This work presents several results on curves of Hurwitz type, defined over a finite field. In 1961, Tallini investigated plane irreducible curves of minimum degree containing all points of the projective plane PG(2,q) over a finite field of order q. We prove that such curves are Fq3(q2+q+1)-projectively equivalent to the Hurwitz curve of degree q+2, and compute some of itsWeierstrass points. In addition, we prove that when q is prime the curve is ordinary, that is, the p-rank equals the genus of the curve. We also compute the automorphism group of such curve and show that some of the quotient curves, arising from some special cyclic automorphism groups, are still curves of Hurwitz type. Furthermore, we solve the problem of explicitly describing the set of all Weierstrass pure gaps supported by two or three special points on Hurwitz curves. Finally, we use the latter characterization to construct Goppa codes with good parameters, some of which are current records in the Mint table. / Este trabalho apresenta vários resultados em curvas do tipo Hurwitz, definidas sobre um corpo finito. Em 1961, Tallini investigou curvas planas irredutíveis de grau mínimo contendo todos os pontos do plano projetivo PG(2,q) sobre um corpo finito de ordem q. Provamos que tais curvas são Fq3(q2+q+1)-projetivamente equivalentes à curva de Hurwitz de grau q+2, e calculamos alguns de seus pontos de Weierstrass. Em adição, provamos que, quando q é primo, a curva é ordinária, isto é, o p-rank é igual ao gênero da curva. Também calculamos o grupo de automorfismos desta curva e mostramos que algumas das curvas quocientes, construídas a partir de certos grupos cíclicos de automorfismos, são ainda curvas do tipo Hurwitz. Além disso, solucionamos o problema de descrever explicitamente o conjunto de todos os gaps puros de Weierstrass suportados por dois ou três pontos especiais em curvas de Hurwitz. Finalmente, usamos tal caracterização para construir códigos de Goppa com bons parâmetros, sendo alguns deles recordes na tabela Mint.

Orientador: Marcos Benevenuto Jardim / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-24T02:07:51Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Castilho_TiagoNunes_D.pdf: 20018125 bytes, checksum: 181cd44948098969af37059c2215917a (MD5) Previous issue date: 2013 / Resumo: Esta tese trata de variedades de Prym e de semigrupos de Weierstrass, ambos no contexto de recobrimentos duplos de curvas ramificados. A partir da descrição da variedade de Prym em termos de um conjunto de fibrações lineares do recobrimento, estuda-se a dualidade entre o lugar onde a aplicação de Gauss sobre o divisor Prym-Theta se degenera e o divisor de ramos do recobrimento duplo, em que provarse uma relação entre as fibras da aplicação de Gauss e os semigrupos de Weierstrass das ramificações do recobrimento / Abstract: ln this thesis we present results about Prym varieties and Weierstrass semigroups, both in the context of ramified double covers of curves. From the description of the Prym variety by a set of linear fibrations, we study the duality between the place where the Gauss map on the Prym-Theta divisor degenerates and the branch divisor of the double covering, in which we prove a relation between the fibers of the Gauss map and the Weierstrass semigroups of branched points of the double covering / Doutorado / Matematica / Doutor em Matemática

FundaÃÃo Cearense de Apoio ao Desenvolvimento Cientifico e TecnolÃgico / Le but de ce travaill est de montrer que si une courbe est non trigonale, nous pouvouns obtenir a travers du theoreme de Petri un ensemble minimal de generateurs pour son ideal canonique et aussi obtenir un critere de non trigonalite. Pour demontrer ces faits, le travail contient deux parties. Premierement, il developpe certains resultats de semigroupes numeriques et leur relation avec la theorie classique des courbes algebriques. Ensuite il obtient une base monomial pour l'espace des dierentielles reguliers de ordre arbitraire. Le travail sera guide par l'article: "Weierstrass Semigroups and the canonical ideal of non-trigonal curves" de l'auteur Gilvan Oliveira. / O objetivo deste trabalho à mostrar que se uma curva à nÃo-trigonal, podemos obter atravÃs do teorema de Petri um conjunto mÃnimo de geradores para o seu ideal canÃnico e tambÃm conseguir um critÃrio de nÃo-trigonalidade. Para demonstrar esses fatos, o trabalho possui dois momentos. Primeiro desenvolve alguns resultados de semigrupos numÃricos e a sua relaÃÃo com a teoria clÃssica de curvas algÃbricas, para em seguida obter uma base monomial para o espaÃo de diferenciais regulares de ordem arbitrÃria. O trabalho serà norteado pelo artigo de tÃtulo: "Weierstrass Semigroups and the canonical ideal of non-trigonal curves" do autor Gilvan Oliveira.

Cette these a pour theme la geometrie des courbes algebriques et de leur jacobienne (en caracteristique zero). Elle a, en particulier, pour objet l'etude du groupe engendre dans la jacobienne par les points de Weierstrass pour certaines courbes planes lisses de genre trois. Nous determinons ce groupe pour certaines familles de courbes de genre trois. Pour ce faire, nous procedons en deux etapes. Nous utilisons tout d'abord la geometrie de la courbe et de sa jacobienne pour restreindre le groupe cherche. Les restrictions obtenues par ces arguments geometriques s'avereront etre optimales. Pour demontrer cela, nous utilisons differentes techniques: dans la deuxieme partie, nous appliquons une descente explicite via une isogenie; dans la troisieme partie, nous utilisons des arguments de reduction modulo un nombre premier. Lorsque nous nous interessons a des familles, ces restrictions ``d'ordre geometrique'' s'obtiennent pour toute la famille. Par contre, les techniques mises en oeuvre lors de la seconde etape ne nous donnent le resultat que pour une courbe particuliere. Dans chaque cas, un argument de specialisation nous permet de conclure. De plus, nous determinons ce groupe pour la seule quartique, autre que le quartique de Fermat, possedant le nombre minimal de points de Weierstrass, a savoir douze; la encore, la geometrie de la jacobienne intervient dans la determination de ce groupe. Ces calculs nous permettent de donner des estimations sur le rang de ce groupe et sur la partie de torsion dans le cas d'une quartique generique, selon le nombre de points d'hyper-inflexion (c'est-a-dire de points de la courbe ou la tangente a multiplicite d'intersection quatre avec la courbe).

ROCHA, Ravik Mesquita Moreira da. Semigrupos de Weierstrass e o ideal canônico de curvas não-trigonais. 2015. 68 f. Dissertação (Mestrado em Matemática) - Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2015. / Submitted by Erivan Almeida (eneiro@bol.com.br) on 2015-09-23T16:20:28Z No. of bitstreams: 1 2015_dis_rmmrocha.pdf: 944195 bytes, checksum: d936b6124752f6fbc8c18d133f5d81cd (MD5) / Approved for entry into archive by Rocilda Sales(rocilda@ufc.br) on 2015-09-23T16:24:24Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2015_dis_rmmrocha.pdf: 944195 bytes, checksum: d936b6124752f6fbc8c18d133f5d81cd (MD5) / Made available in DSpace on 2015-09-23T16:24:24Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2015_dis_rmmrocha.pdf: 944195 bytes, checksum: d936b6124752f6fbc8c18d133f5d81cd (MD5) Previous issue date: 2015 / O objetivo deste trabalho é mostrar que se uma curva é não-trigonal, podemos obter através do teorema de Petri um conjunto mínimo de geradores para o seu ideal canônico e também conseguir um critério de não-trigonalidade. Para demonstrar esses fatos, o trabalho possui dois momentos. Primeiro desenvolve alguns resultados de semigrupos numéricos e a sua relação com a teoria clássica de curvas algébricas, para em seguida obter uma base monomial para o espaço de diferenciais regulares de ordem arbitrária. O trabalho será norteado pelo artigo de título: "Weierstrass Semigroups and the canonical ideal of non-trigonal curves" do autor Gilvan Oliveira. / Le but de ce travaill est de montrer que si une courbe est non trigonale, nous pouvouns obtenir a travers du th eor eme de Petri un ensemble minimal de g en erateurs pour son id eal canonique et aussi obtenir un crit ere de non trigonalit e. Pour d emontrer ces faits, le travail contient deux parties. Premi erement, il d eveloppe certains r esultats de semigroupes num eriques et leur relation avec la th eorie classique des courbes alg ebriques. Ensuite il obtient une base monomial pour l'espace des di erentielles r eguliers de ordre arbitraire. Le travail sera guid e par l'article: "Weierstrass Semigroups and the canonical ideal of non-trigonal curves" de l'auteur Gilvan Oliveira.

Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2015. / Submitted by Raquel Viana (raquelviana@bce.unb.br) on 2015-10-27T18:39:19Z No. of bitstreams: 1 2015_RicardoEdmundoZamoraVargas.pdf: 5385234 bytes, checksum: b50a9906f3a7644b3dcaca8825522885 (MD5) / Approved for entry into archive by Marília Freitas(marilia@bce.unb.br) on 2015-12-20T16:06:46Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2015_RicardoEdmundoZamoraVargas.pdf: 5385234 bytes, checksum: b50a9906f3a7644b3dcaca8825522885 (MD5) / Made available in DSpace on 2015-12-20T16:06:46Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2015_RicardoEdmundoZamoraVargas.pdf: 5385234 bytes, checksum: b50a9906f3a7644b3dcaca8825522885 (MD5) / Neste trabalho, apresentamos um estudo da geometria de Laguerre no espaço Euclidiano, apresentando a geometria de esferas e planos orientados, bem como das transformações de Laguerre. Através deste estudo, apresentamos as superfícies e a métrica de Laguerre, cujo elemento de volume é conhecido como funcional de Laguerre. Em seguida, estudamos superfícies mínimas generalizadas de Laguerre, isto é, superfícies que são pontos críticos deste funcional e que admitem pontos isolados com curvatura zero. Analogamente à representação de Weierstrass para superfícies mínimas apresentamos uma representação do tipo Weierstrass que permite descrever globalmente as superfícies mínimas de Laguerre generalizadas usando três dados: uma função meromorfa, uma forma holomorfa e uma função real harmônica. Tal representação é chamada de representação conforme e coincide com a representação de Weierstrass quando a função real harmônica é nula. / In this work, we present a study of Laguerre geometry in Euclidean space, presenting the geometry of oriented spheres and planes, as well as the Laguerre transformations. Through this study, we present the Laguerre surfaces and the Laguerre metric , whose volume element is known as the Laguerre functional. Then, study generalized Laguerre minimal surfaces, i.e. surfaces which are critical points of this functional and which allow isolated points with curvature zero. Similarly to the Weierstrass representation for minimal surfaces, we present a kind of Weierstrass representation that allows describe globally generalized Laguerre minimal surfaces using three data: a meromorphic function, a holomorphic form and a real harmonic function. This representation is called conformal representation and coincides with the Weierstrass representation when the harmonic real function is zero.

Made available in DSpace on 2014-06-12T18:33:03Z (GMT). No. of bitstreams: 2 arquivo8678_1.pdf: 651005 bytes, checksum: ec2e9b73a9128d7f8de4f13552fd4339 (MD5) license.txt: 1748 bytes, checksum: 8a4605be74aa9ea9d79846c1fba20a33 (MD5) Previous issue date: 2006 / Neste trabalho mostramos alguns dos principais resultados acerca do número de pontos omitidos pela aplicação normal de Gauss de superfícies mínimas regulares completas. Começamos com uma das versões do teorema de Bernstein e citamos os resultados conseguidos, no sentido de seu melhoramento, por Osserman, Xavier e Fujimoto. Por fim introduzimos o teorema de Mo-Osserman o qual se caracteriza como uma extensão do teorema de Fujimoto

This thesis aims to prove the following statement, where the Weierstrass p-function has algebraic invariants and complex multiplication by Q(alpha): "If beta_1,..., beta_n are algebraic numbers which are linearly independent over Q(alpha), then p(beta_1),...,p(beta_n) are algebraically independent over Q." This was proven by Philippon in 1983, and the proof in this thesis follows his ideas. The difference lies in the strength of the tools used, allowing certain arguments to be simplified. This thesis shows that the above result is equivalent to imposing the restriction (beta_1,...,beta_n)=(1,beta,...,beta^{n-1}), where n=[Q(alpha,beta):Q(alpha)]. The core of the proof consists of developing height estimates, constructing representations for morphisms between products of elliptic curves, and finding height and degree estimates on large families of polynomials which are small at a point in Q(alpha,beta,g_2,g_3)(p(1),p'(1),...,p(beta^{n-1}),p'(beta^{n-1})). An application of Philippon's zero estimate (1986) and his criterion of algebraic independence (1984) is then used to obtain the main result.

The intent of this thesis is to explore whether any patterns emerge among families or through graph operations regarding the appearance of Weierstrass vertices on graphs. Currently, patterns have been identified and proven on cycles, complete graphs, complete bipartite graphs, and the house and house-x graphs. A Python program developed as part of this thesis to perform the algorithms used in this analysis confirms these findings. This program also revealed a pattern: if v is a Weierstrass vertex, then the vertex v* added to the graph as a pendant vertex to v is also a Weierstrass vertex. The converse is also true: if v is not a Weierstrass vertex, v* will not be either.

Nesta dissertação, estudamos o problema de Björling para superfícies de tipo tempo nos espaços de métrica indefinida R^4_1 e R^4_2. Após apresentar uma versão paracomplexa do teorema de representação de Weierstrass para superfícies mínimas de tipo tempo, utilizamos esse teorema para obter uma fórmula de representação para as soluções desse problema de Björling, e através de extensões paraholomorfas dos dados iniciais do problema mostramos que a solução dada por essa fórmula é localmente única. Em seguida, apresentamos duas possíveis maneiras de se obter simetrias para soluções desse problema de Björling: através de uma versão paracomplexa do princípio de reflexão de Schwarz, e através de reflexões ao longo de k-planos que intersectam ortogonalmente a superfície. / In this dissertation, we study the Björling problem for timelike surfaces in the spaces of indefinite metric R^4_1 and R^4_2. After presenting a split-complex version of the Weierstrass representation theorem for minimal timelike surfaces, we use this theorem to obtain a representation formula for the solutions of this Björling problem, and through split-holomorphic extensions of the problems initial data we show that the solution given by this formula is locally unique. Following this, we present two possible methods through which symmetries for the solutions of this Björling problem may be obtained: through a split-complex version of the Schwarz reflection principle, and through reflections alongside k-planes that intersect the surface orthogonally.