>Magister Scientiae - MSc / This research undertakes to investigate both long-term and short-term investor overreaction on the JSE Limited (JSE) over the period from 1 January 2002 to 31 December 2009. The period covers the restructuring and reform of the JSE in the early 2000s to the end of global financial market crisis in late 2008/2009, which can be regarded as a complete economic cycle. The performances of the winner and loser portfolios are evaluated by assessing their cumulative abnormal returns (CAR) over a 24-month holding period. The test results show no evidence of mean reversion for winner and loser portfolios formed based on prior returns of 12 months or less. However, test results show evidence of significant mean reversion for the winner and loser portfolios constructed based on their prior 24 months and 36 months returns. In addition, the study reveals that the mean reversion is more significant for longer-formation-period portfolios as well as for longer holding periods. The examination of the cumulative loser-winner spreads obtained from the contrarian portfolios based on the constituents’ prior 24 month and 36 month returns indicates that the contrarian returns increase for portfolios formed between 2004 and 2006, and declines thereafter towards the end of the examination period. The deterioration of contrarian returns coincides with the subprime mortgage crisis in 2007 and the subsequent global financial crisis in 2008. This evidence suggests that the degree of mean reversion on the JSE is positively correlated to the South African business cycle.

Nous étudions le modèle de la marche aléatoire branchante. Nous obtenons d'abord des résultats concernant le processus ponctuel formé par les particules extrémales, résolvant ainsi une conjecture de Brunet et Derrida 2010 [36]. Ensuite, nous établissons la dérivée au point critique de la limite des martingales additives complétant ainsi l'étude initiée par Biggins [23]. Ces deux travaux reposent sur les techniques modernes de décompositions épinales de la marche aléatoire branchante, originairement développées par Chauvin, Rouault et Wakolbinger [41], Lyons, Pemantle et Peres [74], Lyons [73] et Biggins et Kyprianou [24]. Le dernier chapitre de la thèse porte sur un champ Gaussien log-correle introduit par Kahane 1985 [61]. Via de récents travaux comme ceux de Allez, Rhodes et Vargas [11], Duplantier, Rhodes, Sheeld et Vargas [46] [47], ce modèle a connu un important regain d'intérêt. La construction du chaos multiplicatif Gaussien dans le cas critique a notamment été prouvée dans [46]. S'inspirant des techniques utilisées pour la marche aléatoire branchante nous résolvons une conjecture de [46] concernant le maximum de ce champ Gaussien. / We study the model of the branching random walk. First we obtain some results concerning thepoint process formed by the extremal particles, proving a Brunet and Derrida's conjecture [36] as well. Thenwe establish the derivative of the additive martingale limit at the critical point, completing the study initiatedby Biggins [23]. These two works rely on the spinal decomposition of the branching random walk, originallyintroduced by Chauvin, Rouault and Wakolbinger [41], Lyons, Pemantle and Peres [74], Lyons [73] and Bigginsand Kyprianou [24].The last chapter of the thesis deals with a log-correlated Gaussian field introduced by Kahane [61]. Thismodel was recently revived in particular by Allez, Rhodes and Vargas [11], and Duplantier, Rhodes, Shefield andVargas [46] [47]. Inspired by the techniques used for branching random walk we solved a conjecture of Duplantier,Rhodes, Shefield and Vargas [46], on the maximum of this Gaussian field.

The Johannesburg Stock Exchange market was tested for the existence of the random walk hypothesis using All Share Index (ALSI) and time series data for the period between 2000 and 2011. The traditionally used methods, the unit root tests and autocorrelation test were employed first and they all confirmed that during the period under consideration, the JSE price index followed the random walk process. In addition, the ARIMA model was built and it was found that the ARIMA ( 1, 1, 1) was the model that best fitted the data in question. Furthermore, residual tests to help determine whether the residuals of the estimated equation show random walk process in the series were done. It was found that the ALSI resembles series that follow random walk hypothesis with strong evidence of RWH indicated in the conducted forecasting tests which showed vast variance between forecasted values and actual indicating little or no forecasting strength in the series. To further validate the findings in this research, the variance ratio test was conducted under heteroscedasticity and it also strongly corroborated that the existence of a random walk process cannot be rejected in the JSE. It was concluded that since the returns follow the random walk hypothesis, it can be said that JSE is efficient in the weak form level of the EMH and therefore opportunities of making excess returns based on out- performing the market is ruled out and is merely a game of chance. In other words, it will be of no use to choose stocks based on information about recent trends in stock prices.

In the stochastic modeling of neurons, the first passage time problem arises as a natural object of study when considering the inter spike interval distribution. In this report, we study some aspects of this problem as it arises in the context of neuroscience. In the first chapter we describe the basic neurophysiology required to model the neuron. In the second, we study the Poisson model, Stein’s model, and some diffusion models, calculating or indicating methods to compute the density of the first passage time random variable or its moments. In the third and fourth chapters, we study the Fokker-Planck equation, and use it to compute the first passage time in the discrete and continuous time random walk cases. In the final chapter, we study sequences of neurons and the change in the density of the waiting time distributions, and hence in the inter spike intervals, as the output spike train from one neuron is considered as the input in the subsequent neuron.

Cette thèse étudie la moyennabilité et la propriété de Liouville des groupes pleins-topologiques des systèmes de Cantor, des groupes d'échanges d'intervalles, et des groupes agissants sur les arbres enracinés. Dans le Chapitre 2, nous obtenons les premiers exemples de groupes simples, infinis, de type fini, tels que le bord de Poisson de toute marche aléatoire simple est trivial (la propriété de Liouville). Ces exemples sont des sous-groupes dérivés de groupes pleins topologiques d'une famille de sous-décalages minimaux. Nous montrons que si la complexité d'un sous-décalage (pas nécessairement minimal) est strictement sous-quadratique, toute mesure de probabilité symétrique de support fini sur le groupe plein-topologique est d'entropie asymptotique nulle. Dans le Chapitre 3, nous exhibons une famille de groupes pleins-topologiques de sous-décalages minimaux qui contiennent les groupes de Grigorchuk G_ω comme sous-groupes. Cette construction montre que le groupe plein-topologique d'un sous-décalage minimal peut avoir des sous-groupes de croissance intermédiaire, en répondant à une question de Grigorchuk. Dans le Chapitre 4 (basé sur un travail en commun avec K. Juschenko, N. Monod, M. de la Salle) nous étudions les actions extensivement moyennables, une notion qui est un outil pour montrer la moyennabilité des groupes. Comme application, nous montrons la moyennabilité des groupes d'échanges d'intervalles dont les angles de translations ont rang rationnel au plus 2. Nous obtenons aussi une caractérisation "de type Kesten" de la moyennabilité extensive d'une action, et nous l'utilisons pour donner une preuve courte, purement probabiliste du fait que les actions récurrentes sont extensivement moyennables. Nous étudions aussi la propriété de Liouville pour les groupes d'échanges d'intervalles, et nous montrons qu'il existe des groupes d'échanges d'intervalles tels que toute mesure de support fini non dégénérée a un bord non trivial. Dans le Chapitre 5 (basé sur un travail en commun avec G. Amir, O. Angel, B. Virág) nous montrons que les groupes agissant sur les arbres enracinés par automorphismes bornés ont la propriété de Liouville. En particulier cela inclut les groupes engendrés par des automates d'activité bornée. / This thesis deals with the Liouville property and amenability of topological full groups of Cantor systems, groups of interval exchanges, and groups acting on rooted trees. In Chapter 2, we provide the first examples of finitely generated, infinite simple groups that have trivial Poisson-Furstenberg boundary for simple random walks (the Liouville property). These arise as the derived subgroup of the topological full groups of a family of minimal subshifts. We show that if the complexity of a (non necessarily minimal) subshift grows strictly subquadratically, every symmetric and finitely supported probability measure on the topological full group has vanishing asymptotic entropy. In Chapter 3, we exhibit a family of topological full groups of minimal subshifts that contain Grigorchuk groups G_ω as subgroups. This shows that the topological full group of a minimal subshift can have subgroups of intermediate growth, answering a question of Grigorchuk. In Chapter 4 (based on a joint work with K. Juschenko, N. Monod, M. de la Salle), we study various features of extensively amenable group actions, a notion which is a tool to prove amenability of groups. As an application, we prove amenability of groups of interval exchanges whose angular components have rational rank at most 2. We also obtain a "Kesten-like" characterisation of extensive amenability in terms of the inverted orbit and use it give a short, probabilistic proof of the fact that recurrent actions are extensively amenable. Finally we study the Liouville property for groups of interval exchanges, and show that there are groups of interval exchanges that admit no finitely supported measure with trivial boundary. In Chapter 5 (based on a joint work with G. Amir, O. Angel, B. Virág), we establish the Liouville property for all groups acting on rooted trees by bounded automorphisms. This includes in particular groups generated by bounded automata. This strengthens results by various authors about amenability of these groups, some of which are based on proving the Liouville property in some special cases.

Cette thèse porte sur le modèle de Hofstadter i.e., un électron qui se déplace sur un réseau carré couplé à un champ magnétique homogène et perpendiculaire au réseau. Son spectre en énergie est l'un des célèbres fractals de la physique quantique, connu sous le nom "le papillon de Hofstadter". Cette thèse consiste en deux parties principales: la première est l'étude du lien profond entre le modèle de Hofstadter et la distribution de l’aire algébrique entourée par les marches aléatoires sur un réseau carré bidimensionnel. La seconde partie se concentre sur les caractéristiques spécifiques du papillon de Hofstadter et l'étude de la largeur de bande du spectre. On a trouvé une formule exacte pour la trace de l'Hamiltonien de Hofstadter en termes des coefficients de Kreft, et également pour les moments supérieurs de la largeur de bande.Cette thèse est organisée comme suit. Dans le chapitre 1, on commence par la motivation de notre travail. Une introduction générale du modèle de Hofstadter ainsi que des marches aléatoires sera présentée. Dans le chapitre 2, on va montrer comment utiliser le lien entre les marches aléatoires et le modèle de Hofstadter. Une méthode de calcul de la fonction génératrice de l'aire algébrique entourée par les marches aléatoires planaires sera expliquée en détail. Dans le chapitre 3, on va présenter une autre méthode pour étudier ces questions en utilisant le point de vue "point spectrum traces" et retrouver la trace de Hofstadter complète. De plus, l'avantage de cette construction est qu'elle peut être généralisée au cas de "l'amost Mathieu opérateur". Dans le chapitre 4, on va introduire la méthode développée par D.J.Thouless pour le calcul de la largeur de bande du spectre de Hofstadter. En suivant la même logique, on va montrer comment généraliser la formule de la largeur de bande de Thouless à son n-ième moment, à définir plus précisément ultérieurement. / This thesis is about the Hofstadter model, i.e., a single electron moving on a two-dimensional lattice coupled to a perpendicular homogeneous magnetic field. Its spectrum is one of the famous fractals in quantum mechanics, known as the Hofstadter's butterfly. There are two main subjects in this thesis: the first is the study of the deep connection between the Hofstadter model and the distribution of the algebraic area enclosed by two-dimensional random walks. The second focuses on the distinctive features of the Hofstadter's butterfly and the study of the bandwidth of the spectrum. We found an exact expression for the trace of the Hofstadter Hamiltonian in terms of the Kreft coefficients, and for the higher moments of the bandwidth.This thesis is organized as follows. In chapter 1, we begin with the motivation of our work and a general introduction to the Hofstadter model as well as to random walks will be presented. In chapter 2, we will show how to use the connection between random walks and the Hofstadter model. A method to calculate the generating function of the algebraic area distribution enclosed by planar random walks will be explained in details. In chapter 3, we will present another method to study these issues, by using the point spectrum traces to recover the full Hofstadter trace. Moreover, the advantage of this construction is that it can be generalized to the almost Mathieu operator. In chapter 4, we will introduce the method which was initially developed by D.J.Thouless to calculate the bandwidth of the Hofstadter spectrum. By following the same logic, I will show how to generalize the Thouless bandwidth formula to its n-th moment, to be more precisely defined later.

Cette thèse se situe à l'interface entre combinatoire et probabilités,et contribue à l'étude de différents modèles issus de la mécanique statistique : polymères, marches aléatoires inter-agissantes ou en milieu aléatoire, cartes aléatoires. Le premier modèle que nous étudions est une famille de mesures de probabilités sur les chemins auto-évitants de longueur infinie sur un réseau régulier, construites à partir de marches aléatoires biaisées sur l'arbre des chemins auto-évitants finis. Ces mesures, introduites par Beretti et Sokal, existent pour tout biais strictement supérieur à l'inverse de la constante de connectivité, et leur limite en ce biais critique serait l'un des définitions naturelles de la marche aléatoire uniforme en longueur infinie. Le but de ce travail, en collaboration avec Vincent Beffara, est de comprendre le lien entre cette limite, si elle existe, et d'autres chemins aléatoires notamment la mesure de Kesten (qui est la limite faible de la marche auto-évitante uniforme dans le demi-plan) et les interfaces de percolation de Bernoulli critique; d'une certaine façon le modèle constitue une interpolation entre les deux. Dans une deuxième partie, nous considérons des marches aléatoires en conductances aléatoires sur un arbre quelconque, dans le cas où la loi des conductances est à queue lourde. L’objectif de notre travail, en collaboration avec Andrea Collevecchio et Daniel Kious, est de montrer une transition de phase par rapport au paramètre de la queue; on exprime le paramètre critique comme une fonction explicite de l'arbre sous-jacent. Parallèlement, nous étudions des modèles de marches aléatoires excitées sur des arbres et leurs transitions de phase. En particulier, nous étendons une conjecture de Volkov et généralisons des résultats de Bas devant et Singh. Enfin, une troisième partie en collaboration avec Vincent Beffara et Benjamin Lévêque porte sur les cartes aléatoires en genre supérieur : nous montrons l'existence de limites d'échelle, le long de sous-suites, pour les triangulations simples uniformes sur le tore, étendant à ce cas les résultats d'Adario-Berri et Albenque (sur les triangulations simples de la sphère) et de Bettinelli (sur les quadrangulations du tore). La question de l'unicité de la limite et de son universalité restent ouvertes, mais nous obtenons des résultats partiels dans ce sens. / This thesis is at the interface between combinatorics and probability,and contributes to the study of a few models stemming from statisticalmechanics: polymers, self-interacting random walks and random walks inrandom environment, random maps.bigskipThe first model that we investigate is a one-parameter family ofprobability measures on self-avoiding paths of infinite length on aregular lattice, constructed from biased random walks on the tree offinite self-avoiding paths. These measures, initially introduced byBeretti and Sokal, exist for every bias larger than the inverseconnectivity constant, and their limit at the critical bias would beaamong the natural definitions of the uniform self-avoiding walk ofinfinite length. The aim of our work, in collaboration with VincentBeffara, is to understand the link between this limit, if it indeedexists, and other random infinite paths such as Kesten's measure(which is the weak limit of uniformly random finite self-avoidingwalks in the half-plane) and critical Bernoulli percolationinterfaces; the model can be seen as an interpolation between thesetwo.In a second part, we consider random walks with random conductances ona tree, in the case when the law of the conductances has heavy tail.Our aim, in collabration with Andrea Collevecchio and Daniel Kious, isto show a phase transition in the tail parameter; we express thecritical point as an explicit function of the underlying tree.In parallel, we study excited random walks on trees and their phasetransitions: we extend a conjecture of Volkov's and generalize resultsby Basdevant and Singh.Finally, a third part in collaboration with Vincent Beffara andBenjamin Lévêque contributes to the study of random maps of highergenus: we show the existence of subsequential scaling limits foruniformly random simple triangulations of the torus, extending to thatsetup fromer results by Adario-Berri and Albenque (on simpletriangulations of the sphere) and by Bettinelli (on quadrangulationsof the torus). The question of uniqueness and universality of thelimit remain open, but we obtain partial results in that direction.

This thesis studies two Markov processes describing the evolution of a system of many interacting random components. These processes undergo an absorbing-state phase transition, i.e., as one variates the parameter values, the process exhibits a transition from a convergence regime to one of the absorbing-states to an active regime. In Chapter 2 we study Activated Random Walk, which is an interacting particle system where the particles can be of two types and their number is conserved. Firstly, we provide a new lower bound for the critical density on Z as a function of the jump distribution and of the sleeping rate and we prove that the critical density is not a constant function of the jump distribution. Secondly, we prove that on Zd in the case of biased jump distribution the critical density is strictly less than one, provided that the sleeping rate is small enough. This answers a question that has been asked by Dickman, Rolla, Sidoravicius [9, 28] in the case of biased jump distribution. Our results have been presented in [33]. In Chapter 3 we study a class of probabilistic cellular automata which are related by a natural coupling to a special type of oriented percolation model. Firstly, we consider the process on a finite torus of size n, which is ergodic for any parameter value. By employing dynamic-renormalization techniques, we prove that the average absorption time grows exponentially (resp. logarithmically) with n when the model on Z is in the active (resp. absorbing) regime. This answers a question that has been asked by Toom [37]. Secondly, we study how the neighbourhood of the model affects the critical probability for the process on Z. We provide a lower bound for the critical probability as a function of the neighbourhood and we show that our estimates are sharp by comparing them with our numerical estimates. Our results have been presented in [34, 35].

Cette thèse présente une méthode de segmentation de modèles 3D en parties significatives ou fonctionnelles. La segmentation s’effectue par "transfert" d’une segmentation exemple : la segmentation d’un modèle est calculée en transférant les segments d’une segmentation exemple d’un objet appartenant à la même classe de modèles 3D. Pour ce faire, nous avons adapté et étendu la méthode de segmentation par les marches aléatoires et transformé notre problème en un problème de localisation et mise en correspondance de faces germes. Notre méthode comporte quatre étapes fondamentales : la mise en correspondance entre le modèle exemple et le modèle cible, la localisation automatique de germes sur le modèle cible pour initialiser les régions, le calcul des segments du modèle cible et l’amélioration de leurs frontières. En constatant que les critères de similarité diffèrent selon que les objets sont de type rigide (chaises, avions,…) ou de type articulé (humains, quadrupèdes,…), nous décomposons notre approche en deux. La première dédiée aux objets rigides, où la mise en correspondance est basée sur le calcul des transformations rigides afin d’aligner au mieux les parties significatives des deux objets comparés. La deuxième dédiée aux modèles articulés, où la mise en correspondance des parties fonctionnelles, présentant des variations de poses plus importantes, est basée sur des squelettes calculés via des diagrammes de Reeb. Nous montrons à travers des évaluations qualitatives et quantitatives que notre méthode obtient des résultats meilleurs que les techniques de segmentation individuelle et comparables aux techniques de co-segmentation avec un temps de calcul nettement inférieur. / In this dissertation, we present a new method to segment 3D models into their functional parts. The segmentation is performed by a transfer approach: a semantic-oriented segmentation of an object is calculated using a pre-segmented example model from the same class (chairs, humans, etc.). To this end, we adapted and extended the random walk segmentation method which allowed us to transform our problem into a problem of locating and matching seed faces. Our method consists of four fundamental steps: establishing correspondences between the example and the target model, localizing seeds to initialize regions in the target model, computing the segments and refining their boundaries in the target model. We decomposed our approach in two, taking into account similarity criteria which differ regarding the object type (rigid vs. articulated). The first approach is dedicated to rigid objects (chairs, airplanes, etc.), where the matching is based on rigid transformations to determine the best alignment between the functional parts of the compared objects. The second one focused on articulated objects (humans, quadrupeds, etc.), where coarse topological shape attributes are used in a skeleton-based approach to cover larger pose variations when computing correspondences between functional parts. We show through qualitative and quantitative evaluations that our method improves upon individual segmentation techniques and obtains results that are close to the co-segmentation techniques results with an important calculation time reduction.

No description available.