Cette thèse porte sur l'analyse mathématique de modèles de réaction-dispersion de la forme [delta]tu=D(u) +f(x,u). L'objectif est de comprendre l'influence du terme de réaction f, de l'opérateur de dispersion D, et de la donnée initiale u0 sur la propagation des solutions de ces équations. Nous nous sommes intéressés principalement à deux types d'équations de réaction-dispersion : les équations de réaction-diffusion où l'opérateur de dispersion différentielle est D=[delta]2z et les équations intégro-différentielles pour lesquelles D est un opérateur de convolution, D(u)=J* u-u. Dans le cadre des équations de réaction-diffusion en milieu homogène, nous proposons une nouvelle approche plus intuitive concernant les notions de fronts progressifs tirés et poussés. Cette nouvelle caractérisation nous a permis de mieux comprendre d'une part les mécanismes de propagation des fronts et d'autre part l'influence de l'effet Allee, correspondant à une diminution de la fertilité à faible densité, lors d'une colonisation. Ces résultats ont des conséquences importantes en génétique des populations. Dans le cadre des équations de réaction-diffusion en milieu hétérogène, nous avons montré sur un exemple précis comment la fragmentation du milieu modifie la vitesse de propagation des solutions. Enfin, dans le cadre des équations intégro-différentielles, nous avons montré que la nature sur- ou sous-exponentielle du noyau de dispersion J modifie totalement la vitesse de propagation. / This thesis deals with the mathematical analysis of reaction-dispersion models of the form [delta]tu=D(u) +f(x,u). We investigate the influence of the reaction term f, the dispersal operator D and the initial datum u0 on the propagation of the solutions of these reaction-dispersion equations. We mainly focus on two types of equations: reaction-diffusion equations (D=[delta]2z and integro-differential equations (D is a convolution operator, D(u)=J* u-u). We first investigate the homogeneous reaction-diffusion equations. We provide a new and intuitive explanation of the notions of pushed and pulled traveling waves. This approach allows us to understand the inside dynamics the traveling fronts and the impact of the Allee effect, that is a low fertility at low density, during a colonisation. Our results also have important consequences in population genetics. In the more general and realistic framework of heterogeneous reaction-diffusion equations, we exhibit examples where the fragmentation of the media modifies the spreading speed of the solution. Finally, we investigate integro-differential equations and prove that emph{fat-tailed} dispersal kernels J, that is kernels which decay slower than any exponentially decaying function at infinity, lead to acceleration of the level sets of the solution u.

On s'intéresse dans cette thèse à l'étude de méthodes numériques pour les systèmes de réaction-diffusion. Tout d'abord, on étudie le schéma par régularisation du résidu et ses extrapolations; ce schéma introduit un préconditionneur en espace lors de la discrétisation en temps. On prouve la stabilité en norme usuelle et la convergence en norme d'énergie de cette méthode et on l'applique au préconditionnement de méthodes spectrales par des méthodes d'éléments finis. Cette application nécessite le calcul d'asymptotiques précises des polynômes de Legendre et de leurs extrema. On prouve aussi la convergence et l'ordre deux d'une méthode de splitting semi-discrétisée en temps pour les systèmes de réaction-diffusion, l'approximation de Peaceman-Rachford. Enfin, on applique ces méthodes à la simulation d'une équation parabolique non linéaire pour modéliser la croissance de grains et à une équation parabolique non locale venant de la mécanique statistique et modélisant les systèmes autogravitants de fermions.

La motivation de cette thèse de Doctorat est de modéliser quelques problèmes biologiques avec des systèmes et des équations de réaction-diffusion. La thèse est divisée en sept chapitres: 1. On modélise des ions de calcium et des protéines dans une épine dendritique mobile (une microstructure dans les neurones). On propose deux modèles, un avec des protéines qui diffusent et un autre avec des protéines fixées au cytoplasme. On démontre que le premier problème est bien posé, que le deuxième problème est presque bien posé et qu'il y a un lien continu entre les deux modèles. 2. On applique les techniques du Chapitre 1 pour un modèle d'infection virale et réponse immunitaire dans des cellules cultivées. On propose comme avant deux modèles, un avec des cellules qui diffusent et un autre avec des cellules fixées. On démontre que les deux problèmes sont bien posés et qu'il y a un lien continu entre les deux modèles. On Žtudie aussi le comportement asymptotique et la stabilité des solutions pour des temps larges, et on fait des simulations dans Matlab. 3. Dans le Chapitre 3 on montre que la croissance a deux effets positives dans la formation de motifs ou patterns. Le premier est un effet anti-explosion (anti-blow-up) car les solutions sur un domaine croissant explosent plus tard que celles sur un domaine fixé, et si la croissance est suffisamment rapide alors elle peut même empêcher l'explosion. Le deuxième est un effet stabilisant car les valeur propres sur un domaine croissant ont des parties réelles plus petites que celles sur un domaine fixé. 4. On étend la définition de front progressif à des variétés et on en étudie quelques propriétés. 5. On étudie des front progressifs sur la droite réelle. On démontre qu'il y a deux fronts progressifs qui se déplacent dans des directions opposées et qu'ils se bloquent mutuellement, générant ainsi une solution stationnaire non-triviale. Cet exemple montre que pour des modèles à diffusion non-homogène les fronts progressifs ne sont pas nécessairement des invasions. 6. On étudie des fronts progressifs sur la sphère. On démontre que pour des sous-domaines de la sphère avec des conditions aux limites de Dirichlet le front progressif est toujours bloqué, tandis que pour la sphère complète le front peut ou bien invahir ou bien être bloqué, tout en fonction des conditions initiales. 7. On étudie un problème elliptique aux valeurs propres nonlinéaires. Sur la sphère de dimension 1 on démontre l'existence de multiples solutions non-triviales avec des techniques de bifurcation. Sur la sphère de dimension n on utilise les mêmes arguments pour dŽmontrer l'existence de multiples solutions non-triviales à symétrie axiale, i.e. qui ne dépendent que de l'angle vertical.

Cette thèse traite, dans une première partie, de la propagation unidimensionnelle de fronts de réactions exothermiques, à différentes échelles de description. Dans une approche macroscopique, la quantité de chaleur dégagée par la réaction vient coupler l'équation de convection-réaction-diffusion et les équations de l'hydrodynamique. Ce travail montre l'existence d'un domaine interdit de vitesses de propagation pour un front d'onde chimique stationnaire. Il met en évidence une transition entre une propagation principalement déterminée par les processus de réaction-diffusion, pour de faibles chaleurs de réaction, et une propagation principalement déterminée par les équations de l'hydrodynamique et l'équation d'état du fluide, pour une quantité de chaleur plus importante. Cette bifurcation est illustrée dans les cas d'un gaz parfait et d'un fl uide de van der Waals. La simulation microscopique de la dynamique des particules par la méthode 'Direct Simulation Monte Carlo' (DSMC) permet de retrouver ces résultats pour un gaz dilué. Dans une seconde partie, cette thèse développe un modèle de précipitation d'aiguilles de gypse à partir de grains d'hémihydrate de sulfate de calcium ainsi qu'un algorithme de simulation de la prise du plâtre à une échelle submicrométrique. Les résultats de simulation sont comparés à ceux issus d'une approche déterministe et d'une approche stochastique par une équation maîtresse. En dégageant un ensemble de paramètres ajustables et interprétables physiquement, le modèle permet de proposer une explication de l'effet d'un traitement industriel con dentiel améliorant la cinétique de formation et la morphologie du matériau final.

Motivated by the existence of complex behaviors arising from interactions between chemistry and fluid dynamics in numerous research problems and every-day life situations, we theoretically investigate the dynamics resulting from the interplay between chemistry, diffusion, and fluid motions in a reactive aqueous solution. As a chemical reaction induces changes in the temperature and in the composition of the reactive medium, such a reaction can modify the properties of the solution (density, viscosity, surface tension,…) and thereby trigger convective motions, which in turn affect the reaction. Two classes of convective flows are commonly occurring in solutions open to air, namely Marangoni flows arising from surface tension gradients and buoyancy flows driven by density gradients. As both flows can be induced by compositional changes as well as thermal changes and in turn modify them, the resulting experimental dynamics are often complex. The purpose of our thesis is to gain insight into these intricate dynamics thanks to the theoretical analysis of model systems where only one type of convective flow is present. In particular, we numerically study the spatio-temporal evolution of model chemical fronts resulting from the coupling between reactions, diffusion, and convection. Such fronts correspond to self-organized interfaces between the products and the reactants, which typically have different density and surface tension. Fluid motions are therefore spontaneously induced due to these differences across the front. In this context, we first address the propagation of a model autocatalytic front in a horizontal solution layer, in the presence of pure Marangoni convection on the one hand and of pure buoyancy convection on the other hand. We evidence that, in both cases, the system attains an asymptotic dynamics characterized by a steady fluid vortex traveling with the front at a constant speed. The presence of convection results in a deformation and acceleration of the chemical front compared to the reaction-diffusion situation. However we note important differences between the Marangoni and buoyancy cases that could help differentiate experimentally between the influence of each hydrodynamic effect arising in solutions open to the air. We also consider how the kinetics and the exothermicity of the reaction influence the dynamics of the system. The propagation of an isothermal front occurring when two diffusive reactants are initially separated and react according to a simple bimolecular reaction is next studied in the presence of chemically-induced buoyancy convection. We show that the reaction-diffusion predictions established for convection-free systems are modified in the presence of fluid motions and propose a new way to classify the various possible reaction-diffusion-convection dynamics./En induisant des changements de composition et de température, une réaction chimique peut modifier les propriétés physiques (densité, viscosité, tension superficielle,…) de la solution dans laquelle elle se déroule et ainsi générer des mouvements de convection qui, à leur tour, peuvent affecter la réaction. Les deux sources de convection les plus courantes en solution ouverte à l’air sont les gradients de tension superficielle, ou effets Marangoni, et les gradients de densité. Comme ces deux sources sont en compétition et peuvent toutes deux résulter de différences de concentration ou de température, les dynamiques observées expérimentalement sont souvent complexes. Le but de notre thèse est de contribuer à la compréhension de telles dynamiques par une étude théorique analysant des modèles réaction-diffusion-convection simples. En particulier, nous étudions numériquement l’évolution spatio-temporelle de fronts chimiques résultant du couplage entre chimie non-linéaire, diffusion et hydrodynamique. Ces fronts constituent l’interface auto-organisée entre les produits et les réactifs qui typiquement ont des densités et tensions superficielles différentes. Des mouvements du fluide peuvent dès lors être spontanément initiés dus à ces différences au travers du front. Dans ce contexte, nous étudions la propagation d’un front chimique autocatalytique se propageant dans une solution aqueuse horizontale, d’une part en la seule présence d’effets Marangoni, et d’autre part en présence uniquement d’effets de densité. Nous avons montré que dans les deux cas, le système atteint une dynamique asymptotique caractérisée par la présence d’un rouleau de convection stationnaire se propageant à vitesse constante avec le front. Ce front est à la fois déformé et accéléré par les mouvements convectifs par rapport à la situation réaction-diffusion. Nous avons mis en évidence d’importantes différences entre les deux régimes hydrodynamiques qui pourraient aider les expérimentateurs à différencier les effets de tension superficielle de ceux de densité générés par la propagation de fronts chimiques en solution. Nous avons également considéré l’influence de la cinétique de réaction ainsi que de l’exothermicité sur la dynamique de ces fronts. Enfin, nous avons étudié la propagation en présence de convection d’un front de réaction impliquant deux espèces de densités différentes, initialement séparées et réagissant selon une cinétique bimoléculaire. Nous avons montré que la convection modifie les propriétés réaction-diffusion du système et nous proposons de nouveaux critères pour classifier les dynamiques réaction-diffusion-convection.

Ce travail est une contribution à l'étude de la limite singulière des équations et des systèmes de Réaction-Diffusion. Ces derniers modélisent des problèmes issus de la physique, de la chimie, de la biologie et des sciences de la technologie. En effet, ce type de problème se présente dans la nature et sont caractérisés par la présence de paramètres qui, lorsqu' ils sont suffisamment grands, donnent lieu généralement à un phénomène appelé couches limites. Cette thèse est composée de cinq chapitres traitant les limites singulières des équations et des systèmes de Réaction Diffusion ainsi que l' existence et l'unicité de solution pour un problème d'obstacle et de quelques EDPs elliptique-parabolique doublement non linéaire avec un opérateur de type Leray Lions. Dans le premier chapitre, nous présentons des résultats théoriques et abstraits sur les limites singulières, où nous traitons aussi la compétition entre deux ou plusieurs opérateurs. Nous appliquons ces résultats dans le contexte des équations aux dérivées partielles et nous étudions le comportement de la solution d'un modèle, lorsque les coefficients de diffusion et/ou de réaction deviennent très grands. Dans les deux chapitres qui suivent, nous considérons un système de réaction diffusion intervenant dans des modèles (macroscopiques) de diffusion dans un milieu hétérogène. Nous présentons d'abord une analyse mathématique (existence et unicité de la solution), ensuite nous étudions le comportement de la solution lorsque le paramètre d'homogénéité devient très grand sur un sous domaine. Le chapitre trois est dédié à l'analyse numérique d'un modèle linéaire, nous prouvons l' existence d'une solution approchée satisfaisant des propriétés de stabilité et de convergence vers la solution du problème continu indépendamment du paramètre d'homogénéité. Le chapitre quatre a pour objet l'étude de l'existence et l'unicité de la solution d'un problème d'obstacle doublement non linéaire avec des contraintes bilatérales, dépendantes de l'espace. Enfin, dans le cinquième chapitre, nous présentons une généralisation des résultats du chapitre trois au cas d'un opérateur de type Leray-Lions et une réaction qui dépend de l'espace.

Cette thèse propose une approche, par les méthodes du groupe de renormalisation non perturbatif, des phénomènes critiques dans les systèmes hors de l'équilibre. Ce travail se scinde en deux parties. La première présente une analyse méthodologique des propriétés de convergence et de précision des approximations les plus couramment utilisées dans ce formalisme : le développement en dérivées et le développement en champ. La seconde partie est consacrée à l'exploration des processus de réaction-diffusion. D'une part, est apportée la première détermination analytique en toute dimension des exposants critiques (universels) caractérisant la classe d'universalité de la percolation dirigée. D'autre part, le diagramme de phase complet des marches aléatoires avec branchement et annihilation impaires est établi et confirmé par des simulations numériques. Cette analyse révèle des effets non perturbatifs qui modifient qualitativement les propriétés (non universelles) communément admises de ce diagramme --- issues des théories de perturbation.

L'objet de cette thèse est d'étudier le comportement en temps long de solutions d'équations d'évolution non locales ainsi que la limite singulière d'équations et de systèmes d'équations aux dérivées partielles, où intervient un petit paramètre epsilon. Au Chapitre 1, nous considérons une équation de réaction-diffusion non locale avec conservation au cours du temps de l'intégrale en espace de la solution; cette équation a été initialement proposée par Rubinstein et Sternberg pour modéliser la séparation de phase dans un mélange binaire. Le problème de Neumann associé possède une fonctionnelle de Lyapunov, c'est-à-dire une fonctionnelle qui décroit selon les orbites. Après avoir prouvé que la solution est confinée dans une région invariante, nous étudions son comportement en temps long. Nous nous appuyons sur une inégalité de Lojasiewicz pour montrer qu'elle converge vers une solution stationnaire quand t tend vers l'infini. Nous évaluons également le taux de la convergence et calculons précisément la solution stationnaire limite en dimension un d'espace. Le Chapitre 2 est consacré à l'étude de l'équation différentielle non locale que l'on obtient en négligeant le terme de diffusion dans l'équation d'Allen-Cahn non locale étudiée au Chapitre 1. Sans le terme de diffusion, la solution ne peut pas être plus régulière que la fonction initiale. C'est la raison pour laquelle on ne peut pas appliquer la méthode du Chapitre 1 pour l'étude du comportement en temps long de la solution. Nous présentons une nouvelle méthode basée sur la théorie des réarrangements et sur l'étude du profil de la solution. Nous montrons que la solution est stable pour les temps grands et présentons une caractérisation détaillée de sa limite asymptotique quand t tend vers l'infini. Plus précisément, la fonction limite est une fonction en escalier, qui prend au plus deux valeurs, qui coïncident avec les points stables d'une équation différentielle associée. Nous montrons aussi par un contre-exemple non trivial que, quand une hypothèse sur la fonction initiale n'est pas satisfaite, la fonction limite peut prendre trois valeurs, qui correspondent aux points instable et stables de l'équation différentielle associée. Nous étudions au Chapitre 3 une équation différentielle ordinaire non locale qui a éte proposée par M. Nagayama. Une difficulté essentielle est que le dénominateur dans le terme de réaction non local peut s'annuler. Nous appliquons un théorème de point fixe lié a une application contractante pour démontrer que le problème à valeur initiale correspondant possède une solution unique qui reste connée dans un ensemble invariant. Ce problème possède une fonctionnelle de Lyapunov, qui est un ingrédient essentiel pour démontrer que la solution converge vers une solution stationnaire constante par morceaux quand t tend vers l'infini. Au Chapitre 4, nous considérons un modèle d'interface diffuse pour la croissance de tumeurs, où intervient une équation d'ordre quatre de type Cahn Hilliard. Après avoir introduit un modèle de champ de phase associé, on étudie formellement la limite singulière de la solution quand le coefficient du terme de réaction tend vers l'infini. Plus précisément, nous montrons que la solution converge vers la solution d'un problème à frontière libre. AMS subject classifications. 35K57, 35K50, 35K20, 35R35, 35R37, 35B40, 35B25.

L'identité des organes floraux est définie par l’expression de gènes homéotiques appartenant à la famille des MADS-box au début du développement floral. Un de ces gènes, AGAMOUS (AG), est responsable de l’identité des étamines et des carpelles chez Arabidopsis thaliana. Dans ce manuscrit, je tente de comprendre les propriétés spatiales et temporelles de l’expression d’AG en cherchant à connaître les mécanismes impliqués dans le bon établissement de la dynamique d’expression d’AG pendant les jeunes stades du développement floral.Je débute par développer un modèle de réaction-diffusion qui prend en compte la croissance de la fleur pendant les stades d’intérêt, ainsi que quelques facteurs de transcriptions clefs impliqués dans la régulation d’AG. Ensuite j’ai imagé en direct et en 4D la croissance des fleurs pour quantifier l’activation de l’expression d’AG de son initiation à son patron d’expression stable. Je montre que son expression se déroule en deux phases: une phase de faible expression, et une phase de forte expression. Bien que toutes les cellules du dôme central de la fleur présentent un profil d’activation d’AG similaire, le temps précis au cours du développement où AG est activé est différent pour chacunes d’entre elles et est à l’origine de la stochasticité du patron d’expression. Avec l’aide du modèle, je propose quatres nouvelles hypothèses relatives à la régulation d’AG :AG est capable de maintenir sa propre activation en se liant directement à son second intron au travers d’un complexe protéique contenant au moins deux molécule d'AG, créant ainsi un seuil d'auto-activation.AP2 influence la valeur de ce seuil, restreint l’expression d’AG dans le dôme central de la fleur et produit un retard dans l’activation complète d’AG.LFY et WUS sont nécessaire à l’accumulation des protéines d’AG dans les cellules pour pouvoir atteindre le seuil d’auto-activation et obtenir une expression complète d’AG.Le mouvement d’AG est nécessaire pour obtenir l’expression d’AG dans toutes les cellules du dôme central. Pour prouver ces hypothèses, j’ai réalisé différentes expériences. En premier, utilisant une expérience de FRET-FLIM dans les protoplastes, nous proposons qu’AG est capable de s’associer en homodimer dans les cellules végétales. Néanmoins, sur-exprimer AG pour aider les cellules à atteindre le seuil d’auto-activation plus tôt que dans la plante sauvage ne semble pas modifier la dynamique d’expression de l’AG endogène. En deuxième, j’ai testé le rôle précis de LFY au cours des différentes phases et transitions de la dynamique d’expression d’AG en mutant les sites d'interactions spécifiques pour LFY au sein des séquences de régulation d’AG. Ces mutations retardent l’expression l’expression d’AG et modifient légèrement son patron d’expression. Je montre que seulement d’important retards dans l’activation d’AG induit des modifications phénotypiques. Ensuite, pour tester le rôle de la répression par AP2 dans la dynamique d’expression d’AG, j’analyse le rapporteur d’AG dans le contexte d’un mutant fort d’ap2. Dans ce mutant, l’expression d’AG s’étend à une région plus large et le retard entre l’initiation de l’expression d’AG et la transition entre les phases de faible et forte expressions est diminué. Ces résultats correspondent aux simulations du modèle. Finalement, pour comprendre l’importance du mouvement d’AG d’une cellule à l’autre dans sa propre dynamique, je bloque cette capacité de bouger en utilisant un tag de localisation nucléaire. Bien que cela induit un retard dans l’activation de quelques cellules au stade 3 au moment où toutes les cellules du dôme centrale de la fleur expriment AG dans la plante sauvage, ce retard n’a pas d’effets visible sur le phénotype. / The identity of flower organs is defined by the expression of homeotic genes during early development that belongs to the MADS-box family. One of these genes, AGAMOUS (AG), is responsible for the identity of the stamens and the carpels in Arabidopsis thaliana. In this manuscript, I attempt to fully understand the spatial and temporal properties of AG expression by investigating the mechanisms underlying the proper establishment of AG expression dynamics during the early stages of flower development. I start by developing a reaction-diffusion model that takes into account the growth of the flower at the relevant stages, as well as the few key transcription factors involved in AG regulation. Next I used real-time 4D imaging on growing flowers to quantify the activation of AG expression from its onset to the stable pattern. I show that the AG expression occurs in two phases: a low-expression phase and a high-expression phase. Thus although all cells of the central dome of the flower present similar profiles of AG activation, the precise developmental time at which AG is activated is different in each case, and is the origin of the initial stochastic pattern. With the aid of the model, I also propose four new hypotheses to explain AG regulation: AG is able to maintain its own activation by directly binding its own second intron through a protein complex containing at least two molecules of AG leading to the creation of an auto-activation threshold.AP2 influences the value of this threshold, restraining AG expression to the central dome of the flower and producing a delay in complete AG activation.LFY and WUS are necessary to accumulate AG proteins in cells in order to reach the auto-activation threshold and obtain a full expression of AG.AG movement is necessary to obtain expression of AG in every cell of the central dome. To prove these hypotheses, I have carried out various experiments, using FRET-FLIM in protoplast cells, we suggest that AG is able to form homo-dimers in plant cells. However, overexpressing AG to help cells reach the auto-activation threshold earlier than in the wild-type does not appear to alter the endogenous AG dynamics of expression. Secondly, I test the precise role of LFY in the different phases and transitions in the AG expression dynamics by mutating specific interaction sites for LFY within AG regulatory sequences. These mutations appear to delay AG expression and slightly modify its pattern of expression. I show that only important delays in AG activation induce phenotypic differences. Then, to test the role of AP2 repression in AG expression dynamics, I analyse the AG reporter in the context of a strong ap2 mutant. In these mutants, AG expression spreads to a wider region and reduces the delay between the onset of AG expression and the transition from low- to high-expression. These results match with simulations of the model. Lastly, to understand the importance of AG cell-to-cell movement in AG dynamics, I block its ability to move using a nuclear localisation tag. Although this induces a delay in the activation of few cells at stage 3, when all cells of the central dome of the flower express AG in the WT. This delay has no visible effects on the phenotype.

Cette thèse est divisée en deux parties. Dans la première partie, on considère le système de réaction-diffusion-advection (Pε), qui est un modèle d'haptotaxie, mécanisme lié à la dissémination de tumeurs cancéreuses. Le résultat principal concerne la convergence de la solution du systeme (Pε) vers la solution d'un problème à frontière libre (P0) qui est bien défini. Dans la seconde partie, on considère une classe générale d'équations elliptiques du type Hénon:−∆u = |x|^{α} f(u) dans Ω ⊂ R^N avec α > -2. On examine deux cas classiques : f(u) = e^u, |u|^{p−1} u et deux autres cas : f(u) = u^{p}_{+} puis f(u) nonlinéarité générale. En étudiant les solutions stables en dehors d'un ensemble compact (en particulier, solutions stables et solutions avec indice de Morse fini) avec différentes méthodes, on obtient des résultats de classification. / This thesis is divided into two main parts. In the first part, we consider an example of reaction-diffusion-taxis system (Pε), which is a haptotaxis model - a mechanism about the spread of cancer cells. The main result concerns the convergence of the solution of System (Pε) to the solution of a free boundary problem (P0), where system (P0) is well-posed. In the second part, we consider a general class of Hénon type elliptic equations : −∆u = |x|^{α} f(u) in Ω ⊂ R^Nwith α > −2. We investigate two classical cases f(u) = e^u, |u|^{p−1} u and two others cases f(u) = u^{p}_{+} , f(u) is a general function. By studying the solutions which are stable outside a compact set (in particular, stable solutions and finite Morse index solutions) with different methods, we establish some classification results.