Multi-period portfolio optimization (MPO) has gained a lot of interest in modern portfolio theory due to its consideration for inter-temporal trading e effects, especially market impacts and transactions costs, and for its subtle reliability on return predictability. However, because of the heavy computational demand, portfolio policies based on this approach have been sparsely explored. In that regard, a tractable MPO framework proposed by N. Gârleanu & L. H. Pedersen has been investigated. Using the stochastic control framework, the authors provided a closed form expression of the optimal policy. Moreover, they used a specific, yet flexible return predictability model. Excess returns were expressed using a linear factor model, and the predicting factors were modeled as mean reverting processes. Finally, transactions costs and market impacts were incorporated in the problem formulation as a quadratic function. The elaborated methodology considered that the market returns dynamics are governed by fast and slow mean reverting factors, and that the market transactions costs are not necessarily quadratic. By controlling the exposure to the market returns predicting factors, the aim was to uncover the importance of the mean reversion speeds in the performance of the constructed trading strategies, under realistic market costs. Additionally, for the sake of comparison, trading strategies based on a single-period mean variance optimization were considered. The findings suggest an overall superiority in performance for the studied MPO approach even when the market costs are not quadratic. This was accompanied with evidence of better usability of the factors' mean reversion speed, especially fast reverting factors, and robustness in adapting to transactions costs. / Portföljoptimering över era perioder (MPO) har fått stort intresse inom modern portföljteori. Skälet till detta är att MPO tar hänsyn till inter-temporala handelseffekter, särskilt marknadseffekter och transaktionskostnader, plus dess tillförlitlighet på avkastningsförutsägbarhet. På grund av det stora beräkningsbehovet har dock portföljpolitiken baserad på denna metod inte undersökts mycket. I det avseendet, har en underskriven MPO ramverk som föreslagits av N.Gârleanu L. H. Pedersen undersökts. Med hjälp av stokastiska kontrollramen tillhandahöll författarna formuläret för sluten form av den optimala politiken. Dessutom använde de en specifik, men ändå flexibel returförutsägbarhetsmodell. Överskjutande avkastning uttrycktes med hjälp av en linjärfaktormodell och de förutsägande faktorerna modellerades som genomsnittligaåterföringsprocesser. Slutligen inkorporerades transaktionskostnader och marknadseffekter i problemformuleringen som en kvadratisk funktion. Den utarbetade metodiken ansåg att marknadens avkastningsdynamik styrs av snabba och långsammaåterhämtningsfaktorer, och att kostnaderna för marknadstransaktioner inte nödvändigtvis är kvadratiska. Genom att reglera exponeringen mot marknaden återspeglar förutsägande faktorer, var målet att avslöja vikten av de genomsnittliga omkastningshastigheterna i utförandet av de konstruerade handelsstrategierna, under realistiska marknadskostnader. Dessutom, för jämförelses skull, övervägdes handelsstrategier baserade på en enstaka genomsnittlig variansoptimering. Resultaten tyder på en överlägsen överlägsenhet i prestanda för det studerade MPO-tillvägagångssättet, även när marknadsutgifterna inte är kvadratiska. Detta åtföljdes av bevis för bättre användbarhet av faktorernas genomsnittliga återgångshastighet, särskilt snabba återställningsfaktorer och robusthet vid anpassning till transaktionskostnader

The stock market is a non-linear field, but many of the best-known portfolio optimization algorithms are based on linear models. In recent years, the rapid development of machine learning has produced flexible models capable of complex pattern recognition. In this paper, we propose two different methods of portfolio optimization; one based on the development of a multivariate time-dependent neural network,thelongshort-termmemory(LSTM),capable of finding lon gshort-term price trends. The other is the linear Markowitz model, where we add an exponential moving average to the input price data to capture underlying trends. The input data to our neural network are daily prices, volumes and market indicators such as the volatility index (VIX).The output variables are the prices predicted for each asset the following day, which are then further processed to produce metrics such as expected returns, volatilities and prediction error to design a portfolio allocation that optimizes a custom utility function like the Sharpe Ratio. The LSTM model produced a portfolio with a return and risk that was close to the actual market conditions for the date in question, but with a high error value, indicating that our LSTM model is insufficient as a sole forecasting tool. However,the ability to predict upward and downward trends was somewhat better than expected and therefore we conclude that multiple neural network can be used as indicators, each responsible for some specific aspect of what is to be analysed, to draw a conclusion from the result. The findings also suggest that the input data should be more thoroughly considered, as the prediction accuracy is enhanced by the choice of variables and the external information used for training. / Aktiemarknaden är en icke-linjär marknad, men många av de mest kända portföljoptimerings algoritmerna är baserad på linjära modeller. Under de senaste åren har den snabba utvecklingen inom maskininlärning skapat flexibla modeller som kan extrahera information ur komplexa mönster. I det här examensarbetet föreslår vi två sätt att optimera en portfölj, ett där ett neuralt nätverk utvecklas med avseende på multivariata tidsserier och ett annat där vi använder den linjära Markowitz modellen, där vi även lägger ett exponentiellt rörligt medelvärde på prisdatan. Ingångsdatan till vårt neurala nätverk är de dagliga slutpriserna, volymerna och marknadsindikatorer som t.ex. volatilitetsindexet VIX. Utgångsvariablerna kommer vara de predikterade priserna för nästa dag, som sedan bearbetas ytterligare för att producera mätvärden såsom förväntad avkastning, volatilitet och Sharpe ratio. LSTM-modellen producerar en portfölj med avkastning och risk som ligger närmre de verkliga marknadsförhållandena, men däremot gav resultatet ett högt felvärde och det visar att vår LSTM-modell är otillräckligt för att använda som ensamt predikteringssverktyg. Med det sagt så gav det ändå en bättre prediktion när det gäller trender än vad vi antog den skulle göra. Vår slutsats är därför att man bör använda flera neurala nätverk som indikatorer, där var och en är ansvarig för någon specifikt aspekt man vill analysera, och baserat på dessa dra en slutsats. Vårt resultat tyder också på att inmatningsdatan bör övervägas mera noggrant, eftersom predikteringsnoggrannheten.

Optimal portfolios have historically been computed using standard deviation as a risk measure.However, extreme market events have become the rule rather than the exception. To capturetail risk, investors have started to look for alternative risk measures such as Value-at-Risk andConditional Value-at-Risk. This research analyzes the financial model referred to as Markowitz 2.0 and provides historical context and perspective to the model and makes a mathematicalformulation. Moreover, practical implementation is presented and an optimizer that capturesthe risk of non-extreme events is constructed, which meets the needs of more customized investment decisions, based on investment preferences. Optimal portfolios are generated and anefficient frontier is made. The results obtained are then compared with those obtained throughthe mean-variance optimization framework. As concluded from the data, the optimal portfoliowith the optimal weights generated performs better regarding expected portfolio return relativeto the risk level for the investment.

This thesis aims to investigate different types of optimization methods that can be used when optimizing fund of fund portfolios. Moreover, the thesis investigates which funds that should be included and what their respective portfolio weights should be, in order to outperform the Swedish SIX Portfolio Return Index. The funds considered for the particular fund of funds in this thesis are all managed by a particular company. The optimization frameworks applied include traditional mean variance optimization, min conditional value at risk optimization, as well as optimization methods studying alpha in combination with the risk measures tracking error and maximum drawdown, respectively. All four optimization methods were applied on a ten years data period as well as on a five years data period. It was found that while the funds have different strengths and weaknesses, four of the funds were considered most appropriate for the fund of funds. Geography and sector constraints were also taken into account and it was found that, in this particular case, the healthcare sector constraint affected the allocated portfolio weights the most. / Syftet med detta masterexamensarbete är att undersöka olika typer av optimeringsmetoder som kan användas vid optimering av en fond i fond. Vidare är syftet med optimeringen att utvärdera vilka fonder som bör inkluderas och vilka deras respektive portföljvikter bör vara för att prestera bättre än det svenska SIX Portfolio Return Indexet. Optimeringsmetoderna inkluderar traditionell modern portföljteori, minimering av conditional Value at Risk och optimeringsmetoder som studerar alpha i kombination med riskmåtten tracking error respektive maximum drawdown. Alla fyra optimeringsmetoder applicerades på en tio år lång respektive fem år lång dataperiod. Det visade sig att även om fonderna har olika styrkor och svagheter kunde fyra av fonderna anses vara mest lämpliga att inkluderas i fond i fonden. Geografiska och sektoriella begränsningar beaktades och det konstaterades att sektorbegränsningen för hälsovårdssektorn hade störst påverkan på resultatet.

In 2023, the topic of ongoing inflation is being discussed almost daily as it has become inevitable. The global economy is facing significant uncertainty and downward pressure as several leading developed nations adopted expansionary fiscal policies and quantitative easing monetary policies during the pandemic. Those action has lead to an unprecedented level of inflation today. The purpose of this report is to investigate different portfolio strategies and evaluate how various asset classes perform under varying inflationary conditions. Using regression analysis, the study assesses the performance of different assets during high and low inflation regimes. Additionally, two different portfolio strategies are implemented and compared against the 60/40 portfolio strategy, which is considered a benchmark approach among investors. The first strategy involves a modified version of the Markowitz optimization method, which determines the optimal weights of the portfolio during high and low inflationary environments. The second strategy entails identifying a signal and then dynamically adjusting the portfolio's weights based on the signal's value. The findings indicate that during high inflation periods, oil, gold, energy, basic materials, and technology sectors exhibit strong performance. Furthermore, the results reveal that the first strategy is more effective than the second strategy and the 60/40 benchmark. An interesting topic for further investigation is exploring the impact of short selling on portfolio allocation and strategy, which was not addressed in this report. / Under år 2023 är ämnet om pågående inflation nästan oundvikligt. Den globala ekonomin har stått inför betydande osäkerhet och nedåtgående tryck då flera ledande utvecklade nationer antagit expansiva finanspolitiska åtgärder och kvantitativa lättnadsmonetära åtgärder under pandemin. Dessa åtgärder har lett till en enastående nivå av inflation idag. Syftet med denna rapport är att undersöka olika portföljstrategier och hur olika tillgångsslag presterar under olika inflationsregimer. Med hjälp av regressionsanalys undersöks hur olika tillgångar presterar under hög respektive låg inflation. Därefter genomförs två olika portföljstrategier som sedan jämförs mot en 60/40 portföljstrategi, som anses vara en standardstrategi bland investerare. Den första strategin som genomförs är en modifierad version av Markowitz optimeringsmetod. Metoden används för att identifiera de optimala vikterna av portföljen under hög respektive låg inflationsmiljö. Den andra strategin som undersöks innebär att identifiera en signal och sedan dynamiskt justera portföljens vikter baserat på signalens värde. Resultaten visar att olja, guld, energi-, basmaterial- samt teknologisektorn presterar bra under hög inflation. Resultaten påvisar även att den första strategin är den mest effektiva i jämförelse med den andra strategin och 60/40 portföljstrategin. En aspekt som inte inkluderades i denna rapport är att undersöka hur blankning påverkar portföljallokeringen och strategin. Detta kan vara ett intressant ämne för vidare forskning.\\\\

We aim at generalizing the celebrated portfolio optimization problem "à la Merton", where the asset evolution is steered by a self-exciting jump-diffusion process. We first define the rigorous mathematical framework needed to introduce the stochastic optimal control problem we are interesting in. Then, we provide a proof for a specific version of the Dynamic Programming Principle (DPP) with respect to the general class of self-exciting processes under study. After, we state the Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) equation, whose solution gives the value function for the corresponding optimal control problem. The resulting HJB equation takes the form of a Partial-Integro Differential Equation (PIDE), for which we prove both existence and uniqueness for the solution in the viscosity sense. We further derive a suitable numerical scheme to solve the HJB equation corresponding to the portfolio optimizationproblem. To this end, we also provide a detailed study of solution dependence on the parameters of the problem. The analysis is performed by calibrating the model on ENI asset levels during the COVID-19 worldwide breakout. In particular, the calibration routine is based on a sophisticated Sequential Monte Carlo algorithm.

In this thesis, the traditional methods of only using ESG scores to screen stocks for sustainable portfolios is broadened. The selection of securities for portfolios will instead depend on aggregation, weighting and normalization of a wider set of sustainability variables, in turn creating more all-encompassing sustainability scores. Using these scores, the aim is to implement them in index tracking portfolios. These portfolios combines a hybrid approach between active and passive investment, with the aim of creating sustainable enhanced index funds that can beat the index without adding significant risk. Additionally, this allows for comparison of how different combinations and levels of sustainability affects returns, risk and index tracking. The results that are obtained shows that in the scenario presented in the thesis, it is possible to create a sustainability score which both increases the average sustainability of portfolios, and yields risk adjusted returns. We also studied how a net increase in sustainability scores over a control portfolio results in higher active returns, and eventually a small drop off in information ratio as we apply too strong of a sustainability constraint to our portfolios. The combination of sustainability scores which showed the highest risk adjusted returns was created using equal parts z-scored ESG ratings, ESG risk ratings and ESG momentum. / Detta examensarbete breddar de traditionella metoderna för att skapa hållbara portföljer. Genom att basera urvalet av aktier på aggregering, viktande och normalisering av ett större set av hållbarhetsvariabler, jämfört med traditionell screening baserad på endast ESG betyg, skapas mer omfattande hållbarhetsbetyg. Syftet med studien är att implementera dessa hållbarhetsbetyg vid skapandet av index-portföljer och analysera resultaten. Dessa portföljer kombinerar då både aktiva och passiva investeringsprinciper, med målet att skapa hållbara indexnära fonder som kan prestera bättre än indexet, utan signifikant höjd risk. Dessa hållbarhetsbetyg tillåter även jämförelse av hur olika kombinationer och nivåer av hållbarhet påverkar avkastning, risk och närhet till index. Resultaten visar tydligt att det, inom uppsatsens avgränsningar, är möjligt att skapa hållbarhetsbetyg som ökar både hållbarheten av portföljer i snitt, och skapar riskjusterad avkastning. Det visar även hur en relativ höjning av hållbarhetsbetygen resulterar i högra aktiv avkastning jämfört med en kontroll-portfölj. Vid en viss nivå av höjning sker dock en avtappning av den riskjusterade avkastningen. Den kombinationen av hållbarhetsvariabler som visar högst riskjusterad avkastning när de aggregeras till ett hållbarhetsbetyg är en kombination, i lika delar, av ESG betyg, ESG risk och ESG momentum.

Modern portfolio theory has its attractive characteristics of promoting diversification in a portfolio and can be seen as an easy alternative for setting optimal weights for portfolio managers. Furthermore, as portfolio managers try to beat a defined benchmark for their portfolio the Black-Litterman model allows them to include their own prospects on the future return of markets and securities. This thesis examines how the practical use of the Black-Litterman model can affect portfolios' performance. The analysis was done by calculating historical portfolio weights with investor views, without investor views, and with perfect investor views in the Black-Litterman model. Thereafter, calculating historical return and volatility for six multi-asset portfolios between 2017-09-25 and 2021-01-31. This was then compared with benchmark portfolios, which reflect the practical use. These portfolios included historically used investor views and constraints in the mean-variance optimization. The results showed that investor views had a negative effect on total return (lower return) and a positive effect on volatility (lower risk), however, an increased Sharpe ratio. The constraints in the mean-variance optimization used in the benchmark portfolios resulted in a lower total return. In conclusion, the Black-Litterman model showed robustness and did not generate unintuitive or unreasonable portfolios, and it has great potential with increasing accuracy in the investor views. / Modern portföljteori har attraktiva egenskaper vad gäller att främja diversifiering i en portfölj och kan ses som ett enkelt alternativ för att välja optimala vikter för portföljförvaltare. Eftersom portföljförvaltare försöker slå ett definierat benchmark för sin portfölj tillåter dessutom Black-Litterman modellen dem att inkludera sina egna åsikter angående förväntade avkastningar på marknader och värdepapper. Detta examensarbete undersöker hur den praktiska användningen av Black-Litterman modellen kan påverka portföljernas prestation. Analysen gjordes genom att beräkna historiska portföljvikter med Black-Litterman modellen med och utan invetserarens egna åsikter angående förväntade avkastningar, och med perfekta förväntade avkastningar. Därefter beräknades historiska avkastningar och volatiliteter för sex investeringsportföljer mellan 2017-09-25 och 2020-01-31. Detta jämfördes med benchmarkportföljer, vilka återspeglade den praktiska användningen. Dessa portföljer inkluderade historiskt använda förväntade avkastningar och restriktioner i mean-variance optimeringen. Resultaten visade att investerares åsikter angående förväntade avkastningar hade en negativ effekt på avkastningen (lägre avkastning), positiv effekt på volatiliteten (lägre risk), vilket resulterade i en högre Sharpe kvot. Restriktionerna i mean-variance optimeringen som användes i benchmarkportföjerna resulterade i en lägre totalavkastning. Sammanfattningsvis visade Black-Litterman modellen robusthet och genererade inte ointuitiva eller olämpliga portföljer, och modellen har stor potential med ökad träffsäkerhet i investerarens åsikter angående förväntade avkastningar.

This project investigates the applicability of the originalversion of Markowitz’s mean-variance model for portfoliooptimization to real-world modern actively managed portfolios.The method measures the mean-variance model’s capability toaccurately capture the riskiness of given portfolios, by invertingthe mathematical formulation of the model. The inversion of themodel is carried out both for fabricated data and real-world dataand shows that in the cases of real-world data the model lackscertain accuracy for estimating risk averseness. The method hascertain errors which both originate from the proposed estimationmethods of input variables and invalid assumptions of investors. / Projektet undersöker lämpligheten att använda den ursprungliga versionen av Markowitzs ”Mean-Variance model” för portföljoptimering för moderna aktivt förvaltade portföljer. Metoden mäter modellens förmåga att tillförlitligt beräkna risken för givna portföljer genom att invert-era den matematiska formuleringen av modellen. Inversionen av modellen utförs både för simulerad data och verklig data och visar att i fallet med verkliga data saknar modellen viss noggrannhet för att uppskatta riskpreferens. Metoden har vissa fel som både uppstår från de föreslagna uppskattningsmetoderna för inputvariabler och ogiltiga antaganden för investerare. / Kandidatexjobb i elektroteknik 2021, KTH, Stockholm

[pt] Os grandes agentes do mercado de energia dedicam muitos esforços na avaliação e decisão da alocação ótima de capital para a implementação de projetos, em decorrência do grande número de projetos candidatos em seus portfólios de investimentos. Essas decisões visam escolher o subconjunto de projetos a ser implementado, pois os recursos orçamentários são geralmente menores que o necessário para a implementação de todos eles. Muitos são os riscos apresentados, e quanto mais riscos e incertezas, maiores se tornam as dificuldades de avaliação e decisões de investimento de maneira otimizada. As metodologias clássicas para avaliação de portfólios de projetos de investimento são baseadas em maximizar os retornos (VPL, TIR, etc) e minimizar o risco (desvio-padrão do VPL, variância, etc). Muitas vezes, estes métodos tradicionais de avaliação podem não conseguir tratar adequadamente as flexibilidades gerenciais (Opções Reais) características dos projetos, assim como os riscos e incertezas, devido às possíveis dificuldades de solução e modelagem matemática (multi-variáveis) dos problemas. O desenvolvimento e aplicação de modelos alternativos, tais como os baseados na Teoria de Opções Reais, inclusive com a utilização de métodos de Inteligência Computacional, podem se mostrar mais adequados para estes problemas. Nesta tese é desenvolvida uma metodologia híbrida, apresentando um modelo de Opções Reais Fuzzy para a avaliação de projetos de Revamp por um agente do mercado de Geração Termelétrica de Energia, a partir de um Portfólio de Opções Reais em ambiente de incertezas. Para a seleção do subconjunto de projetos por faixa orçamentária, é aplicado um Algoritmo Genético para otimização multi-critério, através da utilização de um índice de ponderação retorno x risco (lâmbda). / [en] Large players in energy market dedicate many efforts in valuation and optimal capital allocation decision for their project implementation, due the large candidate projects number in their investment portfolios. These decisions aim to choose the projects subset to be implemented, because the monetary resources are generally smaller than necessary for all projects implementation. There are many risks, and with risks and uncertainties, greater become the difficulties in analysis and optimally investment decisions. The classical methods to investment portfolios are based on to maximize returns (NPV, IRR, among others) and to minimize risks (NPV standard deviation, variance, among others). Often, these traditional methods may not be able to handle properly the projects managerial flexibilities (Real Options), as well the risks and uncertainties, due to possible solution difficulties and mathematical modeling problems (multi variables). Alternative models development and implementation, such as those based on Real Options Theory, including the use of Computational Intelligence methods, may be more suitable for these problems. In this thesis, a hybrid methodology is developed, presenting a Fuzzy Real Options model for Revamp projects valuation by a Thermoelectric Power Generation market player, from a Real Options Portfolio in uncertainties environment. For selecting the projects subset by budget range, a multi-criteria Genetic Algorithm optimization is applied, using a weighting return x risk index (lambda).