In this work we study the stochastic optimal control problem of discrete-time linear systems subject to Markov jumps and multiplicative noises. We consider the multiperiod and finite time horizon optimization of a mean-variance cost function under a new criterion. In this new problem, we apply a constraint on the total output variance weighted by its risk parameter while maximizing the expected output. The optimal control law is obtained from a set of interconnected Riccati difference equations, extending previous results in the literature. The application of our results is exemplified by numerical simulations of a portfolio of stocks and a risk-free asset. / Neste trabalho, estudamos o problema do controle ótimo estocástico de sistemas lineares em tempo discreto sujeitos a saltos Markovianos e ruídos multiplicativos. Consideramos a otimização multiperíodo, com horizonte de tempo finito, de um funcional da média-variância sob um novo critério. Neste novo problema, maximizamos o valor esperado da saída do sistema ao mesmo tempo em que limitamos a sua variância total ponderada pelo seu parâmetro de risco. A lei de controle ótima é obtida através de um conjunto de equações de diferenças de Riccati interconectadas, estendendo resultados anteriores da literatura. São apresentadas simulações numéricas para uma carteira de investimentos com ações e um ativo de risco para exemplificarmos a aplicação de nossos resultados.

Orientador: Francisco de Assis Magalhães Gomes Neto / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-12T16:09:04Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Villela_PedroFerraz_M.pdf: 727069 bytes, checksum: d87d64ae49bfc1a53017a463cf10b453 (MD5) Previous issue date: 2008 / Resumo: Neste trabalho, propomos um método exato para a resolução de problemas de programação quadrática que envolvem restrições de cardinalidade. Como aplicação, empregamos o método para a obtenção da fronteira eficiente de um problema (bi-objetivo) de otimização de carteiras de investimento. Nosso algoritmo é baseado no método Branch-and-Bound. A chave de seu sucesso, entretanto, reside no uso do método de Lemke, que é aplicado para a resolução dos subproblemas associados aos nós da árvore gerada pelo Branch-and-Bound. Ao longo do texto, algumas heurísticas também são introduzidas, com o propósito de acelerar a convergência do método. Os resultados computacionais obtidos comprovam que o algoritmo proposto é eficiente. / Abstract: In this work, we propose an exact method for the resolution of quadratic programming problems involving cardinality restrictions. As an application, the algorithm is used to generate the effective Pareto frontier of a (bi-objective) portfolio optimization problem. This algorithm is based on the Branch-and-Bound method. The key to its success, however, resides in the application of Lemke's method to the resolution of the subproblems associated to the nodes of the tree generated by the Branch-and-Bound algorithm. Throughout the text, some heuristics are also introduced as a way to accelerate the performance of the method. The computational results acquired show that the proposed algorithm is efficient. / Mestrado / Otimização / Mestre em Matemática Aplicada

Problemas com múltiplos objetivos são muito frequentes nas áreas de Otimização, Economia, Finanças, Transportes, Engenharia e várias outras. Como os objetivos são, geralmente, conflitantes, faz-se necessário o uso de técnicas apropriadas para obter boas soluções. A área que trata de problemas deste tipo é chamada de Otimização Multiobjetivo. Neste trabalho, estudamos os problemas dessa área e alguns dos métodos existentes para resolvê-los. Primeiramente, alguns conceitos relacionados ao conjunto de soluções são definidos, como o de eficiência, no intuito de entender o que seria a melhor solução para este tipo de problema. Em seguida, apresentamos algumas condições de otimalidade de primeira ordem, incluindo as do tipo Fritz John para problemas de Otimização Multiobjetivo. Discutimos ainda sobre algumas condições de regularidade e total regularidade, as quais desempenham o mesmo papel das condições de qualificação em Programação Não-Linear, propiciando a estrita positividade dos multiplicadores de Lagrange associados às funções objetivo. Posteriormente, alguns dos métodos existentes para resolver problemas de Otimização Multiobjetivo são descritos e comparados entre si. Ao final, aplicamos a teoria e métodos de Otimização Multiobjetivo nas áreas de Compressed Sensing e Otimização de Portfolio. Exibimos então testes computacionais realizados com alguns dos métodos discutidos envolvendo problemas de Otimização de Portfolio e fazemos uma análise dos resultados. / Problems with multiple objectives are very frequent in areas such as Optimization, Economy, Finance, Transportation, Engineering and many others. Since the objectives are usually conflicting, there is a need for appropriate techniques to obtain good solutions. The area that deals with problems of this type is called Multiobjective Optimization. The aim of this work is to study the problems of such area and some of the methods available to solve them. Firstly, some basic concepts related to the feasible set are defined, for instance, efficiency, in order to comprehend which solution could be the best for this kind of problem. Secondly, we present some first-order optimality conditions, including the Fritz John ones for Multiobjective Optimization. We also discuss about regularity and total regularity conditions, which play the same role in Nonlinear Multiobjective Optimization as the constraint qualifications in Nonlinear Programming, providing the strict positivity of the Lagrange multipliers associated to the objective functions. Afterwards, some of the existing methods to solve Multiobjective Optimization problems are described and compared with each other. At last, the theory and methods of Multiobjective Optimization are applied into the fields of Compressed Sensing and Portfolio Optimization. We, then, show computational tests performed with some of the methods discussed involving Portfolio Optimization problems and we present an analysis of the results.

[pt] Otimização de portfólio é uma técnica largamente utilizada para seleção de investimentos na área econômico-financeira. A primeira proposição neste sentido foi o modelo média- variância de Harry Markowitz, que utiliza, respectivamente, a média e a variância dos retornos do portfólio como medidas de retorno e de risco. Desde Markowitz muitas outras abordagens, que adotam medidas de risco alternativas, têm sido propostas, como por exemplo o modelo MiniMax, o modelo de desvio absoluto médio, a programação objetiva, o Value-at-Risk (VaR), o Conditional Value-at- Risk (CVaR) etc. Neste trabalho a idéia de otimização de portfólio é aplicada à área de comercialização de energia. O objetivo é apresentar abordagens para otimização de portfólio de contratos de energia, de modo a se definir a estratégia de comercialização de energia que maximize o valor esperado dos valores presentes das remunerações líquidas de uma empresa geradora, sujeito ao controle de sua exposição ao risco. São propostas três abordagens: a primeira adota a variância dos valores presentes das remunerações líquidas como medida de risco, a segunda adota o mínimo da distribuição como medida de risco e a terceira adota o CVaR como medida de risco. Em duas das três abordagens propostas, assume-se que os contratos candidatos a compor o portfólio são divididos em dois grupos: contratos de decisão imediata e possibilidades futuras de contratação. Com isto, a formulação do problema resulta em um modelo de otimização estocástica de dois estágios, que é resolvido via programação dinâmica dual estocástica. Resultados numéricos para o sistema elétrico brasileiro são apresentados e discutidos. / [en] Portfolio optimization has been widely used to select investments in the financial area. The first proposal in this topic was the Markowitz mean-variance approach, which uses, respectively, the mean and the variance as measures of portfolio return and risk. Since Markowitz many other approaches, which adopt alternative risk measures, have been proposed, e.g. the MiniMax model, the Mean Absolute Deviation model, the Goal Programming, the Value-at-Risk (VaR) and the Conditional Value-at-Risk (CVaR) etc. In this work the idea of portfolio optimization is applied to the energy commercialization area. The objective is to present approaches to portfolio optimization of energy contracts in order to determine the energy commercialization strategy that maximizes the expected present value of the cash flow of a generating company subject to the control of its risk exposure. Three approaches are proposed: the first adopts the variance of the present values as risk measure, the second adopts the minimum present value as risk measure and the third adopts the CVaR as risk measure. In the second and in the third approaches are assumed that the candidate contracts are divided into two sets: those of immediate decision and those that can be contracted in the future. This modeling leads to a large-scale two-stage stochastic programming problem that is solved by stochastic dual dynamic programming. Numerical results for the Brazilian power system are presented and discussed.

This thesis presents two Models of portfolio optimization, namely the Markowitz Mean Variance Optimization Model and the Rockefeller and Uryasev CVaR Optimization Model. It then presents an application of these models to a portfolio of clean energy assets for optimal allocation of financial resources in terms of maximum returns and low risk. This is done by writing GAMS programs for these optimization problems. An in-depth analysis of the results is conducted, and we see that the difference between both models is not very significant even though these results are data-specific.

[pt] Todos os investidores, indivíduos e instituições, possuem obrigações e objetivos financeiros futuros. Por esse motivo, devem tomar decisões de investimento que sirvam a tais propósitos, considerando os riscos a que estão sujeitos. Com a finalidade de auxiliar o processo decisório, pode-se lançar mão de políticas de investimento ótimo, como a Gerência de Ativos e Passivos (Asset and Liability Management - ALM), objeto do presente estudo. O ALM é uma forma de combinar os ativos e passivos dos investidores, buscando alcançar as suas finalidades em termos financeiros. No que se refere aos investidores individuais, tema abordado neste trabalho, os supracitados objetivos podem corresponder, por exemplo, à aposentadoria almejada, bem como aos gastos com a educação dos filhos. Sendo assim, o presente estudo propõe apresentar uma metodologia de otimização sob incerteza, por meio da utilização de programação estocástica e técnicas de otimização de portfolio, aplicadas ao problema de gerenciamento de ativos e passivos de um investidor individual. O estudo tem como enfoque um modelo de programação linear multiperíodo, desenvolvido por Consiglio, Cocco e Zenios (2002), o qual maximiza a riqueza esperada do investidor no final do horizonte de planejamento, dado o nível de tolerância ao risco do indivíduo. Esse modelo será validado através da variação dos níveis de aversão ao risco do investidor, dos horizontes de planejamento e do retorno alvo desejado pelo investidor para ser alcançado no período final. / [en] All investors, individuals and institutions, have obligations and financial future goals. For this reason, they should make investment decisions that serve this purpose considering the risks they face. To assist in making decisions, it is possible to use the optimal investment policies, as the Asset and Liability Management, object of this work. The ALM, as is known, is a way to combine the assets and liabilities of investors seeking to achieve their goals in financial terms. In the case of individuals investors these goals can be seen as the individual s retirement and children s tuition. The present work proposes a methodology for optimization under uncertainty, employing both stochastic programming and portfolio optimization techniques, applied to the problem of managing assets and liabilities for an individual investor. The study is focused on a multi-period linear programming model developed by Consiglio, Cocco and Zenios (2002), which maximizes the expected wealth of the investor at the end of the planning horizon, given the individual s risk tolerance level. This model will be validated through the variation of the risk aversion level, the planning horizons and the target return that should be achieved on the final period.

This thesis deals with methods of stochastic programming and their application in financial investment. Theoretical part is devoted to basic terms of mathematical optimization, stochastic programming and decision making under uncertainty. Furter, there are introduced basic principles of modern portfolio theory, substantial part is devoted to risk measurement techniques in the context of investment, mostly to the methods Value at Risk and Expected shortfall. Practical part aims to creation of optimization models with an emphasis to minimize investment risk. Created models deal with real data and they are solved in optimization software GAMS.

This study investigates and evaluates how different portfolio optimization methods perform when varying assets and financial market scenarios. Methods included are mean variance, Conditional Value-at-Risk, utility based, risk factor based and Monte Carlo optimization. Market scenarios are represented by stagnating, bull and bear market data from the Bloomberg database. In order to perform robust optimizations resampling of the Bloomberg data has been done hundred times. The evaluation of the methods has been done with respect to selected ratios and two benchmark portfolios. Namely an equally weighted portfolio and an equally weighted risk contributions portfolio. The study found that mean variance and Conditional Value-at-Risk optimization performed best when using linear assets in all the investigated cases. Considering non-linear assets such as options an equally weighted portfolio performs best. / Den här studien undersöker och utvärderar hur olika portföljoptimeringsmetoder presterar med varierande finansiella tillgångsslag och marknadsscenarion. De metoder som har undersökts är: väntevärde-varians, villkorligt-värde-av-risk, nyttjande- och Monte Carlo baserad optimering. De marknadsscenarion som valts är: stagnerande, uppåt- samt nedåtgående scenarion där marknadsdata hämtats från Bloomberg för respektive tillgång. För att erhålla robusta optimeringsresultat har data omsamplats hundra gånger. Utvärderingen av metoderna har gjorts med avseende på utvalda indikatorer och två jämförelseportföljer, en likaviktad portfölj och en likariskviktad portfölj. Studien fann att portföljer genererade av väntevärde-varians och villkorligt-värde-av-risk optimering visade bäst prestanda, när linjära tillgångar använts i samtliga scenarion. När ickelinjära tillgångar såsom optioner har använts gav den likaviktade jämförelseportföljen bäst resultat i samtliga scenarion.

This thesis considers a deep learning approach to a dynamic portfolio optimization problem. A proposed deep learning algorithm is tested on a simplified version of the problem with promising results, which suggest continued testing of the algorithm, on a larger scale for the original problem. First the dynamics and objective function of the problem are presented, and the existence of a no-trade-region is explained via the Hamilton-Jacobi-Bellman equation. The no-trade-region dictates the optimal trading strategy. Solving the Hamilton-Jacobi-Bellman equation to find the no-trade-region is not computationally feasible in high dimension with a classic finite difference approach. Therefore a new algorithm to iteratively update and improve an estimation of the no-trade-region is derived. This is a deep learning algorithm that utilizes neural network function approximation. The algorithm is tested on the one-dimensional version of the problem for which the true solution is known. While testing in one dimension only does not assess whether this algorithm scales better than a finite difference approach to higher dimensions, the learnt solution comes fairly close to true solution with a relative score of 0.72, why it is suggested that continued research of this algorithm is performed for the multidimensional version of the problem. / Den här uppsatsen undersöker en djupinlärningsmetod for att lösa ett dynamiskt portföljoptimeringsproblem. En föreslagen djupinlärningsalgoritm testas på en föreklad version av problemet, med lovande resultat. Därför föreslås det vidare att algoritmens prestanda testas i större skala även för det urpsrungliga problemet. Först presenteras dynamiken och målfunktionen för problemet. Det förklaras via Hamilton-Jacobi-Bellman-ekvationen varför det finns en handelsstoppregion. Handelsstoppregionen bestämmer den optimala handelsstrategin. Att lösa Hamilton-Jacobi-Bellman-ekvationen för att hitta handelsstoppregionen är inte beräkningspratiskt möjligt i hög dimension om ett traditionellt tillvägagångssätt med finita differenser används. Därför härleds en ny algoritm som iterativt uppdaterar och förbättrar en skattning av handelsstoppregionen. Det är en djupinlärningsalgoritm som utnyttjar funktionsapproximation med neurala nätverk. Algoritmen testas på den endimensionella verisonen av problemet, för vilken den sanna lösningen är känd. Tester i det endimensionella fallet kan naturligtvis inte ge svar på frågan om den nya algoritmen skalar bättre än en finit differensmetod till högre dimensioner. Men det är i alla fall klart att den inlärda lösningen kommer tämligen nära den sanna med relativ poäng 0.72, och därför föreslås fortsatt forskning kring algoritmen i förhållande till den flerdimensionella versionen av problemet.

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