Dans cette thèse, nous nous intéressons à deux modèles de feux de forêts définis sur Z. On étudie le modèle des feux de forêts sur Z avec propagation non instantanée dans le chapitre 2. Dans ce modèle, chaque site a trois états possibles : vide, occupé ou en feu. Un site vide devient occupé avec taux 1. Sur chaque site, des allumettes tombent avec taux λ. Si le site est occupé, il brûle pendant un temps exponentiel de paramètre π avant de se propager à ses deux voisins. S’ils sont eux-mêmes occupés, ils brûlent, sinon le feu s’éteint. On étudie l’asymptotique des feux rares c’est à dire la limite du processus lorsque λ → 0 et π → ∞. On montre qu’il y a trois catégories possibles de limites d’échelles, selon le régime dans lequel λ tend vers 0 et π vers l’infini. On étudie formellement et brièvement dans le chapitre 3 le modèle des feux de forêts sur Z en environnement aléatoire. Dans ce modèle, chaque site n’a que deux états possibles : vide ou occupé. On se donne un paramètre λ > 0, une loi ν sur (0 ,∞) et une suite (κi)i∈Z de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées selon ν. Un site vide i devient occupé avec taux κi. Sur chaque site, des allumettes tombent avec taux λ et détruisent immédiatement la composante de sites occupés correspondante. On étudie l’asymptotique des feux rares. Sous une hypothèse raisonnable sur ν, on espère que le processus converge, avec une renormalisation correcte, vers un modèle limite. On s’attend à distinguer trois processus limites différents / The aim of this work is to study two differents forest-fire processes defined on Z. In Chapter 2, we study the so-called one dimensional forest-fire process with non instantaeous propagation. In this model, each site has three possible states: ’vacant’, ’occupied’ or ’burning’. Vacant sites become occupied at rate 1. At each site, ignition (by lightning) occurs at rate λ. When a site is ignited, a fire starts and propagates to neighbors at rate π. We study the asymptotic behavior of this process as λ → 0 and π → ∞. We show that there are three possible classes of scaling limits, according to the regime in which λ → 0 and π → ∞. In Chapter 3, we study formally and briefly the so-called one dimensional forest-fire processes in random media. Here, each site has only two possible states: ’vacant’ or occupied’. Consider a parameter λ > 0, a probability distribution ν on (0 ,∞) as well as (κi)i∈Z an i.i.d. sequence of random variables with law ν. A vacant site i becomes occupied at rate κi. At each site, ignition (by lightning) occurs at rate λ. When a site is ignited, the fire destroys the corresponding component of occupied sites. We study the asymptotic behavior of this process as λ → 0. Under some quite reasonable assumptions on the law ν, we hope that the process converges, with a correct normalization, to a limit forest fire model. We expect that there are three possible classes of scaling limits

Ces dernières années, l'analyse de systèmes complexes critiques est devenue de plus en plus importante. En particulier, l'analyse quantitative de tels systèmes est nécessaire afin de pouvoir garantir que leur probabilité d'échec est très faible. La difficulté de l'analyse de ces systèmes réside dans le fait que leur espace d’état est très grand et que la probabilité recherchée est extrêmement petite, de l'ordre d'une chance sur un milliard, ce qui rend les méthodes usuelles inopérantes. Les algorithmes de Model Checking quantitatif sont les algorithmes classiques pour l'analyse de systèmes probabilistes. Ils prennent en entrée le système et son comportement attendu et calculent la probabilité avec laquelle les trajectoires du système correspondent à ce comportement. Ces algorithmes de Model Checking ont été largement étudié depuis leurs créations. Deux familles d'algorithme existent : - le Model Checking numérique qui réduit le problème à la résolution d'un système d'équations. Il permet de calculer précisément des petites probabilités mais soufre du problème d'explosion combinatoire- - le Model Checking statistique basé sur la méthode de Monte-Carlo qui se prête bien à l'analyse de très gros systèmes mais qui ne permet pas de calculer de petite probabilités. La contribution principale de cette thèse est le développement d'une méthode combinant les avantages des deux approches et qui renvoie un résultat sous forme d'intervalles de confiance. Cette méthode s'applique à la fois aux systèmes discrets et continus pour des propriétés bornées ou non bornées temporellement. Cette méthode est basée sur une abstraction du modèle qui est analysée à l'aide de méthodes numériques, puis le résultat de cette analyse est utilisé pour guider une simulation du modèle initial. Ce modèle abstrait doit à la fois être suffisamment petit pour être analysé par des méthodes numériques et suffisamment précis pour guider efficacement la simulation. Dans le cas général, cette abstraction doit être construite par le modélisateur. Cependant, une classe de systèmes probabilistes a été identifiée dans laquelle le modèle abstrait peut être calculé automatiquement. Cette approche a été implémentée dans l'outil Cosmos et des expériences sur des modèles de référence ainsi que sur une étude de cas ont été effectuées, qui montrent l'efficacité de la méthode. Cette approche à été implanté dans l'outils Cosmos et des expériences sur des modèles de référence ainsi que sur une étude de cas on été effectué, qui montre l'efficacité de la méthode. / In the past decades, the analysis of complex critical systems subject to uncertainty has become more and more important. In particular the quantitative analysis of these systems is necessary to guarantee that their probability of failure is very small. As their state space is extremly large and the probability of interest is very small, typically less than one in a billion, classical methods do not apply for such systems. Model Checking algorithms are used for the analysis of probabilistic systems, they take as input the system and its expected behaviour, and compute the probability with which the system behaves as expected. These algorithms have been broadly studied. They can be divided into two main families: Numerical Model Checking and Statistical Model Checking. The former computes small probabilities accurately by solving linear equation systems, but does not scale to very large systems due to the space size explosion problem. The latter is based on Monte Carlo Simulation and scales well to big systems, but cannot deal with small probabilities. The main contribution of this thesis is the design and implementation of a method combining the two approaches and returning a confidence interval of the probability of interest. This method applies to systems with both continuous and discrete time settings for time-bounded and time-unbounded properties. All the variants of this method rely on an abstraction of the model, this abstraction is analysed by a numerical model checker and the result is used to steer Monte Carlo simulations on the initial model. This abstraction should be small enough to be analysed by numerical methods and precise enough to improve the simulation. This abstraction can be build by the modeller, or alternatively a class of systems can be identified in which an abstraction can be automatically computed. This approach has been implemented in the tool Cosmos, and this method was successfully applied on classical benchmarks and a case study.

Cette thèse s'inscrit dans la théorie des cartes planaires aléatoires, active depuis une quizaine d'années, et plus précisément dans l'étude de modèles de nature hyperbolique.Dans un premier temps, nous nous intéressons à un modèle de triangulations aléatoires dynamiques basé sur les flips d'arêtes, et nous montrons une borne inférieure sur le temps de mélange de ce modèle.Dans la suite, l'objet d'étude principal est une famille de triangulations aléatoires hyperboliques, appelées PSHT. Il s'agit de variantes de la triangulation uniforme du plan (UIPT), qui ont été introduites en 2014 par Nicolas Curien. Nous commençons par établir un résultat de limite d'échelle quasi-critique : si on renormalise les distances tout en faisant tendre le paramètre d'hyperbolicité vers sa valeur critique, les triangulations étudiées convergent vers un espace métrique aléatoire appelé plan brownien hyperbolique. Nous étudions également des propriétés métriques fines des PSHT et du plan brownien hyperbolique, et notamment la structure de leurs géodésiques infinies. Nous présentons aussi de nouvelles propriétés de la frontière de Poisson des PSHT.Enfin, nous nous intéressons à un autre modèle naturel de cartes aléatoires hyperboliques : les cartes causales surcritiques, qui sont construites à partir d'arbres de Galton--Watson surcritiques, en ajoutant des arêtes entre sommets de même hauteur. Nous établissons des résultats d'hyperbolicité métrique, ainsi que des propriétés de la marche aléatoire sur ces cartes, dont un résultat de vitesse positive. Certaines des propriétés obtenues sont robustes, et peuvent se généraliser à n'importe quelle carte planaire contenant un arbre de Galton--Watson surcritique. / This thesis falls into the theory of random planar maps, which has been active in the last fifteen years, and more precisely into the study of hyperbolic models.We are first interested in a model of dynamical random triangulations based on edge-flips, where we prove a lower bound on the mixing time.In the rest of this thesis, the main objects that we study are the random hyperbolic triangulations called PSHT. These are hyperbolic variants of the Uniform Infinite Planar Triangulation (UIPT), and were introduced by Nicolas Curien in 2014. We first establish a near-critical scaling limit result: if we let the hyperbolicity parameter go to its critical value at the same time as the distances are renormalized, the PSHT converge to a random metric space that we call the hyperbolic Brownian plane. We also study precise metric properties of the PSHT and of the hyperbolic Brownian plane, such as the structure of their infinite geodesics. We obtain as well new properties of the Poisson boundary of the PSHT.Finally, we are interested in another natural model of hyperbolic random maps: supercritical causal maps, which are obtained from supercritical Galton--Watson trees by adding edges between vertices at the same height. We establish metric hyperbolicity results about these maps, as well as properties of the simple random walk (including a positive speed result). Some of the properties we obtain are robust, and may be generalized to any planar map containing a supercritical Galton--Watson tree.

La séparation de sources est la tâche qui consiste à récupérer plusieurs signaux dont on observe un ou plusieurs mélanges. Ce problème est particulièrement difficile et de manière à rendre la séparation possible, toute information supplémentaire connue sur les sources ou le mélange doit pouvoir être prise en compte. Dans cette thèse, je propose un formalisme général permettant d’inclure de telles connaissances dans les problèmes de séparation, où une source est modélisée comme la réalisation d’un processus gaussien. L’approche a de nombreux intérêts : elle généralise une grande partie des méthodes actuelles, elle permet la prise en compte de nombreux a priori et les paramètres du modèle peuvent être estimés efficacement. Ce cadre théorique est appliqué à la séparation informée de sources audio, où la séparation est assistée d'une information annexe calculée en amont de la séparation, lors d’une phase préliminaire où à la fois le mélange et les sources sont disponibles. Pour peu que cette information puisse se coder efficacement, cela rend possible des applications comme le karaoké ou la manipulation des différents instruments au sein d'un mix à un coût en débit bien plus faible que celui requis par la transmission séparée des sources. Ce problème de la séparation informée s’apparente fortement à un problème de codage multicanal. Cette analogie permet de placer la séparation informée dans un cadre théorique plus global où elle devient un problème de codage particulier et bénéficie à ce titre des résultats classiques de la théorie du codage, qui permettent d’optimiser efficacement les performances. / Source separation consists in recovering different signals that are only observed through their mixtures. To solve this difficult problem, any available prior information about the sources must be used so as to better identify them among all possible solutions. In this thesis, I propose a general framework, which permits to include a large diversity of prior information into source separation. In this framework, the sources signals are modeled as the outcomes of independent Gaussian processes, which are powerful and general nonparametric Bayesian models. This approach has many advantages: it permits the separation of sources defined on arbitrary input spaces, it permits to take many kinds of prior knowledge into account and also leads to automatic parameters estimation. This theoretical framework is applied to the informed source separation of audio sources. In this setup, a side-information is computed beforehand on the sources themselves during a so-called encoding stage where both sources and mixtures are available. In a subsequent decoding stage, the sources are recovered using this information and the mixtures only. Provided this information can be encoded efficiently, it permits popular applications such as karaoke or active listening using a very small bitrate compared to separate transmission of the sources. It became clear that informed source separation is very akin to a multichannel coding problem. With this in mind, it was straightforwardly cast into information theory as a particular source-coding problem, which permits to derive its optimal performance as rate-distortion functions as well as practical coding algorithms achieving these bounds.

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Le présent mémoire a pour but de présenter deux techniques permettant l'obtention d'une estimation de la distribution d'une variable aléatoire lorsque les données historiques sont inexistantes ou confidentielles. Les modèles proposés se basent sur la consultation de plusieurs spécialistes du domaine dont les avis sont combinés afin d'obtenir une estimation de la distribution inconnue. Dans les deux cas, la distribution finale est le résultat d'un processus mathématique d'évaluation des experts réalisé à l'aide de variables de calibration. Le premier modèle utilise des techniques statistiques classiques alors que le second fait appel à la règle de Bayes. Le mémoire propose également une mise en oeuvre informatique des modèles ainsi que des exemples commentés.

Tableau d'honneur de la Faculté des études supérieures et postdoctorales, 2011-2012 / Dans ce mémoire, nous comparons deux modèles de processus probabilistes évoluant dans un environnement continu. Les processus de Markov étiquetés sont des systèmes de transitions pour lesquels l’ensemble des états est non-dénombrable, mais qui évoluent de manière discrète dans le temps. Les mesures de probabilité définies sur l’ensemble des états peuvent avoir un support infini. Les processus hybrides sont une combinaison d’un processus à espace d’états continu qui évolue de manière continue dans le temps et une composante discrète qui intervient pour contrôler l’évolution. Les extensions probabilistes des processus hybrides présentes dans la littérature restreignent le comportement probabiliste à la composante discrète. Nous utilisons deux exemples de systèmes, un avion et un bateau, pour faire ressortir les divergences entre les deux modèles ainsi que leurs limitations, et nous définissons une généralisation qui peut modéliser fidèlement ces exemples. Nous avons également pu montrer, dans un article publié dans un atelier international, comment utiliser, dans le contexte probabiliste, la «substitution d’horloge» et l’«approximation par portrait» qui sont des techniques proposées par Henzinger et al. pour les processus non probabilistes. Ces techniques permettent, sous certaines conditions, de définir un processus probabiliste rectangulaire à partir d’un qui est non rectangulaire, rendant ainsi possible la vérification formelle de toute classe de système hybride probabiliste. / We compare two models of processes involving uncountable space. Labelled Markov processes are probabilistic transition systems that can have uncountably many states, but still make discrete time steps. The probability measures on the state space may have uncountable support and a tool has been developed for verification of such systems. Hybrid processes are a combination of a continuous space process that evolves continuously with time and of a discrete component, such as a controller. Existing extensions of Hybrid processes with probability restrict the probabilistic behavior to the discrete component. We have also shown, in a paper, how to compute for probabilistic hybrid systems, the clock approximation and linear phase-portrait approximation that have been proposed for non probabilistic processes by Henzinger et al. The techniques permit, under some conditions, to define a rectangular probabilistic process from a non rectangular one, hence allowing the model-checking of any class of systems. To highlight the differences between Labelled Markov processes and probabilistic hybrid systems, we use two examples, the ones of a boat and an aircraft, and

Le travail effectué dans cette thèse concerne les domaines de la théorie des matrices aléatoires et des probabilités libres, dont on connaît les riches connexions depuis le début des années 90. Les résultats s'organisent principalement en deux parties : la première porte sur la liberté infinitésimale, la seconde sur les matrices aléatoires déformées. Plus précisément, on jette les bases d'une théorie combinatoire de la liberté infinitésimale, au premier ordre d'abord, telle que récemment introduite par Belinschi et Shlyakhtenko, puis aux ordres supérieurs. On en donne un cadre simple et général, et on introduit des fonctionnelles de cumulants non-croisés, caractérisant la liberté infinitésimale. L'accent est mis sur la combinatoire et les idées d'essence différentielle qui sous-tendent cette notion. La seconde partie poursuit l'étude des déformations de modèles matriciels, qui a été ces dernières années un champ de recherche très actif. Les résultats présentés sont originaux en ce qu'ils concernent des perturbations déterministes Hermitiennes de rang non nécessairement fini de matrices de Wigner et de Wishart. En outre, un apport de ce travail est la mise en lumière du lien entre la convergence des valeurs propres de ces modèles et les probabilités libres, plus particulièrement le phénomène de subordination pour la convolution libre. Ce lien donne une illustration de la puissance des idées des probabilités libres dans les problèmes de matrices aléatoires.

Le but de cette thèse est de décrire la loi conditionnelle d'un processus markovien multidimensionnel connaissant la valeur de certaines combinaisons linéaires de ses coordonnées à des instants donnés. La description recherchée consiste à mettre en évidence un processus de même type, facile à simuler, dont la loi est équivalente à la loi conditionnelle ciblée.La classe principalement étudiée est celle des processus à diffusion. Dans un premier temps, des techniques de grossissement de filtration (Jacod 1985) permettent de déterminer les paramètres de l'équation différentielle stochastique vérifiée par le processus conditionnel. Cependant, on s'aperçoit alors que la dérive n'est pas explicite, car celle-ci dépend des densités de transition du processus initial, inconnues en général. Ceci rend impossible,une simulation directe par exemple à l'aide d'un schéma d'Euler. Afin de pallier ce défaut, nous proposons une alternative, dans l'esprit de Delyon et Hu (2006). L'approche consiste à proposer une équation différentielle stochastique de paramètres explicites, dont la solution est de loi équivalente à la loi conditionnelle. Une application en collaboration avec Anne Cuzol et Etienne Mémin de l'INRIA, dans le cadre des écoulements fluides est également présentée. On applique la méthode proposée précédemment à un modèle stochastique inspiré des équations de Navier-Stokes. Enfin, la classe des processus markoviens à sauts est également abordée.

Les Mathématiques non-commutatives sont un domaine en plein essor. L'idée de base consiste à remarquer qu'au lieu de décrire un espace donné comme étant un ensemble de points, on peut de manière équivalente le décrire par l'algèbre des fonctions définies sur cet espace. Cette algèbre est commutative. On remplace alors cette algèbre par une algèbre qui n'est plus forcément commutative et que l'on cherche à interpréter comme une algèbre de fonctions sur un « espace non-commutatif ». Les groupes quantiques sont un exemple de généralisation non-commutative de la notion de groupe. Il s'agit d'une C*-algèbre munie d'une comultiplication à valeur dans le produit tensoriel de l'algèbre avec elle-même. Les groupes quantiques ont été bien étudiés. Les groupes duaux sont similaires aux groupes quantiques, mais la comultiplication est cette fois-ci à valeur dans le produit libre, et non plus dans le produit tensoriel. Bien qu'ils aient été introduits dans les années 80, ils n'ont pas encore été vraiment étudiés. Le but de cette thèse est d'explorer les propriétés des groupes duaux, en se concentrant sur l'un d'entre eux – le groupe dual unitaire – et ce en utilisant les méthodes des probabilités non-commutatives (ou probabilités quantiques) / Noncommutative Mathematics are a very active domain. The idea underlying it is that instead of describing a space as a set of points, it is equivalent to describe it with the algebra of functions defined on said space. This algebra is commutative. Now we replace this algebra with an algebra that is not necessarily commutative any more and we want to interpret it as the algebra of functions defined on a « noncommutative space ». Quantum groups are an example of such a noncommutative generalization of the notion of group. They are C*-algebras equipped with a comultiplication that takes its values in the tensor product of the algebra with itself. Quantum groups are well-known and well studied. Nevertheless we can also define dual groups, which are similar to quantum groups, but the comultiplication takes now its values in the free product of the algebra with itself, instead of the tensor product. Though dual groups have been introduced in the 80s, they have not been much studied so far. The goal of this thesis is to study their properties, especially in the case of one particular dual group called the unitary dual group, by using methods from noncommutative probability (or quantum probability).