Les méthodes de NMF permettent la factorisation aveugle d'une matrice non-négative X en le produit X = G . F de deux matrices non-négatives G et F. Bien que ces approches sont étudiées avec un grand intêret par la communauté scientifique, elles souffrent bien souvent d'un manque de robustesse vis à vis des données et des conditions initiales et peuvent présenter des solutions multiples. Dans cette optique et afin de réduire l'espace des solutions admissibles, les travaux de cette thèse ont pour objectif d'informer la NMF, positionnant ainsi nos travaux entre la régression et les factorisations aveugles classiques. Par ailleurs, des fonctions de coûts paramétriques appelées divergences αβ sont utilisées, permettant de tolérer la présence d'aberrations dans les données. Nous introduisons trois types de contraintes recherchées sur la matrice F à savoir (i) la connaissance exacte ou bornée de certains de ses éléments et (ii) la somme à 1 de chacune de ses lignes. Des règles de mise à jour permettant de faire cohabiter l'ensemble de ces contraintes par des méthodes multiplicatives mixées à des projections sont proposées. D'autre part, nous proposons de contraindre la structure de la matrice G par l'usage d'un modèle physique susceptible de distinguer les sources présentes au niveau du récepteur. Une application d'identification de sources de particules en suspension dans l'air, autour d'une région industrielle du littoral nord de la France, a permis de tester l'intérêt de l'approche. À travers une série de tests sur des données synthétiques et réelles, nous montrons l'apport des différentes informations pour rendre les résultats de la factorisation plus cohérents du point de vue de l'interprétation physique et moins dépendants de l'initialisation. / NMF methods aim to factorize a non negative observation matrix X as the product X = G.F between two non-negative matrices G and F. Although these approaches have been studied with great interest in the scientific community, they often suffer from a lack of robustness to data and to initial conditions, and provide multiple solutions. To this end and in order to reduce the space of admissible solutions, the work proposed in this thesis aims to inform NMF, thus placing our work in between regression and classic blind factorization. In addition, some cost functions called parametric αβ-divergences are used, so that the resulting NMF methods are robust to outliers in the data. Three types of constraints are introduced on the matrix F, i. e., (i) the "exact" or "bounded" knowledge on some components, and (ii) the sum to 1 of each line of F. Update rules are proposed so that all these constraints are taken into account by mixing multiplicative methods with projection. Moreover, we propose to constrain the structure of the matrix G by the use of a physical model, in order to discern sources which are influent at the receiver. The considered application - consisting of source identification of particulate matter in the air around an insdustrial area on the French northern coast - showed the interest of the proposed methods. Through a series of experiments on both synthetic and real data, we show the contribution of different informations to make the factorization results more consistent in terms of physical interpretation and less dependent of the initialization

Sound Source Separation refers to separating sound signals according to their sources from a given observed sound. It is efficient to code and very easy to analyze and manipulate sounds from individual sources separately than in a mixture. This thesis deals with the problem of source separation in monaural recordings of harmonic musical instruments. A good amount of literature is surveyed and presented since sound source separation has been tried by many researchers over many decades through various approaches. A prediction driven approach is first presented which is inspired by old-plus-new heuristic used by humans for Auditory Scene Analysis. In this approach, the signals from different sources are predicted using a general model and then these predictions are reconciled with observed sound to get the separated signal. This approach failed for real world sound recordings in which the spectrum of the source signals change very dynamically. Considering the dynamic nature of the spectrums, an approach which uses covariance matrix of amplitudes of harmonics is proposed. The overlapping and non-overlapping harmonics of the notes are first identified with the knowledge of pitch of the notes. The notes are matched on the basis of their covariance profiles. The second order properties of overlapping harmonics of a note are estimated with the use of co-variance matrix of a matching note. The full harmonic is then reconstructed using these second order characteristics. The technique has performed well over sound samples taken from RWC musical Instrument database.

Les stations d’épuration se tournent actuellement vers des installations de récupération d'énergie et des nutriments. Dans le même temps, elles sont soumises à une réglementation de plus en plus stricte en ce qui concerne l'environnement et la santé humaine. Face au défi ambitieux de réduire les coûts d'exploitation et les impacts environnementaux tout en garantissant la robustesse du procédé, il est nécessaire de développer des outils capables de fournir une évaluation intégrée du procédé. L’objectif de ce travail est de développer une plateforme réaliste et prédictive contenant trois aspects: la modélisation rigoureuse et dynamique de l’ensemble de la station d’épuration; l'analyse de cycle de vie aux frontières étendues pour l'évaluation des scénarios et enfin un outil d'optimisation multi-objectif efficace. La plateforme développée pour l'évaluation environnementale couplée à la modélisation dynamique a d'abord été appliquée à plusieurs cas d’étude. Ainsi des résultats de performance et d’impacts environnementaux ont été obtenus pour la séparation de l’urine à la source, la décantation primaire avancée et le traitement de l'urine par nitritation/ oxydation anaérobie de l’ammonium, et d’autres filières. Compte tenu des importants avantages de la séparation de l’urine établis par les résultats précédents, un générateur d’influents phénoménologique, flexible et dynamique a été adapté afin de fournir des données dynamiques réalistes concernant les flux d'urine et des eaux usées dans les différents scénarios de rétention d'urine. Enfin, comme la combinaison complexe de processus biologiques, chimiques et physiques conduit à un problème lourd en calcul, une étude de faisabilité (temps de calcul et fiabilité) a été réalisée sur l'optimisation multi-objectif. L'obtention d'un ensemble de solutions qui évite toute discrimination préalable entre les coûts, l'environnement et les performances ont permis la discussion des enjeux impliqués. Finalement, la plateforme complète a été appliquée à plusieurs cas d’étude et clarifie les aspects opérationnels des options plus durables en matière de gestion et de traitement des eaux usées. / Wastewater treatment plants are moving towards energy and nutrients recovery facilities. Simultaneously, they are submitted to stricter regulation with respect to environment and human health. Facing the great challenge of reducing operational costs along with the reduction of environmental impacts and the guaranty of plants robustness, tools might be developed in order to provide an integrated assessment. The goal of this work is to develop a reliable and predictive framework containing rigorous dynamic wide-plant modelling, extended boundaries life cycle assessment for scenarios evaluation and an efficient multi-objective optimization tool. The developed framework for environmental evaluation coupled to dynamic modelling was initially applied to several case studies including urine source separation, enhanced primary clarification and urine treatment by nitritation/ anaerobic ammonium oxidation, offering both performance results and environmental hotspots. Given the important benefits of the urine source separation provided by the previous results, a flexible and dynamic phenomenological influent generator was adapted in order to provide realistic dynamic data concerning urine and wastewater streams in different urine retention scenarios. Finally, as the complex combination of biological, chemical and physical processes leads to a computational expensive problem, a feasibility study (computational time and reliability) on the multi-objective optimization was conducted. Obtaining a set of solutions that avoids any prior discrimination among costs, environment and performance allowed thus the discussion of the involved trade-offs. Finally, the complete framework was applied to several case studies lightening on operational aspects of more sustainable options on wastewater management and treatment.

La résonance paramagnétique électronique est une technologie permettant de localiser et de caractériser les radicaux libres, fondée sur la propriété de résonance des électrons libres lorsqu’ils sont placés dans un champ magnétique spécifique. Afin d’augmenter la qualité des reconstructions obtenues par des dispositifs d’imagerie de résonance paramagnétique électronique, ce travail propose l’utilisation de méthodes variationnelles pour inverser le modèle de formation des images, qui combine une convolution avec une transformée de Radon. La fonctionnelle proposée repose sur la norme L2 pour le terme d’attache aux données, et sur la variation totale et une seminorme de Besov pour le terme de régularisation. La seminorme de Besov est implémentée grâce à la transformée en curvelets et à la norme L1 qui permet d’appliquer un critère de parcimonie. Les propriétés de ces termes de régularisation permettent de reconstruire des images à la fois pertinentes dans les zones où l’acquisition des données est insuffisante, notamment sur les bords, et suffisamment détaillées dans les zones où l’échantillon est texturé. L’augmentation de la qualité des images reconstruites permet d’envisager des acquisitions sur des durées réduites, ouvrant la voie à des expériences in vivo ou cliniques actuellement limitées par des durées d’acquisition de l’ordre de plusieurs dizaines de minutes. Les algorithmes de minimisation primal-dual de Chambolle-Pock et FISTA sont utilisés pour résoudre les problèmes d’optimisation que pose l’utilisation de méthodes variationnelles. L’étude détaillée du modèle direct permet de mettre en évidence une structure de Toeplitz, dont les propriétés sont utilisées pour résoudre le problème inverse en évitant le recours à la rétroprojection filtrée ou aux transformées de Fourier non-uniformes. Des simulations numériques sont menées sur le fantôme de Shepp-Logan, et valident le modèle proposé qui surpasse à la fois visuellement et quantitativement les techniques de reconstruction couramment utilisées, combinant déconvolution et rétroprojection filtrée. Des reconstructions menées sur des acquisitions réelles, consistant en un échantillon papier d’une encre paramagnétique et en une phalange distale irradiée, valident par l’expérience le choix des fonctionnelles utilisées pour inverser le modèle direct. La grande souplesse de la méthode variationnelle proposée permet d’adapter la fonctionnelle au problème de la séparation de sources qui se pose lorsque deux molécules paramagnétiques différentes sont présentes au sein d’un même échantillon. La fonctionnelle proposée permet de séparer les deux molécules dans le cadre d’une acquisition classique d’imagerie de résonance paramagnétique électronique, ce qui n’était possible jusqu’alors que sur des acquisitions dites hyperspectrales beaucoup plus gourmandes en temps. / Spatial electron paramagnetic resonance imaging (EPRI) is a recent method to localize and characterize free radicals in vivo or in vitro, leading to applications in material and biomedical sciences. To improve the quality of the reconstruction obtained by EPRI, a variational method is proposed to inverse the image formation model. It is based on a least-square data-fidelity term and the total variation and Besov seminorm for the regularization term. To fully comprehend the Besov seminorm, an implementation using the curvelet transform and the L1 norm enforcing the sparsity is proposed. It allows our model to reconstruct both image where acquisition information are missing and image with details in textured areas, thus opening possibilities to reduce acquisition times. To implement the minimization problem using the algorithm developed by Chambolle and Pock, a thorough analysis of the direct model is undertaken and the latter is inverted while avoiding the use of filtered backprojection (FBP) and of non-uniform Fourier transform. Numerical experiments are carried out on simulated data, where the proposed model outperforms both visually and quantitatively the classical model using deconvolution and FBP. Improved reconstructions on real data, acquired on an irradiated distal phalanx, were successfully obtained. Due to its great versatility, the variational approach is easily extended to the source separation problem which happens when two different paramagnetic species are present in the sample. The objective function is consequently modified, and a classic EPRI acquisition yields two images, one for each species. Until now, source separation could only be applied to hyperspectral EPRI data, much more costly in acquisition time.

Nous sommes intéressé par la reconstitution et la prédiction des séries temporelles multivariées à partir des données partiellement observées et/ou agrégées.La motivation du problème vient des applications dans la gestion du réseau électrique.Nous envisageons des outils capables de résoudre le problème d'estimation de plusieurs domaines.Après investiguer le krigeage, qui est une méthode de la litérature de la statistique spatio-temporelle, et une méthode hybride basée sur le clustering des individus, nous proposons un cadre général de reconstitution et de prédiction basé sur la factorisation de matrice nonnégative.Ce cadre prend en compte de manière intrinsèque la corrélation entre les séries temporelles pour réduire drastiquement la dimension de l'espace de paramètres.Une fois que le problématique est formalisé dans ce cadre, nous proposons deux extensions par rapport à l'approche standard.La première extension prend en compte l'autocorrélation temporelle des individus.Cette information supplémentaire permet d'améliorer la précision de la reconstitution.La deuxième extension ajoute une composante de régression dans la factorisation de matrice nonnégative.Celle-ci nous permet d'utiliser dans l'estimation du modèle des variables exogènes liées avec la consommation électrique, ainsi de produire des facteurs plus interprétatbles, et aussi améliorer la reconstitution.De plus, cette méthod nous donne la possibilité d'utiliser la factorisation de matrice nonnégative pour produire des prédictions.Sur le côté théorique, nous nous intéressons à l'identifiabilité du modèle, ainsi qu'à la propriété de la convergence des algorithmes que nous proposons.La performance des méthodes proposées en reconstitution et en prédiction est testé sur plusieurs jeux de données de consommation électrique à niveaux d'agrégation différents. / We are interested in the recovery and prediction of multiple time series from partially observed and/or aggregate data.Motivated by applications in electricity network management, we investigate tools from multiple fields that are able to deal with such data issues.After examining kriging from spatio-temporal statistics and a hybrid method based on the clustering of individuals, we propose a general framework based on nonnegative matrix factorization.This frameworks takes advantage of the intrisic correlation between the multivariate time series to greatly reduce the dimension of the parameter space.Once the estimation problem is formalized in the nonnegative matrix factorization framework, two extensions are proposed to improve the standard approach.The first extension takes into account the individual temporal autocorrelation of each of the time series.This increases the precision of the time series recovery.The second extension adds a regression layer into nonnegative matrix factorization.This allows exogenous variables that are known to be linked with electricity consumption to be used in estimation, hence makes the factors obtained by the method to be more interpretable, and also increases the recovery precision.Moreover, this method makes the method applicable to prediction.We produce a theoretical analysis on the framework which concerns the identifiability of the model and the convergence of the algorithms that are proposed.The performance of proposed methods to recover and forecast time series is tested on several multivariate electricity consumption datasets at different aggregation level.

L'objectif de cette thèse est de concevoir des algorithmes qui permettent la détection robuste d’objets et d’événements dans des vidéos en s’appuyant sur une analyse conjointe de données audio et visuelle. Ceci est inspiré par la capacité remarquable des humains à intégrer les caractéristiques auditives et visuelles pour améliorer leur compréhension de scénarios bruités. À cette fin, nous nous appuyons sur deux types d'associations naturelles entre les modalités d'enregistrements audiovisuels (réalisés à l'aide d'un seul microphone et d'une seule caméra), à savoir la corrélation mouvement/audio et la co-occurrence apparence/audio. Dans le premier cas, nous utilisons la séparation de sources audio comme application principale et proposons deux nouvelles méthodes dans le cadre classique de la factorisation par matrices non négatives (NMF). L'idée centrale est d'utiliser la corrélation temporelle entre l'audio et le mouvement pour les objets / actions où le mouvement produisant le son est visible. La première méthode proposée met l'accent sur le couplage flexible entre les représentations audio et de mouvement capturant les variations temporelles, tandis que la seconde repose sur la régression intermodale. Nous avons séparé plusieurs mélanges complexes d'instruments à cordes en leurs sources constituantes en utilisant ces approches.Pour identifier et extraire de nombreux objets couramment rencontrés, nous exploitons la co-occurrence apparence/audio dans de grands ensembles de données. Ce mécanisme d'association complémentaire est particulièrement utile pour les objets où les corrélations basées sur le mouvement ne sont ni visibles ni disponibles. Le problème est traité dans un contexte faiblement supervisé dans lequel nous proposons un framework d’apprentissage de représentation pour la classification robuste des événements audiovisuels, la localisation des objets visuels, la détection des événements audio et la séparation de sources.Nous avons testé de manière approfondie les idées proposées sur des ensembles de données publics. Ces expériences permettent de faire un lien avec des phénomènes intuitifs et multimodaux que les humains utilisent dans leur processus de compréhension de scènes audiovisuelles. / The goal of this thesis is to design algorithms that enable robust detection of objectsand events in videos through joint audio-visual analysis. This is motivated by humans’remarkable ability to meaningfully integrate auditory and visual characteristics forperception in noisy scenarios. To this end, we identify two kinds of natural associationsbetween the modalities in recordings made using a single microphone and camera,namely motion-audio correlation and appearance-audio co-occurrence.For the former, we use audio source separation as the primary application andpropose two novel methods within the popular non-negative matrix factorizationframework. The central idea is to utilize the temporal correlation between audio andmotion for objects/actions where the sound-producing motion is visible. The firstproposed method focuses on soft coupling between audio and motion representationscapturing temporal variations, while the second is based on cross-modal regression.We segregate several challenging audio mixtures of string instruments into theirconstituent sources using these approaches.To identify and extract many commonly encountered objects, we leverageappearance–audio co-occurrence in large datasets. This complementary associationmechanism is particularly useful for objects where motion-based correlations are notvisible or available. The problem is dealt with in a weakly-supervised setting whereinwe design a representation learning framework for robust AV event classification,visual object localization, audio event detection and source separation.We extensively test the proposed ideas on publicly available datasets. The experimentsdemonstrate several intuitive multimodal phenomena that humans utilize on aregular basis for robust scene understanding.

La nouvelle génération d’instrument d’interféromètre radio, tels que LOFAR et SKA, nous permettra de construire des images radio à haute résolution angulaire et avec une bonne sensibilité. L’un des problèmes majeurs de l’imagerie interférométrie est qu’il s’agit d’un problème inverse mal posé car seulement quelques coefficients de Fourier (visibilités) peuvent être mesurés par un interféromètre radio. La théorie de l’Acquisition Comprimée (Compressed Sensing) nous permet d’envisager ce problème sous un autre angle et son efficacité pour la radioastronomie a été montrée. Cette thèse se concentre sur la méthodologie de la reconstruction de données à l’Acquisition Comprimée Multicanaux et son application en radioastronomie. Par exemple, les transitoires radios sont un domaine de recherche actif en radioastronomie, mais leur détection est un problème difficile en raison de la faible résolution angulaire et des observations à faible rapport signal-sur-bruit. Pour résoudre ce problème, nous avons exploité la parcimonie de l’information temporelle des transitoires radios et nous avons proposé une méthode de reconstruction spatio-temporelle pour détecter efficacement les sources radios. Les expériences ont démontré la force de cette méthode de reconstruction en comparaison avec les méthodes de l’état de l’art. Une deuxième application concerne l’imagerie interférométrie radio à multi-longueur d’onde dans lesquelles les données sont dégradées différemment en termes de longueur d’onde car la réponse instrumentale varie en fonction de la longueur d’onde. Basé sur le modèle de mélange de sources, un nouveau modèle est proposé pour effectuer de manière jointe une Séparation de Sources en Aveugle et une déconvolution (SSAD). Le problème SSAD n’est pas seulement non-convexe mais aussi mal conditionné en raison des noyaux de convolution. Notre méthode proposée DecGMCA, qui utilise un a priori de parcimonie et emploie un scénario de moindre carré alternatif, est un algorithme efficace pour aborder simultanément les problèmes de déconvolution et de SSA. Les expériences ont démontré que notre approche jointe permet d’obtenir de meilleurs résultats comparée à une analyse standard consistant en une application séquentielle d’une déconvolution suivie d’une séparation de sources en aveugle. / The new generation of radio interferometer instruments, such as LOFAR and SKA, will allow us to build radio images with very high angular resolution and sensitivity. One of the major problems in interferometry imaging is that it involves an ill-posed inverse problem, because only a few Fourier components (visibility points) can be acquired by a radio interferometer. Compressed Sensing (CS) theory is a paradigm to solve many underdetermined inverse problems and has shown its strength in radio astronomy. This thesis focuses on the methodology of Multichannel Compressed Sensing data reconstruction and its application in radio astronomy. For instance, radio transients are an active research field in radio astronomy but their detection is a challenging problem because of low angular resolution and low signal-to-noise observations. To address this issue, we investigated the sparsity of temporal information of radio transients and proposed a spatial-temporal sparse reconstruction method to efficiently detect radio sources. Experiments have shown the strength of this sparse recovery method compared to the state-of-the-art methods. A second application is concerned with multi-wavelength radio interferometry imaging in which the data are degraded differently in terms of wavelength due to the wavelength-dependent varying instrumental beam. Based on a source mixture model, a novel Deconvolution Blind Source Separation (DBSS) model is proposed. The DBSS problem is not only non-convex but also ill conditioned due to convolution kernels. Our proposed DecGMCA method, which benefits from a sparsity prior and leverages an alternating projected least squares, is an efficient algorithm to tackle simultaneously the deconvolution and BSS problems. Experiments have shown that taking into account joint deconvolution and BSS gives much better results than applying sequential deconvolution and BSS.

This thesis deals with multi-channel methods of speech enhancement. Multichannel methods of speech enhancement use a few microphones for recording signals. From mixtures of signals, for example, individual speakers can be separated, noise should be reduced etc. with using neural networks. The task of separating speakers is known as a cocktail-party effect. The main method of solving this problem is called independent component analysis. At first there are described its theoretical foundation and presented conditions and requirements for its application. Methods of ICA try to separate the mixtures with help of searching the minimal gaussian properties of signals. For the analysis of independent components are used different mathematical properties of signals such as kurtosis and entropy. Signals, which were mixed artificially on a computer, can be relatively well separated using, for example, FastICA algorithm or ICA gradient ascent. However, difficult is situation, if we want to separate the signals created in the real recording enviroment, because the separation of speech people speaking at the same time in the real environment affects other various factors such as acoustic properties of the room, noise, delays, reflections from the walls, the position or the type of microphones, etc. Work presents aproach of independent component analysis in the frequency domain, which can successfully separate also recordings made in the real environment.

Cette thèse porte sur le problème de Séparation Aveugle de Sources (SAS) en présence de données aberrantes. La plupart des méthodes de SAS sont faussées par la présence de déviations structurées par rapport au modèle de mélange linéaire classique: des évènements physiques inattendus ou des dysfonctionnements de capteurs en sont des exemples fréquents.Nous proposons un nouveau modèle prenant en compte explicitement les données aberrantes. Le problème de séparation en résultant, mal posé, est adressé grâce à la parcimonie. L'utilisation de cette dernière est particulièrement intéressante en SAS robuste car elle permet simultanément de démélanger les sources et de séparer les différentes contributions. Ces travaux sont étendus pour l'estimation de variabilité spectrale pour l'imagerie hyperspectrale terrestre.Des comparaisons avec des méthodes de l'état-de-l'art montrent la robustesse et la fiabilité des algorithmes associés pour un large éventail de configurations, incluant le cas déterminé. / This manuscript addresses the Blind Source Separation (BSS) problem in the presence of outliers. Most BSS techniques are hampered by the presence of structured deviations from the standard linear mixing model, such as unexpected physical events or malfunctions of sensors. We propose a new data model taking explicitly into account the deviations. The resulting joint estimation of the components is an ill-posed problem, tackled using sparse modeling. The latter is particularly efficient for solving robust BSS since it allows for a robust unmixing of the sources jointly with a precise separation of the components. These works are then extended for the estimation of spectral variability in the framework of terrestrial hyperspectral imaging. Numerical experiments highlight the robustness and reliability of the proposed algorithms in a wide range of settings, including the full-rank regime.

La diagonalisation conjointe approximée d’un ensemble de matrices permet de résoudre le problème de séparation aveugle de sources et trouve de nombreuses applications, notamment pour l’électroencéphalographie, une technique de mesure de l’activité cérébrale.La diagonalisation conjointe se formule comme un problème d’optimisation avec trois composantes : le choix du critère à minimiser, la contrainte de non-dégénérescence de la solution et l’algorithme de résolution.Les approches existantes considèrent principalement deux critères, les moindres carrés et la log-vraissemblance.Elles sont spécifiques à une contrainte et se restreignent à un seul type d’algorithme de résolution.Dans ce travail de thèse, nous proposons de formuler le problème de diagonalisation conjointe selon un modèle géométrique, qui généralise les travaux précédents et permet de définir des critères inédits, notamment liés à la théorie de l’information.Nous proposons également d’exploiter l’optimisation riemannienne et nousdéfinissons un ensemble d’outils qui permet de faire varier les trois composantes indépendamment, créant ainsi de nouvelles méthodes et révélant l’influence des choix de modélisation.Des expériences numériques sur des données simulées et sur des enregistrements électroencéphalographiques montrent que notre approche par optimisation riemannienne donne des résultats compétitifs par rapport aux méthodes existantes.Elles indiquent aussi que les deux critères traditionnels ne sont pas les meilleurs dans toutes les situations. / The approximate joint diagonalisation of a set of matrices allows the solution of the blind source separation problem and finds several applications, for instance in electroencephalography, a technique for measuring brain activity.The approximate joint diagonalisation is formulated as an optimization problem with three components: the choice of the criterion to be minimized, the non-degeneracy constraint on the solution and the solving algorithm.Existing approaches mainly consider two criteria, the least-squares and the log-likelihood.They are specific to a constraint and are limited to only one type of solving algorithms.In this thesis, we propose to formulate the approximate joint diagonalisation problem in a geometrical fashion, which generalizes previous works and allows the definition of new criteria, particularly those linked to information theory.We also propose to exploit Riemannian optimisation and we define tools that allow to have the three components varying independently, creating in this way new methods and revealing the influence of the choice of the model.Numerical experiments on simulated data as well as on electroencephalographic recordings show that our approach by means of Riemannian optimisation gives results that are competitive as compared to existing methods.They also indicate that the two traditional criteria do not perform best in all situations.