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Collective cell migration is an important process during biological development and tissue repair but may turn malignant during tumor invasion. Mathematical and computational models are essential to unravel the mechanisms of self-organization that underlie the emergence of collective migration from the interactions among individual cells. Recently, guidance-by-followers was identified as one such underlying mechanism of collective cell migration in the embryo of the zebrafish. This poses the question of how the guidance stimuli are integrated when multiple cells interact simultaneously. In this study, we extend a recent individual-based model by an integration step of the vectorial guidance stimuli and compare model predictions obtained for different variants of the mechanism (arithmetic mean of stimuli, dominance of stimulus with largest transmission interface, and dominance of most head-on stimulus). Simulations are carried out and quantified within the modeling and simulation framework Morpheus. Collective cell migration is found to be robust and qualitatively identical for all considered variants of stimulus integration. Moreover, this study highlights the role of individual-based modeling approaches for understanding collective phenomena at the population scale that emerge from cell-cell interactions.

Ce travail concerne l'imagerie micro-onde en vue d'application à l'imagerie biomédicale. Cette technique d'imagerie a pour objectif de retrouver la distribution des propriétés diélectriques internes (permittivité diélectrique et conductivité) d'un objet inconnu illuminé par une onde interrogatrice connue à partir des mesures du champ électrique dit diffracté résultant de leur interaction. Un tel problème constitue un problème dit inverse par opposition au problème direct associé qui consiste à calculer le champ diffracté, l'onde interrogatrice et l'objet étant alors connus.La résolution du problème inverse nécessite la construction préalable du modèle direct associé. Celui-ci est ici basé sur une représentation intégrale de domaine des champs électriques donnant naissance à deux équations intégrales couplées dont les contreparties discrètes sont obtenues à l'aide de la méthode des moments. En ce qui concerne le problème inverse, hormis le fait que les équations physiques qui interviennent dans sa modélisation directe le rendent non-linéaire, il est également mathématiquement mal posé au sens de Hadamard, ce qui signifie que les conditions d'existence, d'unicité et de stabilité de la solution ne sont pas simultanément garanties. La résolution d'un tel problème nécessite sa régularisation préalable qui consiste généralement en l'introduction d'information a priori sur la solution recherchée. Cette résolution est effectuée, ici, dans un cadre probabiliste bayésien où l'on introduit une connaissance a priori adaptée à l'objet sous test et qui consiste à considérer ce dernier comme étant composé d'un nombre fini de matériaux homogènes distribués dans des régions compactes. Cet information est introduite par le biais d'un modèle de « Gauss-Markov-Potts ». De plus, le calcul bayésien nous donne la distribution a posteriori de toutes les inconnues connaissant l'a priori et l'objet. On s'attache ensuite à déterminer les estimateurs a posteriori via des méthodes d'approximation variationnelles et à reconstruire ainsi l'image de l'objet recherché. Les principales contributions de ce travail sont d'ordre méthodologique et algorithmique. Elles sont illustrées par une application de l'imagerie micro-onde à la détection du cancer du sein. Cette dernière constitue en soi un point très important et original de la thèse. En effet, la détection du cancer su sein en imagerie micro-onde est une alternative très intéressante à la mammographie par rayons X, mais n'en est encore qu'à un stade exploratoire. / This work concerns the problem of microwave tomography for application to biomedical imaging. The aim is to retreive both permittivity and conductivity of an unknown object from measurements of the scattered field that results from its interaction with a known interrogating wave. Such a problem is said to be inverse opposed to the associated forward problem that consists in calculating the scattered field while the interrogating wave and the object are known. The resolution of the inverse problem requires the prior construction of the associated forward model. This latter is based on an integral representation of the electric field resulting in two coupled integral equations whose discrete counterparts are obtained by means of the method of moments.Regarding the inverse problem, in addition to the fact that the physical equations involved in the forward modeling make it nonlinear, it is also mathematically ill-posed in the sense of Hadamard, which means that the conditions of existence, uniqueness and stability of the solution are not simultaneously guaranteed. Hence, solving this problem requires its prior regularization which usually involves the introduction of a priori information on the sought solution. This resolution is done here in a Bayesian probabilistic framework where we introduced a priori knowledge appropriate to the sought object by considering it to be composed of a finite number of homogeneous materials distributed in compact and homogeneous regions. This information is introduced through a "Gauss-Markov-Potts" model. In addition, the Bayesian computation gives the posterior distribution of all the unknowns, knowing the a priori and the object. We proceed then to identify the posterior estimators via variational approximation methods and thereby to reconstruct the image of the desired object.The main contributions of this work are methodological and algorithmic. They are illustrated by an application of microwave imaging to breast cancer detection. The latter is in itself a very important and original aspect of the thesis. Indeed, the detection of breast cancer using microwave imaging is a very interesting alternative to X-ray mammography, but it is still at an exploratory stage.

La cartographie du risque en épidémiologie permet de mettre en évidence des régionshomogènes en terme du risque afin de mieux comprendre l’étiologie des maladies. Nousabordons la cartographie automatique d’unités géographiques en classes de risque commeun problème de classification à l’aide de modèles de Markov cachés discrets et de modèlesde mélange de Poisson. Le modèle de Markov caché proposé est une variante du modèle dePotts, où le paramètre d’interaction dépend des classes de risque.Afin d’estimer les paramètres du modèle, nous utilisons l’algorithme EM combiné à une approche variationnelle champ-moyen. Cette approche nous permet d’appliquer l’algorithmeEM dans un cadre spatial et présente une alternative efficace aux méthodes d’estimation deMonte Carlo par chaîne de Markov (MCMC).Nous abordons également les problèmes d’initialisation, spécialement quand les taux de risquesont petits (cas des maladies animales). Nous proposons une nouvelle stratégie d’initialisationappropriée aux modèles de mélange de Poisson quand les classes sont mal séparées. Pourillustrer ces solutions proposées, nous présentons des résultats d’application sur des jeux dedonnées épidémiologiques animales fournis par l’INRA. / The analysis of the geographical variations of a disease and their representation on a mapis an important step in epidemiology. The goal is to identify homogeneous regions in termsof disease risk and to gain better insights into the mechanisms underlying the spread of thedisease. We recast the disease mapping issue of automatically classifying geographical unitsinto risk classes as a clustering task using a discrete hidden Markov model and Poisson classdependent distributions. The designed hidden Markov prior is non standard and consists of avariation of the Potts model where the interaction parameter can depend on the risk classes.The model parameters are estimated using an EM algorithm and the mean field approximation. This provides a way to face the intractability of the standard EM in this spatial context,with a computationally efficient alternative to more intensive simulation based Monte CarloMarkov Chain (MCMC) procedures.We then focus on the issue of dealing with very low risk values and small numbers of observedcases and population sizes. We address the problem of finding good initial parameter values inthis context and develop a new initialization strategy appropriate for spatial Poisson mixturesin the case of not so well separated classes as encountered in animal disease risk analysis.We illustrate the performance of the proposed methodology on some animal epidemiologicaldatasets provided by INRA.

Les méthodes de Monte Carlo par chaines de Markov MCMC sont des outils mathématiques utilisés pour simuler des mesures de probabilités π définies sur des espaces de grandes dimensions. Une des questions les plus importantes dans ce contexte est de savoir à quelle vitesse converge la chaine de Markov P vers la mesure invariante π. Pour mesurer la vitesse de convergence de la chaine de Markov P vers sa mesure invariante π nous utilisons la distance de la variation totale. Il est bien connu que la vitesse de convergence d’une chaine de Markov réversible P dépend de la deuxième plus grande valeur propre en valeur absolue de la matrice P notée β!. Une partie importante dans l’estimation de β! consiste à estimer la deuxième plus grande valeur propre de la matrice P, qui est notée β1. Diaconis et Stroock (1991) ont introduit une méthode basée sur l’inégalité de Poincaré pour estimer β1 pour le cas général des chaines de Markov réversibles avec un nombre fini d'état. Dans cette thèse, nous utilisons la méthode de Shiu et Chen (2015) pour étudier le cas de l'algorithme de l'échantillonneur de Gibbs pour le modèle d'Ising unidimensionnel avec trois états ou plus appelé aussi modèle de Potts. Puis, nous généralisons le résultat de Shiu et Chen au cas du modèle d’Ising deux- dimensionnel avec deux états. Les résultats obtenus minorent ceux introduits par Ingrassia (1994). Puis nous avons pensé à perturber l'échantillonneur de Gibbs afin d’améliorer sa vitesse de convergence vers l'équilibre. / Monte Carlo Markov chain methods MCMC are mathematical tools used to simulate probability measures π defined on state spaces of high dimensions. The speed of convergence of this Markov chain X to its invariant state π is a natural question to study in this context.To measure the convergence rate of a Markov chain we use the total variation distance. It is well known that the convergence rate of a reversible Markov chain depends on its second largest eigenvalue in absolute value denoted by β!. An important part in the estimation of β! is the estimation of the second largest eigenvalue which is denoted by β1.Diaconis and Stroock (1991) introduced a method based on Poincaré inequality to obtain a bound for β1 for general finite state reversible Markov chains.In this thesis we use the Chen and Shiu approach to study the case of the Gibbs sampler for the 1−D Ising model with three and more states which is also called Potts model. Then, we generalize the result of Shiu and Chen (2015) to the case of the 2−D Ising model with two states.The results we obtain improve the ones obtained by Ingrassia (1994). Then, we introduce some method to disrupt the Gibbs sampler in order to improve its convergence rate to equilibrium.

Image segmentation is a critical step in building a computer vision algorithm that is able to distinguish between separate objects in an image scene. Image segmentation is based on two fundamentally intertwined components: pixel comparison and pixel grouping. In the pixel comparison step, pixels are determined to be similar or different from each other. In pixel grouping, those pixels which are similar are grouped together to form meaningful regions which can later be processed. This thesis makes original contributions to both of those areas. First, given a Markov Random Field framework, a Stochastic Nested Aggregation (SNA) framework for pixel and region grouping is presented and thoroughly analyzed using a Potts model. This framework is applicable in general to graph partitioning and discrete estimation problems where pairwise energy models are used. Nested aggregation reduces the computational complexity of stochastic algorithms such as Simulated Annealing to order O(N) while at the same time allowing local deterministic approaches such as Iterated Conditional Modes to escape most local minima in order to become a global deterministic optimization method. SNA is further enhanced by the introduction of a Graduated Models strategy which allows an optimization algorithm to converge to the model via several intermediary models. A well-known special case of Graduated Models is the Highest Confidence First algorithm which merges pixels or regions that give the highest global energy decrease. Finally, SNA allows us to use different models at different levels of coarseness. For coarser levels, a mean-based Potts model is introduced in order to compute region-to-region gradients based on the region mean and not edge gradients. Second, we develop a probabilistic framework based on hypothesis testing in order to achieve color constancy in image segmentation. We develop three new shading invariant semi-metrics based on the Dichromatic Reflection Model. An RGB image is transformed into an R'G'B' highlight invariant space to remove any highlight components, and only the component representing color hue is preserved to remove shading effects. This transformation is applied successfully to one of the proposed distance measures. The probabilistic semi-metrics show similar performance to vector angle on images without saturated highlight pixels; however, for saturated regions, as well as very low intensity pixels, the probabilistic distance measures outperform vector angle. Third, for interferometric Synthetic Aperture Radar image processing we apply the Potts model using SNA to the phase unwrapping problem. We devise a new distance measure for identifying phase discontinuities based on the minimum coherence of two adjacent pixels and their phase difference. As a comparison we use the probabilistic cost function of Carballo as a distance measure for our experiments.

Image segmentation is a critical step in building a computer vision algorithm that is able to distinguish between separate objects in an image scene. Image segmentation is based on two fundamentally intertwined components: pixel comparison and pixel grouping. In the pixel comparison step, pixels are determined to be similar or different from each other. In pixel grouping, those pixels which are similar are grouped together to form meaningful regions which can later be processed. This thesis makes original contributions to both of those areas. First, given a Markov Random Field framework, a Stochastic Nested Aggregation (SNA) framework for pixel and region grouping is presented and thoroughly analyzed using a Potts model. This framework is applicable in general to graph partitioning and discrete estimation problems where pairwise energy models are used. Nested aggregation reduces the computational complexity of stochastic algorithms such as Simulated Annealing to order O(N) while at the same time allowing local deterministic approaches such as Iterated Conditional Modes to escape most local minima in order to become a global deterministic optimization method. SNA is further enhanced by the introduction of a Graduated Models strategy which allows an optimization algorithm to converge to the model via several intermediary models. A well-known special case of Graduated Models is the Highest Confidence First algorithm which merges pixels or regions that give the highest global energy decrease. Finally, SNA allows us to use different models at different levels of coarseness. For coarser levels, a mean-based Potts model is introduced in order to compute region-to-region gradients based on the region mean and not edge gradients. Second, we develop a probabilistic framework based on hypothesis testing in order to achieve color constancy in image segmentation. We develop three new shading invariant semi-metrics based on the Dichromatic Reflection Model. An RGB image is transformed into an R'G'B' highlight invariant space to remove any highlight components, and only the component representing color hue is preserved to remove shading effects. This transformation is applied successfully to one of the proposed distance measures. The probabilistic semi-metrics show similar performance to vector angle on images without saturated highlight pixels; however, for saturated regions, as well as very low intensity pixels, the probabilistic distance measures outperform vector angle. Third, for interferometric Synthetic Aperture Radar image processing we apply the Potts model using SNA to the phase unwrapping problem. We devise a new distance measure for identifying phase discontinuities based on the minimum coherence of two adjacent pixels and their phase difference. As a comparison we use the probabilistic cost function of Carballo as a distance measure for our experiments.

Cette thèse présente de manière synthétique mes travaux de recherche dont les deux thématiques principales sont le comportement critique du modèle de Potts en présence de désordre et le vieillissement de modèles de spin lors d'une trempe.

Le thème de cette thèse est l’utilisation de méthodes probabilistes (plus spécifiquement de technique venant de la théorie de la percolation) pour mener une analyse non-perturbative de plusieurs modèles de physique statistique. La thèse est centrée sur les systèmes de spins et les modèles de percolation. Cette famille de modèle comprend le modèle d’Ising, le modèle de Potts, la percolation de Bernoulli, la percolation de Fortuin-Kasteleyn et les modèles de percolation continue. L’objectif principal de la thèse est de démontrer la décroissance exponentielle des corrélations au-dessus de la température critique et d’étudier les états de Gibbs des modèles en dessus. / The underlying theme of this thesis is using probabilistic methods and especially techniques of percolation theory to carry on a non-perturbative analysis of several models of statistical physics. The focus of this thesis is set on spin systems and percolation models including the Ising model, the Potts model, the Bernoulli percolation, the random-cluster model, and the continuum percolation models. The main objective of the thesis is to demonstrate exponential decay of correlations above the critical temperature and study the Gibbs states of the mentioned models.

Les modèles sur réseau comme ceux de la percolation, d’Ising et de Potts servent à décrire les transitions de phase en deux dimensions. La recherche de leur solution analytique passe par le calcul de la fonction de partition et la diagonalisation de matrices de transfert. Au point critique, ces modèles statistiques bidimensionnels sont invariants sous les transformations conformes et la construction de théories des champs conformes rationnelles, limites continues des modèles statistiques, permet un calcul de la fonction de partition au point critique. Plusieurs chercheurs pensent cependant que le paradigme des théories des champs conformes rationnelles peut être élargi pour inclure les modèles statistiques avec des matrices de transfert non diagonalisables. Ces modèles seraient alors décrits, dans la limite d’échelle, par des théories des champs logarithmiques et les représentations de l’algèbre de Virasoro intervenant dans la description des observables physiques seraient indécomposables. La matrice de transfert de boucles D_N(λ, u), un élément de l’algèbre de Temperley- Lieb, se manifeste dans les théories physiques à l’aide des représentations de connectivités ρ (link modules). L’espace vectoriel sur lequel agit cette représentation se décompose en secteurs étiquetés par un paramètre physique, le nombre d de défauts. L’action de cette représentation ne peut que diminuer ce nombre ou le laisser constant. La thèse est consacrée à l’identification de la structure de Jordan de D_N(λ, u) dans ces représentations. Le paramètre β = 2 cos λ = −(q + 1/q) fixe la théorie : β = 1 pour la percolation et √2 pour le modèle d’Ising, par exemple. Sur la géométrie du ruban, nous montrons que D_N(λ, u) possède les mêmes blocs de Jordan que F_N, son plus haut coefficient de Fourier. Nous étudions la non diagonalisabilité de F_N à l’aide des divergences de certaines composantes de ses vecteurs propres, qui apparaissent aux valeurs critiques de λ. Nous prouvons dans ρ(D_N(λ, u)) l’existence de cellules de Jordan intersectorielles, de rang 2 et couplant des secteurs d, d′ lorsque certaines contraintes sur λ, d, d′ et N sont satisfaites. Pour le modèle de polymères denses critique (β = 0) sur le ruban, les valeurs propres de ρ(D_N(λ, u)) étaient connues, mais les dégénérescences conjecturées. En construisant un isomorphisme entre les modules de connectivités et un sous-espace des modules de spins du modèle XXZ en q = i, nous prouvons cette conjecture. Nous montrons aussi que la restriction de l’hamiltonien de boucles à un secteur donné est diagonalisable et trouvons la forme de Jordan exacte de l’hamiltonien XX, non triviale pour N pair seulement. Enfin nous étudions la structure de Jordan de la matrice de transfert T_N(λ, ν) pour des conditions aux frontières périodiques. La matrice T_N(λ, ν) a des blocs de Jordan intrasectoriels et intersectoriels lorsque λ = πa/b, et a, b ∈ Z×. L’approche par F_N admet une généralisation qui permet de diagnostiquer des cellules intersectorielles dont le rang excède 2 dans certains cas et peut croître indéfiniment avec N. Pour les blocs de Jordan intrasectoriels, nous montrons que les représentations de connectivités sur le cylindre et celles du modèle XXZ sont isomorphes sauf pour certaines valeurs précises de q et du paramètre de torsion v. En utilisant le comportement de la transformation i_N^d dans un voisinage des valeurs critiques (q_c, v_c), nous construisons explicitement des vecteurs généralisés de Jordan de rang 2 et discutons l’existence de blocs de Jordan intrasectoriels de plus haut rang. / Lattice models such as percolation, the Ising model and the Potts model are useful for the description of phase transitions in two dimensions. Finding analytical solutions is done by calculating the partition function, which in turn requires finding eigenvalues of transfer matrices. At the critical point, the two dimensional statistical models are invariant under conformal transformations and the construction of rational conformal field theories, as the continuum limit of these lattice models, allows one to compute the partition function at the critical point. Many researchers think however that the paradigm of rational conformal conformal field theories can be extended to include models with non diagonalizable transfer matrices. These models would then be described, in the scaling limit, by logarithmic conformal field theories and the representations of the Virasoro algebra coming into play would be indecomposable. We recall the construction of the double-row transfer matrix D_N(λ, u) of the Fortuin-Kasteleyn model, seen as an element of the Temperley-Lieb algebra. This transfer matrix comes into play in physical theories through its representation in link modules (or standard modules). The vector space on which this representation acts decomposes into sectors labelled by a physical parameter d, the number of defects, which remains constant or decreases in the link representations. This thesis is devoted to the identification of the Jordan structure of D_N(λ, u) in the link representations. The parameter β = 2 cos λ = −(q + 1/q) fixes the theory : for instance β = 1 for percolation and √2 for the Ising model. On the geometry of the strip with open boundary conditions, we show that D_N(λ, u) has the same Jordan blocks as its highest Fourier coefficient, F_N. We study the non-diagonalizability of F_N through the divergences of some of the eigenstates of ρ(F_N) that appear at the critical values of λ. The Jordan cells we find in ρ(D_N(λ, u)) have rank 2 and couple sectors d and d′ when specific constraints on λ, d, d′ and N are satisfied. For the model of critical dense polymers (β = 0) on the strip, the eigenvalues of ρ(D_N(λ, u)) were known, but their degeneracies only conjectured. By constructing an isomorphism between the link modules on the strip and a subspace of spin modules of the XXZ model at q = i, we prove this conjecture. We also show that the restriction of the Hamiltonian to any sector d is diagonalizable, and that the XX Hamiltonian has rank 2 Jordan cells when N is even. Finally, we study the Jordan structure of the transfer matrix T_N(λ, ν) for periodic boundary conditions. When λ = πa/b and a, b ∈ Z×, the matrix T_N(λ, ν) has Jordan blocks between sectors, but also within sectors. The approach using F_N admits a generalization to the present case and allows us to probe the Jordan cells that tie different sectors. The rank of these cells exceeds 2 in some cases and can grow indefinitely with N. For the Jordan blocks within a sector, we show that the link modules on the cylinder and the XXZ spin modules are isomorphic except for specific curves in the (q, v) plane. By using the behavior of the transformation i_N^d in a neighborhood of the critical values (q_c, v_c), we explicitly build Jordan partners of rank 2 and discuss the existence of Jordan cells with higher rank.