Il y a seulement une dizaine d’années que l’invariant de la complexité topologique a été défini. Il y a encore beaucoup de travail à y consacrer. Ici nous comparons algébriquement les deux invariants TC(X) et tc(X). En fait, ce qui nous motive, c’est la conjecture de leur égalité. Dans le but d’appuyer cette conjecture, nous regardons les bornes inférieures et supérieures de chacun, pour resserrer l’intervalle dans lequel ils se trouvent. Ceci nous a permis de trouver un nouveau résultat: la borne supérieure 2cat(X) de TC(X) est aussi une borne supérieure de tc(X). Ensuite, pour trois espaces nous avons calculé l’intervalle dans lequel se trouvent TC(X) et tc(X). Tous nos résultats nous incitent à dire que ces deux invariants se comportent bien de la même façon.

The quantum Hall (QH) effect, which can be induced in a two-dimensional (2D) electron gas by an external magnetic field, paved the way for topological concepts in condensed matter physics. While the QH effect can for that reason not exist without Landau levels, there is a plethora of topological phases of matter that can exist even in the absence of a magnetic field. For instance, the quantum spin Hall (QSH), the quantum anomalous Hall (QAH), and the three-dimensional (3D) topological insulator (TI) phase are insulating phases of matter that owe their nontrivial topology to an inverted band structure. The latter results from a strong spin-orbit interaction or, generally, from strong relativistic corrections. The main objective of this thesis is to explore the fate of these preexisting topological states of matter, when they are subjected to an external magnetic field, and analyze their connection to quantum anomalies. In particular, the realization of the parity anomaly in solid state systems is discussed. Furthermore, band structure engineering, i.e., changing the quantum well thickness, the strain, and the material composition, is employed to manipulate and investigate various topological properties of the prototype TI HgTe. Like the QH phase, the QAH phase exhibits unidirectionally propagating metallic edge channels. But in contrast to the QH phase, it can exist without Landau levels. As such, the QAH phase is a condensed matter analog of the parity anomaly. We demonstrate that this connection facilitates a distinction between QH and QAH states in the presence of a magnetic field. We debunk therefore the widespread belief that these two topological phases of matter cannot be distinguished, since they are both described by a $\mathbb{Z}$ topological invariant. To be more precise, we demonstrate that the QAH topology remains encoded in a peculiar topological quantity, the spectral asymmetry, which quantifies the differences in the number of states between the conduction and valence band. Deriving the effective action of QAH insulators in magnetic fields, we show that the spectral asymmetry is thereby linked to a unique Chern-Simons term which contains the information about the QAH edge states. As a consequence, we reveal that counterpropagating QH and QAH edge states can emerge when a QAH insulator is subjected to an external magnetic field. These helical-like states exhibit exotic properties which make it possible to disentangle QH and QAH phases. Our findings are of particular importance for paramagnetic TIs in which an external magnetic field is required to induce the QAH phase. A byproduct of the band inversion is the formation of additional extrema in the valence band dispersion at large momenta (the `camelback'). We develop a numerical implementation of the $8 \times 8$ Kane model to investigate signatures of the camelback in (Hg,Mn)Te quantum wells. Varying the quantum well thickness, as well as the Mn-concentration, we show that the class of topologically nontrivial quantum wells can be subdivided into direct gap and indirect gap TIs. In direct gap TIs, we show that, in the bulk $p$-regime, pinning of the chemical potential to the camelback can cause an onset to QH plateaus at exceptionally low magnetic fields (tens of mT). In contrast, in indirect gap TIs, the camelback prevents the observation of QH plateaus in the bulk $p$-regime up to large magnetic fields (a few tesla). These findings allowed us to attribute recent experimental observations in (Hg,Mn)Te quantum wells to the camelback. Although our discussion focuses on (Hg,Mn)Te, our model should likewise apply to other topological materials which exhibit a camelback feature in their valence band dispersion. Furthermore, we employ the numerical implementation of the $8\times 8$ Kane model to explore the crossover from a 2D QSH to a 3D TI phase in strained HgTe quantum wells. The latter exhibit 2D topological surface states at their interfaces which, as we demonstrate, are very sensitive to the local symmetry of the crystal lattice and electrostatic gating. We determine the classical cyclotron frequency of surface electrons and compare our findings with experiments on strained HgTe. / Der Quanten-Hall (QH) Effekt, welcher in einem zwei-dimensionalen (2D) Elektronengas durch ein externes Magnetfeld erzeugt werden kann, ebnete den Weg für topologische Konzepte in der Physik der kondensierten Materie. Während der QH Effekt aus diesem Grund nicht ohne Landau Level existieren kann, gibt es eine Vielzahl von neuartigen topologischen Phasen, die auch in der Abwesenheit von Magnetfeldern existieren können. Zum Beispiel stellen die Quanten-Spin-Hall (QSH), die Quanten-Anomale-Hall (QAH) und die drei-dimensionale (3D) topologische Isolator-Phase isolierende, topologische Phasen dar, die Ihre nicht-triviale Topologie einer invertierten Bandstruktur verdanken. Letztere wird durch eine starke Spin-Bahn Wechselwirkung, oder im Allgemeinen durch starke relativistische Korrekturen, erzeugt. Das Hauptziel dieser Thesis ist es dabei das Schicksal dieser bereits bestehenden topologischen Zustände in Magnetfeldern zu erforschen und deren Verbindungen zu Quantenanomalien aufzuzeigen. In diesem Zusammenhang werden wir insbesondere die Realisierung der Paritätsanomalie in Festkörpersystemen diskutieren. Weitergehend wenden wir Bandstruktur-Engineering an, d.h. die Veränderung der Quantentrogdicke, der Verspannung und der Materialkomposition, um die vielfältigen topologischen Eigenschaften des topologischen Isolators (TIs) HgTe zu manipulieren und zu untersuchen. Wie die QH Phase, zeichnet sich die QAH Phase durch unidirektional propagierende, metallische Randkanäle aus. Aber im Vergleich zur QH Phase, kann sie auch ohne Landau Level existieren. Die QAH Phase stellt daher ein Kondensierte-Materie-Analogon zur Paritätsanomalie dar. Wir zeigen, dass diese Verbindung es uns ermöglicht in der Gegenwart eines Magnetfelds zwischen QH und QAH Zuständen zu unterscheiden. Damit widerlegen wir den weitverbreiten Glauben, dass diese zwei topologischen Phasen nicht unterschieden werden können, da beide durch eine $\mathbb{Z}$ topologische Invariante beschrieben sind. Etwas genauer gesagt, zeigen wir, dass die QAH Topologie in einer besonderen topologischen Invarianten kodiert bleibt, der spektralen Asymmetrie. Diese quantifiziert die Differenz in der Anzahl von Zuständen in Leitungs- und Valenzbändern. Indem wir die effektive Wirkung eines QAH Isolators im Magnetfeld herleiten, zeigen wir, dass die spektrale Asymmetrie dabei mit einem einzigartigen Chern-Simons Term verbunden ist, welcher die Information über die QAH Randkanäle beinhaltet. Wenn ein QAH Isolator einem externen Magnetfeld ausgesetzt wird, kann dies zur Bildung von gegenläufigen QH und QAH Randkanälen führen. Diese helikalartigen Randzustände besitzen exotische Eigenschaften, die es uns ermöglichen QH und QAH Phasen zu unterscheiden. Unsere Ergebnisse sind insbesondere für paramagnetische TIs von Bedeutung, da für diese ein externes Magnetfeld von Nöten ist, um die QAH Phase zu induzieren. Ein Nebenprodukt der Bandinversion ist die Bildung von zusätzlichen Extrema in der Dispersion des Valenzbands bei großen Impulsen (oft auch als `Kamelrücken' bezeichnet). Wir entwickeln eine numerische Implementierung des $8 \times 8$ Kane Modells um die Signaturen des Kamelrückens in (Hg,Mn)Te Quantentrögen zu untersuchen. Indem die Quantentrogdicke und die Mn-Konzentration variiert wird, zeigen wir, dass die Klasse von topologisch nicht-trivialen Materialien weiter in direkte und indirekte TIs unterteilt werden kann. Für direkte TIs mit $p$-Ladungsträgerdichten, zeigen wir, dass die Anheftung des chemischen Potentials an den Kamelrücken zu einem Beginn von QH-Plateaus bei ungewöhnlich kleinen Magnetfeldern (zweistelliger mT-Bereich) führen kann. Im Gegensatz dazu verhindert der Kamelrücken bei indirekten TIs die Beobachtung von QH Plateaus im $p$-Bereich bis zu großen Magnetfeldern (einige Tesla). Diese Ergebnisse erlauben es uns jüngste experimentelle Beobachtungen in (Hg,Mn)Te Quantentrögen der Existenz des Kamelrückens zuzuschreiben. Obwohl sich unsere Diskussion dabei auf (Hg,Mn)Te beschränkt, sollte sich unser Modell leicht auch auf andere topologische Materialien mit einer kamelartigen Struktur im Valenzband übertragen lassen. Zusätzlich haben wir die numerische Implementierung des $8 \times 8$ Kane Modells verwendet, um den Übergang von einer 2D QSH zu einer 3D TI Phase in verspannten HgTe Quantentrögen zu untersuchen. Diese Halbleitermaterialien zeichnen sich durch 2D topologische Oberflächenzustände an Grenzflächen aus, welche, wie wir zeigen, sehr sensitiv für die lokale Kristallsymmetrie des Gitters und elektrostatische Ladung sind. Wir bestimmen die klassische Zyklotronfrequenz der Oberflächenelektronen und vergleichen diese mit experimentellen Messungen an verspannten HgTe Qunatentrögen.

In this thesis we discuss the potential of nanodevices based on topological insulators. This novel class of matter is characterized by an insulating bulk with simultaneously conducting boundaries. To lowest order, the states that are evoking the conducting behavior in TIs are typically described by a Dirac theory. In the two-dimensional case, together with time- reversal symmetry, this implies a helical nature of respective states. Then, interesting physics appears when two such helical edge state pairs are brought close together in a two-dimensional topological insulator quantum constriction. This has several advantages. Inside the constriction, the system obeys essentially the same number of fermionic fields as a conventional quantum wire, however, it possesses more symmetries. Moreover, such a constriction can be naturally contacted by helical probes, which eventually allows spin- resolved transport measurements. We use these intriguing properties of such devices to predict the formation and detection of several profound physical effects. We demonstrate that narrow trenches in quantum spin Hall materials – a structure we coin anti-wire – are able to show a topological super- conducting phase, hosting isolated non-Abelian Majorana modes. They can be detected by means of a simple conductance experiment using a weak coupling to passing by helical edge states. The presence of Majorana modes implies the formation of unconventional odd-frequency superconductivity. Interestingly, however, we find that regardless of the presence or absence of Majoranas, related (superconducting) devices possess an uncon- ventional odd-frequency superconducting pairing component, which can be associated to a particular transport channel. Eventually, this enables us to prove the existence of odd- frequency pairing in superconducting quantum spin Hall quantum constrictions. The symmetries that are present in quantum spin Hall quantum constrictions play an essen- tial role for many physical effects. As distinguished from quantum wires, quantum spin Hall quantum constrictions additionally possess an inbuilt charge-conjugation symmetry. This can be used to form a non-equilibrium Floquet topological phase in the presence of a time-periodic electro-magnetic field. This non-equilibrium phase is accompanied by topological bound states that are detectable in transport characteristics of the system. Despite single-particle effects, symmetries are particularly important when electronic in- teractions are considered. As such, charge-conjugation symmetry implies the presence of a Dirac point, which in turn enables the formation of interaction induced gaps. Unlike single-particle gaps, interaction induced gaps can lead to large ground state manifolds. In combination with ordinary superconductivity, this eventually evokes exotic non-Abelian anyons beyond the Majorana. In the present case, these interactions gaps can even form in the weakly interacting regime (which is rather untypical), so that the coexistence with superconductivity is no longer contradictory. Eventually this leads to the simultaneous presence of a Z4 parafermion and a Majorana mode bound at interfaces between quantum constrictions and superconducting regions. / In der vorliegenden Arbeit untersuchen wir Nanobauteile auf der Basis von topologischen Isolatoren. Diese neue Materialklasse zeichnet sich in erster Linie durch ein isolierendes Inneres aus, während gleichzeitig die Oberfläche leitende Eigenschaften besitzt. Zustände, welche mit diesen leitenden Eigenschaften in Verbindung gebracht werden, können in niedrigster Ordnung durch eine Dirac-Theorie beschrieben werden. Im Falle eines zweidimensionalen topologischen Isolators impliziert das, zusammen mit Zeit-Umkehr Symmetrie, eine helikale Natur dieser Randzustände. Interessante Physik entsteht dann insbesondere, wenn zwei solcher helikalen Randkanalzustände in einer Verengung zusammengeführt werden. Dies hat verschiedene Konsequenzen. Innerhalb der Verengung findet man die gleiche Anzahl an fermionischen Feldern wie man sie auch in einem Quantendraht erwartet. Gleichzeitig besitzt eine solche Konstruktion aber mehr Symmetrien verglichen mit gewöhnlichen Quantendrähten. Außerdem kann eine Verengung in einem zwei-dimensionalen topologischen Isolator auf natürliche Weise helikal kontaktiert werden, so dass spin-aufgelöste Transportmessungen durchgeführt werden können. Diese einzigartige Kombination von Eigenschaften impliziert verschiedenste physikalische Effekte. Wie wir in dieser Arbeit zeigen entsteht in engen Schlitzen, welche in einen homogenen zwei-dimensionalen topologischen Isolator tranchiert werden, eine topologisch supraleitende Phase mit nicht-Abelschen Majorana Moden an den Systemrändern. Diese exotischen Teilchen können mit einem relativ einfachen Transportexperiment nachgewiesen werden, indem man diesen sogenannten Anti-Quantendraht schwach mit einem helikalen Randkanal koppelt und dort die Transportcharakteristiken misst. Die Präsenz von Majorana Moden ist verknüpft mit dem Entstehen von unkonventioneller Supraleitung, insbesondere von sogenannter odd-frequency Supraleitung. Wir zeigen, dass dies vielmehr eine allgemeine Erscheinung in derartigen supraleitenden Strukturen ist. Symmetrien sind von elementarer Bedeutung für viele physikalische Effekte. So führt zum Beispiel die natürlich auftretende Ladungs-Konjugation Symmetrie zusammen mit einem zeit-periodischen elektromagnetischen Feld in topologischen Anti-Quantendrähten zu einer topologischen Floquet Nichtgleichgewichts-Phase, welche wiederum durch Transportmessungen detektiert werden kann. Symmetrien spielen auch und insbesondere für Wechselwirkungseffekte eine wichtige Rolle. Hier ist besonders die Existenz eines Dirac-Punktes von großer Bedeutung. In dessen (energetischer) Nähe ist es möglich wechselwirkungs-induzierte Bandlücken zu erzeugen. Anders als Einteilchen-Bandlücken können wechselwirkungs-induzierte Bandlücken zu einer hohen Grundzustandsentartung führen. Diese wiederum ermöglicht die Entstehung komplexer nicht-Abelscher Teilchen, falls zusätzlich supraleitende Ordnung vorhanden ist. Interessanterweise können derartige Vielteilchen-Bandlücken in unserem System schon bei nur schwacher elektronischer Wechselwirkung auftreten. Dieses untypische Verhalten ermöglicht letztendlich die Entstehung von Z4 parafermionen an Grenzflächen unterschiedlicher Ordnung.

Breaking inversion symmetry in crystalline solids enables the formation of spin-polarized electronic states by spin-orbit coupling without the need for magnetism. A variety of interesting physical phenomena related to this effect have been intensively investigated in recent years, including the Rashba effect, topological insulators and Weyl semimetals. In this work, the interplay of inversion symmetry breaking and spin-orbit coupling and, in particular their general influence on the character of electronic states, i.e., on the spin and orbital degrees of freedom, is investigated experimentally. Two different types of suitable model systems are studied: two-dimensional surface states for which the Rashba effect arises from the inherently broken inversion symmetry at the surface, and a Weyl semimetal, for which inversion symmetry is broken in the three-dimensional crystal structure. Angle-resolved photoelectron spectroscopy provides momentum-resolved access to the spin polarization and the orbital composition of electronic states by means of photoelectron spin detection and dichroism with polarized light. The experimental results shown in this work are also complemented and supported by ab-initio density functional theory calculations and simple model considerations. Altogether, it is shown that the breaking of inversion symmetry has a decisive influence on the Bloch wave function, namely, the formation of an orbital angular momentum. This mechanism is, in turn, of fundamental importance both for the physics of the surface Rashba effect and the topology of the Weyl semimetal TaAs. / Wird die Inversionssymmetrie kristalliner Festkörper gebrochen, ermöglicht dies die Ausbildung von spinpolarisierten elektronischen Zuständen durch Spin-Bahn-Kopplung ohne die Notwendigkeit von Magnetismus. In den vergangenen Jahren wurde eine Vielzahl interessanter physikalischer Phänomene diskutiert, die mit diesem Effekt zusammenhängen, darunter der Rashba-Effekt, topologische Isolatoren sowie Weyl-Halbmetalle. In dieser Arbeit wird das Zusammenspiel von Inversionssymetriebruch und Spin-Bahn-Kopplung sowie insbesondere deren Einfluss auf die Eigenschaften der elektronischen Zustände, also auf die Spin- und Orbital-Freiheitsgrade, experimentell untersucht. Zwei verschiedene Arten geeigneter Modellsysteme werden dazu betrachtet: zweidimensionale Oberflächenzustände, in denen der Rashba-Effekt aufgrund der an der Oberfläche inhärent gebrochenen Inverisonssymetrie auftritt, und ein Weyl-Halbmetall, dessen dreidimensionale Kristallstruktur kein Inversionszentrum besitzt. Winkelaufgelöste Photoelektronenspektroskopie bietet einen impulsaufgelösten Zugang zur Spinpolarisation sowie zur orbitalen Zusammensetzung der elektronischen Zustände mittels Photoelektronenspindetektion und Dichroismus mit polarisiertem Licht. Die in dieser Arbeit gezeigten experimentellen Ergebnisse werden außerdem durch ab-initio Dichtefunktionaltheorierechnungen sowie einfachen Modellbetrachtungen ergänzt und untermauert. Insgesamt zeigt sich, dass das Brechen von Inversionssymmetrie einen entscheidenden Einfluss auf die Bloch-Wellenfunktion hat, nämlich die Ausbildung eines orbitalen Bahndrehimpulses. Dieser Mechanismus ist wiederum von grundlegender Bedeutung sowohl für die Physik des Oberflächen- Rashba-Effekts als auch für die Topologie desWeyl-Halbmetalls TaAs.

Thèse numérisée par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

La thèse se situe dans le domaine de la conception des architectures capables de garantir la QoS dans des réseaux multi-domaines et multi-technologies. Elle porte plus particulièrement sur les problèmes liés à l'acquisition de topologie pour alimenter les fonctions de contrôle d'admission d'appel. En effet, il faut que l'entité responsable de la fonction de CAC (Call Admission Control) détienne une cartographie réelle et synchrone du domaine qu'elle gère. Si dans certains cas d'utilisation, la topologie peut être renseignée et gérée manuellement, il est impossible d'accomplir une telle tâche sur de grandes topologies. Différentes solutions existent. Bien que ces techniques soient efficaces dans certains cas d'utilisation, elles sont en fait soit incomplètes soit inadaptées à nos besoins. Pour répondre à cette problématique nous avons d'abord implémenté notre propre modèle d'acquisition intégrée des données topologiques des couches 2 et 3. Il s'agit du protocole STAMP (Simple Topology Annoucement and Management Protocol), un protocole de signalisation permettant la diffusion des informations de topologie et de qualité de service dans un réseau quelque soit sa taille. Pour généraliser et optimiser notre modèle, nous avons ensuite développé et proposé des nouvelles méthodes d'agrégation des topologies réseau, en particulier appliquées aux topologies précédemment obtenues, afin de réduire, en conservant les paramètres de QoS, la volumétrie de la base de données et améliorer les performances de la CAC.

Il existe de nombreuses situations où des objets géométriques ou topologiques (comme les configurations de points du plan, les applications lisses entre variétés, les hypersurfaces projectives complexes) sont paramétrés par des éléments d'un espace vectoriel. Un discriminant (généralisé) est un sous-ensemble formé des éléments singuliers (dans un sens à préciser) d'un tel espace vectoriel. Par la dualité d'Alexander, les groupes de cohomologie du complémentaire d'un discriminant sont isomorphes aux groupes d'homologie de Borel-Moore du discriminant même. Souvent, ces derniers groupes peuvent être calculés en utilisant une certaine résolution naturelle du faisceau constant sur le discriminant ; par référence à leur construction, ces <br />résolutions sont parfois appelées coniques.<br /><br />Dans cette thèse, nous généralisons la méthode des résolutions coniques qui a été proposée par V. A. Vassiliev afin d'étudier la cohomologie des espaces des hypersurfaces projectives lisses complexes. Notre construction se base sur les relations d'inclusion entre les lieux singuliers plutôt qu'entre les systèmes linéaires correspondants. Cela nous permet d'effectuer certains calculs qui semblent être hors de portée de l'approche originelle. Pour illustrer notre méthode, nous calculons la cohomologie rationnelle de l'espace des courbes lisses complexes planes de degré 5, de l'espace des courbes bielliptiques lisses sur une quadrique non dégénérée dans l'espace projectif complexe de dimension 3, ainsi que de l'espace des courbes cubiques réelles lisses planes.<br /><br />La thèse contient un appendice où l'on démontre le résultat suivant. Supposons que le cercle est muni d'un atlas où tous les changements de cartes sont des homographies ; alors ce cercle borde une surface orientable munie d'un atlas où tous les changements de cartes sont aussi des homographies (à coefficients<br />complexes cette fois-ci) et sont compatibles dans le sens évident avec les applications de changement de cartes sur le bord. Dans l'appendice, nous montrons également que la classification des structures projectives sur le cercle donnée il y a longtemps par N. Kuiper n'est pas tout à fait correcte, et nous complétons cette classification.

.

Ces dernières années, la physique de la matière condensée a connu une profonde révolution de concepts par la découverte de nombreuses phases de la matière qui ne sont pas classifiables à la Landau, c’est à dire par leur groupe de symétrie. Si les premiers travaux remontent à ceux des effets Hall quantiques (entier et fractionnaire), ce n’est que récemment, avec l’avènement du graphène et des isolants topologiques que les physiciens ont réalisé que ces phases de la matière ne nécessitent, dans l’absolu, ni champ magnétique, ni basse température, par opposition aux effets Hall quantiques précédemment cités. Ces nouveaux états de la matière sont caractérisés non pas par la géométrie du problème mais plutôt par la topologie. Ici donc, la forme précise du spectre électronique n’est pas importante, seules certaines caractéristiques, comme la présence ou l’absence d’un gap, le sont. De manière similaire à la classification de Landau des groupes de symétries, il est possible de classifier ces nouveaux systèmes par l’intermédiaire de groupes topologiques. La branche mathématique invoquée est celle de la topologie algébrique. A travers les invariants qu’elle génère, il est possible de classer les états topologiquement non-triviaux. De plus, les transitions entre des états à topologies distinctes sont aussi accessibles par cette théorie. Les travaux réalisés dans le cadre de cette thèse s’intéressent aux effets topologiques dans la structure de bandes de matériaux bi-dimensionnels. Après une présentation du formalisme mathématique général, un premier chapitre s’intéressera à la topologie locale, c’est à dire pour une portion restreinte de la première zone de Brillouin, des points de croisements de bandes, dits points de Dirac. Un effort sera porté vers la classification de ces systèmes et des transitions associées. Le chapitre suivant mettra en lumière un moyen efficace de mesurer les effets de la topologie des électrons en deux dimensions. Il s’agit de l’étude des niveaux de Landau qui résultent de l’application d’un champ magnétique 5transverse au plan des électrons. Les points de Dirac se transmutent alors en niveaux à énergie nulle topologiquement stables, c’est à dire peu ou pas influencés par les diverses perturbations. L’étude des différents modèles justifiera la discrimination entre la physique à champ magnétique faible et celle à champ magnétique fort, faible ou fort étant très dépendant du système étudié. Enfin, dans un dernier chapitre plus prospectif on s’intéressera à la topologie globale, c’est à dire pour l’ensemble de la première zone de Brillouin. Ce type d’étude est surtout caractérisé par l’existence d’états de bords robustes. On en fera l’expérience d’une double manière. D’abord par l’étude un modèle à un électron, puis par celle d’un système en forte interaction de N électrons. A travers les différents exemples étudiés, on s’attachera à démontrer la puissance de l’outil topologique pour les problèmes de la matière condensée, phénomène qui devrait s’accentuer les prochaines années. / During the last few decades, condensed matter physics has witnessed a deep refoundation of its paradigms, through the discovery of many systems that the usual symmety classification à la Landau cannot handle properly. Although the first major breaktroughs were realized at the time of discovery of integer and fractional quantum Hall effects, only recently physicists have agreed that these peculiar phases of matter require neither a magnetic field nor low temperature. Those new states of matter cannot be caracterized by the geometric aspects of the model but rather by topological ones. The precise shape of the electronic spectrum is no longer relevant, but only particular features are, such as the presence or the absence of a gap. Similarly to the Landau classification scheme, one can achieve a construction through extensive use of topological groups. This is the realm of algebraic topology. Related generated topological invariants can hold a classification of non-trivial topological states, as well as of the accompanying transitions. This thesis focusses on peculiar topological features of two-dimesnsional electronic band structures. After a technical introduction to the underlying formalism, the first chapter is devoted to local topology, that is for a restricted piece of the first Brillouin zone, of band crossing points, also known as Dirac points. Special care is taken to classify these points and related transitions. The next chapter sheds some light on a particularly efficent way of measuring topology for two-dimensional electrons. This is achieved through measurements of Landau levels that are generated by a magnetic field applied perpendicular to a plane. Dirac points then generate zero Landau levels that are topologically stable, i.e. almost not influenced by perturbations at all. Distinctions between low and high magnetic fields will prove to be relevant, although very system-dependant. Through the several models studied, we particularly stress out the importance of the topological tool for condensed matter physics, past present... and future.

Dans le domaine médical, une meilleure connaissance de la fonctionmotrice est susceptible de permettre d’établir des thérapies adaptéesà chaque lésion motrice et des outils d’études et de dépistage dansle cas de maladies neurodégénératives. Dans le domaine de la réalitévirtuelle, la reconnaissance du mouvement est un point angulaire dansl’interaction de l’avatar ou de la personne en immersion avec sonenvironnement. Plusieurs travaux ont été menés dans le but de proposerdes approches de classification du mouvement humain. L’idée principalede ces méthodes est d’extraire des invariants des données enregistréesafin de les regrouper en clusters. Cependant, l'étude du mouvementhumain avec des systèmes de capture de mouvement génère une quantitéde données volumineuse, avec des relations non linéaires entre elles.Les méthodes présentées dans la littérature scientifique utilisent cesdonnées soit directement comme entrée à des algorithmes declassification, soit en appliquant une méthode de réductiondimensionnelle, comme l’analyse en composantes principales avant laclassification. Ces méthodes restent extrêmement sensibles au bruitblanc pendant l'enregistrement ainsi qu’aux différences morphologiquesentre les sujets. Dans notre travail, nous allons présenter uneméthodologie de classification et de reconnaissance du mouvementhumain, qui se base sur l’analyse topologique des donnéescinématiques. L’analyse topologique sera réalisée via la persistancehomologique, qui est une méthode d’analyse des données volumineusesqui permet de leur associer une signature topologique. On combineracette méthode d’analyse topologique avec des algorithmesd’apprentissage afin d’augmenter la précision de la reconnaissance desmouvements en réduisant l'impact des différences morphologiques entreles sujets ainsi que l’impact du bruit blanc issu pendant l'étaped’acquisition du mouvement. Par ailleurs, on combinera la méthoded’analyse topologique avec un algorithme de réseaux de neuronestemporels, afin de construire une approche qui permet de prédire lasuite d’un mouvement à partir d’une partie d’un intervalled’enregistrement.Les résultats ont montré la capacité de l’approche proposée à obtenirune précision avec un taux élevé lors de la classification, ainsi quesa robustesse face au bruit blanc et aux différences morphologiquesentre les personnes. Les résultats ont montré aussi le cout élevé entemps de calcul de notre approche. Nous avons proposé des méthodes(algorithme et parallélisme) de façon à réduire les temps de calculs. / In the medical field, a better knowledge of the motor function isimportant for us to determine therapies adapted to each motor lesion andtools of studies and screening for neurodegenerative diseases. In thedomain of virtual reality, motion recognition is an issue in theinteraction of the avatar or the user in immersion with theirenvironment.Several studies have been conducted with the aim of proposingapproaches to the classification of human movement. The main idea ofthese methods is to extract invariants from the recorded data in orderto order them into clusters. However, the study of human motion withmotion capture systems generates a big quantity of data with nonlinearrelations between them. The presented methods in the scientificliterature use these data either directly as input to classificationalgorithms or by applying a dimensional reduction method such asprincipal component analysis prior to classification. These methodsremain extremely sensitive to white noise during recording as well asmorphological differences between subjects.In our work, we will present a methodology of classification andrecognition of human movement which is based on the topologicalanalysis of kinematic data. Topological analysis will be performed viahomological persistence which is a large data analysis method thatallows them to be topologically signed. This method of topologicalanalysis will be combined with learning algorithms to increase theaccuracy of motion recognition by reducing the impact of morphologicaldifferences between subjects, as well as the impact of white noiseissued during the step of movement acquisition. Also, we will combinethe topological analysis method with a temporal neural networkalgorithm in order to build an approach that allows to predict thecontinuation of a movement from a part of a recording interval.The results showed the ability of the proposed approach to achievehigh accuracy at classification, as well as its robustness againstwhite noise and morphological differences between subjects. Theresults also showed the high cost in computing time of our approachwhich we tried to reduce by modifying its steps and by rewriting thecode so that it can be executed in parallel.