Submitted by Reginaldo Soares de Freitas (reginaldo.freitas@ufv.br) on 2016-06-17T09:29:53Z No. of bitstreams: 1 texto completo.pdf: 602671 bytes, checksum: 8c12b029de1e7e375e71fb1e97bc9490 (MD5) / Made available in DSpace on 2016-06-17T09:29:53Z (GMT). No. of bitstreams: 1 texto completo.pdf: 602671 bytes, checksum: 8c12b029de1e7e375e71fb1e97bc9490 (MD5) Previous issue date: 2015-02-24 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / Nesta dissertação estudamos uma classe de equações elípticas tipo Yamabe em uma variedade Riemanniana compacta, sem bordo, de dimensão n ≥ 3. Tais equaçõoes tem sido alvo de investigações por décadas. Daremos ênfase a H1 -teoria de blow-up estudando sequências de Palais-Smale associadas com a equação crítica, definindo os pontos de blow-up e provando o teorema de decomposição em bolhas. / In this dissertation we study a class of elliptic Yamabe type equations on a compact Riemannian manifold, without boundary, of dimension n ≥ 3. Such equations have been the target of investigation for decades. The main focus will be on H1 -theory for the blow-up studying Palais-Smale sequences associated with the critical equation, defining the blow-up points and proving the theorem of decomposition in bubbles.

Este trabalho trata de estimativas inferiores para o primeiro autovalor do problema de Dirichlet para o Laplaciano para domínios relativamente compactos contidos em variedades riemannianas. Essas estimativas são obtidas com hipóteses sobre a curvatura seccional ou a curvatura de Ricci radial e a curvatura do bordo do domínio. / This paper deals of lower estimates for the first eigenvalue of the Dirichlet problem for the Laplacian for relatively compact domains contained in Riemannian manifolds. These estimates are obtained with assumptions on the sectional or Ricci radial curvature and the curvature of the boundary of the domain.

Este trabalho trata de estimativas inferiores para o primeiro autovalor de Dirichlet para dom nios multiplamente conexos contidos em variedades riemannianas. Essas estimativas consideram o supremo da curvatura seccional da variedade e a curvatura do bordo do domínio. Para obter os resultados, usa-se uma estimativa C0 para solucões da equação de Poisson. / Lower bounds for the rst Dirichlet eigenvalue are presented. We consider multiply connected domains in riemannian manifolds. The estimates are obtained using hypothesis on the supremum of the manifold's sectional curvature and on the domain's boundary curvature. C0 estimates for solutions of Poissons equation are used to prove the results.

Este trabalho trata de estimativas inferiores para o primeiro autovalor do problema de Dirichlet para o Laplaciano para domínios relativamente compactos contidos em variedades riemannianas. Essas estimativas são obtidas com hipóteses sobre a curvatura seccional ou a curvatura de Ricci radial e a curvatura do bordo do domínio. / This paper deals of lower estimates for the first eigenvalue of the Dirichlet problem for the Laplacian for relatively compact domains contained in Riemannian manifolds. These estimates are obtained with assumptions on the sectional or Ricci radial curvature and the curvature of the boundary of the domain.

Submitted by Johnny Rodrigues (johnnyrodrigues@ufcg.edu.br) on 2018-07-06T13:13:20Z No. of bitstreams: 1 JESUALDO GOMES DAS CHAGAS - DISSERTAÇÃO PPGMAT 2005..pdf: 575823 bytes, checksum: 521b6019d4248d58632cebebfe23bec8 (MD5) / Made available in DSpace on 2018-07-06T13:13:20Z (GMT). No. of bitstreams: 1 JESUALDO GOMES DAS CHAGAS - DISSERTAÇÃO PPGMAT 2005..pdf: 575823 bytes, checksum: 521b6019d4248d58632cebebfe23bec8 (MD5) Previous issue date: 2005-09 / Neste trabalho, estudamos a existência de infinitas soluções para o problema ∆u + |u| 4n−2 u = 0, u ∈ C 2(Rn), n ≥ 3, as quais possuem energia finita e que mudam de sinal. Para tanto, usaremos argumentos desenvolvidos por Ding [9]. Neste caso, resolveremos um problema, na esfera Sn, que é equivalente ao problema em questão. / In this work, we study the existence of infinite solutions to the problem ∆u + |u| 4n−2 u = 0, u ∈ C 2(Rn), n ≥ 3, which has finite energy and change sign. To do this, we use arguments developed by Ding [9]. In this case, we solve a problem, on sphere Sn, that is equivalent to theproblem in question.

Submitted by Johnny Rodrigues (johnnyrodrigues@ufcg.edu.br) on 2018-07-11T21:15:21Z No. of bitstreams: 1 MARCO ANTONIO LÁZARO VELÁSQUEZ - DISSERTAÇÃO PPGMAT 2007..pdf: 704392 bytes, checksum: 65d621d0e292ed7ae65f9c1d129b6200 (MD5) / Made available in DSpace on 2018-07-11T21:15:21Z (GMT). No. of bitstreams: 1 MARCO ANTONIO LÁZARO VELÁSQUEZ - DISSERTAÇÃO PPGMAT 2007..pdf: 704392 bytes, checksum: 65d621d0e292ed7ae65f9c1d129b6200 (MD5) Previous issue date: 2007-03 / Capes / Em problemas de otimização convexa e, de maneira geral, em problemas de inequações variacionais aparecem os conceitos de: trajetória central (definida por uma função barreira), algoritmo de ponto proximal generalizado (com distâncias de Bregman) e trajetória de Cauchy em variedades de Riemannianas. Nesta disertação são estudados os três conceitos e suas possíveis relações. Estas relações são dadas principalmente para programação linear. Primeiro é mostrado, com hipóteses adequadas, que a trajetória central está bem definida, é limitada, contínua, possui pontos de acumulação e converge para o centro analítico do conjunto de soluções. Depois, também com hipóteses adequadas, é provado que a seqüência gerada pelo algoritmo de ponto proximal generalizado converge para uma solução do problema de inequações varacionais. Um fato importante é quando a trajetória central é definida pela distância de Bregman como função barreira. Nestas considerações, é mostrado que a trajetória central e a seqüência gerada pelo algoritmo de ponto proximal generalizado convergem para o mesmo ponto. Além disso, para programação linear é mostrado que a seqüência gerada pelo algoritmo de ponto proximal generalizado está contida na trajetória central. Finalmente, é mostrado para programação linear que a trajetória central também coincide com a trajetória de Cauchy em variedades Riemannianas definidas em subconjuntos abertos de IRn com métrica dada pelo hessiano da função barreira. / In convex otimization problems and, more generally, in variational inequality problems appears concepts of: central paths defined by a barrier function, generalized proximal point algorithm with Bregman’s distances and Cauchy trajectory in Riemannian manifolds. In this work are studed these three concepts and its possible relationships. These relationships are showed principally to linear programming. First is showed, with adequate hypotheses, that a central path is well defined, is bounded, is continuos, have cluster points, these cluster points are solutions of variational inequality problems and converge to the analytic center of the solution set. Next, with adequate hypotheses too, is showed that a sequence generated by the generalized proximal point algorithm converge to someone solution of variational inequality problem. An important fact is when a central path is defined by the Bregman’s distance as a barrier function. In these cases, is showed that a central path and the sequence generated by the generalized proximal point algorithm converges to the same point. Furthermore, to linear programming is showed that the sequence generated by the generalized proximal point algorithm is contained in the central path. Finally, is showed to linear programming that a central path also coincides with a Cauchy trajectory in the Riemannian manifold defined on the open subsets ofIRn with metric given by the hessian of the barrier function.

Sejam M uma variedade de Hadamard com curvatura seccional KM ≤ −k2 < 0 e ∂ M sua fronteira assintótica. Dizemos que M satisfaz a condição de convexidade estrita se, dados x ∈ ∂∞M e W ⊂ ∂∞M aberto relativo contendo x, existe um aberto Ω ⊂ M de classe C2 tais que x ∈ Int (∂ Ω) ⊂ W e M \ Ω ´e convexo. Provamos que a condição de convexidade estrita implica que M éregular no infinito com relação ao operador Q[u] := div a(|∇u|) \ |∇u| ∇u definido no espa¸co de Sobolev W 1,p(M ), onde a ∈ C1([0, +∞)) satisfaz a(0) = 0, at(s) > 0 para todo s > 0, a(s) ≤ C (sp−1 + 1), ∀s ≥ 0, onde C > 0 é uma constante, e a(s) ≥ sq para algum q > 0 e para s ≈ 0 e supomos que é possível resolver problemas de Dirichlet em bolas (compactas) de M com dados contínuos no bordo. Segue disto que sob a condição de convexidade estrita, os problemas de Dirichlet para equação de hipersuperfície mínima e para o p-laplaciano, p > 1, são solúveis para qualquer dado contínuo prescrito no bordo assintótico. Também provamos que se M é rotacionalmente simétrica ou se inf BR+1 KM ≥ −e 2kR /R2+2 , R ≥ R∗, para certos R∗ e E > 0, então M satisfaz a condição de convexidade estrita. / Let M be Hadamard manifold with sectional curvature KM ≤ −k2, k > 0 and ∂∞M its asymptotic boundary. We say that M satisfies the strict convexity condition if, given x ∈ ∂∞M and a relatively open subset W ⊂ 2 ∂∞M containing x, there exists a C open subset Ω ⊂ M such that x ∈ Int (∂∞Ω) ⊂ W and M \ Ω is convex. We prove that the strict convexity condition implies that M is regular at infinity relative to the operator Q [u] := div a(|∇u|) \ |∇u| ∇u , defined on the Sobolev space W 1,p(M ), where a ∈ C 1 ([0, ∞)) satisfies a(0) = 0, at(s) > 0 for all s > 0, a(s) ≤ C (s p−1 + 1), ∀s ≥ 0, where C > 0 is a constant, and a(s) ≥ sq , for some q > 0 and for s ≈ 0 and we suppose that it is possible to solve Dirichlet problems on (compact) balls of M with continuous boundary data. It follows that under the strict convexity condition, the Dirichlet problems for the minimal hypersurface and the p-Laplacian, p > 1, equations are solvable for any prescribed continuous asymptotic boundary data. We also prove that if M is rotationally symmetric or if inf BR+1 KM ≥ −e2kR/R2+2 , R ≥ R∗, for some R∗ and E > 0, then M satisfies the SC condition.

Sejam M uma variedade de Hadamard com curvatura seccional KM ≤ −k2 < 0 e ∂ M sua fronteira assintótica. Dizemos que M satisfaz a condição de convexidade estrita se, dados x ∈ ∂∞M e W ⊂ ∂∞M aberto relativo contendo x, existe um aberto Ω ⊂ M de classe C2 tais que x ∈ Int (∂ Ω) ⊂ W e M \ Ω ´e convexo. Provamos que a condição de convexidade estrita implica que M éregular no infinito com relação ao operador Q[u] := div a(|∇u|) \ |∇u| ∇u definido no espa¸co de Sobolev W 1,p(M ), onde a ∈ C1([0, +∞)) satisfaz a(0) = 0, at(s) > 0 para todo s > 0, a(s) ≤ C (sp−1 + 1), ∀s ≥ 0, onde C > 0 é uma constante, e a(s) ≥ sq para algum q > 0 e para s ≈ 0 e supomos que é possível resolver problemas de Dirichlet em bolas (compactas) de M com dados contínuos no bordo. Segue disto que sob a condição de convexidade estrita, os problemas de Dirichlet para equação de hipersuperfície mínima e para o p-laplaciano, p > 1, são solúveis para qualquer dado contínuo prescrito no bordo assintótico. Também provamos que se M é rotacionalmente simétrica ou se inf BR+1 KM ≥ −e 2kR /R2+2 , R ≥ R∗, para certos R∗ e E > 0, então M satisfaz a condição de convexidade estrita. / Let M be Hadamard manifold with sectional curvature KM ≤ −k2, k > 0 and ∂∞M its asymptotic boundary. We say that M satisfies the strict convexity condition if, given x ∈ ∂∞M and a relatively open subset W ⊂ 2 ∂∞M containing x, there exists a C open subset Ω ⊂ M such that x ∈ Int (∂∞Ω) ⊂ W and M \ Ω is convex. We prove that the strict convexity condition implies that M is regular at infinity relative to the operator Q [u] := div a(|∇u|) \ |∇u| ∇u , defined on the Sobolev space W 1,p(M ), where a ∈ C 1 ([0, ∞)) satisfies a(0) = 0, at(s) > 0 for all s > 0, a(s) ≤ C (s p−1 + 1), ∀s ≥ 0, where C > 0 is a constant, and a(s) ≥ sq , for some q > 0 and for s ≈ 0 and we suppose that it is possible to solve Dirichlet problems on (compact) balls of M with continuous boundary data. It follows that under the strict convexity condition, the Dirichlet problems for the minimal hypersurface and the p-Laplacian, p > 1, equations are solvable for any prescribed continuous asymptotic boundary data. We also prove that if M is rotationally symmetric or if inf BR+1 KM ≥ −e2kR/R2+2 , R ≥ R∗, for some R∗ and E > 0, then M satisfies the SC condition.

Sejam M uma variedade de Hadamard com curvatura seccional KM ≤ −k2 < 0 e ∂ M sua fronteira assintótica. Dizemos que M satisfaz a condição de convexidade estrita se, dados x ∈ ∂∞M e W ⊂ ∂∞M aberto relativo contendo x, existe um aberto Ω ⊂ M de classe C2 tais que x ∈ Int (∂ Ω) ⊂ W e M \ Ω ´e convexo. Provamos que a condição de convexidade estrita implica que M éregular no infinito com relação ao operador Q[u] := div a(|∇u|) \ |∇u| ∇u definido no espa¸co de Sobolev W 1,p(M ), onde a ∈ C1([0, +∞)) satisfaz a(0) = 0, at(s) > 0 para todo s > 0, a(s) ≤ C (sp−1 + 1), ∀s ≥ 0, onde C > 0 é uma constante, e a(s) ≥ sq para algum q > 0 e para s ≈ 0 e supomos que é possível resolver problemas de Dirichlet em bolas (compactas) de M com dados contínuos no bordo. Segue disto que sob a condição de convexidade estrita, os problemas de Dirichlet para equação de hipersuperfície mínima e para o p-laplaciano, p > 1, são solúveis para qualquer dado contínuo prescrito no bordo assintótico. Também provamos que se M é rotacionalmente simétrica ou se inf BR+1 KM ≥ −e 2kR /R2+2 , R ≥ R∗, para certos R∗ e E > 0, então M satisfaz a condição de convexidade estrita. / Let M be Hadamard manifold with sectional curvature KM ≤ −k2, k > 0 and ∂∞M its asymptotic boundary. We say that M satisfies the strict convexity condition if, given x ∈ ∂∞M and a relatively open subset W ⊂ 2 ∂∞M containing x, there exists a C open subset Ω ⊂ M such that x ∈ Int (∂∞Ω) ⊂ W and M \ Ω is convex. We prove that the strict convexity condition implies that M is regular at infinity relative to the operator Q [u] := div a(|∇u|) \ |∇u| ∇u , defined on the Sobolev space W 1,p(M ), where a ∈ C 1 ([0, ∞)) satisfies a(0) = 0, at(s) > 0 for all s > 0, a(s) ≤ C (s p−1 + 1), ∀s ≥ 0, where C > 0 is a constant, and a(s) ≥ sq , for some q > 0 and for s ≈ 0 and we suppose that it is possible to solve Dirichlet problems on (compact) balls of M with continuous boundary data. It follows that under the strict convexity condition, the Dirichlet problems for the minimal hypersurface and the p-Laplacian, p > 1, equations are solvable for any prescribed continuous asymptotic boundary data. We also prove that if M is rotationally symmetric or if inf BR+1 KM ≥ −e2kR/R2+2 , R ≥ R∗, for some R∗ and E > 0, then M satisfies the SC condition.

Fundação de Apoio a Pesquisa e à Inovação Tecnológica do Estado de Sergipe - FAPITEC/SE / The main objective of this work is to show the existence of metrics with positive Ricci curvature in the class as a Riemannian metric with positive scalar curvature on compact manifolds of dimension 3 and 4. Catino-Djadli [ 3 ] and Gursky-Viaclovsky [ 13 ] showed that bends climbing and Ricci of a metric g satisfies an integral inequality in a three-dimensional compact manifold, then g is according to some metric of positive Ricci curvature. In the first article the authors work in three-dimensional manifolds and second manifolds 4 / O objetivo principal deste trabalho consiste em mostrar a existˆencia de m ́etricas com curva- tura de Ricci positiva na classe conforme de uma m ́etrica Riemanniana com curvatura escalar positiva em variedades compactas de dimens ̃ao 3 e 4. Catino-Djadli [3] e Gursky-Viaclovsky [13] mostraram que se as curvaturas escalar e de Ricci de uma métrica g satisfazem a uma desigualdade integral em uma variedade compacta tridimensional, então g é conforme a al- guma métrica de curvatura de Ricci positiva. No primeiro artigo os autores trabalham em variedades tridimensionais e no segundo em variedades de dimensão 4.