Le fonctionnement d'un neurone, cellule fondamentale du système nerveux, intéresse de nombreuses disciplines scientifiques. Il existe ainsi des modèles mathématiques qui décrivent leur comportement par des systèmes d'EDO. Plusieurs de ces modèles peuvent ensuite être couplés afin de pouvoir étudier le comportement de réseaux, systèmes complexes au sein desquels émergent des propriétés. Ce travail présente, dans un premier temps, les principaux mécanismes régissant ce fonctionnement afin d'en comprendre la modélisation. Plusieurs modèles sont alors présentés, jusqu'à celui de Hindmarsh-Rose (1984), qui présente une dynamique lente-rapide. C'est sur l'étude numérique mais également théorique de la dynamique asymptotique et transitoire de ce dernier modèle, que se concentre la seconde partie de cette thèse. Dans une troisième partie, des réseaux d'interactions sont construits en couplant les systèmes dynamiques précédemment étudiés. L'étude du phénomène de synchronisation complète au sein de ces réseaux montre l'existence de propriétés émergentes pouvant être caractérisées par des lois de puissance. Enfin, un algorithme de détection de la synchronisation de bursts est proposé.

Nous présentons de nouveaux outils pour l'analyse de la stabilité et de la robustesse des systèmes dynamiques non-linéaires. Nous proposons un cadre précis pour l'étude de la stabilité uniforme semiglobale et/ou pratique asymptotique. Le terme ``semiglobal'' signifie que le domaine d'attraction n'est pas l'espace d'état tout entier, mais un ensemble compact pouvant être arbitrairement agrandi par le réglage de certains paramètres. Le mot ``pratique'' concerne le fait qu'un voisinage arbitrairement petit de l'origine (au lieu de l'origine elle-même) est asymptotiquement stable. Contrairement à de nombreux concepts similaires, ces propriétés autorisent que l'estimée des solutions dépende du paramètre de réglage et ainsi, potentiellement, des rayons du domaine d'attraction et de la boule attractive désirés. Comparativement aux résultats classiques sur la stabilité globale asymptotique, cette caractéristique impose une hypothèse supplémentaire sur les bornes de la fonction de Lyapunov. Nous illustrons l'importance de cette hypothèse en montrant que, lorsqu'elle est violée, aucune propriété de stabilité ne peut être garantie. Nous proposons aussi un résultat converse pour la classe des systèmes USPAS dont l'estimée des solutions est indépendante du rayon de la boule vers laquelle les solutions convergent. La fonction de Lyapunov ainsi générée est spécialement façonnée pour une utilisation dans un contexte cascade puisque son gradient est borné par un fonction indépendante du temps. A partir de ce cadre théorique pour la stabilité semiglobale et pratique, nous proposons des outils qui garantissent la préservation de ces propriétés sous l'interconnection en cascade. De la même manière que pour la stabilité globale asymptotique, il est supposé que les solutions de la cascade sont uniformément bornées et qu'une fonction de Lyapunov est connue pour le sous-système aval. Le théorème converse que nous proposons permet en outre de supprimer cette dernière hypothèse pour une large classe de systèmes. Ceci s'avère particulièrement efficace lors de l'utilisation de techniques de moyennage, ainsi que l'illustre l'exemple du contrôle par retour de sortie du double intégrateur affecté par un signal d'excitation persistante. Dans le cas de la stabilité uniforme globale pratique asymptotique, l'hypothèse de bornitude des solutions peut être avantageusement remplacée par des restrictions d'ordre de croissance sur le terme d'interconnection. Ceci fait de ce résultat un outil aisé à appliquer dans nombre d'applications spécifiques. Nous illustrons son utilisation en quantifiant l'effet du lissage des fonctions ``signe'' dans le rejet de perturbations. Nous montrons que, si des ensembles donnés (non nécessairement compacts) sont globalement asymptotiquement stables (GAS) pour deux sous-systèmes pris séparément, alors leur produit Cartésien est GAS pour la cascade correspondante si les solutions de cette dernière sont globalement bornées. Dans certaines situations, cette hypothèse peut être remplacée par une simple restriction de l'ordre de croissance du terme d'interconnection (plus la complétude positive). Ces travaux incluent, comme cas particulier, la stabilité partielle des systèmes en cascade. En guise d'illustration, nous proposons une preuve concise d'un résultat récemment établi sur le contrôle de la formation de navires le long d'une trajectoire rectiligne avec une vitesse prédéfinie. Nous analysons la stabilité des systèmes en cascade avec entrée en proposant des conditions suffisantes sous lesquelles la stabilité intégrale entrée-état est préservée par l'interconnection cascade. Ces conditions sont d'abord exprimées par rapport à des fonctions de Lyapunov, puis sur les estimées des solutions des sous-systèmes pris individuellement. Nous illustrons la pertinence de nos résultats théoriques en résolvant des problèmes de contrôle ouverts dans le domaine des systèmes mécaniques. Nous analysons la robustesse des robots manipulateurs contrôlés par PID vis-à-vis des frottements, des incertitudes de modèle, de la dynamique des actionneurs, etc. Une autre application concerne le contrôle d'une formation de véhicules spatiaux. Nous établissons la stabilité globale pratique asymptotique du système correspondant lorsque seules des bornes sur les paramètres orbitaux du véhicule leader sont disponibles. Enfin, nous montrons qu'une propriété de stabilité similaire peut être obtenue pour la synchronisation de deux navires lorsque peu d'information sur le navire leader est disponible.

Cette étude traite de l'identification de système dynamique non-linéaire. Une architecture multimodèle capable de surmonter certaines difficultés de l'architecture neuronale de type MLP a été étudiée. L'approche multimodèle consiste à représenter un système complexe par un ensemble de modèles de structures simples à validité limitée dans des zones bien définies. A la place de la structure affine des modèles locaux généralement utilisée, cette étude propose une structure polynômiale plus générale, capable de mieux appréhender les non-linéarités locales, réduisant ainsi le nombre de modèles locaux. L'estimation paramétrique d'une telle architecture multimodèle peut se faire suivant une optimisation linéaire, moins coûteuse en temps de calcul que l'estimation paramétrique utilisée dans une architecture neuronale. L'implantation des multimodèles récurrents, avec un algorithme d'estimation paramétrique plus souple que l'algorithme de rétro-propagation du gradient à travers à travers le temps utilisé pour le MLP récurrent a également été effectuée. Cette architecture multimodèle permet de représenter plus facilement des modèles non-linéaires bouclés tels que les modèles NARMAX et NOE. La détermination du nombre de modèles locaux dans une architecture multimodèle nécessite la décomposition (le partitionnement) de l'espace de fonctionnement du système en plusieurs sous-espaces où sont définies les modèles locaux. Des modes de partitionnement du système en plusieurs sous-espaces où sont définies les modèles locaux. Des modes de partitionnement flou (basé sur les algorithmes de "fuzzy-c-means", de "Gustafson et Kessel" et du "substractive clustering") ont été présentés. L'utilisation de telles méthodes nécessite l'implantation d'une architecture multimodèle où les modèles locaux peuvent être de structures différentes : polynômiales de degrés différents, neuronale ou polynômiale et neuronale. Une architecture multimodèle hétérogène répondant à ses exigences a été proposée, des algorithmes d'identification structurelles et paramétriques ont été présentés. Une étude comparative entre les architectures MLP et multimodèle a été menée. Le principal atout de l'architecture mudltimodèle par rapport à l'architecture neuronale de type MLP est la simplicité de l'estimation paramétrique. Par ailleurs, l'utilisation dans une architecture multimodèle d'un mode de partitionnement basé sur la classification floue permet de déterminer facilement le nombre de modèles locaux, alors que la détermination du nombre de neurones cachés pour une architecture MLP reste une tâche difficile.

On présente dans ce mémoire un résumé de nos recherches depuis 1985 dont le fil conducteur réside dans l'étude des systèmes dynamiques non-lineaires, déterministes et stochastiques.<br />Une première partie est consacrée aux principaux résultats à caractère fondamental obtenus durant cette période. On montre comment les représentations algébriques (algèbre de Lie) des systèmes non-linéaires que nous avons développés permettent d'appréhender sous un nouveau jour les problèmes de commandabilité des systèmes. Nous présentons ensuite le filtrage polynomial à horizon infini, particulièrement adapté au filtrage des systèmes bilinéaires, et montrons en quoi ses performances dépassent largement les filtres polynomiaux classiques. Une partie est alors consacrée à la réalisation et à l'identification des systèmes linéaires en treillis ARMAX. On montre comment la non-linéarité du problème d'optimisation peut-être résolue au prix d'un calcul héréditaire. Nous exposons enfin notre contribution au filtrage particulaire concernant l'optimisation des distributions initiales des particules ainsi que leurs redistributions.<br />Une deuxième partie est consacrée au traitement d'applications de ces résultats théoriques. Nous nous restreignons ici au problème de la détection de multi-émissions sur une même porteuse (projet Clementine / CELAR), et au traitement non-linéaire du signal LORAN-C (DCN/DIGINEXT)

Cette étude traite de l’identification de système dynamique non-linéaire. Une architecture multimodèle capable de surmonter certaines difficultés de l’architecture neuronale de type MLP a été étudiée. L’approche multimodèle consiste à représenter un système complexe par un ensemble de modèles de structures simples à validité limitée dans des zones bien définies. A la place de la structure affine des modèles locaux généralement utilisée, cette étude propose une structure polynômiale plus générale, capable de mieux appréhender les non-linéarités locales, réduisant ainsi le nombre de modèles locaux. L’estimation paramétrique d’une telle architecture multimodèle peut se faire suivant une optimisation linéaire, moins coûteuse en temps de calcul que l’estimation paramétrique utilisée dans une architecture neuronale. L’implantation des multimodèles récurrents, avec un algorithme d’estimation paramétrique plus souple que l’algorithme de rétro-propagation du gradient à travers le temps utilisé pour le MLP récurrent a également été effectuée. Cette architecture multimodèle permet de représenter plus facilement des modèles non-linéaires bouclés tels que les modèles NARMAX et NOE. La détermination du nombre de modèles locaux dans une architecture multimodèle nécessite la décomposition (le partitionnement) de l’espace de fonctionnement du système en plusieurs sous-espaces où sont définies les modèles locaux. Des modes de partitionnement flou (basé sur les algorithmes de« fuzzy-c-means », de « Gustafson et Kessel » et du « subtractive clustering ») ont été présentés. L’utilisation de telles méthodes nécessite l’implantation d’une architecture multimodèle où les modèles locaux peuvent être de structures différentes : polynômiales de degrés différents, neuronale ou polynômiale et neuronale. Une architecture multimodèle hétérogène répondant à ses exigences a été proposée, des algorithmes d’identification structurelles et paramétriques ont été présentés. Une étude comparative entre les architectures MLP et multimodèle a été menée. Le principal atout de l’architecture multimodèle par rapport à l’architecture neuronale de type MLP est la simplicité de l’estimation paramétrique. Par ailleurs, l’utilisation dans une architecture multimodèle d’un mode de partitionnement basé sur la classification floue permet de déterminer facilement le nombre de modèles locaux, alors que la détermination du nombre de neurones cachés pour une architecture MLP reste une tâche difficile / This work deals with non linear dynamical system identification. A multiple model architecture which overcomes certain insufficiencies of MLP neural networks is studied. Multiple model approach consists of modeling complex systems by mean of a set of simple local models whose validity are limited in well defined zones. Instead of using conventional affine models, a more general polynomial structure is proposed in this study, enabling to better apprehend local non linearities, reducing thus the number of local models. Models parameters of such a structure are estimated by linear optimization, which reduces computation time with respect to parameter estimation of a neural network architecture. The implementation of recurrent multiple models, with a more convenient learning algorithm than the back propagation through time, used in recurrent MLP models, is also studied. Such implementations facilitate representation of recurrent models like NARMAX and NOE. The determination of the number of local models in a multiple model architecture requires decomposition of system’s feature space into several sub-systems in which local models are defined. Fuzzy partitioning methods (based of « fuzzy-c-means », « Gustafson and Kessel » and « subtractive clustering »algorithms) are presented. The use of such methods requires the implementation of a multiple model architecture where local models can have different structures : polynomial with different degrees, neural or polynomial and neural. A multiple model with a heterogeneous architecture satisfying these requirements is proposed and structural and parametrical identification algorithms are presented. A comparative study between multiple model and MLP architectures is done. The main advantage of the multiple model architecture is the parameter estimation simplicity. In addition, the use of fuzzy partitioning methods in multiple model architecture enables to find easily the number of local models while the determination of hidden neurons in an MLP architecture remains a hard task

L'objectif de cette thèse est d'une part l'étude de la stabilité des équilibres de certains modèles épidémiologiques et d'autre part la construction d'un observateur pour l'estimation des états non mesurés et d'un paramètre clé pour un modèle intra-hôte. Nous proposons des extensions des modèles du type SIR, SIRS et SIS et nous étudions la stabilité globales de leur équilibres. En présence de plusieurs souches de pathogène d'un modèle SIS, on montre que le principe de compétition exclusive est vérifié: la souche qui maximise un seuil remporte la compétition en éliminant les autres souches. Il se trouve aussi que la souche gagnante est celle qui donne à l'équilibre le minimum de population hôte susceptible. Ceci peut être interprété comme étant un principe de pessimisation. En considérant ce modèle avec cette fois une loi de contact de type fréquence-dépendante, on montre que la dynamique change et qu'un équilibre de coexistence existe et qui est globalement asymptotiquement stable sous certaines conditions. Le comportement asymptotique des deux équilibres frontières est aussi prouvé. L'étude de la stabilité des états d'équilibres est essentiellement faite par la construction des fonctions de Lyapunov combiné avec le principe d'invariance de LaSalle. On considère un modèle intra-hôte structuré en classe d'âge du parasite Plasmodium falciparum avec une force d'infection général. Nous développons une méthode d'estimation de la charge parasitaire totale dont on ne sait mesurée par les méthodes actuellement connues. Pour cela nous utilisons les outils de la théorie du contrôle, plus particulièrement les observateurs à entrées inconnues, pour estimer les états non mesurés à partir des états mesurés (données). De cela nous déduisons une méthode d'estimation d'un paramètre inconnu qui représente le taux d'infection des globules rouges saines par les parasites / The purpose of this thesis is on the one hand to study stability of equilibria of some epidemic models and secondly to construct an observer to estimate the non-measured states and a key parameter in a within host model. We propose extensions of classical models SIR, SIRS and SIS and we study the global stability of their equilibria. In presence of multiple pathogen strains, we proved that competitive exclusion principle holds: the strain having the largest threshold wins the competition by eliminating the others. It turns out that the winning strain is the one for which the equilibrium gives the minimum of the susceptible host population. This can be interpreted as pessimization principle. By considering the same model with two strains and a frequency-dependent type of the contact law, we prove that dynamics changes and a coexistence equilibrium exists and it is globally asymptotically stable under some conditions. The asymptotic behavior of the two other boundary equilibria is also established. The stability study of equilibrium states is mainly done by construction Lyapunov functions combined with LaSalle's invariance principle. We consider an age-structured within-host model of the Plasmodium falciuparum parasite with a general infection force. We develop a method to estimate the total parasite burden that cannot be measured by the current methods. To this end, we use some tools from control theory, more precisely observers with unknown inputs, to estimate the non measured states from the measured ones (data). From this, we deduce a method to estimate an unknown parameter that represents infection rate of healthy reed blood cells by the parasites

L'objectif de cette étude est la modélisation, la validation, l'analyse mathématique et la simulation de modèles de transmission de l'hépatite B en Afrique en général et au Sénégal en particulier. Nous proposons de nouveaux modèles bases sur les connaissances actuelles de l'histoire naturelle de la transmission du virus de l'hépatite B. Ainsi, nous présentons deux modèles de la transmission du VHB1, un modèle sans transmission verticale et un autre ou la transmission verticale de la maladie est prise en compte. Ce second modèle est justifié par la controverse, en ce qui concerne l'incidence des transmissions verticale ou périnatale au niveau de la zone Afrique ; entre d'une part, l'Organisation Mondiale de la Santé et d'autre part les spécialistes de l'hépatite B au Sénégal. Ces modèles, nous ont conduit à étudier des modèles épidémiologiques avec une diérentiabilitée, au niveau des susceptibles, et progression de stade pour les infectieux. Nous obtenons une analyse complète de la stabilité de ces modèles à l'aide des techniques de Lyapunov suivant la valeur du taux de reproduction de base R0. Ce qui nous conduit à l'étude d'un modèle épidémiologique beaucoup plus général qui englobe ceux proposés pour la modélisation de la transmission du virus de l'hépatite B. Nous illustrons à la fin de ce travail ces modèles par des simulations numériques. Ces dernières sont faites à partir de nos modèles confrontés aux données recueillies du programme de lutte contre l'épidémie de l'hépatite B au Sénégal et dans la littérature. Elles permettrons l'effet de la transmission verticale/périnatale du virus de l'hépatite B sur les politiques de Santé Publique / We propose new models based on the state of art and the epidemiology currently known from the transmission of the hepatitis B virus. Thus, we present two models of the transmission of Hepatitis Bvirus, a model without vertical transmission and another in which the vertical transmission of the disease is taken into account, This second model is justified by the controversy, with regard to the incidence of the vertical and perinatal transmission of the virus in some parts of Africa ; between the World Health Organization on one hand and hepatitis B's specialists in Senegal on the other hand. These models helped us to analyse epidemiological models with a differential susceptibility of the population, and stagged progression of infectious. We present a thorough analysis of the stability of the models using the Lyapunov techniques and obtain the basic reproduction ratio, R0 which allows into the study of general epidemiological models including those proposed for the transmission of the hepatitis B virus. Numerical simulations are done to illustrate the behaviour of the model, using data collected during the campaign against epidemic hepatitis B in Senegal and from published literature. These models enable the evaluation of the incidence of the vertical and perinatal transmission of the hepatitis B virus on the policies of Public Health

La dynamique des écoulements géophysiques planétaires est fortement influencée par des processus physiques souvent non résolus par les modèles numériques de circulation générale. Il est essentiel de comprendre les mécanismes physiques sous-jacents pour paramétrer l’effet des petites échelles sur les grandes. Dans cette thèse, nous étudions un problème emblématique d’interactions entre ondes et écoulements moyens : la dynamique des écoulements zonaux forces par des ondes internes de gravite. Une manifestation remarquable de ces interactions est l’oscillation quasi-biennale (QBO) des vents équatoriaux dans l’atmosphère terrestre. Dans un premier temps, nous décrivons une transition vers le chaos dans un modèle quasi-linéaire classique du QBO. Nous montrons que ces bifurcations persistent dans des simulations numériques directes. A l’aune de ces résultats, nous proposons une interprétation de l’observation d’une rupture inattendue de la périodicité du QBO en 2016. Le mécanisme de génération d’écoulements moyens par les ondes dans les fluides stratifies nécessite la prise en compte d’effets dissipatifs. Il s’agit d’un phénomène analogue au "streaming" acoustique. Dans un second temps nous exploitons cette analogie en étudiant la génération d’écoulements moyens par les ondes internes proche d’une paroi, a l’aide d’approches asymptotiques multi échelles. Finalement, nous proposons une approche inertielle pour décrire l’émergence spontanée d’écoulements vorticaux en présence d’ondes : nous appliquons les outils de mécanique statistique pour calculer la partition d’énergie entre petites et grandes échelles dans le modèle d’eau peu profonde. / The dynamics of planetary-scale geophysical flows is strongly influenced by physicalprocesses, mostly unresolved by general circulation numerical models. To parametrisethe coupling between small and large scales, it is essential to understand the underlying physical mechanisms. In this thesis, we study an emblematic problem of interactions between waves and mean flows: the dynamics of zonal flows forced by internal gravity waves. A striking manifestation of these interactions is the quasi-biennial oscillation (QBO) of equatorial winds in the Earth’s atmosphere. First, we describe a transition to chaos in a classical quasilinear model of the QBO and show that these bifurcations persist in direct numerical simulations. Based on these results, we suggest an interpretation for the observation of the unexpected periodicity disruption of the QBO in 2016. The mechanism by which mean flows are generated by waves in stratified fluids requires the consideration of dissipative effects. This phenomenon is analogous to acoustic "streaming". In a second time, we exploit this analogy to study the generation of mean flows by internal gravity waves close to a wall, using multi-scale asymptotic approaches. Finally, we propose an inertial approach to describe the spontaneous emergence of vortical flows in the presence of waves: we apply the tools of statistical mechanics to calculate the partition of energy between small and large scales in the shallow-water model.

Dans cette thèse nous proposons une nouvelle méthode d'isolation et d'identification de défaut singulier pour les systèmes dynamiques non linéaires. Cette méthode est basée sur la caractéristique de monotonicité de l'erreur de prédiction de l'observateur en fonction de la différence des paramètres. L'ensemble des valeurs admissibles de chaque paramètre est subdivisé en un certain nombre d'intervalles. On construit un observateur d'isolation pour chaque intervalle, cet observateur est initialisé dans l'intervalle considéré. Après l'occurrence du défaut, la valeur du paramètre défectueux doit être dans un des intervalles du paramètre. L'amplitude du résidu calculé par l'observateur d'isolation correspondant à cet intervalle (celui qui contient la valeur du paramètre défectueux) sera dans le domaine limité par deux seuils dynamiques à tout instant. Par contre, les résidus correspondant aux autres intervalles auront de grandes amplitudes et leurs évolutions ne sont pas limitées par les deux seuils dynamiques correspondants. Par conséquent l'intervalle contenant la valeur du paramètre défectueux peut être déterminé et le défaut est donc isolé et identifié. Différentes versions de cette méthode ont été développées : une première avec des seuils fixes, une seconde avec des seuils adaptatifs et une dernière sans seuils. On peut montrer que cette méthode a des points communs avec celle basée sur les observateurs adaptatifs. Cependant, cette dernière a un inconvénient majeur qui est la lenteur de sa vitesse d'isolation. La méthode que nous proposons dans ce travail nous permet de pallier ce problème de la lenteur de vitesse d'isolation.

Cette HDR présente des résultats récents liés à l'analyse de la stabilité et de la robustesse des systèmes non-linéaires interconnectés. Elle est constituée de trois parties. La première traite des outils théoriques développés autour du concept d'ISS. La deuxième aborde des problématiques de synchronisation pour des applications aux neurosciences. La troisième présente des contributions pour la commande de systèmes par réseaux.