The current thesis studies a model of two dimensional convection of an ideal gas in a rectangular domain having walls of finite thickness. The temperature outside of walls is considered constant. Heat exchange between walls and outside/inside air is computed using Newton's law of cooling. Heat transfer inside walls is modelled with the heat equation. The mathematical model inside enclosure involves Navier-Stokes equations coupled with equation of state for gas. The model is numerically studied using the method of large particles. One of the main goals of the current thesis was to develop a software in C# language for numerical solution of the above-described model. Physically meaningful results, including stream lines and distribution of parameters of gas and temperature inside solid walls were obtained.

The current thesis studies a model of two dimensional convection of an ideal gas in a rectangular domain having walls of finite thickness. The temperature outside of walls is considered constant. Heat exchange between walls and outside/inside air is computed using Newton's law of cooling. Heat transfer inside walls is modelled with the heat equation. The mathematical model inside enclosure involves Navier-Stokes equations coupled with equation of state for gas. The model is numerically studied using the method of large particles. One of the main goals of the current thesis was to develop a software in C# language for numerical solution of the above-described model. Physically meaningful results, including stream lines and distribution of parameters of gas and temperature inside solid walls were obtained.

Doctor en Ciencias de la Ingeniería, Mención Modelación Matemática / This thesis is focused on the Navier{Stokes system for incompressible uids with either Dirichlet or nonlinear Navier{slip boundary conditions. For these systems, we exploit some ideas in the context of the control theory and inverse source problems. The thesis is divided in three parts. In the rst part, we deal with the local null controllability for the Navier{Stokes system with nonlinear Navier{slip conditions, where the internal controls have one vanishing component. The novelty of the boundary conditions and the new estimates with respect to the pressure term, has allowed us to extend previous results on controllability for the Navier{ Stokes system. The main ingredients to build our result are the following: a new regularity result for the linearized system around the origin, and a suitable Carleman inequality for the adjoint system associated to the linearized system. Finally, xed point arguments are used in order to conclude the proof. In the second part, we deal with an inverse source problem for the N- dimensional Stokes system from local and missing velocity measurements. More precisely, our main result establishes a reconstruction formula for the source F(x; t) = (t)f(x) from local observations of N ����� 1 components of the velocity. We consider that f(x) is an unknown vectorial function, meanwhile (t) is known. As a consequence, the uniqueness is achieved for f(x) in a suitable Sobolev space. The main tools are the following: connection between null controllability and inverse problems throughout a result on null controllability for the N- dimensional Stokes system with N ����� 1 scalar controls, spectral analysis of the Stokes operator and Volterra integral equations. We also implement this result and present several numerical experiments that show the feasibility of the proposed recovering formula. Finally, the last chapter of the thesis presents a partial result of stability for the Stokes system when we consider a source F(x; t) = R(x; t)g(x), where R(x; t) is a known vectorial function and g(x) is unknown. This result involves the Bukhgeim-Klibanov method for solving inverse problems and some topics in degenerate Sobolev spaces.

In der vorliegenden Arbeit wird die Methode der Anwendung der hyperkomplexen Funktionentheorie zur Behandlung partieller Differentialgleichungen über beschränkten Gebieten unter Benutzung einer orthogonalen Zerlegung des Raumes L_2(U) verallgemeinert. Zum einen kann diese Zerlegung als direkte Zerlegung über dem Raum L_p(G),p>1, verallgemeinert werden, was die Untersuchung partieller Differentialgleichungen über allgemeinen Sobolev-Räumen W_p^k(G),p>1,k natürliche Zahl, ermöglicht. Dies wird am Beispiel des Stokes-Problems demonstriert. Zum anderen wird ein modifizierter Cauchy-Kern über unbeschränkten Gebieten eingeführt, deren Komplement eine nichtleere offene Menge enthält. Grundlegende Resultate der Cliffordanalysis über beschränkten Gebieten werden auf diese Situation verallgemeinert und eine orthogonale Zerlegung des Raumes L_2(G) bewiesen. Diese Resultate werden im weiteren dazu benutzt, das stationäre Stokes- bzw. Navier-Stokes-Problem in dem allgemeinen Fall eines unbeschränkten Gebietes zu untersuchen. Im weiteren wird gezeigt, dass sich die entwickelten Methoden auch auf partielle Differentialgleichungen höherer Ordnung anwenden lassen. Dies wird am Beispiel der biharmonischen Gleichung mit Randbedingungen, die Komponenten in Normalenrichtung und tangentieller Richtung besitzen, demonstriert. Am Ende beschäftigen wir uns mit der Verallgemeinerung der komplexen Methoden von Vekua. Dazu werden hyperkomplexe Verallgemeinerungen des komplexen Pi-Operators untersucht und auf die Lösung von hyperkomplexen Beltramigleichungen angewandt. / A modified Cauchy kernel is introduced over unbounded domains whose complement contain non-empty open sets. Basic results on Clifford analysis over bounded domains are now carried over to this more general context. In the end boundary value problems, e.g. for the Stokes-system or the Navier-Stokes-system, will be studied in the case of an unbounded domain without using weighted Sobolev spaces. In the latter part of this paper we deal with hypercomplex generalizations of the complex Pi-operator which turn out to have most of the useful properties of their complex origin. Afterwards the application of this operator to the solution of hypercomplex Beltrami equations will be studied.

In der vorliegenden Arbeit wird die Methode der Anwendung der hyperkomplexen Funktionentheorie zur Behandlung partieller Differentialgleichungen über beschränkten Gebieten unter Benutzung einer orthogonalen Zerlegung des Raumes L_2(U) verallgemeinert. Zum einen kann diese Zerlegung als direkte Zerlegung über dem Raum L_p(G),p>1, verallgemeinert werden, was die Untersuchung partieller Differentialgleichungen über allgemeinen Sobolev-Räumen W_p^k(G),p>1,k natürliche Zahl, ermöglicht. Dies wird am Beispiel des Stokes-Problems demonstriert. Zum anderen wird ein modifizierter Cauchy-Kern über unbeschränkten Gebieten eingeführt, deren Komplement eine nichtleere offene Menge enthält. Grundlegende Resultate der Cliffordanalysis über beschränkten Gebieten werden auf diese Situation verallgemeinert und eine orthogonale Zerlegung des Raumes L_2(G) bewiesen. Diese Resultate werden im weiteren dazu benutzt, das stationäre Stokes- bzw. Navier-Stokes-Problem in dem allgemeinen Fall eines unbeschränkten Gebietes zu untersuchen. Im weiteren wird gezeigt, dass sich die entwickelten Methoden auch auf partielle Differentialgleichungen höherer Ordnung anwenden lassen. Dies wird am Beispiel der biharmonischen Gleichung mit Randbedingungen, die Komponenten in Normalenrichtung und tangentieller Richtung besitzen, demonstriert. Am Ende beschäftigen wir uns mit der Verallgemeinerung der komplexen Methoden von Vekua. Dazu werden hyperkomplexe Verallgemeinerungen des komplexen Pi-Operators untersucht und auf die Lösung von hyperkomplexen Beltramigleichungen angewandt. / A modified Cauchy kernel is introduced over unbounded domains whose complement contain non-empty open sets. Basic results on Clifford analysis over bounded domains are now carried over to this more general context. In the end boundary value problems, e.g. for the Stokes-system or the Navier-Stokes-system, will be studied in the case of an unbounded domain without using weighted Sobolev spaces. In the latter part of this paper we deal with hypercomplex generalizations of the complex Pi-operator which turn out to have most of the useful properties of their complex origin. Afterwards the application of this operator to the solution of hypercomplex Beltrami equations will be studied.

We study a Cauchy problem arising in uid mechanics, involving the socalled stationary generalized Stokes system, where one should recover the ow from boundary measurements. The problem is ill-posed in the sense that the solution does not depend continuously on data. Two iterative procedures for solving this problem are proposed and investigated. These methods are regularizing and in each iteration one solves a series of well-posed problems obtained by changing the boundary conditions. The advantage with this approach, is that these methods place few restrictions on the domain and on the coefficients of the problem. Also the structure of the equation is preserved. Well-posedness of the problems used in these procedures is demonstrated, i.e., that the problems have a unique solution that depends continuously on data. Since we have numerical applications in mind, we demonstrate well-posedness for the case when boundary data is square integrable. We give convergence proofs for both of these methods.

Gegenstand dieser Arbeit ist die numerische Approximation von Eigenwerten elliptischer Differentialoperatoren vermittels der adaptiven finite-Elemente-Methode (AFEM). Durch lokale Netzverfeinerung können derartige Verfahren den Rechenaufwand im Vergleich zu uniformer Verfeinerung deutlich reduzieren und sind daher von großer praktischer Bedeutung. Diese Arbeit behandelt adaptive Algorithmen für Finite-Elemente-Methoden (FEMs) für drei selbstadjungierte Modellprobleme: den Laplaceoperator, das Stokes-System und den biharmonischen Operator. In praktischen Anwendungen führen Störungen der Koeffizienten oder der Geometrie auf Eigenwert-Haufen (Cluster). Dies macht simultanes Markieren im adaptiven Algorithmus notwendig. In dieser Arbeit werden optimale Konvergenzraten für einen praktischen adaptiven Algorithmus für Eigenwert-Cluster des Laplaceoperators (konforme und nichtkonforme P1-FEM), des Stokes-Systems (nichtkonforme P1-FEM) und des biharmonischen Operators (Morley-FEM) bewiesen. Fehlerabschätzungen in der L2-Norm und Bestapproximations-Resultate für diese Nichtstandard-Methoden erfordern neue Techniken, die in dieser Arbeit entwickelt werden. Dadurch wird der Beweis optimaler Konvergenzraten ermöglicht. Die Optimalität bezüglich einer nichtlinearen Approximationsklasse betrachtet die Approximation des invarianten Unterraums, der von den Eigenfunktionen im Cluster aufgespannt wird. Der Fehler der Eigenwerte kann dazu in Bezug gesetzt werden: Die hierfür notwendigen Eigenwert-Fehlerabschätzungen für nichtkonforme Finite-Elemente-Methoden werden in dieser Arbeit gezeigt. Die numerischen Tests für die betrachteten Modellprobleme legen nahe, dass der vorgeschlagene Algorithmus, der bezüglich aller Eigenfunktionen im Cluster markiert, einem Markieren, das auf den Vielfachheiten der Eigenwerte beruht, überlegen ist. So kann der neue Algorithmus selbst im Fall, dass alle Eigenwerte im Cluster einfach sind, den vorasymptotischen Bereich signifikant verringern. / The numerical approximation of the eigenvalues of elliptic differential operators with the adaptive finite element method (AFEM) is of high practical interest because the local mesh-refinement leads to reduced computational costs compared to uniform refinement. This thesis studies adaptive algorithms for finite element methods (FEMs) for three model problems, namely the eigenvalues of the Laplacian, the Stokes system and the biharmonic operator. In practice, little perturbations in coefficients or in the geometry immediately lead to eigenvalue clusters which requires the simultaneous marking in adaptive finite element methods. This thesis proves optimality of a practical adaptive algorithm for eigenvalue clusters for the conforming and nonconforming P1 FEM for the eigenvalues of the Laplacian, the nonconforming P1 FEM for the eigenvalues of the Stokes system and the Morley FEM for the eigenvalues of the biharmonic operator. New techniques from the medius analysis enable the proof of L2 error estimates and best-approximation properties for these nonstandard finite element methods and thereby lead to the proof of optimality. The optimality in terms of the concept of nonlinear approximation classes is concerned with the approximation of invariant subspaces spanned by eigenfunctions of an eigenvalue cluster. In order to obtain eigenvalue error estimates, this thesis presents new estimates for nonconforming finite elements which relate the error of the eigenvalue approximation to the error of the approximation of the invariant subspace. Numerical experiments for the aforementioned model problems suggest that the proposed practical algorithm that uses marking with respect to all eigenfunctions within the cluster is superior to marking that is based on the multiplicity of the eigenvalues: Even if all exact eigenvalues in the cluster are simple, the simultaneous approximation can reduce the pre-asymptotic range significantly.

Cette thèse est consacrée à l'étude de problèmes de stabilisation exponentielle par retour d'état ou "feedback" des équations de Navier-Stokes dans un domaine borné Ω ⊂ Rd, d = 2 ou 3. Le cas d'un contrôle localisé sur la frontière du domaine est considéré. Le contrôle s'exprime en fonction du champ de vitesse à l'aide d'une loi de feedback non-linéaire. Celle-ci est fournie grâce aux techniques d'estimation a priori via la procédure de Faedo-Galerkin laquelle consiste à construire une suite de solutions approchées en utilisant une base de Galerkin adéquate. Cette loi de feedback assure la décroissance exponentielle de l'énergie du problème discret correspondant et grâce au résultat de compacité, nous passons à la limite dans le système satisfait par les solutions approchées. Le chapitre 1 étudie le problème de stabilisation des équations de Navier- Stokes autour d'un état stationnaire donné, tandis que le chapitre 2 examine le problème de stabilisation autour d'un état non-stationnaire prescrit. Le chapitre 3 est consacré à l'étude de la stabilisation du problème de Navier-Stokes avec des conditions aux bords mixtes (Dirichlet- Neumann) autour d'un état d'équilibre donné. Enfin, nous présentons dans le chapitre 4, des résultats numériques dans le cas d'un écoulement autour d'un obstacle circulaire / In this thesis we study the exponential stabilization of the two and three-dimensional Navier- Stokes equations in a bounded domain Ω, by means of a boundary control. The Control is expressed in terms of the velocity field by using a non-linear feedback law. In order to determine a feedback law, we consider an extended system coupling the Navier-Stokes equations with an equation satisfied by the control on the domain boundary. While most traditional approaches apply a feedback controller via an algebraic Riccati equation, the Stokes-Oseen operator or extension operators, a Galerkin method is proposed instead in this study. The Galerkin method permits to construct a stabilizing boundary control and by using energy a priori estimation technics, the exponential decay is obtained. A compactness result then allows us to pass to the limit in the nonlinear system satisfied by the approximated solutions. Chapter 1 deals with the stabilization problem of the Navier-Stokes equations around a given steady state, while Chapter 2 examines the stabilization problem around a prescribed non-stationary state. Chapter 3 is devoted to the stabilization of the Navier-Stokes problem with mixed-boundary conditions (Dirichlet-Neumann), around to a given steady-state. Finally, we present in Chapter 4, numerical results in the case of a flow around a circular obstacle

In the thesis there is studied nonhomogenous boundary value problem for the stationary Navier-Stokes system in domains which may have two types of outlets to infinity: paraboloidal and layer type. The boundary is multiply connected. It consists of connected noncompact components, forming the outer boundary, and connected compact components, forming the inner boundary. We suppose that the fluxes over the components of the inner boundary are sufficiently small, while we do not impose any restrictions on fluxes over the infinite components of the outer boundary. We prove that the formulated problem admits at least one weak solution which, depending on the geometry of the domain, may have either finite or infinite Dirichlet integral. / Disertacijoje nagrinėjama stacionari Navjė-Stokso sistema su nehomogenine kraštine sąlyga srityse su išėjimais į begalybę. Bendru atveju išėjimai į begalybę gali būti tiek paraboloidiniai, tiek sluoksnio tipo. Srities kraštą sudaro baigtinis skaičius nekompaktiškų jungių komponenčių, kurios suformuoja išorininį kraštą, ir baigtinis skaičius kompaktiškų jungių komponenčių, kurios suformuoja vidinį srities kraštą. Darydami prielaidą, kad srautai per vidinio krašto komponentes yra pakankamai maži, o srautų dydžiui per išorinio krašto komponentes nedarant jokių apribojimų, įrodome suformuluoto uždavinio bent vieno sprendinio egzistavimą. Priklausomai nuo srities geometrijos, uždavinio sprendinys gali turėti tiek baigtinį, tiek begalinį Dirichlė integralą.

Disertacijoje nagrinėjama stacionari Navjė-Stokso sistema su nehomogenine kraštine sąlyga srityse su išėjimais į begalybę. Bendru atveju išėjimai į begalybę gali būti tiek paraboloidiniai, tiek sluoksnio tipo. Srities kraštą sudaro baigtinis skaičius nekompaktiškų jungių komponenčių, kurios suformuoja išorininį kraštą, ir baigtinis skaičius kompaktiškų jungių komponenčių, kurios suformuoja vidinį srities kraštą. Darydami prielaidą, kad srautai per vidinio krašto komponentes yra pakankamai maži, o srautų dydžiui per išorinio krašto komponentes nedarant jokių apribojimų, įrodome suformuluoto uždavinio bent vieno sprendinio egzistavimą. Priklausomai nuo srities geometrijos, uždavinio sprendinys gali turėti tiek baigtinį, tiek begalinį Dirichlė integralą. / In the thesis there is studied nonhomogenous boundary value problem for the stationary Navier-Stokes system in domains which may have two types of outlets to infinity: paraboloidal and layer type. The boundary is multiply connected. It consists of connected noncompact components, forming the outer boundary, and connected compact components, forming the inner boundary. We suppose that the fluxes over the components of the inner boundary are sufficiently small, while we do not impose any restrictions on fluxes over the infinite components of the outer boundary. We prove that the formulated problem admits at least one weak solution which, depending on the geometry of the domain, may have either finite or infinite Dirichlet integral.