Nesta tese, estudamos feixes intensos não-contínuos de partículas carregadas. Na primeira parte, analisamos um feixe com simetria esférica e a sua relaxação para um estado quase-estacionário. Por ser um sistema com interação de longo alcance, a evolução do feixe e dominado pela dinâmica de Vlasov-Maxwell. Mostramos que o mecanismo de relaxação e a ressonância entre o movimento coletivo e o individual de algumas partículas. Fazemos uma analogia entre a dinâmica de Vlasov e um gás de férmions para modelar o estado quase estacionário. Os parâmetros do modelo são calculados usando princípios básicos, como os de conservação de energia e de partículas no transporte. Os resultados quando comparados com simulação mostram uma boa concordância. Na segunda parte, verificamos a estabilidade do modo de oscilação simétrico para um feixe esférico. Argumentamos que, quando esse modo for estável, o modelo para o estado quase-estacionário pode descrever feixes levemente anisotrópicos, o que e uma situação mais realista em experimentos. Constatamos que, num regime de interesse prático, esse modo e sempre estável. Por fim, estudamos um caso em que as forças focalizadoras externas são anisotrópicas, e o feixe tem simetria elipsoidal. Mostramos que, para certos valores dos parâmetros, há um forte acoplamento entre a dinâmica não-linear dos envelopes, o que causa uma troca de energia entre os graus de liberdade. Os resultados quando comparados com dinâmica molecular mostraram uma boa concordância. / In this thesis, we study intense bunched charged particle beams. In the rst part, we analyze a beam with spherical symmetry and its relaxation to a stationary state. The beam evolution follows the Vlasov-Maxwell dynamics since it is a system of long range interaction. We show that the main mechanism for the beam relaxation is a resonance between the collective beam motion and individual particle motion. We make an analogy between Vlasov dynamics and a Fermi gas to model the beam quasistationary state. The parameters of the model are calculated using basic principles, such as energy and particle conservation in the beam transport. The results compared with simulation showed a good agreement. In the second part, we verify the symmetric oscillation mode stability for a spherical beam. We argue that when this mode is stable, our model for the quasistationary state can also describe slightly anisotropic beams, a situation more realistic in experiments. We nd out that in situations of practical interest the mode is always stable. Finally, we study a situation in which the external focusing forces are anisotropic, and the beam has ellipsoidal symmetry. We show that, for certain values of the parameters, there is a strong coupling between the nonlinear envelopes dynamics, which causes exchange of energy between the degrees of freedom. The results compared with molecular dynamics showed a good agreement.

Nesta tese, estudamos feixes intensos não-contínuos de partículas carregadas. Na primeira parte, analisamos um feixe com simetria esférica e a sua relaxação para um estado quase-estacionário. Por ser um sistema com interação de longo alcance, a evolução do feixe e dominado pela dinâmica de Vlasov-Maxwell. Mostramos que o mecanismo de relaxação e a ressonância entre o movimento coletivo e o individual de algumas partículas. Fazemos uma analogia entre a dinâmica de Vlasov e um gás de férmions para modelar o estado quase estacionário. Os parâmetros do modelo são calculados usando princípios básicos, como os de conservação de energia e de partículas no transporte. Os resultados quando comparados com simulação mostram uma boa concordância. Na segunda parte, verificamos a estabilidade do modo de oscilação simétrico para um feixe esférico. Argumentamos que, quando esse modo for estável, o modelo para o estado quase-estacionário pode descrever feixes levemente anisotrópicos, o que e uma situação mais realista em experimentos. Constatamos que, num regime de interesse prático, esse modo e sempre estável. Por fim, estudamos um caso em que as forças focalizadoras externas são anisotrópicas, e o feixe tem simetria elipsoidal. Mostramos que, para certos valores dos parâmetros, há um forte acoplamento entre a dinâmica não-linear dos envelopes, o que causa uma troca de energia entre os graus de liberdade. Os resultados quando comparados com dinâmica molecular mostraram uma boa concordância. / In this thesis, we study intense bunched charged particle beams. In the rst part, we analyze a beam with spherical symmetry and its relaxation to a stationary state. The beam evolution follows the Vlasov-Maxwell dynamics since it is a system of long range interaction. We show that the main mechanism for the beam relaxation is a resonance between the collective beam motion and individual particle motion. We make an analogy between Vlasov dynamics and a Fermi gas to model the beam quasistationary state. The parameters of the model are calculated using basic principles, such as energy and particle conservation in the beam transport. The results compared with simulation showed a good agreement. In the second part, we verify the symmetric oscillation mode stability for a spherical beam. We argue that when this mode is stable, our model for the quasistationary state can also describe slightly anisotropic beams, a situation more realistic in experiments. We nd out that in situations of practical interest the mode is always stable. Finally, we study a situation in which the external focusing forces are anisotropic, and the beam has ellipsoidal symmetry. We show that, for certain values of the parameters, there is a strong coupling between the nonlinear envelopes dynamics, which causes exchange of energy between the degrees of freedom. The results compared with molecular dynamics showed a good agreement.

Beaucoup de méthodes numériques ont été développées pour résoudre l'équation de Vlasov, car obtenir des simulations numériques précises en un temps raisonnable pour cette équation est un véritable défi. Cette équation décrit en effet l'évolution de la fonction de distribution de particules (électrons/ions) qui dépend de 3 variables d'espace, 3 variables de vitesse et du temps. L'idée principale de cette thèse est de réécrire l'équation de Vlasov sous forme d'un système hyperbolique par semi-discrétisation en vitesse. Cette semi-discrétisation est effectuée par méthode d'éléments finis. Le modèle ainsi obtenu est appelé équation de Vlasov réduite. Nous proposons différentes méthodes numériques pour résoudre efficacement ce modèle: méthodes des volumes finis, méthodes semi-Lagrangiennes et méthodes Galerkin discontinus. / Many numerical methods have been developed in order to selve the Vlasov equation, because computing precise simulations in a reasonable time is a real challenge. This equation describes the time evolution of the distribution function of charged particles (electrons/ions), which depends on 3 variables in space, 3 in velocity and time. The main idea of this thesis is to rewrite the Vlasov equation in the form of a hyperbolic system using a semi-discretization of the velocity. This semi-discretization is achieved using the finite element method. The resulting model is called the reduced Vlasov equation. We propose different numerical methods to salve this new model efficiently: finite volume methods, semi-Lagrangian methods and discontinuous Galerkin methods.

Cette thèse décrit comment les ondes électromagnétiques se propagent dans les plasmas magnétisés, lorsque les fréquences sollicitées sont proches de la fréquence électron cyclotron. Elle porte sur l’analyse mathématique des variétés caractéristiques qui sont associées à des systèmes de type Vlasov-Maxwell relativiste avec paramètres rapides.La première partie s’intéresse aux plasmas froids des magnétosphères planétaires. On explique comment obtenir les relations de dispersion dans le cas d’un dipôle magnétique. Cela conduit à l’étude détaillée de certaines variétés algébriques de l’espace cotangent : les cônes et les sphères dits ordinaires et extraordinaires. La description géométrique de ces cônes et de ces sphères donne accès à une classification complète des ondes électromagnétiques susceptibles de se propager. Diverses applications sont proposées, concernant l’équation eikonale et l’absence de propagation en mode parallèle, ou encore concernant la structure des ondes dites en mode siffleur.La seconde partie porte sur la modélisation des plasmas chauds, typiquement ceux qui sont mis en jeu dans les tokamaks. On prouve dans un contexte réaliste que la propagation des ondes électromagnétiques s’effectue au travers d’un tenseur dielectrique. Ce tenseur est obtenu via une analyse fine des résonances cinétiques qui sont issues des interactions entre les particules (Vlasov) et les ondes (Maxwell). Il s’exprime comme une somme infinie d’intégrales singulières, faisant intervenir l’opérateur de Hilbert. Le sens mathématique de la formule donnant accès à ce tenseur est rigoureusement justifié. / This thesis describes how electromagnetic waves propagate in magnetized plasmas, when the frequencies are in a range around the electron cyclotron frequency. It focuses on the mathematical analysis of the characteristic varieties which are associated with relativistic Vlasov-Maxwell systems involving fast parameters. The first part is concerned with cold plasmas issued from planetary magnetospheres. We explain how to obtain the dispersion relations in the case where the magnetic field is given by a dipole model. This leads to the detailed study of some algebraic varieties from the cotangent space: the so-called ordinary and extraordinary cones and spheres. The geometrical description of these cones and spheres gives access to a complete classification of the electromagnetic waves which can propagate. Various applications are proposed, concerning the eikonal equation and the absence of purely parallel propagation, or concerning the structure of whistler waves. The second part focuses on the modelling of hot plasmas, typically like those involved in tokamaks. We prove in a realistic context that the propagation of electromagnetic waves is governed by some dielectric tensor. This tensor is obtain via some careful analysis of the kinetic resonances, which are issued from the interactions between the particles (Vlasov) and the waves (Maxwell). It can be expressed as an infinite sum of singular integrals, involving the Hilbert transform. The mathematical meaning of the formula defining this tensor is rigorously justified.

Les satellites artificiels baignent dans un environnement radiatif hostile qui conditionne en partie leur fiabilité et leur durée de vie en opération : les ceintures de Van Allen. Afin de les protéger, il est nécessaire de caractériser la dynamique des électrons énergétiques piégés dans les ceintures radiatives. Elle est déterminée essentiellement par les interactions entre les électrons énergétiques et les ondes électromagnétiques existantes. <br /><br />Le travail de cette thèse a consisté à concevoir un schéma numérique original pour la résolution du système d'équations modélisant ces interactions : les équations de Vlasov-Maxwell relativistes. Notre choix s'est orienté vers des méthodes d'intégration directe. Nous proposons trois nouvelles méthodes spectrales pour discrétiser en impulsion les équations : une méthode de Galerkin et deux méthodes de type collocation. Ces approches sont basées sur des fonctions de Hermite qui ont la particularité de dépendre d'un facteur d'échelle permettant d'obtenir une bonne résolution en vitesse. <br /><br />Nous présentons dans ce manuscript les calculs conduisant à la discrétisation et à la résolution du problème de Vlasov-Poisson monodimensionnel ainsi que les résultats numériques obtenus. Puis nous étudions les extensions possibles des méthodes au problème complet relativiste. Afin de réduire les temps de calcul, une parallélisation et une optimisation des algorithmes ont été mises en \oe uvre. Enfin, les calculs de validation du code 1Dx-3Dv, à partir d'instabilités de types Weibel et whistlers, à une ou deux espèces d'électrons, sont détaillés.

Cette thèse propose différentes méthodes numériques permettant de simuler le comportement des plasmas ou des faisceaux de particules chargées à coût réduit. Le mouvement de particules chargées soumises à un champ électromagnétique est régi par l'équation de Vlasov. Celle-ci est couplée aux équations de Maxwell pour le champ électromagnétique ou à l'équation de Poisson dans un cas simplifié. Plusieurs types de modèles existent pour résoudre ce système. Dans les modèles cinétiques, les particules sont représentées par une fonction de distribution f(x,v,t) qui vérifie l'équation de Vlasov. Dans le cas général tridimensionnel (3D), le système fait apparaître 7 variables. Les calculs sur ordinateur deviennent rapidement très lourds. Les modèles fluides de plasma s'intéressent quant à eux à des quantités macroscopiques déduites de f par des intégrales en vitesse, telles que la densité, la vitesse moyenne et la température. Ces quantités ne dépendent que de la position x et du temps t. Le coût numérique est ainsi réduit, mais la précision s'en trouve altérée. Dans la première partie de cette thèse, une méthode multi-fluides est utilisée pour la résolution du système de Vlasov-Poisson 1D. Elle est basée sur la connaissance a priori de la forme prise par la fonction de distribution f. Deux possibilités sont étudiées : une somme de masse de Dirac et le modèle multi-water-bag. Ce type de méthodes est plutôt adapté aux systèmes restant proches de l'état d'équilibre. La deuxième partie propose de décomposer f en une partie d'équilibre et une perturbation. L'équilibre est résolu par une méthode fluide alors que la perturbation est résolue par une méthode cinétique. On construit notamment un schéma préservant l'asymptotique pour le système de Vlasov-Poisson-BGK, basé sur une telle décomposition. On étudie dans la troisième partie la méthode Particle-In-Cell (PIC) en géométrie 2D axisymétrique. Un travail basé sur l'analyse isogéométrique est présenté, ainsi qu'un code PIC - Galerkin Discontinu parallélisé sur carte graphique (GPU). Cette architecture permet de réduire de manière significative les temps de calculs.