Cette thèse s'appuie sur deux branches des systèmes dynamiques : la théorie du nombre de rotation des endomorphismes du cercle de degré un et des applications de l'anneau déviant la verticale, ainsi que la théorie des systèmes non-uniformément hyperboliques. Nous nous intéressons tout d'abord à une classe d'applications bimodales du cercle, dilatantes et affines par morceaux. Chaque application de cette famille possède un nombre de rotation presque sûr : c'est le nombre de rotation de presque tout point du cercle. Nous étudions sa régularité et montrons que le nombre de rotation presque sûr est irrationnel pour un ensemble de paramètres de mesure totale. Nous considérons ensuite les applications de l'anneau qui dévient la verticale et plus particulièrement les applications bimodales de la famille d'Arnol'd épaissie. Un rôle essentiel est joué par les orbites de torsion nulle. Elles permettent de montrer que l'ensemble des applications qui possèdent un nombre de rotation fixé, forme dans l'espace des paramètres une langue d'Arnol'd bordée par deux surfaces. La frontière des langues rationnelles est associée à des bifurcations selle-noeud et homoclines. Nous obtenons enfin des estimations sur la taille de l'ensemble de rotation et de l'attracteur de Birkhoff. L'appendice est consacré aux bifurcations selles-noeud d'ensembles hyperboliques localement maximaux dont la direction instable est de dimension un. Cette bifurcation préserve la décomposition géométrique de l'espace tangent en espaces stables et instables. En revanche, l'expansion dans la direction instable dégénère près d'une orbite périodique. Nous obtenons alors une bifurcation de codimension un.

L'objet de cette thèse est l'étude d'algorithmes itératifs permettant de résoudre des problèmes d'optimisation convexe avec ou sans contraintes fonctionnelles, des problèmes de résolutions d'inégalités variationnelles à opérateur monotone et des problèmes de recherche de point selle. Ces problèmes sont envisagés lorsque la dimension de l'espace de recherche est grande et lorsque les valeurs des différentes fonctions étudiées et leur sous/sur-gradients ne sont pas connues exactement et ne sont accessibles qu'au travers d'un oracle stochastique. Les algorithmes que nous étudions sont des adaptations au cas stochastique de deux algorithmes : le premier inspiré de la méthode de descente en miroir de Nemirovski et Yudin et le second, de l'algorithme d'extrapolation duale de Nesterov. Pour chacun de ces deux algorithmes, nous donnons des bornes pour l'espérance et pour les déviations modérées de l'erreur d'approximation sous différentes hypothèses de régularité pour tous les problèmes sans contraintes fonctionnelles envisagées et nous donnons des versions adaptatives de ces algorithmes qui permettent de s'affranchir de connaître certains paramètres de ces problèmes non accessibles en pratique. Enfin nous montrons comment, à l'aide d'un algorithme auxiliaire inspiré de la méthode de Newton et des résultats obtenus lors de la résolution des problèmes de recherche de point selle, il est possible de résoudre des problèmes d'optimisation sous contraintes fonctionnelles.

Nous avons étudié le mélange de fluides visqueux dans des écoulements 2-D ouverts et fermés où des agitateurs créent de l'advection chaotique, i.e. des trajectoires lagrangiennes complexes. Notre étude, expérimentale, numérique et théorique, s'appuie sur deux types d'expériences de mélange chaotique, en domaine fermé et dans un canal ouvert. En système fermé, nous avons d'abord proposé une caractérisation topologique du mélange reposant sur l'enchevêtrement des trajectoires de points périodiques -- les "tiges fantômes". D'autre part, l'étude expérimentale du champ de concentration d'un colorant nous a permis de décrire le rôle des murs du domaine où se fait le mélange, pour les écoulements fermés comme ouverts. En fermé, la nature chaotique ou régulière des trajectoires initialisées près des bords détermine l'évolution du champ de concentration, même loin des bords. Nous avons ainsi observé une dynamique lente (algébrique) de l'homogénéisation quand la région chaotique s'étend jusqu'à des murs non-glissants. En ouvert, nous avons décrit l'évolution du champ de concentration dans, et en aval de la région de mélange, résultant de l'injection d'un blob de colorant. Nous avons décrit les éléments mal mélangés qui s'échappent aux temps courts, et l'apparition d'un motif permanent (auto-similaire) aux temps longs, déterminé par les orbites périodiques de la région de mélange. Des modifications de ce scénario apparaissent quand la région de mélange va jusqu'aux murs. Enfin, une modélisation à base de transformation du boulanger généralisée nous a permis de comprendre l'essentiel des mécanismes rencontrés.

Mémoire numérisé par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal

La sélection génomique substitue à la connaissance de la généalogie celle des séquences d’ADN et connait un succès spectaculaire dans la sélection des bovins laitiers. En équin, le gain de précision pour les valeurs génétiques en CSO a été estimé faible entre la généalogie et la génomique, éventuellement à cause des particularités des populations d’apprentissage et de validation. L’objectif est de définir pour les races équines les conditions d’efficacité et de fonctionnement de la sélection génomique. La partie théorique de la thèse a consisté en une méta-analyse afin de comprendre le lien entre précision théorique et observée en fonction des paramètres des populations. L’étude a montré l’importance du nombre efficace de marqueurs Me. Ce paramètre spécifique de la population, de la structure génomique et de la parenté doit être évalué, au même titre que l’héritabilité en génétique classique. D’un point de vue pratique, la 1ère voie d’amélioration était de rechercher des gènes à effet majeur sur l’aptitude au concours de saut d’obstacles (CSO) ou au concours complet. Aucun gène majeur n’a été localisé malgré des détections significatives. Le 2nd levier pour améliorer l’estimation des valeurs génétiques en CSO était d’utiliser le Single-Step, méthode qui combine l’information génomique des étalons génotypés et la généalogie de l’ensemble des chevaux non génotypés utilisés pour l’indexation. L’évaluation pour le CSO a donc été revisitée. Malgré le re-calcul de l’héritabilité et l’application des points sur toute la période, le gain en précision reste faible. La sélection génomique a également été testée sur des chevaux d’endurance, mais comme pour le CSO les précisions obtenues pour le moment ne sont pas assez élevées pour justifier une utilisation de la sélection génomique. Récemment, un gène majeur agissant sur l’aptitude à trotter (DMRT3) a été identifié. Malgré l’effet très négatif d’un allèle sur la qualification et les performances précoces, le Trotteur français (TF) est polymorphe pour le gène à cause d’un effet positif de ce même allèle sur les performances tardives. La sélection classique et la sélection génomique ont été comparées en incluant ou non dans le modèle un marqueur lié à DMRT3, nous permettant d’identifier la meilleure combinaison de modèle et de méthode à utiliser pour estimer les valeurs génétiques du TF. Enfin, le paramètre Me a été estimé dans les populations de chevaux utilisées au cours de la thèse, et les résultats des évaluations génomiques ont été comparés en fonction de Me et des autres paramètres influant sur la précision de la sélection génomique. Deux nouveaux projets prévoyant de génotyper des chevaux de CSO d’une part et des TF d’autre part devraient permettre respectivement d’améliorer la précision de l’évaluation génomique en CSO et de confirmer l’intérêt de la prise en compte de DMRT3 dans l’évaluation génomique des TF. / Genomic selection uses genotypes information instead of pedigree information for the estimation of breeding values. In dairy cattle, the selection schemes were greatly improved with this method. In horses, a first attempt of genomic selection showed that the evaluation accuracy was not much improved when using genotypes information compared to classic evaluation, possibly because of the structure of the reference and validation populations. The objective of the thesis was to define the theoretical and practical conditions for the use of genomic selection in horses. The theoretical work of the thesis consisted in a meta-analysis to understand the relation between observed and theoretical accuracy depending on the parameters of the population. We proved the importance of the effective number of independent segments in the genome Me. This parameter is specific of the population and of the genomic structure and relationship structure. We recommend to estimate this parameter before genomic evaluation, just like heritability that is estimated before genetic evaluation. Regarding practical tasks of the thesis, the first solution to improve the breeding values estimation for jumping performances was to look for genes having a major effect on performances in jumping competitions and three-day’s events, but no major gene was evidence in spite of significant detections. The 2nd solution was to perform a single-step evaluation. This method combines information from genotyped stallions and from the pedigree of the whole population. Even if the heritability was re-estimated and points distributed to all horses to have a homogeneous criteria, the accuracy of genomic evaluation was not much improved. Genomic selection was also tested on horses running endurance races, but as for jumping the accuracy was not high enough. Recently, a major gene having a huge effect on the ability of horses to trot was evidenced (DMRT3). Even if one allele has a negative effect on qualification and early earnings, French Trotter (FT) is still heterozygote because of a positive effect of this allele on late performances. Genetic and genomic evaluations were compared with or without using in the model a SNP linked to DMRT3 as a fixed effect. This study allowed identifying the best combination of model and method to use for estimation of FT breeding values. Finally, the parameter Me was estimated in the populations of horses used in the thesis. The results of genomic evaluations were compared according to Me and the other parameters having an influence on the accuracy of genomic evaluations. Two new projects will genotype more jumping horses and FT, they should allow to improve the accuracy of genomic evaluation for jumping horses and to acknowledge the interest of using DMRT3 in the genomic evaluation of FT.

Cette thèse s’intéresse au développement d’un contrôleur sûre et robuste en tant que partie intégrante d’un pancréas artificiel. Plus précisément, nous sommes intéressés à contrôler la partie du traitement usuel qui a pour but d’équilibrer la glycémie du patient. C’est ainsi que le développement d’une commande prédictive nonlinéaire robuste basée sur la résolution d’un problème de point selle a été envisagé. Afin de valider les performances du contrôleur dans une situation réaliste, des simulations numériques en utilisant une plate-forme de tests validée par la FDA sont envisagées.Dans une première partie, nous présentons une extension de la classique commande prédictive nonlinéaire dont le but est d’assurer le contrôle robuste de systèmes décrits par des équations différentielles ordinaires non linéaires dans un cadre échantillonné. Ce contrôleur, qui calcule une action de contrôle adéquate en considérant la solution d’un problème de point selle, est appelé saddle point model predictive controller (SPMPC). En utilisant cette commande, il est prouvé que le système converge en temps fini dans un espace borné et, en supposant une certaine structure dans le problème, qu’il est pratiquement stable entrée-état. Ensuite, nous nous sommes intéressés à la résolution numérique. Pour ce faire, nous proposons une méthode de résolution inspirée de la méthode du Langrangien augmenté et qui fait usage de modèles adjoints.Dans un deuxième temps, nous considérons l’application de ce contrôleur au problème du contrôle artificiel de la glycémie. Après une phase de modélisation, nous avons retenu deux modèles : un modèle simple qui est utilisé pour développer la commande et un modèle complexe qui est utilisé comme un simulateur réaliste de patients. Ce dernier est nécessaire pour valider notre approche de contrôle. Afin de calculer une entrée de commande adéquate, la commande SPMPC a besoin de l’état complet du système. Or, les capteurs ne peuvent fournir qu’une valeur du glucose sanguin. C’est pourquoi le développement d’un observateur est envisagé. Ensuite, des simulations sont réalisées. Les résultats obtenus témoignent de l’intérêt de l’approche retenue. En effet, pour tous les patients, aucune hypoglycémie n’a été observée et le temps passé en état hyperglycémique est suffisamment faible pour ne pas être dommageable. Enfin, l’intérêt d’étendre l’approche de commande SPMPC au problème de contrôle de systèmes décrits par des équations différentielles retardées non linéaires dans un cadre échantillonné est formellement investigué. / This thesis deals with the design of a robust and safe control algorithm to aim at an artificial pancreas. More precisely we will be interested in controlling the stabilizing part of a classical cure. To meet this objective, the design of a robust nonlinear model predictive controller based on the solution of a saddle point optimization problem is considered. Also, to test the controller performances in a realistic case, numerical simulations on a FDA validated testing platform are envisaged.In a first part, we present an extension of the usual nonlinear model predictive controller designed to robustly control, in a sampled-data framework, systems described by nonlinear ordinary differential equations. This controller, which computes the best control input by considering the solution of a constrained saddle point optimization problem, is called saddle point model predictive controller (SPMPC). Using this controller, it is proved that the closed-loop is Ultimately Bounded and, with some assumptions on the problem structure, Input-to State practically Stable. Then, we are interested in numerically solving the corresponding control problem. To do so, we propose an algorithm inspired from the augmented Lagrangian technique and which makes use of adjoint model.In a second part, we consider the application of this controller to the problem of artificial blood glucose control. After a modeling phase, two models are retained. A simple one will be used to design the controller and a complex one will be used to simulate realistic virtual patients. This latter is needed to validate our control approach. In order to compute a good control input, the SPMPC controller needs the full state value. However, the sensors can only provide the value of blood glucose. That is why the design of an adequate observer is envisaged. Then, numerical simulations are performed. The results show the interest of the approach. For all virtual patients, no hypoglycemia event occurs and the time spent in hyperglycemia is too short to induce damageable consequences. Finally, the interest of extending the SPMPC approach to consider the control of time delay systems in a sampled-data framework is numerically explored.

Dans cette thèse, on s'intéresse à l'étude d'existence de solutions pour les processus de rafle. Ce problème prend la forme d'une inclusion différentielle contrainte avec des cônes normaux qui apparaissent naturellement dans nombreuses applications telles que le mouvement de foule, l'élastoplasticité, les mécaniques, les circuits électroniques, etc. L'objective de ce travail est de rapprocher deux importantes classes d'inclusions différentielles. D'une part, nous établissons quelques résultats d'existence de tube-solutions pour des processus de rafle à des ensembles uniformément prox-réguliers. D'autre part, nous présentons des résultats d'existence de solutions monotone par rapport à un préordre pour un système mixte d'inclusions différentielles projetées. De plus, nous montrons l'existence d'un point-selle pour notre système et nous fournissons deux exemples d'applications. / In this thesis, we were interested in the study of the existence of solutions for sweeping processes. This problem takes the form of a constrained differential inclusion involving normal cones which appears naturally in many applications such as crowd motion, elastoplasticity, mechanics, electrical circuit, etc.The aim of this work is to bring together two classes of differential inclusions. On one hand, we establish some existence results of solutions-tube for sweeping processes with uniformly prox-regular sets. On the other hand, we present existence results of monotone solutions with respect to a preorder for a mixed system of projected differential inclusions. In addition, we show that our system has a saddle-point and we provide two examples of applications.

Soit q ⩾ 2 une puissance première fixe. L’objectif principal de cette thèse est d’étudier le comportement asymptotique de la fonction arithmétique Π_q(n,k) comptant le nombre de polynômes moniques de degré n et ayant exactement k facteurs irréductibles (avec multiplicité) sur le corps fini F_q. Warlimont et Car ont montré que l’objet Π_q(n,k) est approximativement distribué de Poisson lorsque 1 ⩽ k ⩽ A log n pour une constante A > 0. Plus tard, Hwang a étudié la fonction Π_q(n,k) pour la gamme complète 1 ⩽ k ⩽ n. Nous allons d’abord démontrer une formule asymptotique pour Π_q(n,k) en utilisant une technique analytique classique développée par Sathe et Selberg. Nous reproduirons ensuite une version simplifiée du résultat de Hwang en utilisant la formule de Sathe-Selberg dans le champ des fonctions. Nous comparons également nos résultats avec ceux analogues existants dans le cas des entiers, où l’on étudie tous les nombres naturels jusqu’à x avec exactement k facteurs premiers. En particulier, nous montrons que le nombre de polynômes moniques croît à un taux étonnamment plus élevé lorsque k est un peu plus grand que logn que ce que l’on pourrait supposer en examinant le cas des entiers. Pour présenter le travail ci-dessus, nous commençons d’abord par la théorie analytique des nombres de base dans le contexte des polynômes. Nous introduisons ensuite les fonctions arithmétiques clés qui jouent un rôle majeur dans notre thèse et discutons brièvement des résultats bien connus concernant leur distribution d’un point de vue probabiliste. Enfin, pour comprendre les résultats clés, nous donnons une discussion assez détaillée sur l’analogue de champ de fonction de la formule de Sathe-Selberg, un outil récemment développé par Porrit et utilisons ensuite cet outil pour prouver les résultats revendiqués. / Let q ⩾ 2 be a fixed prime power. The main objective of this thesis is to study the asymptotic behaviour of the arithmetic function Π_q(n,k) counting the number of monic polynomials that are of degree n and have exactly k irreducible factors (with multiplicity) over the finite field F_q. Warlimont and Car showed that the object Π_q(n,k) is approximately Poisson distributed when 1 ⩽ k ⩽ A log n for some constant A > 0. Later Hwang studied the function Π_q(n,k) for the full range 1 ⩽ k ⩽ n. We will first prove an asymptotic formula for Π_q(n,k) using a classical analytic technique developed by Sathe and Selberg. We will then reproduce a simplified version of Hwang’s result using the Sathe-Selberg formula in the function field. We also compare our results with the analogous existing ones in the integer case, where one studies all the natural numbers up to x with exactly k prime factors. In particular, we show that the number of monic polynomials grows at a surprisingly higher rate when k is a little larger than logn than what one would speculate from looking at the integer case. To present the above work, we first start with basic analytic number theory in the context of polynomials. We then introduce the key arithmetic functions that play a major role in our thesis and briefly discuss well-known results concerning their distribution from a probabilistic point of view. Finally, to understand the key results, we give a fairly detailed discussion on the function field analogue of the Sathe-Selberg formula, a tool recently developed by Porrit and subsequently use this tool to prove the claimed results.