A presente Tese de Doutorado é composta de quatro artigos científicos em duas áreas distintas. Em Horta, Guerre e Fernandes (2015), o qual constitui o Capítulo 2 desta Tese, é proposto um estimador suavizado no contexto de modelos de regressão quantílica linear (Koenker e Basset, 1978). Uma representação de Bahadur-Kiefer uniforme é obtida, a qual apresenta uma ordem assintótica que domina aquela correspondente ao estimador clássico. Em seguida, prova-se que o viés associado à suavização é negligenciável, no sentido de que o termo de viés é equivalente, em primeira ordem, ao verdadeiro parâmetro. A taxa precisa de convergência é dada, a qual pode ser controlada uniformemente pela escolha do parâmetro de suavização. Em seguida, são estudadas propriedades de segunda ordem do estimador proposto, em termos do seu erro quadrático médio assintótico, e mostra-se que o estimador suavizado apresenta uma melhoria em relação ao usual. Como corolário, tem-se que o estimador é assintoticamente normal e consistente à ordem p n. Em seguida, é proposto um estimador consistente para a matriz de covariância assintótica, o qual não depende de estimação de parâmetros auxiliares e a partir do qual pode-se obter diretamente intervalos de confiança assintóticos. A qualidade do método proposto é por fim ilustrada em um estudo de simulação. Os artigos Horta e Ziegelmann (2015a, 2015b, 2015c) se originam de um ímpeto inicial destinado a generalizar os resultados de Bathia et al. (2010). Em Horta e Ziegelmann (2015a), Capítulo 3 da presente Tese, é investigada a questão de existência de certos processos estocásticos, ditos processos conjugados, os quais são conduzidos por um segundo processo cujo espaço de estados tem como elementos medidas de probabilidade. Através dos conceitos de coerência e compatibilidade, obtémse uma resposta afirmativa à questão anterior. Baseado nas noções de medida aleatória (Kallenberg, 1973) e desintegração (Chang e Pollard, 1997; Pollard, 2002), é proposto um método geral para construção de processos conjugados. A teoria permite um rico conjunto de exemplos, e inclui uma classe de modelos de mudança de regime. Em Horta e Ziegelmann (2015b), Capítulo 4 desta Tese, é proposto – em relação com a construção obtida em Horta e Ziegelmann (2015a) – o conceito de processo fracamente conjugado: um processo estocástico real a tempo contínuo, conduzido por uma sequência de funções de distribuição aleatórias, ambos conectados por uma condição de compatibilidade a qual impõe que aspectos da distribuição do primeiro processo são divisíveis em uma quantidade enumerável de ciclos, dentro dos quais este tem como marginais, precisamente, o segundo processo. Em seguida, mostra-se que a metodologia de Bathia et al. (2010) pode ser aplicada para se estudar a estrutura de dependência de processos fracamente conjugados, e com isso obtém-se resultados de consistência à ordem p n para os estimadores que surgem naturalmente na teoria. Adicionalmente, a metodologia é ilustrada através de uma implementação a dados financeiros. Especificamente, o método proposto permite que características da dinâmica das distribuições de processos de retornos sejam traduzidas em termos de um processo escalar latente, a partir do qual podem ser obtidas previsões de quantidades associadas a essas distribuições. Em Horta e Ziegelmann (2015c), Capítulo 5 da presente Tese, são obtidos resultados de consistência à ordem p n em relação à estimação de representações espectrais de operadores de autocovariância de séries de tempo Hilbertianas estacionárias, em um contexto de medições imperfeitas. Os resultados são uma generalização do método desenvolvido em Bathia et al. (2010), e baseiam-se no importante fato de que elementos aleatórios em um espaço de Hilbert separável são quase certamente ortogonais ao núcleo de seu respectivo operador de covariância. É dada uma prova direta deste fato. / The present Thesis is composed of 4 research papers in two distinct areas. In Horta, Guerre, and Fernandes (2015), which constitutes Chapter 2 of this Thesis, we propose a smoothed estimator in the framework of the linear quantile regression model of Koenker and Bassett (1978). A uniform Bahadur-Kiefer representation is provided, with an asymptotic rate which dominates the standard quantile regression estimator. Next, we prove that the bias introduced by smoothing is negligible in the sense that the bias term is firstorder equivalent to the true parameter. A precise rate of convergence, which is controlled uniformly by choice of bandwidth, is provided. We then study second-order properties of the smoothed estimator, in terms of its asymptotic mean squared error, and show that it improves on the usual estimator when an optimal bandwidth is used. As corollaries to the above, one obtains that the proposed estimator is p n-consistent and asymptotically normal. Next, we provide a consistent estimator of the asymptotic covariance matrix which does not depend on ancillary estimation of nuisance parameters, and from which asymptotic confidence intervals are straightforwardly computable. The quality of the method is then illustrated through a simulation study. The research papers Horta and Ziegelmann (2015a;b;c) are all related in the sense that they stem from an initial impetus of generalizing the results in Bathia et al. (2010). In Horta and Ziegelmann (2015a), Chapter 3 of this Thesis, we address the question of existence of certain stochastic processes, which we call conjugate processes, driven by a second, measure-valued stochastic process. We investigate primitive conditions ensuring existence and, through the concepts of coherence and compatibility, obtain an affirmative answer to the former question. Relying on the notions of random measure (Kallenberg (1973)) and disintegration (Chang and Pollard (1997), Pollard (2002)), we provide a general approach for construction of conjugate processes. The theory allows for a rich set of examples, and includes a class of Regime Switching models. In Horta and Ziegelmann (2015b), Chapter 4 of the present Thesis, we introduce, in relation with the construction in Horta and Ziegelmann (2015a), the concept of a weakly conjugate process: a continuous time, real valued stochastic process driven by a sequence of random distribution functions, the connection between the two being given by a compatibility condition which says that distributional aspects of the former process are divisible into countably many cycles during which it has precisely the latter as marginal distributions. We then show that the methodology of Bathia et al. (2010) can be applied to study the dependence structure of weakly conjugate processes, and therewith provide p n-consistency results for the natural estimators appearing in the theory. Additionally, we illustrate the methodology through an implementation to financial data. Specifically, our method permits us to translate the dynamic character of the distribution of an asset returns process into the dynamics of a latent scalar process, which in turn allows us to generate forecasts of quantities associated to distributional aspects of the returns process. In Horta and Ziegelmann (2015c), Chapter 5 of this Thesis, we obtain p n-consistency results regarding estimation of the spectral representation of the zero-lag autocovariance operator of stationary Hilbertian time series, in a setting with imperfect measurements. This is a generalization of the method developed in Bathia et al. (2010). The generalization relies on the important property that centered random elements of strong second order in a separable Hilbert space lie almost surely in the closed linear span of the associated covariance operator. We provide a straightforward proof to this fact.

A presente Tese de Doutorado é composta de quatro artigos científicos em duas áreas distintas. Em Horta, Guerre e Fernandes (2015), o qual constitui o Capítulo 2 desta Tese, é proposto um estimador suavizado no contexto de modelos de regressão quantílica linear (Koenker e Basset, 1978). Uma representação de Bahadur-Kiefer uniforme é obtida, a qual apresenta uma ordem assintótica que domina aquela correspondente ao estimador clássico. Em seguida, prova-se que o viés associado à suavização é negligenciável, no sentido de que o termo de viés é equivalente, em primeira ordem, ao verdadeiro parâmetro. A taxa precisa de convergência é dada, a qual pode ser controlada uniformemente pela escolha do parâmetro de suavização. Em seguida, são estudadas propriedades de segunda ordem do estimador proposto, em termos do seu erro quadrático médio assintótico, e mostra-se que o estimador suavizado apresenta uma melhoria em relação ao usual. Como corolário, tem-se que o estimador é assintoticamente normal e consistente à ordem p n. Em seguida, é proposto um estimador consistente para a matriz de covariância assintótica, o qual não depende de estimação de parâmetros auxiliares e a partir do qual pode-se obter diretamente intervalos de confiança assintóticos. A qualidade do método proposto é por fim ilustrada em um estudo de simulação. Os artigos Horta e Ziegelmann (2015a, 2015b, 2015c) se originam de um ímpeto inicial destinado a generalizar os resultados de Bathia et al. (2010). Em Horta e Ziegelmann (2015a), Capítulo 3 da presente Tese, é investigada a questão de existência de certos processos estocásticos, ditos processos conjugados, os quais são conduzidos por um segundo processo cujo espaço de estados tem como elementos medidas de probabilidade. Através dos conceitos de coerência e compatibilidade, obtémse uma resposta afirmativa à questão anterior. Baseado nas noções de medida aleatória (Kallenberg, 1973) e desintegração (Chang e Pollard, 1997; Pollard, 2002), é proposto um método geral para construção de processos conjugados. A teoria permite um rico conjunto de exemplos, e inclui uma classe de modelos de mudança de regime. Em Horta e Ziegelmann (2015b), Capítulo 4 desta Tese, é proposto – em relação com a construção obtida em Horta e Ziegelmann (2015a) – o conceito de processo fracamente conjugado: um processo estocástico real a tempo contínuo, conduzido por uma sequência de funções de distribuição aleatórias, ambos conectados por uma condição de compatibilidade a qual impõe que aspectos da distribuição do primeiro processo são divisíveis em uma quantidade enumerável de ciclos, dentro dos quais este tem como marginais, precisamente, o segundo processo. Em seguida, mostra-se que a metodologia de Bathia et al. (2010) pode ser aplicada para se estudar a estrutura de dependência de processos fracamente conjugados, e com isso obtém-se resultados de consistência à ordem p n para os estimadores que surgem naturalmente na teoria. Adicionalmente, a metodologia é ilustrada através de uma implementação a dados financeiros. Especificamente, o método proposto permite que características da dinâmica das distribuições de processos de retornos sejam traduzidas em termos de um processo escalar latente, a partir do qual podem ser obtidas previsões de quantidades associadas a essas distribuições. Em Horta e Ziegelmann (2015c), Capítulo 5 da presente Tese, são obtidos resultados de consistência à ordem p n em relação à estimação de representações espectrais de operadores de autocovariância de séries de tempo Hilbertianas estacionárias, em um contexto de medições imperfeitas. Os resultados são uma generalização do método desenvolvido em Bathia et al. (2010), e baseiam-se no importante fato de que elementos aleatórios em um espaço de Hilbert separável são quase certamente ortogonais ao núcleo de seu respectivo operador de covariância. É dada uma prova direta deste fato. / The present Thesis is composed of 4 research papers in two distinct areas. In Horta, Guerre, and Fernandes (2015), which constitutes Chapter 2 of this Thesis, we propose a smoothed estimator in the framework of the linear quantile regression model of Koenker and Bassett (1978). A uniform Bahadur-Kiefer representation is provided, with an asymptotic rate which dominates the standard quantile regression estimator. Next, we prove that the bias introduced by smoothing is negligible in the sense that the bias term is firstorder equivalent to the true parameter. A precise rate of convergence, which is controlled uniformly by choice of bandwidth, is provided. We then study second-order properties of the smoothed estimator, in terms of its asymptotic mean squared error, and show that it improves on the usual estimator when an optimal bandwidth is used. As corollaries to the above, one obtains that the proposed estimator is p n-consistent and asymptotically normal. Next, we provide a consistent estimator of the asymptotic covariance matrix which does not depend on ancillary estimation of nuisance parameters, and from which asymptotic confidence intervals are straightforwardly computable. The quality of the method is then illustrated through a simulation study. The research papers Horta and Ziegelmann (2015a;b;c) are all related in the sense that they stem from an initial impetus of generalizing the results in Bathia et al. (2010). In Horta and Ziegelmann (2015a), Chapter 3 of this Thesis, we address the question of existence of certain stochastic processes, which we call conjugate processes, driven by a second, measure-valued stochastic process. We investigate primitive conditions ensuring existence and, through the concepts of coherence and compatibility, obtain an affirmative answer to the former question. Relying on the notions of random measure (Kallenberg (1973)) and disintegration (Chang and Pollard (1997), Pollard (2002)), we provide a general approach for construction of conjugate processes. The theory allows for a rich set of examples, and includes a class of Regime Switching models. In Horta and Ziegelmann (2015b), Chapter 4 of the present Thesis, we introduce, in relation with the construction in Horta and Ziegelmann (2015a), the concept of a weakly conjugate process: a continuous time, real valued stochastic process driven by a sequence of random distribution functions, the connection between the two being given by a compatibility condition which says that distributional aspects of the former process are divisible into countably many cycles during which it has precisely the latter as marginal distributions. We then show that the methodology of Bathia et al. (2010) can be applied to study the dependence structure of weakly conjugate processes, and therewith provide p n-consistency results for the natural estimators appearing in the theory. Additionally, we illustrate the methodology through an implementation to financial data. Specifically, our method permits us to translate the dynamic character of the distribution of an asset returns process into the dynamics of a latent scalar process, which in turn allows us to generate forecasts of quantities associated to distributional aspects of the returns process. In Horta and Ziegelmann (2015c), Chapter 5 of this Thesis, we obtain p n-consistency results regarding estimation of the spectral representation of the zero-lag autocovariance operator of stationary Hilbertian time series, in a setting with imperfect measurements. This is a generalization of the method developed in Bathia et al. (2010). The generalization relies on the important property that centered random elements of strong second order in a separable Hilbert space lie almost surely in the closed linear span of the associated covariance operator. We provide a straightforward proof to this fact.

A presente Tese de Doutorado é composta de quatro artigos científicos em duas áreas distintas. Em Horta, Guerre e Fernandes (2015), o qual constitui o Capítulo 2 desta Tese, é proposto um estimador suavizado no contexto de modelos de regressão quantílica linear (Koenker e Basset, 1978). Uma representação de Bahadur-Kiefer uniforme é obtida, a qual apresenta uma ordem assintótica que domina aquela correspondente ao estimador clássico. Em seguida, prova-se que o viés associado à suavização é negligenciável, no sentido de que o termo de viés é equivalente, em primeira ordem, ao verdadeiro parâmetro. A taxa precisa de convergência é dada, a qual pode ser controlada uniformemente pela escolha do parâmetro de suavização. Em seguida, são estudadas propriedades de segunda ordem do estimador proposto, em termos do seu erro quadrático médio assintótico, e mostra-se que o estimador suavizado apresenta uma melhoria em relação ao usual. Como corolário, tem-se que o estimador é assintoticamente normal e consistente à ordem p n. Em seguida, é proposto um estimador consistente para a matriz de covariância assintótica, o qual não depende de estimação de parâmetros auxiliares e a partir do qual pode-se obter diretamente intervalos de confiança assintóticos. A qualidade do método proposto é por fim ilustrada em um estudo de simulação. Os artigos Horta e Ziegelmann (2015a, 2015b, 2015c) se originam de um ímpeto inicial destinado a generalizar os resultados de Bathia et al. (2010). Em Horta e Ziegelmann (2015a), Capítulo 3 da presente Tese, é investigada a questão de existência de certos processos estocásticos, ditos processos conjugados, os quais são conduzidos por um segundo processo cujo espaço de estados tem como elementos medidas de probabilidade. Através dos conceitos de coerência e compatibilidade, obtémse uma resposta afirmativa à questão anterior. Baseado nas noções de medida aleatória (Kallenberg, 1973) e desintegração (Chang e Pollard, 1997; Pollard, 2002), é proposto um método geral para construção de processos conjugados. A teoria permite um rico conjunto de exemplos, e inclui uma classe de modelos de mudança de regime. Em Horta e Ziegelmann (2015b), Capítulo 4 desta Tese, é proposto – em relação com a construção obtida em Horta e Ziegelmann (2015a) – o conceito de processo fracamente conjugado: um processo estocástico real a tempo contínuo, conduzido por uma sequência de funções de distribuição aleatórias, ambos conectados por uma condição de compatibilidade a qual impõe que aspectos da distribuição do primeiro processo são divisíveis em uma quantidade enumerável de ciclos, dentro dos quais este tem como marginais, precisamente, o segundo processo. Em seguida, mostra-se que a metodologia de Bathia et al. (2010) pode ser aplicada para se estudar a estrutura de dependência de processos fracamente conjugados, e com isso obtém-se resultados de consistência à ordem p n para os estimadores que surgem naturalmente na teoria. Adicionalmente, a metodologia é ilustrada através de uma implementação a dados financeiros. Especificamente, o método proposto permite que características da dinâmica das distribuições de processos de retornos sejam traduzidas em termos de um processo escalar latente, a partir do qual podem ser obtidas previsões de quantidades associadas a essas distribuições. Em Horta e Ziegelmann (2015c), Capítulo 5 da presente Tese, são obtidos resultados de consistência à ordem p n em relação à estimação de representações espectrais de operadores de autocovariância de séries de tempo Hilbertianas estacionárias, em um contexto de medições imperfeitas. Os resultados são uma generalização do método desenvolvido em Bathia et al. (2010), e baseiam-se no importante fato de que elementos aleatórios em um espaço de Hilbert separável são quase certamente ortogonais ao núcleo de seu respectivo operador de covariância. É dada uma prova direta deste fato. / The present Thesis is composed of 4 research papers in two distinct areas. In Horta, Guerre, and Fernandes (2015), which constitutes Chapter 2 of this Thesis, we propose a smoothed estimator in the framework of the linear quantile regression model of Koenker and Bassett (1978). A uniform Bahadur-Kiefer representation is provided, with an asymptotic rate which dominates the standard quantile regression estimator. Next, we prove that the bias introduced by smoothing is negligible in the sense that the bias term is firstorder equivalent to the true parameter. A precise rate of convergence, which is controlled uniformly by choice of bandwidth, is provided. We then study second-order properties of the smoothed estimator, in terms of its asymptotic mean squared error, and show that it improves on the usual estimator when an optimal bandwidth is used. As corollaries to the above, one obtains that the proposed estimator is p n-consistent and asymptotically normal. Next, we provide a consistent estimator of the asymptotic covariance matrix which does not depend on ancillary estimation of nuisance parameters, and from which asymptotic confidence intervals are straightforwardly computable. The quality of the method is then illustrated through a simulation study. The research papers Horta and Ziegelmann (2015a;b;c) are all related in the sense that they stem from an initial impetus of generalizing the results in Bathia et al. (2010). In Horta and Ziegelmann (2015a), Chapter 3 of this Thesis, we address the question of existence of certain stochastic processes, which we call conjugate processes, driven by a second, measure-valued stochastic process. We investigate primitive conditions ensuring existence and, through the concepts of coherence and compatibility, obtain an affirmative answer to the former question. Relying on the notions of random measure (Kallenberg (1973)) and disintegration (Chang and Pollard (1997), Pollard (2002)), we provide a general approach for construction of conjugate processes. The theory allows for a rich set of examples, and includes a class of Regime Switching models. In Horta and Ziegelmann (2015b), Chapter 4 of the present Thesis, we introduce, in relation with the construction in Horta and Ziegelmann (2015a), the concept of a weakly conjugate process: a continuous time, real valued stochastic process driven by a sequence of random distribution functions, the connection between the two being given by a compatibility condition which says that distributional aspects of the former process are divisible into countably many cycles during which it has precisely the latter as marginal distributions. We then show that the methodology of Bathia et al. (2010) can be applied to study the dependence structure of weakly conjugate processes, and therewith provide p n-consistency results for the natural estimators appearing in the theory. Additionally, we illustrate the methodology through an implementation to financial data. Specifically, our method permits us to translate the dynamic character of the distribution of an asset returns process into the dynamics of a latent scalar process, which in turn allows us to generate forecasts of quantities associated to distributional aspects of the returns process. In Horta and Ziegelmann (2015c), Chapter 5 of this Thesis, we obtain p n-consistency results regarding estimation of the spectral representation of the zero-lag autocovariance operator of stationary Hilbertian time series, in a setting with imperfect measurements. This is a generalization of the method developed in Bathia et al. (2010). The generalization relies on the important property that centered random elements of strong second order in a separable Hilbert space lie almost surely in the closed linear span of the associated covariance operator. We provide a straightforward proof to this fact.

Random measurable sets and particle processes Adam Jurčo Abstract In this thesis we deal with particle processes on more general spaces. First we in- troduce the space of Lebesgue measurable sets represented by indicator functions with topology given by L1 loc convergence. We the explore the topological properties of this space and its subspaces of sets of finite and locally finite perimeter. As these spaces do not satisfy the usual topological assumptions needed for construction of point processes we use another approach based on measure-theoretic assumptions. This will allow us to define point processes given by finite dimensional distributions on measurable subsets of the space of Lebesgue-measurable sets. Then we will derive a formula for a volume fraction of a Boolean process defined in this more general setting. Further we introduce a Boolean process with particles of finite perimeter and derive a formula for its specific perimeter. 1

In this monograph we continue with the inspection initiated in [1] on the fundamental tools introduced in the approach proposed in [2,3] for the study of metastability. We give the definition of the Poisson random measures and prove the main properties that we will subsequently use to construct Markov processes with finite state space. Such construction will allow us to provide a probabilistic proof of the fact that the law of a Markov process solves the martingal problem. / En esta monografía continuamos con el desarrollo iniciado en [1] sobre las herramientas fundamentales usadas en el abordaje propuesto en [2,3] para el estudio de la metaestabilidad. Definimos las medidas aleatorias de Poisson y probamos las principales propiedades que seran usadas para construir procesos de Markov con espacio de estados finito. Esta forma de abordar la propiedad Markoviana nos permitirá dar una demostración probabilística de que la ley de un proceso de Markov resuelve un problema martingala.

We aim at generalizing the celebrated portfolio optimization problem "à la Merton", where the asset evolution is steered by a self-exciting jump-diffusion process. We first define the rigorous mathematical framework needed to introduce the stochastic optimal control problem we are interesting in. Then, we provide a proof for a specific version of the Dynamic Programming Principle (DPP) with respect to the general class of self-exciting processes under study. After, we state the Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) equation, whose solution gives the value function for the corresponding optimal control problem. The resulting HJB equation takes the form of a Partial-Integro Differential Equation (PIDE), for which we prove both existence and uniqueness for the solution in the viscosity sense. We further derive a suitable numerical scheme to solve the HJB equation corresponding to the portfolio optimizationproblem. To this end, we also provide a detailed study of solution dependence on the parameters of the problem. The analysis is performed by calibrating the model on ENI asset levels during the COVID-19 worldwide breakout. In particular, the calibration routine is based on a sophisticated Sequential Monte Carlo algorithm.

連續時間計量方法在國外已廣泛被使用於經濟理論的實證上，而國內相關的研究猶付之如闕。本文首先簡述連續時聞計量方法的緣起及其優點；接著介紹其研究方法；最後以此法對耐久財需求、非自願儲蓄及匯率的決定三個主題進行研究。 　　本文第四章透過消費者耐久財的需求發現，以RMSE為準則時，連續模型所賦予的結構訊息是否優於離散模型，須視經濟現象本身的性質而定。 　　有關第五章台灣地區非自願儲蓄之研究，其結論可歸納為：即使考慮不同預期行為，Deaton (1977) 所宣稱的非自願儲蓄效果仍不顯著。但隨著產品行銷管道日漸流通等因素，此一效果亦值得有關當局注意。 　　第六章中筆者修改Frankel & Rodrignez (1982) 之模型，並利用逼近法進行估計。在完全預期的假設下，可以發現模型配適的匯率波動幅度遠大於實際匯率走向。而考慮政府干預後，模型配適情況良好。最後，就樣本後預測準則而言，本章所考慮之模型皆優於VARX(1,2)。

<p>This thesis, consisting of three papers and a summary, studies topics in the theory of stochastic processes related to long-range dependence. Much recent interest in such probabilistic models has its origin in measurements of Internet traffic data, where typical characteristics of long memory have been observed. As a macroscopic feature, long-range dependence can be mathematically studied using certain scaling limit theorems. </p><p>Using such limit results, two different scaling regimes for Internet traffic models have been identified earlier. In one of these regimes traffic at large scales can be approximated by long-range dependent Gaussian or stable processes, while in the other regime the rescaled traffic fluctuates according to stable ``memoryless'' processes with independent increments. In Paper I a similar limit result is proved for a third scaling scheme, emerging as an intermediate case of the other two. The limit process here turns out to be a non-Gaussian and non-stable process with long-range dependence.</p><p>In Paper II we derive a representation for the latter limit process as a stochastic integral of a deterministic function with respect to a certain compensated Poisson random measure. This representation enables us to study some further properties of the process. In particular, we prove that the process at small scales behaves like a Gaussian process with long-range dependence, while at large scales it is close to a stable process with independent increments. Hence, the process can be regarded as a link between these two processes of completely different nature.</p><p>In Paper III we construct a class of processes locally behaving as Gaussian and globally as stable processes and including the limit process obtained in Paper I. These processes can be chosen to be long-range dependent and are potentially suitable as models in applications with distinct local and global behaviour. They are defined using stochastic integrals with respect to the same compensated Poisson random measure as used in Paper II.</p>

This thesis, consisting of three papers and a summary, studies topics in the theory of stochastic processes related to long-range dependence. Much recent interest in such probabilistic models has its origin in measurements of Internet traffic data, where typical characteristics of long memory have been observed. As a macroscopic feature, long-range dependence can be mathematically studied using certain scaling limit theorems. Using such limit results, two different scaling regimes for Internet traffic models have been identified earlier. In one of these regimes traffic at large scales can be approximated by long-range dependent Gaussian or stable processes, while in the other regime the rescaled traffic fluctuates according to stable ``memoryless'' processes with independent increments. In Paper I a similar limit result is proved for a third scaling scheme, emerging as an intermediate case of the other two. The limit process here turns out to be a non-Gaussian and non-stable process with long-range dependence. In Paper II we derive a representation for the latter limit process as a stochastic integral of a deterministic function with respect to a certain compensated Poisson random measure. This representation enables us to study some further properties of the process. In particular, we prove that the process at small scales behaves like a Gaussian process with long-range dependence, while at large scales it is close to a stable process with independent increments. Hence, the process can be regarded as a link between these two processes of completely different nature. In Paper III we construct a class of processes locally behaving as Gaussian and globally as stable processes and including the limit process obtained in Paper I. These processes can be chosen to be long-range dependent and are potentially suitable as models in applications with distinct local and global behaviour. They are defined using stochastic integrals with respect to the same compensated Poisson random measure as used in Paper II.

Diese Dissertation untersucht Aspekte des Zusammenspiels von ergodischem Langzeitver- halten und der Glättungseigenschaft dynamischer Systeme, die von stochastischen Differen- tialgleichungen (SDEs) mit Sprüngen erzeugt sind. Im Speziellen werden SDEs getrieben von Lévy-Prozessen und der Marcusschen kanonischen Gleichung untersucht. Ein vari- ationeller Ansatz für den Malliavin-Kalkül liefert eine partielle Integration, sodass eine Variation im Raum in eine Variation im Wahrscheinlichkeitsmaß überführt werden kann. Damit lässt sich die starke Feller-Eigenschaft und die Existenz glatter Dichten der zuge- hörigen Markov-Halbgruppe aus einer nichtstandard Elliptizitätsbedingung an eine Kom- bination aus Gaußscher und Sprung-Kovarianz ableiten. Resultate für Sprungdiffusionen auf Untermannigfaltigkeiten werden aus dem umgebenden Euklidischen Raum hergeleitet. Diese Resultate werden dann auf zufällige dynamische Systeme angewandt, die von lin- earen stochastischen Differentialgleichungen erzeugt sind. Ruelles Integrierbarkeitsbedin- gung entspricht einer Integrierbarkeitsbedingung an das Lévy-Maß und gewährleistet die Gültigkeit von Oseledets multiplikativem Ergodentheorem. Damit folgt die Existenz eines Lyapunov-Spektrums. Schließlich wird der top Lyapunov-Exponent über eine Formel der Art von Furstenberg–Khasminsikii als ein ergodisches Mittel der infinitesimalen Wachs- tumsrate über die Einheitssphäre dargestellt. / The present thesis investigates certain aspects of the interplay between the ergodic long time behavior and the smoothing property of dynamical systems generated by stochastic differential equations (SDEs) with jumps, in particular SDEs driven by Lévy processes and the Marcus’ canonical equation. A variational approach to the Malliavin calculus generates an integration-by-parts formula that allows to transfer spatial variation to variation in the probability measure. The strong Feller property of the associated Markov semigroup and the existence of smooth transition densities are deduced from a non-standard ellipticity condition on a combination of the Gaussian and a jump covariance. Similar results on submanifolds are inferred from the ambient Euclidean space. These results are then applied to random dynamical systems generated by linear stochas- tic differential equations. Ruelle’s integrability condition translates into an integrability condition for the Lévy measure and ensures the validity of the multiplicative ergodic theo- rem (MET) of Oseledets. Hence the exponential growth rate is governed by the Lyapunov spectrum. Finally the top Lyapunov exponent is represented by a formula of Furstenberg– Khasminskii–type as an ergodic average of the infinitesimal growth rate over the unit sphere.