Neste trabalho estudamos três generalizações para o último Teorema de Fermat. A primeira generalização trata de expoentes negativos e de expoentes racionais. Além de mostrar em que casos estas equações possuem soluções, damos uma caracterização completa para todas as soluções inteiras não-nulas existentes. A segunda generalização também trata de expoentes racionais, porém num contexto mais amplo. Aqui permitimos que as raízes n-ésimas sejam complexas, não necessariamente reais. Na terceira generalização vemos que o último Teorema de Fermat também vale para expoentes inteiros gaussianos. / In this work we study three extensions of Fermat's Last Theorem. The first extension deals with negative and rational exponents. Here we show when these equations have nonzero integral solutions and we characterize these solutions when they exist. The second extension also deals with rational exponents, but in a wider context. Here we allow the use of complex roots, not necessarily the real ones. In the third extension we show that Fermat's Last Theorem also holds for Gaussian integer exponents.

Neste trabalho estudamos três generalizações para o último Teorema de Fermat. A primeira generalização trata de expoentes negativos e de expoentes racionais. Além de mostrar em que casos estas equações possuem soluções, damos uma caracterização completa para todas as soluções inteiras não-nulas existentes. A segunda generalização também trata de expoentes racionais, porém num contexto mais amplo. Aqui permitimos que as raízes n-ésimas sejam complexas, não necessariamente reais. Na terceira generalização vemos que o último Teorema de Fermat também vale para expoentes inteiros gaussianos. / In this work we study three extensions of Fermat's Last Theorem. The first extension deals with negative and rational exponents. Here we show when these equations have nonzero integral solutions and we characterize these solutions when they exist. The second extension also deals with rational exponents, but in a wider context. Here we allow the use of complex roots, not necessarily the real ones. In the third extension we show that Fermat's Last Theorem also holds for Gaussian integer exponents.

Neste trabalho estudamos três generalizações para o último Teorema de Fermat. A primeira generalização trata de expoentes negativos e de expoentes racionais. Além de mostrar em que casos estas equações possuem soluções, damos uma caracterização completa para todas as soluções inteiras não-nulas existentes. A segunda generalização também trata de expoentes racionais, porém num contexto mais amplo. Aqui permitimos que as raízes n-ésimas sejam complexas, não necessariamente reais. Na terceira generalização vemos que o último Teorema de Fermat também vale para expoentes inteiros gaussianos. / In this work we study three extensions of Fermat's Last Theorem. The first extension deals with negative and rational exponents. Here we show when these equations have nonzero integral solutions and we characterize these solutions when they exist. The second extension also deals with rational exponents, but in a wider context. Here we allow the use of complex roots, not necessarily the real ones. In the third extension we show that Fermat's Last Theorem also holds for Gaussian integer exponents.

Submitted by JOSIANE DE CARVALHO REZENDE null (josiane.carvalho.rezende@gmail.com) on 2017-02-20T22:45:59Z No. of bitstreams: 1 COMFICHACATALOGRAFICAdissertacaoJOSIANE2017.pdf: 1131643 bytes, checksum: 9fc3ec5860776cf6c5bd4a8267a39302 (MD5) / Approved for entry into archive by Juliano Benedito Ferreira (julianoferreira@reitoria.unesp.br) on 2017-02-23T17:45:13Z (GMT) No. of bitstreams: 1 rezende_jc_me_rcla.pdf: 1131643 bytes, checksum: 9fc3ec5860776cf6c5bd4a8267a39302 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-02-23T17:45:13Z (GMT). No. of bitstreams: 1 rezende_jc_me_rcla.pdf: 1131643 bytes, checksum: 9fc3ec5860776cf6c5bd4a8267a39302 (MD5) Previous issue date: 2017-02-03 / A procura pela solução de alguns problemas relevantes, ou ainda, de equações, têm sido uma fonte de inspiração para ampliar os conjuntos numéricos. Quanto ao conjunto dos números complexos, um importante resultado é que todo polinômio de grau n (maior ou igual a 1) e com coeficientes complexos tem n raízes complexas. De modo geral, o presente trabalho tem o objetivo de contextualizar algumas aplicações das raízes da unidade na matemática. Apresentamos sua aplicação em um caso particular do Teorema de Dirichlet, na construção de reticulados, cuja utilidade está ligada a problemas de transmissão de sinal, e na história da resolução do Último Teorema de Fermat. / The search for the solution of some relevant problems, or even of equations, has been a source of inspiration to extend the numerical sets. As for the set of complex numbers, an important result is that every polynomial of degree n (bigger or equal 1) and with complex coefficients has n complex roots. In general, the present work aims to contextualize some applications of the roots of unit in mathematics. We present its application in a particular case of the Dirichlet Theorem, in the construction of lattices, whose utility is linked to signal transmission problems, and in the history of the resolution of the Fermat's Last Theorem.

Esta dissertação tem por objetivo apresentar a Criptografia RSA, que é o método de criptografia mais utilizado no mundo atualmente. Iniciamos a dissertação com um breve histórico sobre a criptografia e em seguida introduzimos a teoria matemática empregada no método pertencente a teoria dos números. Finalizamos a dissertação com a descrição de uma aplicação simples do método levado para uma sala de aula do ensino médio. Este texto pretende introduzir o tema de maneira simples e por esta razão, fazemos uso de muitos exemplos. Esperamos ainda que o leitor compreenda o que torna este método eficiente e seguro. / The main goal of this work is to introduce the RSA Criptography that is the most used method in Criptography nowadays. We begin the dissertation with a brief introduction about criptography and then we discuss concepts from number theory used in the method. Finally we present a description of a simple application of Criptography made in a High school classroom. This text intend to introduce the subject in a simple way for this reason we present several examples. We hope that the reader have the comprehension of the methods and of its security.

Submitted by Viviane Lima da Cunha (viviane@biblioteca.ufpb.br) on 2015-11-04T11:39:40Z No. of bitstreams: 2 arquivototal.pdf: 1037710 bytes, checksum: 4e3c7e69a8c60214c05fdcac3db1ec5e (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) / Approved for entry into archive by Viviane Lima da Cunha (viviane@biblioteca.ufpb.br) on 2015-11-04T11:41:46Z (GMT) No. of bitstreams: 2 arquivototal.pdf: 1037710 bytes, checksum: 4e3c7e69a8c60214c05fdcac3db1ec5e (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) / Made available in DSpace on 2015-11-04T11:41:46Z (GMT). No. of bitstreams: 2 arquivototal.pdf: 1037710 bytes, checksum: 4e3c7e69a8c60214c05fdcac3db1ec5e (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) Previous issue date: 2013-08-09 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / This paper is a survey on representation of integers as sums of squares for the cases where we have the sum of two, three and four squares. The idea is to study conditions so that we can ensure the representation of numbers that are written as the sum of two and four square. The central focus is the statement of the theorem of Lagrange four squares, although we have gone a little further studying Fermat' s technique of in nite descense and the case n = 3 of Fermat's last theorem. Finally, we work with the development of a didactic sequence that can be used in the nal grades of elementary school and middle school, addressing Chapter 2 of this dissertation. / Este trabalho tem como objetivo fazer uma pesquisa bibliográ fica sobre o tema da representação de inteiros como soma de quadrados, para os casos onde temos soma de dois, três e quatro quadrados. A ideia é estudar condições para que possamos garantir quando um número inteiro positivo poderá ser representado como uma soma de dois e quatro quadrados. O foco central está na demonstração do teorema dos quatro quadrados de Lagrange, apesar de termos ido um pouco adiante estudando a técnica do descenso in nito de Fernat e o caso n=3 do último teorema de Fermat. Por m, trabalhamos com a elaboração de uma sequência didática que pode ser utilizada nas séries nais do ensino fundamental e no ensino médio, cujo conteúdo abordado nesta sequência são os principais teoremas do capítulo 2 que remete a representação de inteiros como soma de quadrados.

Submitted by Maria Suzana Diniz (msuzanad@hotmail.com) on 2015-11-30T11:56:39Z No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 577523 bytes, checksum: 46a0fd78861d6616d08b4d54436a29ec (MD5) / Approved for entry into archive by Maria Suzana Diniz (msuzanad@hotmail.com) on 2015-11-30T12:38:08Z (GMT) No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 577523 bytes, checksum: 46a0fd78861d6616d08b4d54436a29ec (MD5) / Made available in DSpace on 2015-11-30T12:38:08Z (GMT). No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 577523 bytes, checksum: 46a0fd78861d6616d08b4d54436a29ec (MD5) Previous issue date: 2013-08-14 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / In this work we present some resolution techniques of equations whit intergers coefficients. Such equations although they' re very similar, presents quite different techniques from each other. we show wich are the interger solutions of the equations like x²+y² = z² e x-² + y-² = z-², as the are know as the Pythagorean equations. we also present brief history about the Fermat' s last teorem and we show that the equation x + y4 = z4 has no interger solution. / Neste trabalho apresentamos algumas técnicas de resoluções de equações com coeficientes inteiros. Tais equações , apesar de serem bastantes,apresentam técnicas muito distintas umas das outras. Mostraremos quais são as soluções inteiras de equações do tipo x²+y² = z² e x-² + y-² = z-², que são conhecidas como equações de Pitágoras. Também apresentamos um breve histórico sobre o último teorema de Fermat e mostraremos que a equação x + y4 = z4 não possui solução inteira.

Submitted by Leonardo Cavalcante (leo.ocavalcante@gmail.com) on 2018-05-02T18:31:29Z No. of bitstreams: 1 Arquivototal.pdf: 790723 bytes, checksum: 7e439258b05733c014dcd3e7de230c1f (MD5) / Made available in DSpace on 2018-05-02T18:31:29Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Arquivototal.pdf: 790723 bytes, checksum: 7e439258b05733c014dcd3e7de230c1f (MD5) Previous issue date: 2017-08-31 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / In this present work, principles and theorems associated to integers are returned, as well as eigenvalues and eigenvectors problems, highlighting a Hermitian matrix. Then it is emphasized to the Circulating Matrices, through which it is found the association to two well-defined polynomials: the representative and the characteristic. Later a brief account about the history of polynomial equations is made, drafting the Cardano-Tartaglia Formulas associated to them. Afterwards a unification is made in the resolution process of the polynomial equations of smaller degrees than the equal to 4, by means of the circulating matrices. The work is completed by proving a Fermat theorem for n = 3, using the Cardano-Tartaglia Formulas. / No presente trabalho, princípios e teoremas associados aos números inteiros são retomados, bem como problemas de autovalores e autovetores, sendo ressaltada a matriz Hermitiana. Em seguida é dado ênfase às Matrizes Circulantes, através das quais verifica-se a associação a dois polinômios bem definidos: o representante e o característico. Posteriormente realiza-se um breve relato acerca da história das equações polinomiais, destacandose as Fórmulas de Cardano-Tartaglia associadas às mesmas. Logo após é feita uma unificação no processo de resolução das equações polinomiais de graus menores do que o igual a 4, por meio das matrizes circulantes. O trabalho é finalizado, sendo provado o Teorema de Fermat para n = 3, recorrendo-se às Fórmulas de Cardano-Tartaglia.

Submitted by Viviane Lima da Cunha (viviane@biblioteca.ufpb.br) on 2015-05-27T15:49:59Z No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 791381 bytes, checksum: 38dd57e91539c2f7bfdaf6d1092eff37 (MD5) / Approved for entry into archive by Leonardo Americo (leonardo@sti.ufpb.br) on 2015-05-27T17:33:15Z (GMT) No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 791381 bytes, checksum: 38dd57e91539c2f7bfdaf6d1092eff37 (MD5) / Made available in DSpace on 2015-05-27T17:33:15Z (GMT). No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 791381 bytes, checksum: 38dd57e91539c2f7bfdaf6d1092eff37 (MD5) Previous issue date: 2013-08-13 / In this work we present the concept of cryptography, highlighting the differences between symmetric encryption and asymmetric encryption. We also show how RSA encryption works. Moreover, we study the main mathematical results that justify the operation of this cryptosystem and its security, such as: congruences, Euler's theorem, Fermat's Little Theorem, Wilson's Theorem, Euler's criterion for quadratic residues, Law of Quadratic Reciprocity and primality tests. / Neste trabalho apresentamos o conceito de criptografia, diferenciamos a criptogra fia simétrica da criptografia assimétrica e mostramos como funciona a criptografia RSA. Além disso, destacamos os principais resultados matemáticos que justificam o funcionamento desse criptossistema e sua segurança, tais como: congruências, Teorema de Euler, Pequeno Teorema de Fermat, Teorema de Wilson, Critério de Euler para resíduos quadráticos, Lei de Reciprocidade Quadrática e testes de primalidade.

Este trabalho descreve as soluções de algumas equações diofantinas em duas e três variáveis. O objetivo é apresentar a análise de alguns casos simples e de outros mais difíceis relativos ao Último Teorema de Fermat. Primeiramente são apresentados os pré-requisitos necessários dentre os quais incluímos a noção de número primo, máximo divisor comum, congruência, o Algoritmo de Euclides e o Teorema Fundamental da Aritmética. Este material é desenvolvido primeiramente no anel dos inteiros racionais e posteriormente em duas extensões algébricas conhecidas como os inteiros de Gauss e de Eisenstein. A estrutura dos últimos é indispensável na resolução do primeiro caso não trivial do Último Teorema de Fermat, a saber, da equação diofantina x3 + y3 = z3. O último capítulo apresenta algumas aplicações de problemas diofantinos e do Algoritmo de Euclides que podem ser desenvolvidos em sala de aula com alunos do sexto e do oitavo ano. / This work describes the solutions to some diophantine equations in two and three variables. The objective is to present the analysis of some simple and other more difficult cases related to Fermats Last Theorem. First, we present the necessary prerequisites which include the notion of a prime number, the maximum common divisor, congruences, Euclids Algorithm and the Fundamental Theorem of Arithmetic. This material is first developed by using the rational integers and then presented for two algebraic extensions known as Gauss and Eisenstein integers. The structure of the latter is indispensable for the first non-trivial case of Fermats Last Theorem, namely, the diophantine equation x3 + y3 = z3. The last chapter presents some applications of simple diophantine equations and Euclids algorithm which can be developed in the classroom with sixth and eight grade students.