Ein bedeutender Satz von L. Bungart und H. Grauert besagt, dass, für eine Gruppe G von invertierbaren Elementen einer Banachalgebra, je zwei G-wertige holomorphe Kozyklen über einer beliebigen Steinschen Mannigfaltigkeit holomorph äquivalent sind, wenn sie dort stetig äquivalent sind. Eine einfachere Form dieses Satzes wurde erstmals von K. Oka bewiesen. Aussagen dieser Art werden deshalb auch Okasche Prinzipe oder Oka-Grauert-Prinzipe genannt. Der Bungert-Grauert-Satz ist auch in dem Fall von Bedeutung, in dem die Steinsche Mannigfaltigkeit ein Gebiet in der komplexen Ebene ist. Man kann deshalb in der Literatur auch direkte Beweise für den Spezialfall finden, in dem ein G-wertiger holomorpher, stetig trivialer Kozyklus betrachtet wird. Dieser ist, nach dem oben erwähnten Satz, dann auch holomorph trivial. Ziel dieser Dissertation ist es, den Bungart-Grauert-Satz für Gebiete in der komplexen Ebene auch im allgemeinen Fall direkt zu beweisen. Dieser direkte Beweis ist wesentlich einfacher als der bisherige und muss nicht, wie bei L. Bungart und H. Grauert, auf eine Theorie von mehreren Veränderlichen zurückgreifen. Wie in den Arbeiten von L. Bungart und H. Grauert gezeigt, kann dies durch das sogenannte Verdrillen, einer Methode aus einer allgemeinen Theorie von holomorphen Kozyklen mit Werten in Bündeln von Gruppen, erzielt werden. Der größte Teil der Dissertation besteht deshalb darin, eine solche Theorie im Fall von Gebieten in der komplexen Ebene direkt aufzubauen. / An important theorem of L. Bungart and H. Grauert says that for the group G of invertible elements of a banachalgebra, two holomorphic, G-valued cocycles over a Stein manifold, which are continiously equivalent, are holomorphically equivalent there. A simpler form of that theorem was first proven by K. Oka. That''s why theorems like this are known as Oka-Grauert-priciples as well. The Bungart-Grauert theorem is also significant if the Stein manifold is a domain in the complex plane. That''s why direct proofs of the special case, in which a continiously trivial, holomorphic cocycle is considered, can also be found in literature. Following the Bungart-Grauert theorem mentioned above, such a cocycle is also holomorphically trivial. The goal of this thesis is to prove the general case of the Bungart-Grauert theorem for a domain in the complex plane directly. That direct proof is much more simple than the old one. Furthermore this direct proof doesn''t have to resort to a theory of multiple variables, unlike the proof from L. Bungart and H. Grauert does. As shown in the original works, such a proof can be archieved by using the so called twisting. Twisting is a method from a theory of holomorphic cocycles with values in bundles of groups. In the main part of this thesis such a theory is build directly for domains in the complex plane.

Wir studieren die perturbative Quantisierung von Eichtheorien und Gravitation. Unsere Untersuchungen beginnen mit der Geometrie von Raumzeiten und Teilchenfeldern. Danach diskutieren wir die verschiedenen Lagrangedichten in der Kopplung der (effektiven) Quanten-Allgemeinen-Relativitätstheorie zum Standardmodell. Desweiteren studieren wir den zugehörigen BRST-Doppelkomplex von Diffeomorphismen und Eichtransformationen. Danach wenden wir Connes--Kreimer-Renormierungstheorie auf die perturbative Feynmangraph-Entwicklung an: In dieser Formulierung werden Subdivergenzen mittels des Koprodukts einer Hopfalgebra strukturiert und die Renormierungsoperation mittels einer algebraischen Birkhoff-Zerlegung beschrieben. Dafür verallgemeinern und verbessern wir bekannte Koprodukt-Identitäten und ein Theorem von van Suijlekom (2007), das (verallgemeinerte) Eichsymmetrien mit Hopfidealen verbindet. Insbesondere lässt sich unsere Verallgemeinerung auf Gravitation anwenden, wie von Kreimer (2008) vorgeschlagen. Darüberhinaus sind unsere Resultate anwendbar auf Theorien mit mehreren Vertexresuiden, Kopplungskonstanten und ebensolchen mit einer transversalen Struktur. Zusätzlich zeigen wir Kriterien für die Kompatibilität dieser Hopfideale mit Feynmanregeln und dem gewählten Renormierungsschema. Als nächsten Schritt berechnen wir die entsprechenden Gravitations-Materie Feynmanregeln für alle Vertexvalenzen und mit einem allgemeinen Eichparameter. Danach listen wir alle Propagator- und dreivalenten Vertex-Feynmanregeln auf und berechnen die entsprechenden Kürzungsidentitäten. Abschließend stellen wir geplante Folgeprojekte vor: Diese schließen eine Verallgemeinerung von Wigners Klassifikation von Elementarteilchen für linearisierte Gravitation ein, ebenso wie die Darstellung von Kürzungsidentitäten mittels Feynmangraph-Kohomologie und eine Untersuchung der Äquivalenz verschiedener Definitionen des Gravitonfeldes. Insbesondere argumentieren wir, dass das richtige Setup um perturbative BRST-Kohomologie zu studieren eine differentialgraduierte Hopfalgebra ist. / We study the perturbative quantization of gauge theories and gravity. Our investigations start with the geometry of spacetimes and particle fields. Then we discuss the various Lagrange densities of (effective) Quantum General Relativity coupled to the Standard Model. In addition, we study the corresponding BRST double complex of diffeomorphisms and gauge transformations. Next we apply Connes--Kreimer renormalization theory to the perturbative Feynman graph expansion: In this framework subdivergences are organized via the coproduct of a Hopf algebra and the renormalization operation is described as an algebraic Birkhoff decomposition. To this end, we generalize and improve known coproduct identities and a theorem of van Suijlekom (2007) that relates (generalized) gauge symmetries to Hopf ideals. In particular, our generalization applies to gravity, as was suggested by Kreimer (2008). In addition, our results are applicable to theories with multiple vertex residues, coupling constants and such with a transversal structure. Additionally, we also provide criteria for the compatibility of these Hopf ideals with Feynman rules and the chosen renormalization scheme. We proceed by calculating the corresponding gravity-matter Feynman rules for any valence and with a general gauge parameter. Then we display all propagator and three-valent vertex Feynman rules and calculate the respective cancellation identities. Finally, we propose planned follow-up projects: This includes a generalization of Wigner's classification of elementary particles to linearized gravity, the representation of cancellation identities via Feynman graph cohomology and an investigation on the equivalence of different definitions for the graviton field. In particular, we argue that the appropriate setup to study perturbative BRST cohomology is a differential-graded Hopf algebra.