This thesis investigates how neural networks can be used to produce investors' views for the Black-Litterman market model. The study uses two data sets, one with global stock market indexes and one with stock market data from the S&P 500. The task of the neural networks is to produce forecasts for the returns for the next quarter and the following year. The neural network will have to predict whether the market will move up or down and determine if the market movement is less than or equal to one standard deviation, creating four different scenarios. The forecasts are used as input to the Black-Litterman model to generate new portfolios, which are backtested from 2017 until 2022. The index data set was compared to a benchmark portfolio and a portfolio with naive risk diversification, while the S&P 500 data set was compared to market capitalization-weighted and naive portfolios. This resulted in eight different backtests where the neural networks obtained AUC values in the range of 0.56-0.73 and prediction accuracies in the range of 20.9% - 42.1%. The network used for yearly predictions on the index data set was the only network to outperform the benchmark portfolio. It obtained a Sharpe ratio of 1.782, a Sortino ratio of 2.165, and a maximum drawdown of -30.9% compared to the benchmark portfolio, where the corresponding metrics were 1.544, 1.879, and -32.8%. / Detta examensarbete undersöker hur neurala nätverk kan användas för att generera investerares åsikt till Black-Littermans marknadsmodell. Studien använder två dataset, en med globala börsindex och en med börsdata från S6P 500. De neurala nätverkens uppgift är att generera prognoser för avkastning för nästa kvartal samt nästkommande år. Det neurala nätverket måste förutsäga om marknaden kommer att röra sig uppåt eller nedåt, och avgöra om marknadsrörelsen är mindre än eller lika med en standaravvikelse, vilket skapar fyra olika scenarier. Prognoserna användas som input till Black-Litterman-modellen för att generera nya portföljer, som backtestas från 2017 till 2022. Portföljerna som skapades med globala börsindex jämfördes med en benchmarkportfölj och en portfölj med naiv riskspridning. Datasetet med data från S&P 500 jämfördes med marknadsvärdesviktade och naiva portföljer. Detta resulterade i åtta olika simuleringar där de neurala nätverken fick AUC-värden i intervallet 0,56-0,73 och prediktionsnoggrannheter i intervallte 20,9% - 42,1%. Nätverket som användes för årliga prognoser om globala börsindex var det enda nätverket som överträffade jämförelseportföljen. Den fick en Sharpekvot på 1, 782, Sortinokvot på 2,165 och en största kumulativa nedgång på -30,9% jämfört med jämförelseportföljen där motsvarande mätvärden var 1, 544, 1, 879 och -32,8%.

An asset manager's goal is to provide a high return relative the risk taken, and thus faces the challenge of how to choose an optimal portfolio. Many mathematical methods have been developed to achieve a good balance between these attributes and using di erent risk measures. In thisthesis, we test the use of a relatively simple and common approach: the Markowitz mean-variance method, and a more quantitatively demanding approach: the tail optimization method. Using active portfolio based on data provided by the Swedish fund management company Enter Fonderwe implement these approaches and compare the results. We analyze how each method weighs theunderlying assets in order to get an optimal portfolio.

When making an investment, it is desirable to maximize the profits while minimizingthe risk. The theory of portfolio optimization is the mathematical approach to choosingwhat assets to invest in, and distributing the capital accordingly. Usually, the objectiveof the optimization is to maximize the return or minimize the risk. This report aims toconstruct and analyze a robust optimization model with MILP in order to determine ifthat model is more suitable for portfolio optimization than earlier models. This is doneby creating a robust MILP model, altering its parameters, and comparing the resultingportfolios with portfolios from older models. Our conclusion is that the constructed modelis appropriate to use for portfolio optimization. In particular, a robust approach is wellsuited for portfolio optimization, and the added MILP-part allows users of the model tospecialize the portfolio to their own preferences.

This paper explores strategies in portfolio optimization, focusing on integrating mean-variance optimization (MVO) frameworks with cardinality constraints to enhance investment decision-making. Using a combination of quadratic programming and mixed-integer linear programming, the Gurobi optimizer handles complex constraints and achieves computational solutions. The study compares two mathematical formulations of the cardinality constraint: the Complementary Model and the Big M Model. As cardinality increased, risk decreased exponentially, converging at higher cardinalities. This behavior aligns with the theory of risk reduction through diversification. Additionally, despite initial expectations, both models performed similarly in terms of root relaxation risk and execution time due to Gurobi's presolve transformation of the Complementary Model into the Big M Model. Root relaxation risks were identical while execution times varied slightly without a consistent trend, underscoring the Big M Model's versatility and highlighting the limitations of the Complementary Model.

[pt] A presente dissertação tem por objetivo desenvolver um modelo inteligente que permita, por uma análise quantitativa e probabilística, gerar uma carteira otimizada composta de um ativo financeiro e opções sobre este ativo. Procurou-se estudar inicialmente as características da distribuição de retornos e da volatilidade das ações mais líquidas da Bolsa de Valores de São Paulo, no período de Jan/2005 a Jul/2010, através de regressões polinomiais univariadas e bivariadas. Observouse características como a de reversão a média da volatilidade, correlação da volatilidade futura com um período histórico mais longo e outro mais curto e uma relação possivelmente quadrática entre a volatilidade histórica e a volatilidade futura. Desenvolveu-se então, satisfatoriamente, uma rede neural para prever a volatilidade futura das ações, por este ser o fator mais crítico para se determinar o preço de uma opção. Utilizando-se da precificação das opções, avaliou-se o desempenho de algoritmos genéticos na otimização de carteiras estruturadas com esses derivativos, com três funções de avaliação diferentes, a fim de aumentar o potencial retorno de um investimento, minimizando seus riscos. O sistema evolucionário implementado demonstrou ser satisfatório quando comparado a carteira otimizada com diversas outras estratégias comuns de mercado, demonstrando ser uma alternativa de apoio a decisão para investidores e gestores de carteiras. / [en] This dissertation develops an intelligent, quantitative and probabilistic model to determine an optimal composition of a portfolio consisting of a financial asset and options over this asset. Initially we studied the characteristics of the historical distribution of returns and volatility of the most liquid stocks from the BOVESPA Stock Exchange, from January 2005 to July 2010, through a univariate and a bivariate polynomial regression. Characteristics such as mean reversion of volatility, strong correlation of historical and future volatility and a quadratic polynomial relationship between them were observed. A neural network was then developed to predict the future volatility of these stocks, since that is the most critical variable in determining an option´s price. Using the option pricing, we evaluated the performance of genetic algorithms in optimizing portfolios, structured with these derivatives, with three different evaluation functions in order to increase the potential return of investments while minimizing downside risks. The developed evolutionary system showed satisfactory results when the optimal portfolio was compared with several other market option strategies, demonstrating to be a relevant decision support system for investors and portfolio managers.

Problemas com múltiplos objetivos são muito frequentes nas áreas de Otimização, Economia, Finanças, Transportes, Engenharia e várias outras. Como os objetivos são, geralmente, conflitantes, faz-se necessário o uso de técnicas apropriadas para obter boas soluções. A área que trata de problemas deste tipo é chamada de Otimização Multiobjetivo. Neste trabalho, estudamos os problemas dessa área e alguns dos métodos existentes para resolvê-los. Primeiramente, alguns conceitos relacionados ao conjunto de soluções são definidos, como o de eficiência, no intuito de entender o que seria a melhor solução para este tipo de problema. Em seguida, apresentamos algumas condições de otimalidade de primeira ordem, incluindo as do tipo Fritz John para problemas de Otimização Multiobjetivo. Discutimos ainda sobre algumas condições de regularidade e total regularidade, as quais desempenham o mesmo papel das condições de qualificação em Programação Não-Linear, propiciando a estrita positividade dos multiplicadores de Lagrange associados às funções objetivo. Posteriormente, alguns dos métodos existentes para resolver problemas de Otimização Multiobjetivo são descritos e comparados entre si. Ao final, aplicamos a teoria e métodos de Otimização Multiobjetivo nas áreas de Compressed Sensing e Otimização de Portfolio. Exibimos então testes computacionais realizados com alguns dos métodos discutidos envolvendo problemas de Otimização de Portfolio e fazemos uma análise dos resultados. / Problems with multiple objectives are very frequent in areas such as Optimization, Economy, Finance, Transportation, Engineering and many others. Since the objectives are usually conflicting, there is a need for appropriate techniques to obtain good solutions. The area that deals with problems of this type is called Multiobjective Optimization. The aim of this work is to study the problems of such area and some of the methods available to solve them. Firstly, some basic concepts related to the feasible set are defined, for instance, efficiency, in order to comprehend which solution could be the best for this kind of problem. Secondly, we present some first-order optimality conditions, including the Fritz John ones for Multiobjective Optimization. We also discuss about regularity and total regularity conditions, which play the same role in Nonlinear Multiobjective Optimization as the constraint qualifications in Nonlinear Programming, providing the strict positivity of the Lagrange multipliers associated to the objective functions. Afterwards, some of the existing methods to solve Multiobjective Optimization problems are described and compared with each other. At last, the theory and methods of Multiobjective Optimization are applied into the fields of Compressed Sensing and Portfolio Optimization. We, then, show computational tests performed with some of the methods discussed involving Portfolio Optimization problems and we present an analysis of the results.

In this work we study the stochastic optimal control problem of discrete-time linear systems subject to Markov jumps and multiplicative noises. We consider the multiperiod and finite time horizon optimization of a mean-variance cost function under a new criterion. In this new problem, we apply a constraint on the total output variance weighted by its risk parameter while maximizing the expected output. The optimal control law is obtained from a set of interconnected Riccati difference equations, extending previous results in the literature. The application of our results is exemplified by numerical simulations of a portfolio of stocks and a risk-free asset. / Neste trabalho, estudamos o problema do controle ótimo estocástico de sistemas lineares em tempo discreto sujeitos a saltos Markovianos e ruídos multiplicativos. Consideramos a otimização multiperíodo, com horizonte de tempo finito, de um funcional da média-variância sob um novo critério. Neste novo problema, maximizamos o valor esperado da saída do sistema ao mesmo tempo em que limitamos a sua variância total ponderada pelo seu parâmetro de risco. A lei de controle ótima é obtida através de um conjunto de equações de diferenças de Riccati interconectadas, estendendo resultados anteriores da literatura. São apresentadas simulações numéricas para uma carteira de investimentos com ações e um ativo de risco para exemplificarmos a aplicação de nossos resultados.

Esta tese tem foco no tema de otimização de carteiras de investimento modeladas para estratégia de investimento de index tracking. O conteúdo final é composto por três artigos. O primeiro artigo é intitulado “Index Tracking with Controlled Number of Assets Using a Hybrid Heuristic Combining Genetic Algorithm and Non-linear Programming”, e foi aceito para publicação na revista Annals of Operations Research. O segundo artigo é “Index Tracking and Enhanced Indexing using Cointegration and Correlation with Endogenous Portfolio Selection”, e foi aceito para publicação na revista Quarterly Review of Economics and Finance. Por fim, o terceiro artivo é “Investigating the Use of Statistical Process Control Charts for Index Tracking Portfolios”, o qual já foi submetido e está atualmente em processo de revisão. No primeiro artigo, discutimos a estratégia de investimento de index tracking usando programação matemática. Primeiro, usamos uma formulação de programação não linear para o problema de index tracking, considerando um número limitado de ações. Devido à dificuldade de solução do problema em um intervalo de tempo razoável por pacotes matemáticos comerciais, aplicamos uma abordagem de solução híbrida, combinando programação matemática e algoritmo genético. Com a aplicação de testes, demonstramos a eficiência da abordagem proposta comparando os resultados com soluções ótimas, com métodos previamente desenvolvidos, e com dados reais de índices de mercado. Os experimentos computacionais focam no Ibovespa (o mais popular índice do mercado brasileiro), e também apresentamos resultados para mercados consolidados tais quais S&P 100 (Estados Unidos), FTSE 100 (Reino Unido) and DAX (Alemanha). A estrutura proposta apresenta sua abilidade para obter ótimos resultados (resultados com gap em relação às soluções ótimas menores que 5% em 8 minutos de tempo de processamento) até mesmo para índices de mercado com alta volatilidade em um mercado em desenvolvimento. No segundo artigo, a atenção é voltada para a análise de dois métodos alternativos entre si para solução do problema de otimização de index tracking. Esse artigo investiga o desempenho “fora da amostra” dos métodos de correlação e cointegração para as estratégias de index tracking (IT) e enhanced indexing (EIT) aplicadas aos dados de mercado Brasileiro e Norte-americano. Nosso objetivo é comparar ambos os métodos na medida em que exploramos fortemente a cointegração em relação a estudos prévios: nós transformamos a seleção do portfólio endógena ao problema de otimização nessa abordagem. Os testes foram executados utilizando dados de 2004 a 2014 com amostras de 57 ações para dados brasileiros, e 96 ações para dados dos Estados Unidos; carteiras foram construídas usando combinações de no máximo 10 ações. Apesar da realização de testes extensivos, os resultados gerais demonstraram desempenho similar para ambos os métodos. Para IT no mercado brasileiro, foi verificado um trade-off entre melhor erro de tracking e maior turnover com cointegração (com resultados opostos para correlação), sendo que este mesmo padrão não foi encontrado para dados norte-americanos. Os resultados para EIT também não apresentação claro favorecimento para cointegração ou correlação. Por fim, o terceiro artigo é dedicado à discussão a respeito do uso de processo estatístico de gráficos de controle para regulação de carteiras de index tracking. Nesse artigo, nosso objetivo é introduzir uma abordagem baseada em gráficos de controle (SPC) para monitorar o processo de rebalanceamento de carteiras de index tracking. O método de SPC é derivado da Estatística e da Engenharia, como ferramenta para controle de processos de produção. Para cumprir os objetivos, aplicamos gráficos de controle EWMA (do inglês, exponentially weighted moving average) para monitorar carteiras de IT baseadas no uso combinado de dois gráficos de controle: desempenho de carteiras em termos de erro de tracking e em termos de volatilidade. Assim, visamos tornar endógeno o controle do processo de rebalanceamento das carteiras baseado em seu desempenho e em suas condições de risco ao longo do tempo. Testes computacionais foram realizados para avaliar a abordagem desenvolvida em comparação com a estratégia tradicional de rebalanceamento (que consiste no uso de janelas fixas de tempo para atualização das carteiras), usando dados dos mercados brasileiro e norte-americano de 2005 a 2014. Os métodos de cointegração e correlação foram aplicados para otimização das carteiras. Os resultados demonstraram que a abordagem com SPC pode ser uma alternativa viável para o processo de rebalanceamento de carteiras.

Title: Exponential control of homogeneous Markov processes Author: Pavol Stanek Department: Department of Probability and Mathematical Statistics, MFF UK Supervisor: Mgr. Peter Dostál Ph.D., Department of Probability and Mathematical Statistics, MFF UK Abstract: This master thesis concerns exponential control of Markov decision chains. An iterative alghorithm for finding a control, that maximizes a long term growth rate of expected utility is developed. The utility is measured by exponential utility function. The algorithm is derived for both discrete time and continuous time chain. Subsequently, the results are applied on the problem of optimally managing port- folio with proportional transaction costs. The dynamics of the investor's position is derived and the consequent process is approximated by Markov chain. Using the iterative alghorithm, the optimal trading strategy is numerically found. Keywords: exponential control, Markov chain, portfolio optimization, proportional transaction costs 1

Classical method of portfolio selection is based on minimizing the variabi- lity of the portfolio. The Law of Large Numbers tells us that in case of longer investment horizon it should be enough to invest in the asset with the highest expected return which will eventually outperform any other portfolio. In our thesis we will suggest some portfolio creation methods which will create Maxi- mum Return Portfolios. These methods will be based on finding the asset with maximal expected return. That way we will avoid the problem of estimation errors of expected returns. Two of those methods will be selected based on the results of simulation analysis. Those two methods will be tested with the real stock data and compared with the S&P 500 index. Results of the testing suggest that our portfolios could have an application in the real world. Mainly because our portfolios showed to be significantly better than the index in the case of 10 year investment horizon. 1