In der vorliegenden Habilitationsschrift wird der Diracsee im äußeren Feld definiert und im Detail im Ortsraum untersucht. Kapitel 1 gibt eine allgemeine Einführung und einen Überblick. In Kapitel 2 wird gezeigt, daß der Diracsee für die Diracgleichung mit allgemeiner Wechselwirkung eindeutig definiert werden kann, wenn man eine Kausalitätsbedingung für den Diracsee fordert. Wir leiten eine explizite Formel für den Diracsee als Potenzreihe in den bosonischen Potentialen ab. Die Konstruktion wird auf Systeme von Diracseen verallgemeinert. Falls das System chirale Fermionen enthält, liefert die Kausalitätsbedingung eine Einschränkung für die bosonischen Potentiale. In Kapitel 3 untersuchen wir den Diracsee in chiralen und skalaren/pseudoskalaren Feldern. Als Vorbereitung wird eine Methode entwickelt, mit der die avancierte und retardierte Greensche Funktion um den Lichtkegel entwickelt werden kann. Dazu werden zunächst alle Feynman-Diagramme entwickelt und anschließend die Störungsreihe aufsummiert. Diese Lichtkegelentwicklung beschreibt die Greenschen Funktionen mittels einer unendlichen Reihe von Linienintegralen über das äußere Potential und dessen partielle Ableitungen. Der Diracsee wird in einen kausalen und einen nichtkausalen Anteil zerlegt. Der kausale Anteil hat eine Lichtkegelentwicklung, die mit der Lichtkegelentwicklung der Greenschen Funktionen eng verwandt ist; sie beschreibt das singuläre Verhalten des Diracsees mit Hilfe geschachtelter Linienintegrale längs des Lichtkegels. Der nichtkausale Anteil ist dagegen in jeder Ordnung Störungstheorie eine glatte Funktion im Ortsraum. / In this habiltation, the Dirac sea in the presence of an external field is defined and analyzed in detail in position space. Chapter 1 gives a general introduction and overview. In Chapter 2, it is shown that the Dirac sea can be uniquely defined for the Dirac equation with general interaction, if we impose a causality condition on the Dirac sea. We derive an explicit formula for the Dirac sea in terms of a power series in the bosonic potentials. The construction is extended to systems of Dirac seas. If the system contains chiral fermions, the causality condition yields a restriction for the bosonic potentials. In Chapter 3, we study the Dirac sea in the presence of chiral and scalar/pseudoscalar fields. In preparation, a method is developed for calculating the advanced and retarded Green''s functions in an expansion around the light cone. For this, we first expand all Feynman diagrams and then explicitly sum up the perturbation series. The light-cone expansion expresses the Green''s functions as an infinite sum of line integrals over the external potential and its partial derivatives. The Dirac sea is decomposed into a causal and a non-causal contribution. The causal contribution has a light-cone expansion which is closely related to the light-cone expansion of the Green''s functions; it describes the singular behavior of the Dirac sea in terms of nested line integrals along the light cone. The non-causal contribution, on the other hand, is, to every order in perturbation theory, a smooth function in position space.

Der aktuelle experimentelle Fortschritt bei der Manipulation ultrakalter Atome mit Licht löst gegenwärtig ein großes Interesse an der Physik entarteter Quantengase und der niederenergetischen Streuung weniger Teilchen aus. Insbesondere ist es möglich, nahezu perfekte periodische Potenziale sogenannte optische Gitter, zu generieren. Die Untersuchung des Verhaltens weniger Quantenteilchen in einem eindimensionalen Gitter ist Thema dieser Arbeit. Der Großteil der Ergebnisse ist im Rahmen der tight-binding-Näherung erhalten worden, welche eine exakt numerische oder analytische Behandlung ermöglicht. Für das Zwei-Körper Problem werden theoretische Methoden entwickelt, um stationäre Streuzustände und gebundene Zustände zu berechnen, und diese werden verallgemeinert, um exakte Ergebnisse für beliebige Wechselwirkungen and Teilchenstatistiken zu erhalten. Der Quantentransport von einem und zwei Teilchen wird auch berücksichtigt. Das Problem der Bindung und Streuung dreier identischer Bosonen wird eingehend betrachtet, wobei neuartige Typen von gebundenen Zuständen entdeckt wurden. Schließlich werden andere Gittersysteme studiert, indem Methoden vorgestellt werden, die mit den für das Zwei-Körper Problem entwickelten Methoden eng verwandt sind. / There is currently a great interest in the physics of degenerate quantum gases and low-energy few-body scattering due to the recent experimental advances in manipulation of ultracold atoms by light. In particular, almost perfect periodic potentials, called optical lattices, can be generated. The physics of few quantum particles on a one-dimensional lattice is the topic of this thesis. Most of the results are obtained in the tight-binding approximation, which is amenable to exact numerical or analytical treatment. For the two-body problem, theoretical methods for calculating the stationary scattering and bound states are developed, and are generalized to obtain exact results for arbitrary interactions and particle statistics. Quantum transport of one and two particles is also considered. The problem of binding and scattering of three identical bosons is studied in detail, finding novel types of bound states. Finally, other lattice systems are studied by introducing methods closely connected with the methods developed for the two-body problem.

Die Dissertation besteht aus zwei Teilen: im ersten Teil wird das Verhalten von kleinen Edelgasclustern in intensiven Laserfeldern theoretisch untersucht. Im zweiten Teil wenden wir die Bohmsche Mechanik auf die Untersuchung von Helium und des Wasserstoffmolkülions (H_2^+) in intensiven Pulsen an. Im ersten Teil wird zunaechst ein numerisches Modell entwickelt, welches es erlaubt, unter Mitnahme aller Elektronen die die Dynamik kleiner Edelgascluster in starken Feldern zu simulieren. Anschliessend wird detailliert untersucht, wie die Expansion eines Clusters Einfluss auf dessen Absorptionseigenschaften nimmt. Wir verallgemeinern dabei den aus der Molekuelphysik bekannten "enhanced-ionization" Mechanismus auf den Bereich der Clusterphysik. Im zweiten Teil wird die in der Bohmschen Mechanik gegebene Moeglichkeit einer mikroskopischen Untersuchung der Wellenfunktionsdynamik verwendet, um atomphysikalische Prozesse unter einem neuen Aspekt zu betrachten. Der Ionisationsprozess des Wasserstoffmolekuelions im starken Lichtfeld wird eingehend untersucht, insbesondere die Frage, bei welchen Kernabstaenden die Ionisation stattfindet. Fuer das Heliumatom liefert die Analyse der zur Einfach- bzw. Doppelionisation fuehrenden Anfangszustaende der Bohmschen Testteilchen neue Einblicke in das nichtsequentielle Ionisationsverhalten.

In dieser Arbeit werden die Grundlagen von zwei häufig auftretenden Merkmalen unserer Naturgesetze untersucht: Eichsymmetrien und Quantisierung. Durch die Betrachtung dieser Merkmale im mathematischen Rahmen von Homotopie-Algebren wollen wir neue Methoden zur Berechnung physikalischer Observablen beschreiben, insbesondere in der Kosmologie und der Quantenmechanik. Zunächst befassen wir uns mit dem Problem der Eichredundanzen, die es schwer machen zu erkennen, welche Größen eine physikalische Bedeutung haben. Im Jahr 1980 erreichte Bardeen dieses Ziel in der kosmologischen Störungstheorie zu erster Ordnung. Die Frage, ob dieses Verfahren auf die perturbative Expansion von Eichtheorien aller Ordnungen ausgedehnt werden kann, ist seitdem jedoch offen geblieben. Wir zeigen, dass die Umformulierung von Eichtheorien in eichinvariante Felder als ein Transfer von homotopie-algebraischer Strukturen verstanden werden kann. Unter Verwendung dieses mathematischen Rahmens erweitern wir dann die Gültigkeit der Bardeen-Variablen auf perturbative Eichtheorien zu allen Ordnungen. Nach der Einführung eines systematisches Verfahrens für die eichinvariante Störungstheorie betrachten wir die Berechnung von Observablen in der Doppelfeldtheorie um zeitabhängige Hintergründe. Indem wir die Doppelfeldtheorie um zeitabhängige Hintergründe quadratischer und kubischer Ordnung erweitern und die quadratische Wirkung in den eichinvarianten Variablen ausdrücken, schaffen wir eine Grundlage für zukünftige Berechnungen, insbesondere zur Untersuchung des Einflusses massiver Stringmoden in kosmologischen Hintergründen. Zum Schluss betrachten wir einen anderen Ansatz zur Berechnung von Erwartungswerten in der Quantenmechanik. Obwohl die Pfadintegralformulierung der Quantenmechanik für den Fortschritt der Quantentheorie von entscheidender Bedeutung war, fehlt ihr immer noch eine strenge mathematische Definition. Die Reduktion eines unendlich-dimensionalen Raums von klassisch erlaubten Trajektorien auf einen Erwartungswert, der lediglich eine Funktion der Anfangs- und Endrandbedingungen ist, hat jedoch eine homotopiealgebraische Interpretation. Mit Hilfe des Batalin-Vilkovisky-Formalismus, der eng mit Homotopie-Lie-Algebren verwandt ist, entwickeln wir einen homologischen Ansatz zur Berechnung von Quantenerwartungswerten. Als Beispiel betrachten wir den harmonischen Oszillator und zeigen, dass unsere Methode auch im Kontext der Quantenfeldtheorie in gekrümmter Raumzeit verwendet werden kann, indem wir den Unruh-Effekt berechnen. / This thesis examines the underpinnings of two frequently manifest features of our laws of nature: gauge symmetries and quantization. By studying these features through the mathematical framework of homotopy algebras, we aim to describe new methods towards the computation of physical observables, in particular for cosmology and quantum mechanics. First, we deal with the problem of gauge redundancies, which make it difficult to discern which quantities have physical meaning. In 1980, Bardeen introduced a procedure to achieve this goal in first order cosmological perturbation theory. However, the question whether this procedure can be extended to the perturbative expansion of gauge theories to all orders has remained open since then. We show that, in general, the reformulation of gauge theories in gauge invariant fields has the interpretation of transferring homotopy algebraic structure. Utilising this mathematical framework, we then generalize Bardeen’s procedure to perturbative expansions of gauge theories to all orders in perturbations. After establishing a systematic procedure for gauge invariant perturbation theory, we set up the stage for computing observables in double field theory around time-dependent backgrounds. Double field theory not only has T-duality as a manifest symmetry, which is expected to be important in string cosmology proposals, but is also (in its weakly constrained form) a description of massive string modes, and hence is a suitable arena to investigate the imprint of massive string modes in cosmological backgrounds. By expanding double field theory around time-dependent backgrounds to quadratic and cubic order and expressing the quadratic action in terms of gauge invariant variables, we provide a basis for future computations. Finally, we describe a different approach for computing expectation values in quantum mechanics. Though having been essential for the progress of quantum theory, the path integral formulation of quantum mechanics still lacks a rigorous mathematical definition. However, the act of reducing an infinite-dimensional space of classically allowed trajectories into an expectation value which is merely a function of the initial and final boundary conditions does have a homotopy algebraic interpretation. Through the Batalin-Vilkovisky formalism, which is closely related to homotopy Lie algebras, we build a homological approach for computing quantum expectation values. We demonstrate our method for the harmonic oscillator and we show that our method can also be used in the context of quantum field theory in curved spacetime by rederiving the Unruh effect.

Glycosaminoglycans (GAGs) play an important role in many biological processes in the extracellular matrix. In a theoretical approach, structures of monosaccharide building blocks of natural GAGs and their sulfated derivatives were optimized by a B3LYP6311ppdd//B3LYP/ 6-31+G(d) method. The dependence of the observed conformational properties on the applied methodology is described. NMR chemical shifts and proton-proton spin-spin coupling constants were calculated using the GIAO approach and analyzed in terms of the method's accuracy and sensitivity towards the influence of sulfation, O1-methylation, conformations of sugar ring, and ω dihedral angle. The net sulfation of the monosaccharides was found to be correlated with the 1H chemical shifts in the methyl group of the N-acetylated saccharides both theoretically and experimentally. The ω dihedral angle conformation populations of free monosaccharides and monosaccharide blocks within polymeric GAG molecules were calculated by a molecular dynamics approach using the GLYCAM06 force field and compared with the available NMR and quantum mechanical data. Qualitative trends for the impact of sulfation and ring conformation on the chemical shifts and proton-proton spin-spin coupling constants were obtained and discussed in terms of the potential and limitations of the computational methodology used to be complementary to NMR experiments and to assist in experimental data assignment.

In der vorliegenden Arbeit wird die Fredholm-Methode zur semiklassischen Berechnung einzelner Eigenzustaende von Quantenabbildungen eingesetzt. Es wird gezeigt, wie auch Eigenzustaende zu entarteten Eigenwerten berechnet werden koennen. Die semiklassische Berechnung eines Eigenzustandes erfolgt mittels der Husimifunktion. Es wird gezeigt, wie das Auftreten von Bifurkationen periodischer Bahnen beruecksichtigt werden kann. Dies geschieht auch fuer den Fall von energiegemittelten Eigenzustaenden. Ebenfalls wird die Stoerung einer Quantenabbildung durch einen Punktstreuer und dessen Auswirkungen auf die semiklassische Berechnungen untersucht.

This thesis explores the possibility of using parallel algorithms to calculate the dynamics of driven quantum systems prevalent in atomic physics. In this process, new as well as existing algorithms are considered. The thesis is split into three parts. In the first part an attempt is made to develop a new formalism of the time dependent Schroedinger equation (TDSE) in the hope that the new formalism could lead to a parallel algorithm. The TDSE is written as an eigenvalue problem, the ground state of which represents the solution to the original TDSE. Even though mathematically sound and correct, it turns out the ground state of this eigenvalue problem cannot be easily found numerically, rendering the original hope a false one. In the second part we borrow a Bayesian global optimisation method from the machine learning community in an effort to find the optimum conditions in different systems quicker than textbook optimisation algorithms. This algorithm is specifically designed to find the optimum of expensive functions, and is used in this thesis to 1. maximise the electron yield of hydrogen, 2. maximise the asymmetry in the photo-electron angular distribution of hydrogen, 3. maximise the higher harmonic generation yield within a certain frequency range, 4. generate short pulses via combining higher harmonics generated by hydrogen. In the last part, the phenomenon of dynamic interference (temporal equivalent of the double-slit experiment) is discussed. The necessary conditions are derived from first principles and it is shown where some of the previous analytical and numerical studies have gone wrong; it turns out the choice of gauge plays a crucial role. Furthermore, a number of different scenarios are presented where interference in the photo-electron spectrum is expected to occur.

The electron transport through a molecular wire under the influence of an external laser field is studied using a reduced density matrix formalism. The full system is partitioned into the relevant part, i.e. the wire, electron reservoirs and a phonon bath. An earlier second-order perturbation theory approach of Meier and Tannor for bosonic environments which employs a numerical decomposition of the spectral density is used to describe the coupling to the phonon bath and is extended to deal with the electron transfer between the reservoirs and the molecular wire. Furthermore, from the resulting time-nonlocal (TNL) scheme a time-local (TL) approach can be determined. Both are employed to propagate the reduced density operator in time for an arbitrary time-dependent system Hamiltonian which incorporates the laser field non-perturbatively. Within the TL formulation, one can extract a current operator for the open quantum system. This enables a more general formulation of the problem which is necessary to employ an optimal control algorithm for open quantum systems in order to compute optimal control fields for time-distributed target states, e.g. current patterns. Thus, we take a fundamental step towards optimal control in molecular electronics. Numerical examples of the population dynamics, laser controlled current, TNL vs. TL and optimal control fields are presented to demonstrate the diverse applicability of the derived formalism.

This thesis explores the possibility of using parallel algorithms to calculate the dynamics of driven quantum systems prevalent in atomic physics. In this process, new as well as existing algorithms are considered. The thesis is split into three parts. In the first part an attempt is made to develop a new formalism of the time dependent Schroedinger equation (TDSE) in the hope that the new formalism could lead to a parallel algorithm. The TDSE is written as an eigenvalue problem, the ground state of which represents the solution to the original TDSE. Even though mathematically sound and correct, it turns out the ground state of this eigenvalue problem cannot be easily found numerically, rendering the original hope a false one. In the second part we borrow a Bayesian global optimisation method from the machine learning community in an effort to find the optimum conditions in different systems quicker than textbook optimisation algorithms. This algorithm is specifically designed to find the optimum of expensive functions, and is used in this thesis to 1. maximise the electron yield of hydrogen, 2. maximise the asymmetry in the photo-electron angular distribution of hydrogen, 3. maximise the higher harmonic generation yield within a certain frequency range, 4. generate short pulses via combining higher harmonics generated by hydrogen. In the last part, the phenomenon of dynamic interference (temporal equivalent of the double-slit experiment) is discussed. The necessary conditions are derived from first principles and it is shown where some of the previous analytical and numerical studies have gone wrong; it turns out the choice of gauge plays a crucial role. Furthermore, a number of different scenarios are presented where interference in the photo-electron spectrum is expected to occur.

The on-surface reactions of 10-bromo-10'-(2,6-dimethylphenyl)-9,9'-bianthracene on Au(111) surface have been investigated by a combination of bond-resolved scanning tunneling microscopy, scanning tunneling spectroscopy, and tightbinding and mean-field Hubbard calculations. The reactions afford the synthesis of two open-shell nanographenes (1a and 1b) exhibiting different scenarios of all-carbon magnetism. 1a, an allbenzenoid nanographene with previously unreported triangulenelike termini, contains a high proportion of zigzag edges, which endows it with an exceedingly low frontier gap of 110 meV and edge-localized states. The dominant reaction product (1b) is a non-benzenoid nanographene consisting of a single pentagonal ring in a benzenoid framework. The presence of this nonbenzenoid topological defect, which alters the bond connectivity in the hexagonal lattice, results in a non-Kekulé nanographene with a spin S = ½, which is detected as a Kondo resonance. Our work provides evidence of all-carbon magnetism, and motivates the use of topological defects as structural elements toward engineering agnetism in carbon-based nanomaterials for spintronics.