Ce travail de thèse est consacré à la modélisation et à la simulation numérique des transitions de phase liquide-vapeur. L'étude effectuée se découpe en deux randes parties: une première où on étudie les phénomènes de transition de phase avec une loi d'état de type Van Der Waals (perte de monotonie de la loi d'état) et une deuxième partie où on choisit une approche alternative avec deux loi d'états. La première partie consiste à étudier les critères visqueux classiques de sélection des solutions du système d'équations utilisé lorsque la loi d'état n'est pas monotone. Les critères classiques ne sélectionnant pas des solutions a priori physiques, un critère plus récent est introduit: le critère visco-capillaire. L'utilisation de ce critère avec un solveur de Riemann exact (sous la contrainte de trouver le zéro d'une fonction non linéaire) permet d'obtenir des résultats mais avec un coût de calcul trop élevé. Une approche alternative est alors envisagée avec deux lois d'états (une pour chaque phase). A l'aide d'un procédé de minimisation de l'action hamiltonienne, un modèle bifluide de changement de phase est proposé. Celui-ci respecte alors le second principe de la thermodynamique. Deux sous-systèmes en sont déduits à l'aide d'un procédé de retour à l'équilibre: mécanique dans un premier temp puis mécanique et thermodynamique dans un deuxième temps. Malgré la faible hyperbolicité du dernier sous-système obtenu, des schémas numériques stables basés sur une méthode de splitting sont proposés. On montre alors que le système ainsi obtenu est naturellement capable de nucléer des bulles de vapeur dans du liquide.

Cette thèse porte sur l'étude de modèles et de méthodes numériques pour les écoulements diphasiques compressibles à faible nombre de Mach. Toutes les méthodes numériques développées dans cette étude sont basées sur une formulation de type volumes finis en maillages non structurés. La première partie de cette thèse propose une analyse du comportement des schémas décentrés de type Godunov dans la limite des faibles nombres de Mach. Nous expliquons de manière rigoureuse les raisons pour lesquelles ces schémas aboutissent à des approximations imprécises lorsque les écoulements sont très proches de l'incompressible. Nous développons alors des méthodes de préconditionnement adaptées qui permettent de retrouver de bonnes approximations. Ce premier travail complète un certain nombre de travaux récents sur l'analyse des schémas décentrés dans la limite des faibles nombres de Mach. Le deuxième point abordé dans cette thèse est un travail de modélisation où nous développons à partir d'un modèle bi-fluides à sept équations de type Baer-Nunziato, un modèle réduit à cinq équations pour les écoulements diphasiques. Ce travail présente une méthode originale de réduction de systèmes hyperboliques avec termes sources raides. Nous développons pour ce modèle un schéma numérique implicite et suivant la stratégie utilisée dans la première partie de cette thèse, une technique de préconditionnement adaptée aux écoulements à faible vitesse. Les expériences numériques réalisées montrent que ce modèle est bien adapté au calcul d'ondes de détonations ainsi qu'à la simulation d'interfaces entre fluides compressibles. Enfin la dernière partie de cette thèse porte sur l'étude d'un modèle à sept équations pour le calcul d'écoulements diphasiques à faible nombre de Mach. On développe des méthodes numériques implicites basées sur des solveurs de Riemann approchés, permettant de réduire les coûts de calcul pour ce type de régime.

Ce manuscrit est dédié à l'approximation numérique de plusieurs modèles du transfert radiatif. Dans un premier temps, l'attention est portée sur le modèle cinétique d'ordonnées discrètes. Dans le but de coupler ce modèle avec d'autres phénomènes plus lents, il est nécessaire d'avoir des méthodes numériques performantes et précises sur des temps longs. À partir d'une double approximation polynomiale de la solution en temps et en espace, on développe un schéma de type GRP d'ordre élevé sans restriction sur le pas de temps pour un système hyperbolique linéaire sur des maillages non structurés. Ce schéma est ensuite étendu pour le modèle d'ordonnées discrètes. Dans un second temps, on s'intéresse à des modèles aux moments issus du transfert radiatif. En effet, dans certaines applications, les modèles aux moments de type M1 conservent de nombreuses propriétés de l'ETR et fournissent une approximation suffisante de la solution. Après avoir résolu le problème de Riemann associé au modèle M1 gris, on considère l'approximation numérique du modèle M1 multigroupe. Une attention particulière est portée sur le calcul des moyennes d'opacités et des lois de fermeture. Un algorithme de précalculs est alors mis en place. La dernière application traitée dans ce mémoire porte sur une extension du transfert radiatif pour estimer des doses de radiothérapie. À la différence du M1 gris usuel, les flux dépendent ici de fonctions peu régulières en espace. Grâce à des changements de variables, un schéma HLL rétrograde est développé. De nombreux exemples numériques illustrent l'intérêt des schémas obtenus dans cette étude.

Cette thèse est consacrée à l'étude des systèmes non linéaires hyperboliques de lois de conservation avec des termes sources autorisées à devenir raides. Les applications viennent pour la plupart de problèmes physiques, par exemple l'equation de Burgers ou de Buckley-Leverett et le système d'Euler muni de lois de pression pour un gaz parfait ou une version simplifiée de mélange à deux phases. La première partie traite des aspects théoriques de ce sujet. Nous nous concentrons sur le cas unidimensionnel et considérons l'équation scalaire et d'un cas particulier d'un système d'écoulement diphasique réactif. La question principale à gérer lorsqu'on établit la convergence forte d'une suite d'approximations au moyen de la théorie de compacité par compensation dans de tels cas est de trouver des régions invariantes dans l'espace des phases. Pour le problème scalaire, il suffit que le terme source conserve une borne uniforme sur la norme L ∞ de la séquence. Mais c'est moins évident pour un système car les zones invariantes sont plutôt compliquées et peuvent être perturbées en raison de la forme de certains termes de forçage. La deuxième partie s'intéresse aux critères de stabilité pour les schémas numériques implicites impliquant des quadratures en temps sophistiquées. Nous présentons d'abord l'analyse d'une semi-discrétisation (méthode des lignes) afin d'en tirer des conditions suffisantes pour le système différentiel d'être bien posé. Cela amène des restrictions assez naturelles pour assurer la stabilité d'une méthode à une seule étape implicite: le pas de temps doit être petit près des points de compression et de répulsion du terme source. Une analyse de variation totale est ensuite réalisée pour dériver les régimes du second ordre sans oscillations autour de chocs pour le plus grand pas de temps possible. Des expériences numériques sont présentés sur des problèmes scalaires non linéaires. La troisième partie est une suite directe afin de corriger certaines des difficultés rencontrées auparavant. L'objectif principal est de construire une nouvelle discrétisation qui peut gérer un terme source arbitrairement raide sans aucune influence (sauf la condition habituelle CFL) sur le pas de temps. Suivant les idées de J. Greenberg et A.-Y. LeRoux, nous calculons d'abord un schéma de Godunov scalaire afin d'obtenir un résultat de convergence vers la solution entropique à l'aide des estimations BV. Comme la caractéristique principale est de gérer les sources au moyen des produits non-conservatifs, nous décidons d'utiliser le formalisme proposé par G. Dalmaso, PG LeFloch et F. Murat pour étendre ces idées à des systèmes non-homogènes. Suivant I. Toumi, nous introduisons des matrices de type Roe le long des chemins régularisants afin d'obtenir des approximations qui montrent des propriétés intéressantes. En fait, c'est ce que l'on appelle les régimes bien équilibrés, à savoir les régimes qui préservent les intégrales premières théoriques du mouvement. Des tests numériques sont basés sur le système d'Euler avec termes sources géométriques. Le quatrième (et dernière) partie concerne la mise en place de cette formulation non-conservative dans un schéma de type flux-splitting. L'objectif est de construire une méthode très robuste, bien équilibrée et facile à mettre en oeuvre. Les relations de saut généralisées provenant des sources sont détaillées et le système est testé dans un très large éventail de problèmes: les flux de tuyères, diphasique avec chimie et amortissement, les systèmes de relaxation ... Un chapitre est également consacré à des cas de résonance: en suivant Majda, nous étudions le problème stationnaire pour valider nos résultats. Ce travail conclut avec un écoulement diphasique en deux dimensions qui évolue de manière assez compliquée, les relations non conservatives étant traitées par un processus itératif convergent.

Dans la production d'électricité, un des leviers centraux pour réduire les détériorations et les pertes causées par l'humidité dans les turbines à vapeur est l'étude des films liquides. Ces films minces, sont créés par la déposition de gouttes et sont fortement cisaillés. Des gouttes peuvent ensuite être arrachées du film. A l'heure actuelle, aucun modèle complet et valide n'existe pour décrire ce phénomène. Un modèle 2D à formulation intégrale associé à des lois de fermetures a été dérivé pour représenter ce film. Comparé aux équations classiques de Saint-Venant, le modèle prend en compte davantage d'effets : le transfert de masse, l'impact des gouttes, le cisaillement à la surface libre, la tension de surface, le gradient de pression et la rotation. Une analyse des propriétés du modèle (hyperbolicité, entropie, conservativité, analyse de stabilité linéaire, invariance par translation et par rotation) est réalisée pour juger de la pertinence du modèle. Un nouveau code 2D est implémenté dans un module de développement libre du code EDF Code Saturne et une méthode de volumes finis pour un maillage non-structure a été développée. La vérification du code est ensuite effectuée avec des solutions analytiques dont un problème de Riemann. Le modèle, qui dégénère en modèle classique de Saint-Venant pour le cas d'un film tombant sur un plan inclinée, est validé par l'expérience de Liu and Gollub, 1994, PoF et comparé à des modèles de références (Ruyer-Quil and Manneville, 2000, EPJ-B et Lavalle, 2014, PhD thesis). Un autre cas d'étude met en scène un film cisaillé en condition basse-pression de turbine à vapeur et, est validé par l'expérience de Hammitt et al., 1981, I. Enfin, le code film est couplé aux données 3D du champ de vapeur autour d'un stator d'une turbine basse-pression du parc EDF, issues de Blondel, 2014, PhD thesis. Cette application industrielle montre la faisabilité d'une simulation d'un film en condition réelle du turbine à vapeur. / In the electricity production, one central key to reduce damages and losses due to wetness in steam turbines is the study of liquid films. These thin films are created by the deposition of droplets and are highly sheared. This film may then be atomized into coarse water. At the moment, no comprehensive and validated model exists to describe this phenomenon. A 2D model based on a integral formulation associated with closure laws is developed to represent this film. Compared to classical Shallow-Water equation, the model takes into account additional effect : mass transfer, droplet impact, shearing at the free surface, surface tension, pressure gradient and the rotation. The model properties (hyperbolicity, entropy, conservativity, linear stability, Galilean invariance and rotational invariance) has been analyzed to judge the pertinence of the model. A new 2D code is implemented in a free module of the code EDF Code Saturne and a finite volume method for unstructured mesh has been developed. The verification of the code is then carried out with analytical solutions including a Riemann problem. The model, which degenerates into classical Shallow-Water equations for the case of a falling liquid film on a inclined plane, is validated by the experiment of Liu and Gollub, 1994, PoF and compared to reference models (Ruyer-Quil and Manneville, 2000, EPJ-B et Lavalle, 2014, PhD thesis). Another study depicts a sheared film under low-pressure steam turbine conditions and is validated by the experiment of Hammitt et al., 1981, FiI. Lastly, the code film is coupled to 3D steam data around a fixed blade of a BP100 turbine, from Blondel, 2014, PhD thesis. This industrial application shows the feasibility of liquid film's simulation in real steam turbine condition.

La Physique des Hautes Densités d’Énergies (HEDP) est caractérisée par desécoulements multi-matériaux fortement compressibles. Le domaine contenant l’écoulementsubit de grandes variations de taille et est le siège d’ondes de chocs et dedétente intenses. La représentation Lagrangienne est bien adaptée à la descriptionde ce type d’écoulements. Elle permet en effet une très bonne description deschocs ainsi qu’un suivit naturel des interfaces multi-matériaux et des surfaces libres.En particulier, les schémas Volumes Finis centrés Lagrangiens GLACE (GodunovtypeLAgrangian scheme Conservative for total Energy) et EUCCLHYD (ExplicitUnstructured Cell-Centered Lagrangian HYDrodynamics) ont prouvé leur efficacitépour la modélisation des équations de la dynamique des gaz ainsi que de l’élastoplasticité.Le travail de cette thèse s’inscrit dans la continuité des travaux de Maireet Nkonga [JCP, 2009] pour la modélisation de l’hydrodynamique et des travauxde Kluth et Després [JCP, 2010] pour l’hyperelasticité. Plus précisément, cettethèse propose le développement de méthodes robustes et précises pour l’extension3D du schéma EUCCLHYD avec une extension d’ordre deux basée sur les méthodesMUSCL (Monotonic Upstream-centered Scheme for Conservation Laws) et GRP(Generalized Riemann Problem). Une attention particulière est portée sur la préservationdes symétries et la monotonie des solutions. La robustesse et la précision duschéma seront validées sur de nombreux cas tests Lagrangiens dont l’extension 3Dest particulièrement difficile. / High Energy Density Physics (HEDP) flows are multi-material flows characterizedby strong shock waves and large changes in the domain shape due to rarefactionwaves. Numerical schemes based on the Lagrangian formalism are good candidatesto model this kind of flows since the computational grid follows the fluid motion.This provides accurate results around the shocks as well as a natural tracking ofmulti-material interfaces and free-surfaces. In particular, cell-centered Finite VolumeLagrangian schemes such as GLACE (Godunov-type LAgrangian scheme Conservativefor total Energy) and EUCCLHYD (Explicit Unstructured Cell-CenteredLagrangian HYDrodynamics) provide good results on both the modeling of gas dynamicsand elastic-plastic equations. The work produced during this PhD thesisis in continuity with the work of Maire and Nkonga [JCP, 2009] for the hydrodynamicpart and the work of Kluth and Després [JCP, 2010] for the hyperelasticitypart. More precisely, the aim of this thesis is to develop robust and accurate methodsfor the 3D extension of the EUCCLHYD scheme with a second-order extensionbased on MUSCL (Monotonic Upstream-centered Scheme for Conservation Laws)and GRP (Generalized Riemann Problem) procedures. A particular care is taken onthe preservation of symmetries and the monotonicity of the solutions. The schemerobustness and accuracy are assessed on numerous Lagrangian test cases for whichthe 3D extensions are very challenging.