De nombreux algorithmes de traitement d'image numérique (compression, restauration, analyse) sont basés sur une représentation en ondelettes. Les outils mathématiques disponibles étant souvent pensés pour des signaux 1D à valeurs scalaires (comme le son), ils sont mal adaptés aux signaux 2D vectoriels comme les images couleur. Les méthodes les plus répandues utilisent ces outils indépendamment sur chaque ligne et chaque colonne (méthodes « séparables »), de chaque plan couleur (méthode « marginale ») de l'image. Ces techniques trop simples ne donnent pas accès aux informations visuelles élémentaires, aboutissant à des traitements qui risquent d'introduire des artefacts rectangulaires et de fausses couleurs. Notre axe de recherche se situe autour des représentations analytiques qui utilisent un modèle oscillatoire des signaux. Ces outils de traitement du signal sont connus pour être bien adaptés à la perception humaine (auditive et visuelle), et leur extension à des dimensions supérieures est un sujet encore très actif, qui révèle des propriétés intéressantes pour l'analyse de la géométrie locale. Dans cettethèse, nous faisons une revue des ondelettes analytiques existantes pour l'image en niveaux de gris (dites complexes, quaternioniques et monogènes), et nous proposons des expérimentations qui valident leur intérêt pratique. Nous définissons ensuite une extension vectorielle qui permet de manipuler facilement le contenu géométrique d'une image couleur, ce que nous validons à travers des expérimentations en codage et analyse d'image. / Many digital image processing algorithms (compression, restoration, analysis) are based on a wavelet representation. Available mathematical tools are often designed for 1D and scalar-valued signals (e.g. sound) so ill-adapted for 2D vector signals such as images. Most methods use those tools independently on every row and column (“separable methods”) of each color channel (“marginal methods”) of the image. These too simple techniques cannot give access to elementary visual information, sometimesresulting in rectangular artifacts or false colors. Our topic is about analytic representations using an oscillatory model for signals. These signal processing tools are known to fit well the human perception (auditory and visual), and their extension to higher dimensions is still an active topic revealing interesting properties for local geometry analysis. In this thesis we review existing analytic wavelets for grayscale images (complex, quaternionic and monogenic) and we propose experiments that validate their practical interest. We then define a vector extension that handles well the geometric content of a color image, whatwe further validate through experiments of image coding and analysis.

Le théorème central de cette thèse est une construction de métriques quaternion-kählériennes sur des variétés de dimension 8 modelées sur l'espace symétrique de type non-compact G2/SO(4). Cette construction s'inscrit dans la lignée des constructions de LeBrun (1989) et de Biquard (2000) pour lesquelles d'un côté les variétés quaternion-kählériennes construites possèdent un modèle homogène qui est un espace symétrique de type non-compact G/K, et d'un autre côté, les données initiales peuvent s'interpréter comme étant des déformations d'un bord de Furstenberg G/P où P est un sous-groupe parabolique de G. Ces constructions nous amènent ainsi à penser qu'il existe une correspondance générale entre des déformations de bords de Furstenberg G/P et des variétés quaternion-kählériennes.Ces déformations d'espaces G/P sont des variétés munies de géométries paraboliques. Après une présentation de la théorie des géométries paraboliques donnée dans la première partie, nous nous consacrerons, dans la deuxième partie à la correspondance précédemment supposée. En observant la construction de LeBrun (1989), nous réduirons les candidats pour une généralisation de cette construction à deux cas dont celui de l'espace G2/SO(4) et du parabolique P fixant une droite isotrope de R^{3,4}. Dans la dernière partie, nous donnerons justement la construction des métriques quaternion-kählériennes dont les données initiales sont des géométries paraboliques de type (G2,P). Cette construction passe par la construction d'espaces des twisteurs dans lesquels nous déformons des courbes doubles. Les variétés quaternion-kählériennes construites sont des ouverts des espaces de déformation de ces courbes. / The main theorem of this thesis is a construction of quaternionic Kählerian metrics over a 8-manifolds modelled on the non-compact Riemannian symmetric space G2/SO(4). This construction is in line with LeBrun?s construction (1989) and Biquard?s construction (2000) for which, on one side, the quaternionic Kählerian manifolds constructed have a homogeneous model which is a non-compact Riemannian symmetric space G/K , and in the other side, the initial data can be seen as deformations of a Furstenberg boundary G/P with P a parabolic sub-group of G. These constructions lead us to think about a general correspondence between the deformations of Furstenberg boundaries and quaternionic Kählerian manifolds. Those deformation of G/P space are manifolds with parabolic geometries. After a presentation of the theory of parabolic geometries given in the first part, we will focus on the previous supposed correspondence in the second part. Observing LeBrun?s construction (1989), we will reduce the candidates for a generalisation of this construction to two cases among which the one of the space G2/SO(4) with the parabolic sub-group P stabilizing an isotropic line in R^{3,4}. In the last part, we will precisely give the construction of quaternionic Kählerian metrics with initial data some parabolic geometries of type (G2,P). This construction begins with the construction of twistor spaces where we will deform some double curve named ribbon. The quaternionic Kählerian manifolds constructed will be some open set in the space of deformation of these curves.

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Mémoire numérisé par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal.

Mémoire numérisé par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal

La présente thèse porte sur le développement d'une théorie d'algèbre linéaire, de géométrie et d'analyse basée sur les algèbres (Z2)n-commutatives, c'est-à-dire des algèbres (Z2)n-graduées associatives unitaires satisfaisant ab = (-1)<deg(a),deg(b)>ba, pour tout couple d'éléments homogènes a, b de degrés deg(a), deg(b) où <.,.> est le produit scalaire usuel). Cette généralisation de la supergéométrie a de nombreuses applications : en mathématiques (l'algèbre de Deligne des superformes différentielles, l'algèbre des quaternions et les algèbres de Clifford en sont des exemples) et même en physique (paraparticules). Dans ce travail, les notions de trace et de (super)déterminant pour des matrices à coefficients dans une algèbre gradué-commutative sont définies et étudiés. Une attention particulière est portée au cas des algèbres de Clifford : ce point de vue gradué fournit une nouvelle approche au problème classique du « bon » déterminant pour des matrices à coefficient non-commutatifs (quaternioniques). En outre, nous entreprenons l'étude de la géométrie différentielle (Z2)n-graduée. Privilégiant l'approche par les espaces annelés, les (Z2)n-supervariétés sont définies en choisissant l'algèbre (Z2)n-commutative des séries formelles en variables graduées comme modèle pour le faisceau de fonctions. Les résultats les plus marquants ainsi obtenus sont : le Berezinien gradué et son interprétation cohomologique (essentielle pour établir une théorie de l'intégration) ; le théorème des morphismes, attestant qu'on peut rétablir un morphisme entre (Z2)n-supervariétés à partir de sa seule expression sur les coordonnées ; le théorème de Batchelor-Gawedzki pour les (Z2)n-supervariétés lisses / The present thesis deals with a development of linear algebra, geometry and analysis based on (Z2)n-superalgebras ; associative unital algebras which are (Z2)n-graded and graded-commutative, i.e. statisfying ab=(-1)<deg(a),deg(b)>ba, for all homogeneous elements a, b of respective degrees deg(a), deg(b) in (Z2)n (<.,.> denoting the usual scalar product). This generalization widens the range of applications of supergeometry to many mathematical structures (quaternions and more generally Clifford algebras, Deligne algebra of superdifferential forms, higher vector bundles) and appears also in physics (for describing paraparticles) proving its worth and relevance. In this dissertation, we first focus on (Z2)n-superalgebra theory ; we define and characterize the notions of trace and (super)determinant of matrices over graded-commutative algebras. Special attention is given to the case of Clifford algebras, where our study gives a new approach to treat the classical problem of finding a “good” determinant for matrices with noncommuting (quaternionic) entries. Further, we undertake the study of (Z2)n-graded differential geometry. Privileging the ringed space approach, we define (smooth) (Z2)n-supermanifolds modeling their algebras of functions on the (Z2)n-commutative algebra of formal power series in graded variables, and develop the theory along the lines of supergeometry. Notable results are : the graded Berezinian and its cohomological interpretation (essential to establish integration theory) ; the theorem of morphism, which states that a morphism of (Z2)n-supermanifolds can be recovered from its coordinate expression ; Batchelor-Gawedzki theorem for (Z2)n-supermanifolds

Die Reichhaltigkeit und breite Anwendbarkeit der Theorie der holomorphen Funktionen in der komplexen Ebene ist stark motivierend eine ähnliche Theorie für höhere Dimensionen zu entwickeln. Viele Forscher waren und sind in diese Aufgaben involviert, insbesondere in der Entwicklung der Quaternionenanalysis. In den letzten Jahren wurde die Quaternionenanalysis bereits erfolgreich auf eine Vielzahl von Problemen der mathematischen Physik angewandt. Das Ziel der Dissertation besteht darin, holomorphe Strukturen in höheren Dimensionen zu studieren. Zunächst wird ein neues Holomorphiekonzept vorgelegt, was auf der Theorie rechtsinvertierbarer Operatoren basiert und nicht auf Verallgemeinerungen des Cauchy-Riemann-Systems wie üblich. Dieser Begriff umfasst die meisten der gut bekannten holomorphen Strukturen in höheren Dimensionen. Unter anderem sind die üblichen Modelle für reelle und komplexe quaternionenwertige Funktionen sowie Clifford-algebra-wertige Funktionen enthalten. Außerdem werden holomorphe Funktionen mittels einer geeignete Formel vom Taylor-Typ durch spezielle Funktionen lokal approximiert. Um globale Approximationen für holomorphe Funktionen zu erhalten, werden im zweiten Teil der Arbeit verschiedene Systeme holomorpher Basisfunktionen in drei und vier Dimensionen mittels geeigneter Fourier-Entwicklungen explizit konstruiert. Das Konzept der Holomorphie ist verbunden mit der Lösung verallgemeinerter Cauchy-Riemann Systeme, deren Funktionswerte reellen Quaternionen bzw. reduzierte Quaternionen sind. In expliziter Form werden orthogonale holomorphe Funktionensysteme konstruiert, die Lösungen des Riesz-Systems bzw. des Moisil-Teodorescu Systems über zylindrischen Gebieten im R3, sowie Lösungen des Riesz-Systems in Kugeln des R4 sind. Um konkrete Anwendungen auf Randwertprobleme realisieren zu können wird eine orthogonale Zerlegung eines Rechts-Quasi-Hilbert-Moduls komplex-quaternionischer Funktionen unter gegebenen Bedingungen studiert. Die Ergebnisse werden auf die Behandlung von Maxwell-Gleichungen mit zeitvariabler elektrischer Dielektrizitätskonstante und magnetischer Permeabilität angewandt. / The richness and widely applicability of the theory of holomorphic functions in complex analysis requires to perform a similar theory in higher dimensions. It has been developed by many researchers so far, especially in quaternionic analysis. Over the last years, it has been successfully applied to a vast array of problems in mathematical physics. The aim of this thesis is to study the structure of holomorphy in higher dimensions. First, a new concept of holomorphy is introduced based on the theory of right invertible operators, and not by means of an analogue of the Cauchy-Riemann operator as usual. This notion covers most of the well-known holomorphic structures in higher dimensions including real, complex, quaternionic, Clifford analysis, among others. In addition, from our operators a local approximation of a holomorphic function is attained by the Taylor type formula. In order to obtain the global approximation for holomorphic functions, the second part of the thesis deals with the construction of different systems of basis holomorphic functions in three and four dimensions by means of Fourier analysis. The concept of holomorphy is related to the null-solutions of generalized Cauchy-Riemann systems, which take either values in the reduced quaternions or real quaternions. We obtain several explicit orthogonal holomorphic function systems: solutions to the Riesz and Moisil-Teodorescu systems over cylindrical domains in R3, and solutions to the Riesz system over spherical domains in R4. Having in mind concrete applications to boundary value problems, we investigate an orthogonal decomposition of complex-quaternionic functions over a right quasi-Hilbert module under given conditions. It is then applied to the treatment of Maxwell’s equations with electric permittivity and magnetic permeability depending on the time variable.

Dans une première partie de cette thèse, nous donnons des minorations universelles ne dépendant que de la dimension – explicites, de trois invariants globaux des quotients des espaces hyperboliques quaternioniques : leur rayon maximal, leur volume, ainsi que leur caractéristique d’Euler. Nous donnons également une majoration de leur constante de Margulis, montrant que celle-ci décroit au moins comme une puissance négative de la dimension. Dans une seconde partie, nous étudions un réseau remarquable des isométries du plan hyperbolique quaternionique, le groupe modulaire d’Hurwitz. Nous montrons en particulier qu’il est engendré par quatres éléments, et construisons un domaine fondamental pour le sous-groupe des isométries de ce réseau qui stabilisent un point à l’infini. / In the first part of this thesis, we derive explicit universal – that is, depending only on the dimension – lower bounds on three global invariants of quaternionic hyperbolic sapces : their maximal radius, their volume, and their Euler caracteristic. We also exhibit an upper bound on their Margulis constant, showing that this last quantity decreases at least like a negative power of the dimension. In the second part, we study a specific lattice of isometries of the quaternionic hyperbolic plane : the Hurwitz modular group. In particular, we show that this group is generated by four elements, and we construct a fundamental domain for the subgroup of isometries of this lattice stabilising a point on the boundary of the quaternionic hyperbolic plane.

Die Reichhaltigkeit und breite Anwendbarkeit der Theorie der holomorphen Funktionen in der komplexen Ebene ist stark motivierend eine ähnliche Theorie für höhere Dimensionen zu entwickeln. Viele Forscher waren und sind in diese Aufgaben involviert, insbesondere in der Entwicklung der Quaternionenanalysis. In den letzten Jahren wurde die Quaternionenanalysis bereits erfolgreich auf eine Vielzahl von Problemen der mathematischen Physik angewandt. Das Ziel der Dissertation besteht darin, holomorphe Strukturen in höheren Dimensionen zu studieren. Zunächst wird ein neues Holomorphiekonzept vorgelegt, was auf der Theorie rechtsinvertierbarer Operatoren basiert und nicht auf Verallgemeinerungen des Cauchy-Riemann-Systems wie üblich. Dieser Begriff umfasst die meisten der gut bekannten holomorphen Strukturen in höheren Dimensionen. Unter anderem sind die üblichen Modelle für reelle und komplexe quaternionenwertige Funktionen sowie Clifford-algebra-wertige Funktionen enthalten. Außerdem werden holomorphe Funktionen mittels einer geeignete Formel vom Taylor-Typ durch spezielle Funktionen lokal approximiert. Um globale Approximationen für holomorphe Funktionen zu erhalten, werden im zweiten Teil der Arbeit verschiedene Systeme holomorpher Basisfunktionen in drei und vier Dimensionen mittels geeigneter Fourier-Entwicklungen explizit konstruiert. Das Konzept der Holomorphie ist verbunden mit der Lösung verallgemeinerter Cauchy-Riemann Systeme, deren Funktionswerte reellen Quaternionen bzw. reduzierte Quaternionen sind. In expliziter Form werden orthogonale holomorphe Funktionensysteme konstruiert, die Lösungen des Riesz-Systems bzw. des Moisil-Teodorescu Systems über zylindrischen Gebieten im R3, sowie Lösungen des Riesz-Systems in Kugeln des R4 sind. Um konkrete Anwendungen auf Randwertprobleme realisieren zu können wird eine orthogonale Zerlegung eines Rechts-Quasi-Hilbert-Moduls komplex-quaternionischer Funktionen unter gegebenen Bedingungen studiert. Die Ergebnisse werden auf die Behandlung von Maxwell-Gleichungen mit zeitvariabler elektrischer Dielektrizitätskonstante und magnetischer Permeabilität angewandt. / The richness and widely applicability of the theory of holomorphic functions in complex analysis requires to perform a similar theory in higher dimensions. It has been developed by many researchers so far, especially in quaternionic analysis. Over the last years, it has been successfully applied to a vast array of problems in mathematical physics. The aim of this thesis is to study the structure of holomorphy in higher dimensions. First, a new concept of holomorphy is introduced based on the theory of right invertible operators, and not by means of an analogue of the Cauchy-Riemann operator as usual. This notion covers most of the well-known holomorphic structures in higher dimensions including real, complex, quaternionic, Clifford analysis, among others. In addition, from our operators a local approximation of a holomorphic function is attained by the Taylor type formula. In order to obtain the global approximation for holomorphic functions, the second part of the thesis deals with the construction of different systems of basis holomorphic functions in three and four dimensions by means of Fourier analysis. The concept of holomorphy is related to the null-solutions of generalized Cauchy-Riemann systems, which take either values in the reduced quaternions or real quaternions. We obtain several explicit orthogonal holomorphic function systems: solutions to the Riesz and Moisil-Teodorescu systems over cylindrical domains in R3, and solutions to the Riesz system over spherical domains in R4. Having in mind concrete applications to boundary value problems, we investigate an orthogonal decomposition of complex-quaternionic functions over a right quasi-Hilbert module under given conditions. It is then applied to the treatment of Maxwell’s equations with electric permittivity and magnetic permeability depending on the time variable.