Seja f : T2 -> T2 um homeomorfismo homotópico a identidade e F : R2 -> R2 um levantamento de f tal que seu conjunto de rotação rho(F) é um segmento vertical não degenerado contido em 0 × R. Provamos que se f é ergódico com respeito a medida de Lebesgue no toro e se o vetor de rotação médio (com respeito a mesma medida) é da forma (0, alpha) para alpha em R\\Q então existe M > 0 tal que |(Fn (x) - x)1| <= M para todo x em R2 e n em Z (onde (.)1 :R2 -> R é definida por (x,y)1 =x). / Let f : T2 -> T2 be a homeomorphism homotopic to the identity and F : R2 -> R2 a lift of f such that the rotation set rho(F) is a non-degenerated vertical line segment contained in 0 × R. We prove that if f is ergodic with respect to the Lebesgue measure on the torus and the average rotation vector (with respect to same measure) is of the form (0, alpha) for alpha in R\\Q then there exists M > 0 such that |(Fn (x) - x)1| <= M for all x in R2 and n in Z (where (.)1 :R2 -> R is defined by (x, y)1 = x).

Dentre todos os sistemas dinâmicos os sistemas Anosov têm atraído a atenção de muitos matemáticos. No caso de fluxo Anosov em uma variedade fechada M de dimensão três, Sérgio Fenley definiu o conceito de losangos no recobrimento universal de M e obteve resultados importantes envolvendo losangos e automorfismos do recobrimento universal. Seguindo o que foi feito por Fenley, e utilizando o conceito de losangos no espaço das órbitas do fluxo levantado (no recobrimento universal), Thierry Barbot obteve condições suficientes para que um toro incompressível numa 3-variedade fechada suportando um fluxo Anosov seja isotópico a um outro que é transverso ao fluxo. Neste trabalho consideramos ações Anosov de \'R POT. k\' sobre uma variedade fechada M de dimensão k + 2. Primeiramente, conseguimos resultados análogos aos de Fenley (sobre existência de losangos) para estas ações, e usando isso, finalmente obtemos condições suficientes para que um toro incompressível seja isotópico a um toro transverso à ação. Este último resultado é uma generalização de Barbot mencionado acima / Among all dynamical systems the Anosov systems has attracted the attention of many mathematicians. In the case of an Anosov flow in a closed manifold M of dimension three, Sérgio Fenley defined the concept of lozenges in the universal covering of M and obtained important results involving lozenges and covering automorphism. Following what was made by Fenley, and using the concept of lozenge on the orbit space of the lifted flow (in the universal covering). Thierry Barbot obtains sufficient conditions for an incompressible torus in a closed 3-manifold supporting an Anosov flow to be isotopic to another which is transverse to flow. If this work we considered Anosov of \'R POT. k\' on a closed manifold M of dimension k + 2. First, we obtain analogous results those of Fenley (about existence of lozenges) for this actions, and using this, finally we obtain sufficient conditions for an incompressible torus to be isotopic to another torus which is transverse to action. This last result is a generalization of Barbot\'s result mentioned above

No presente trabalho apresentamos um estudo sobre a dinâmica de homeomorfismos do toro homotópicos à Dehn twists. No caso conservativo, provamos que se $f$ preserva área e tem um levantamento $\\hat$ para o cilindro com fluxo zero, então, precisamente, ou $f$ é um homeomorfismo do anel, ou possui pontos no cilindro com velocidades verticais positiva e negativa, por iteradas de $\\hat$. Isso resolve a conjectura de Boyland para essa classe de homotopia. Já no caso geral, mostramos um resultado análogo. Além disso, fornecemos uma condição extremamente simples que, quando satisfeita, implica que o conjunto de rotação vertical contém um intervalo e, portanto, que $f$ tem entropia topológica positiva. / The present thesis is concerned with the dynamics of homeomorphisms of the torus homotopic to Dehn twists. We prove that if $f$ is area preserving and it has a lift $\\hat$ to the cylinder with zero flux, then either $f$ is an annulus homeomorphism, or there are points in the cylinder with positive vertical velocity and others with negative vertical velocity, for iterates of $\\hat$. This solves a version of Boyland\'s conjecture to this setting. We extend some theorems we already obtained for Dehn twists with the area preservation hypothesis to a more general class. Finally, we also give a simple explicit condition which, when satisfied, implies that the vertical rotation set contains an interval and thus also implies positive topological entropy.

Dados dois conjuntos compactos e convexos K1, K2 em R², queremos saber se existem f e h, dois homeomorfismos de T², homotópicos à identidade, que comutam, com levantamentos F e H, tais que K1 e K2 são os seus conjuntos de rotação, respectivamente. Neste trabalho, mostramos alguns casos onde isto não pode acontecer, assumindo restrições nos conjuntos de rotação. Além disso, introduzimos o conceito de conjunto de rotação para semigrupos Abelianos finitamente gerados por homeomorfismos homotópicos à identidade, mostrando um caso em que o semigrupo é anular. / Let K1, K2 in R² be two convex, compact sets. We would like to know if there are commuting homeomorphisms f and h of T², homotopic to the identity, with lifts F and H, such that K1 and K2 are their rotation sets, respectively. In this work, we proof some cases where it cannot happen, assuming some restrictions on rotation sets. Besides that, we introduce the concept of rotation set for Abelian semi-groups finitely generated by homeomorphisms homotopic to the identity, showing a case where the semi-group is annular.

Nous retracerons le parcours de la topologie dans l’enseignement lacanien : de la topologie algébrique, nous traiterons des figures topologiques (tore, bande de Mœbius, bouteille de Klein, cross-cap) pour en arriver à la topologie nodale dont le paradigme est le nœud borroméen. Nous considérerons alors les conséquences théoriques qu’elle implique : de l’inconscient freudien ou l’inconscient symbolique nous passerons à l’inconscient réel et l’une-bévue, et du symptôme nous envisagerons le sinthome et sa logique. Nous affinerons ainsi le double rapport du sujet au signifiant et à la jouissance mettant en avant l’importance du corps pris comme vivant. Pour ce faire, nous étudierons plus précisément le rapport du sujet au trou, manque fondamental qui le constitue, à la fois extérieur et intérieur. Nous verrons comment, dans son creux et dans ses bords, le sujet y loge sa singularité, son « x ». Nous l’articulerons à la clinique afin de révéler l’apport qu’elle représente dans la pratique. / We will trace the course of topology in Lacan’s teaching: from algebraic topology, where we will deal with topological surfaces (torus, Moebius strip, Klein bottle, cross-cap) we will reach topology whose paradigm is the Borromean knot. We will then consider the theoretical consequences implied: from the Freudian unconscious or symbolic unconscious we will move to the real unconscious and the une-bévue, and from the symptom we will consider the sinthome and its logic. We will refine the dual relationship of the subject to signifier and Jouissance, and highlight the importance of the body as living. To do this, we will study more precisely the relationship of the subject to the hole, a fundamental lack that constitutes him, both exterior and interior. We will see how, in its hollow and its edges, the subject lodges its singularity, its "x". We will link it to clinic to reveal the contribution of topology in practice.

No presente trabalho apresentamos um estudo sobre a dinâmica de homeomorfismos do toro homotópicos à Dehn twists. No caso conservativo, provamos que se $f$ preserva área e tem um levantamento $\\hat$ para o cilindro com fluxo zero, então, precisamente, ou $f$ é um homeomorfismo do anel, ou possui pontos no cilindro com velocidades verticais positiva e negativa, por iteradas de $\\hat$. Isso resolve a conjectura de Boyland para essa classe de homotopia. Já no caso geral, mostramos um resultado análogo. Além disso, fornecemos uma condição extremamente simples que, quando satisfeita, implica que o conjunto de rotação vertical contém um intervalo e, portanto, que $f$ tem entropia topológica positiva. / The present thesis is concerned with the dynamics of homeomorphisms of the torus homotopic to Dehn twists. We prove that if $f$ is area preserving and it has a lift $\\hat$ to the cylinder with zero flux, then either $f$ is an annulus homeomorphism, or there are points in the cylinder with positive vertical velocity and others with negative vertical velocity, for iterates of $\\hat$. This solves a version of Boyland\'s conjecture to this setting. We extend some theorems we already obtained for Dehn twists with the area preservation hypothesis to a more general class. Finally, we also give a simple explicit condition which, when satisfied, implies that the vertical rotation set contains an interval and thus also implies positive topological entropy.

O sistema estomatognático identifica um conjunto de estruturas bucais que desenvolvem funções comuns, tendo como característica constante a participação da mandíbula. Como todo sistema, tem características que lhe são próprias, mas depende do funcionamento, ou está intimamente ligado à função de outros sistemas como o nervoso, o circulatório e o endócrino. Tanto nos estados de saúde como nos de enfermidade, o sistema estomatognático pode influir sobre o funcionamento de outros sistemas como o digestório, respiratório e o metabólico-endócrino. Várias são as doenças e eventos clínicos que podem acometer o sistema estomatognático, acarretando o seu desequilíbrio ou mau funcionamento. Este estudo teve como objetivo analisar a espessura muscular e a força de mordida em 20 indivíduos diagnosticados com toro mandibular (Grupo Casos) e em 20 indivíduos sem toro (Grupo Controles). Para a análise ultrassonográfica foi utilizado o ultrassom portátil da marca NanoMaxx, com um transdutor linear - L 25 - de 06 a 13 MHz e 23 mm. Foram adquiridas três imagens ultrassonográficas dos músculos masseter e temporal, de ambos os lados, na posição de repouso e de contração voluntária máxima. Os registros da força de mordida foram realizados utilizando o dinamômetro digital, modelo IDDK (Kratos). As avaliações foram feitas nas regiões do primeiro molar (direito e esquerdo). Verificou-se que, os indivíduos portadores de toro na mandíbula apresentaram espessura dos músculos temporais significantemente menores que a dos indivíduos do Grupo Controles, enquanto que, os resultados para a força de mordida máxima foram significativamente maiores para os indivíduos do Grupo Casos e que não ocorreram correlações entre as espessuras e a força de mordida. Concluiu-se que a presença de toro mandibular promoveu alterações no sistema estomatognático. / The stomatognathic system has a set of oral structures that develop common functions, having as a constant share of the jaw. Like any system, it has characteristics of its own, but depends on the functioning, or is closely linked to the function of other systems such as the nervous, circulatory and endocrine. Both the states of health and illness in the stomatognathic system can influence the operation of other systems such as the digestive, respiratory and metabolic - endocrine. There are many diseases and clinical events that may affect the stomatognathic system, causing your imbalance or dysfunction. This study aimed to analyze the muscle thickness and bite force in 20 individuals diagnosed with mandibular torus (Cases Group) and 20 individuals without torus (Controls Group). For the analysis we used the ultrasound portable NanoMaxx, with a linear transducer - L 25 - 06-13 MHz and 23 mm. Three ultrasound images were acquired from masseter and temporalis muscles on both sides, at rest and maximal voluntary contraction. The records of bite force were performed using the digital dynamometer, IDDK model (Kratos). The assessments were made in the regions of the first molar (right and left). It was found that individuals with mandibular torus showed temporalis muscles thickness significantly lower than Controls Group subjects, whereas the results for the maximum bite force were significantly higher for Cases Group subjects, and there were no correlations between the thicknesses and the bite force. It was concluded that the presence of mandibular torus promoted changes in the stomatognathic system.

Classificação das auto-aplicações de fibrados, com fibra toro, que preservam fibra sobre o círculo, com a propriedade de poderem ser deformadas sobre o círculo a uma aplicação livre de ponto fixo. Ainda, investigamos a relação entre o número de Reidemeister sobre o círculo e a propriedade acima / Classification of all fiber-preserving self-maps of torus bundles over the circle by the property of being able to deform them over the circle into a fixed point free map by a fiberwise homotopy over the circle. We also investigate the relationship between Reidemeister number over the circle and the property above

Estudaremos uma fam lia de sistemas hamiltonianos no R 4 , H : R 4 R, satisfazendo certas condi c oes, dependendo de um parametro . Iremos ca- racterizar algumas condi c oes sobre n veis de energia desse sistema, que nos permitem concluir existencia e destrui c ao de toros invariantes, em tais n veis de energia. Al em disso, podemos concluir que o fluxo hamiltoniano, restrito a esses n veis de energia, possui entropia topol ogica positiva. / We will study a family of Hamiltonian Systems in R 4 , satisfying certain conditions, H : R 4 R, depending of a parameter . We will characterize some conditions about the energy levels of this system, which allow us to conclude existence and destruction of invariant torus, at such energy levels. Moreover, we can conclude that the hamiltonian flow, restricted to these energy level, has positive topological entropy.

In this thesis we examine singularities of surfaces and affine Schubert varieties in the affine Grassmannian $mathcal{G}/mathcal{P}$ of type $A^{(1)}$, by considering the action of a particular torus $widehat{T}$ on $mathcal{G}/mathcal{P}$. Let $Sigma$ be an irreducible $widehat{T}$-stable surface in $mathcal{G}/mathcal{P}$ and let $u$ be an attractive $widehat{T}$-fixed point with $widehat{T}$-stable affine neighborhood $Sigma_u$. We give a description of the $widehat{T}$-weights of the tangent space $T_u(Sigma)$ of $Sigma$ at $u$, give some conditions under which $Sigma$ is nonsingular at $u$, and provide some explicit criteria for $Sigma_u$ to be normal in terms of the weights of $T_u(Sigma)$. We will also prove a conjecture regarding the singular locus of an affine Schubert variety in $mathcal{G}/mathcal{P}$. / Mathematics