando poliedros, o Teorema de Euler e os conteúdos de área, volume e planificação, bem como análise e resolução de algumas questões do SARESP e ENEM (relativas a tais conteúdos), utilizando, para melhor compreensão e visualização, o software matemático Poly, a fim de construir uma aprendizagem mais significativa para os alunos. Com o desenvolvimento do trabalho foi possível compreender melhor a definição de poliedros, o Teorema de Euler e refletir um pouco sobre o desenvolvimento das pesquisas Matemáticas a partir de alguns aspectos históricos. Através da análise do conteúdo, em certos documentos oficiais, pode-se verificar que o assunto/tema tratado no trabalho faz parte desses documentos e têm sido cobrados em avaliações, mas, em geral, de forma bastante simples. Observamos também, que em algumas questões analisadas os enunciados não estavam muito claros, o que pode confundir os alunos / Abstract: This work has as its central theme Polyhedra and Euler's Theorem. We made a brief analysis of the definition of Polyhedra and some historical considerations about Polyhedra and Euler's Theorem. We considered two versions/proofs of Euler's Theorem, the first for convex polyhedra, and the second, known as Euler's Theorem according to Cauchy (which includes certain nonconvex polyhedra that are homeomorphic to the sphere). Also, as a consequence of Euler's theorem, it was demonstrated the theorem of existence of only five regular polyhedra, known as Plato's Polyhedra. We also analyzed the content/teaching of Polyhedra in certain official documents (PCN, SP State Curriculum, SARESP matrices and ENEM). Finally we presented a proposal of activities exploring polyhedra, Euler's Theorem, the contents area, volume and planning, as well as an analysis and resolution of some questions from SARESP and ENEM (for such contents), by using, for better understanding and visualization, the Poly mathematical software in order to build a more meaningful learning for students. With the development of this work we got a better understand of the definition of polyhedra, the Euler's Theorem and we reflected a little on research and development of mathematics from some historical aspects. By analysing the content in certain official documents, it can be seen that the subject/topics covered in this work are parts of these documents and have been rated in tests, but generally in a quite simple form. We also observed that in some questions discussed, the statements were not very clear, which can confuse the students / Mestre

Orientador: Pedro Jussieu de Rezende / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Computação / Made available in DSpace on 2018-07-23T18:24:48Z (GMT). No. of bitstreams: 1 GuerraFilho_GutembergBezerra_M.pdf: 4079094 bytes, checksum: 9ea296e179bb7683b290f8ff590608aa (MD5) Previous issue date: 1998 / Resumo: Planejamento de Caminho Mínimo é a área em Geometria Computacional que se preocupa com a determinação dos menores caminhos possíveis de um ponto a outro em um dado ambiente. Abordamos um problema (PGAD) de caminhos mínimos direcional que procura minimizar o trabalho total realizado para se mover um corpo sobre uma superfície poliédrica com coeficientes de atrito e inclinação constantes em cada face. Sua importância se deve ao fato de que este problema generaliza vários outros. Realizamos a caracterização de caminho geodésico e mínimo segundo as restrições do problema, identificando o critério de otimalidade local correspondente. Para isso, demonstramos a convexidade estrita da função distância geodésica atritada direcional (FGAD) utilizando a teoria de funções convexas. Desenvolvemos um algoritmo, baseado na metodologia Dijkstra contínuo, para resolver o problema PGAD. O algoritmo possui algumas particularidades relacionadas ao caráter direcional devido à função distância FG AD depender da direção de movimento e à caracterização de caminhos geodésicos. Realizamos a prova de corretude e a análise de complexidade do algoritmo proposto. Além disso, identificamos alguns detalhes omitidos em algoritmos Dijkstra contínuo encontrados na literatura e os completamos. Estendemos o problema PGAD obtendo um algoritmo para construir um diagrama de Voronoi (VGAD) de caminhos mínimos sobre uma superfície poliédrica segundo a função distância FGAD. Reduzimos algumas generalizações de problemas de proximidade ao da construção deste diagrama e, dessa forma, o diagrama VGAD resolve estes problemas. Implementamos um módulo externo ao programa Geomview para visualizar uma árvore de caminhos mínimos e um diagrama de Voronoi em superfície poliédrica para o problema da geodésica discreta (PGD) que é um caso especial do PGAD. / Abstract: Shortest Path Planning is the field of Computational Geometry that concerns the determination of feasible shortest paths from a point to another in a given environment. We deal with a directed shortest path problem (DFGP) that minimizes the total work spent to move a body on a polyhedral surface with constant friction coefficient and constant slope in each face. Its importance is due to the fact that it generalizes several others. In order to characterize geodesic paths and shortest paths according to the constraints of the problem, we identify the corresponding local optimality criterion and we demonstrate the strict convexity of the directed frictioned geodesic distance function (DFGF) using convex function theory. We develop an algorithm, based on the continuous Dijkstra methodology, to solve the DFGP problem. The algorithm contains some details related to the directed nature of the paths which is due to the distance function DFGF being dependent on the direction of motion and to the characterization of the geodesic paths. We prove the correctness of the proposed algorithm and analyze its complexity. Furthermore, we identify some details omitted in a few continuous Dijkstra algorithms found in the literature and fill them in. We extend the DFGP problem and obtain an algorithm to construct a shortest path Voronoi diagram (DFGV) on a polyhedral surface according to the distance function DFGF. We reduce some generalizations of proximity problems to the construction of this diagram and, therefore, the DFGV diagram solves these proximity problems. We implement an external module to the Geomview program to be able to visualize a shortest path tree and a Voronoi diagram on polyhedral surfaces to the discreet geodesic problem (DGP) that is a special case of DFGF. / Mestrado / Mestre em Ciência da Computação

Uma das questões mais importantes em Teoria de Singularidades é a determinação de condições que garantam a trivialidade topológica em famílias de germes de funções ou aplicações. Neste trabalho é feito um estudo a fim de descrever condições necessárias e suficientes para a trivialidade topológica em famílias de germes de funções com singularidade isolada. Para isto, são apresentados dois métodos. O primeiro é o de campos de vetores controlados, baseado nos trabalhos de Damon-Gaffney e Yoshinaga. O segundo relaciona invariantes associados às famílias de germes de funções com a trivialidade topológica destas. Em ambos os casos, a principal ferramenta é a construção de poliedros de Newton associados às famílias. / One of the most important questions in Theory of Singularities is the determination of conditions that guarantee the topological triviality in families of germs of functions or mappings. In this work a study is made in order to describe necessaries and sufficients conditions for the topological triviality in families of germs of functions with isolated singularity. For this, two methods are presented. The first one is controlled vectors fields method, based on the works of Damon-Gaffney and Yoshinaga. The second relates invariants associated with families of germs of functions with the topological triviality of these. In both cases, the main tool used is the construction of Newton polyhedra associated with families.

Orientador: Rita de Cássia Pavani Lamas / Banca: Vanderlei Minori Horita / Banca: Edna Maura Zuffi / O PROFMAT - Programa de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional é coordenado pela Sociedade Brasileira de Matemática e realizado por uma rede de Instituições de Ensino Superior. / Resumo: De acordo com as atuais diretrizes pertinentes ao ensino de matemática (Parâmetros Curriculares Nacionais : Matemática e Proposta Curricular do Estado de São Paulo: Matemática), este trabalho baseia-se na Teoria de Van Hiele, visando a aprendizagem de conceitos geométricos, em particular a aprendizagem de poliedros regulares, através da confecção de dobraduras (origami). Iniciando com uma abordagem histórica sobre poliedro, apresenta orientações para o uso de origami em sala de aula, delineia as principais características da Teoria de Van Hiele, além de retomar os principais conceitos matemáticos associados aos poliedros. Utilizando este arcabouço é proposta uma sequência de atividades de sondagem e aplicação de conceitos geométricos respeitando as fases de aprendizagem de Van Hiele, visando a conclusão por parte do aluno, da existência de apenas cinco poliedros regulares. Após a execução das atividades propostas, as demonstrações dos teoremas relacionados aos poliedros apresentados neste trabalho servirão para a sistematização das conclusões feitas pelos alunos, sempre respeitando o nível de Van Hiele em que se encontrem. Apresenta, ainda, atividades de exploração das características dos poliedros através do Teorema de Euler para poliedros convexos / Abstract: According to the current guidelines relevant to teaching mathematics (National Curriculum: Mathematics, and Curricular Proposal of the State of São Paulo: Mathematics) this work is based on Van Hiele, and aimed at learning of geometric concepts, particularly learning regular polyhedra, by paperfolding (origami). Starting with a historical approach of polyhedron, this work presents guidelines for the use of origami in the classroom, outlines the main features of the Van Hiele theory, and resume the main mathematical concepts associated with polyhedra. Using this framework, a sequence of activities is proposed and the applying of geometric concepts respecting the learning phases of Van Hiele, which aims deduction by the student, of the existence of only five regular polyhedra. After execution of the proposed activities, the proof of theorems related to polyhedra presented in this paper will serve to systematize the conclusions made by the students, always respecting the level of Van Hiele who are. It presents further exploration of the characteristics of polyhedra by Euler's theorem for convex polyhedra / Mestre