Die maximal supersymmetrische Yang-Mills-Theorie im vierdimensionalen Minkowski-Raum ist ein außergewöhnliches Modell der mathematischen Physik. Dies gilt vor allem im planaren Limes, in dem die Theorie integrabel zu sein scheint. So sind etwa ihre Streuamplituden auf Baumgraphenniveau Invarianten einer Yangschen Algebra, die die superkonforme Algebra psu(2,2|4) beinhaltet. Diese unendlichdimmensionale Symmetrie ist ein Kennzeichen für Integrabilität. In dieser Dissertation untersuchen wir Verbindungen zwischen solchen Amplituden und integrablen Modellen, um Grundlagen für eine effiziente, auf der Integrabilität basierende Berechnung von Amplituden zu legen. Dazu charakterisieren wir Yangsche Invarianten innerhalb der Quanten-Inverse-Streumethode, die Werkzeuge zur Behandlung integrabler Spinketten bereitstellt. In diesem Rahmen entwickeln wir Methoden zur Konstruktion Yangscher Invarianten. Wir zeigen, dass der algebraische Bethe-Ansatz für die Erzeugung von Yangschen Invarianten für u(2) anwendbar ist. Die zugehörigen Bethe-Gleichungen lassen sich leicht lösen. Unser Zugang erlaubt es zudem diese Invarianten als Zustandssummen von Vertexmodellen zu interpretieren. Außerdem führen wir ein unitäres Graßmannsches Matrixmodell zur Berechnung Yangscher Invarianten mit Oszillatordarstellungen von u(p,q|m) ein. In einem Spezialfall reduziert es sich zu dem Brezin-Gross-Witten-Model. Wir wenden eine auf Bargmann zurückgehende Integraltransformation auf unser Matrixmodell an, welche die Oszillatoren in Spinor-Helizitäts-artige Variablen überführt. Dadurch gelangen wir zu einer Weiterentwicklung der Graßmann-Integralformulierung bestimmter Amplituden. Die maßgeblichen Unterschiede sind, dass wir in der Minkowski-Signatur arbeiten und die Integrationskontur auf die unitäre Gruppenmannigfaltigkeit festgelegt ist. Wir vergleichen durch unser Integral gegebene Yangsche Invarianten mit Amplituden und kürzlich eingeführten Deformationen derselben. / The maximally supersymmetric Yang-Mills theory in four-dimensional Minkowski space is an exceptional model of mathematical physics. Even more so in the planar limit, where the theory is believed to be integrable. In particular, the tree-level scattering amplitudes were shown to be invariant under the Yangian of the superconformal algebra psu(2,2|4). This infinite-dimensional symmetry is a hallmark of integrability. In this dissertation we explore connections between these amplitudes and integrable models. Our aim is to lay foundations for an efficient integrability-based computation of amplitudes. To this end, we characterize Yangian invariants within the quantum inverse scattering method, which is an extensive toolbox for integrable spin chains. Making use of this setup, we develop methods for the construction of Yangian invariants. We show that the algebraic Bethe ansatz can be specialized to yield Yangian invariants for u(2). Our approach also allows to interpret these Yangian invariants as partition functions of vertex models. What is more, we establish a unitary Graßmannian matrix model for the construction of u(p,q|m) Yangian invariants with oscillator representations. In a special case our formula reduces to the Brezin-Gross-Witten model. We apply an integral transformation due to Bargmann to our unitary Graßmannian matrix model, which turns the oscillators into spinor helicity-like variables. Thereby we are led to a refined version of the Graßmannian integral formula for certain amplitudes. The most decisive differences are that we work in Minkowski signature and that the integration contour is fixed to be a unitary group manifold. We compare Yangian invariants defined by our integral to amplitudes and recently introduced deformations thereof.

Inspiriert von den integrablen Strukturen der schwach gekoppelten planaren N=4 Super-Yang-Mills-Theorie studieren wir Q-Operatoren und Yangsche Invarianten. Wir geben eine Übersicht der Quanten-Inverse-Streumethode zusammen mit der Yang-Baxter Gleichung welche zentral für diesen systematischen Zugang zu integrablen Modellen ist. Den Fokus richten wir auf rationale integrable Spinketten und Vertexmodelle. Wir besprechen einige ihrer bekannten Gemeinsamkeiten und wie sie durch Bethe-Ansatz-Methoden mit Hilfe sogenannter Q-Funktionen gelöst werden können. Der Hauptteil basiert auf den ursprünglichen Publikationen des Autors. Zuerst konstruieren wir Q-Operatoren, deren Eigenwerte zu den Q-Funktionen rationaler homogener Spinketten führen. Die Q-Operatoren werden als Spuren gewisser Monodromien von R-Operatoren eingeführt. Unsere Konstruktion erlaubt es uns die Hierarchie der kommutierenden Q-Operatoren und ihre funktionalen Beziehungen herzuleiten. Wir studieren wie der nächste-Nachbarn Hamiltonoperator, sowie höhere lokale Ladungen direkt aus den Q-Operatoren extrahiert werden können. Danach widmen wir uns der Formulierung der Yangschen Invarianzbedingung, wie sie auch im Zusammenhang mit Baumgraphen die bei der Berechnung von Streuamplituden in der N=4 Super-Yang-Mills-Theorie auftreten, innerhalb der RTT-Realisierung. Dies erlaubt es uns den algebraischen Bethe-Ansatz anzuwenden und die dazugehörigen Bethe Gleichungen herzuleiten, welche für die Konstruktion der Eigenzustände die Yangsche Invarianz aufweisen, relevant sind. Die Komponenten dieser Eigenzustände der von uns betrachteten Spinketten können außerdem als Zustandssummen gewisser zweidimensionaler Vertexmodelle angesehen werden. Zudem analysieren wir die Verbindung zwischen den Eigenzuständen und den oben genannten Baumgraphen. Schlussendlich diskutieren wir die von uns vorgelegten Ergebnisse und deren Folgen im Hinblick auf die Erforschung der planaren N=4 Super-Yang-Mills-Theorie. / Inspired by the integrable structures appearing in weakly coupled planar N=4 super Yang-Mills theory, we study Q-operators and Yangian invariants of rational integrable spin chains. We review the quantum inverse scattering method QISM along with the Yang-Baxter equation which is the key relation in this systematic approach to study integrable models. Our main interest concerns rational integrable spin chains and lattice models. We recall the relation among them and how they can be solved using Bethe ansatz methods incorporating so-called Q-functions. In order to remind the reader how the Yangian emerges in this context, an overview of its so-called RTT-realization is provided. The main part is based on the author''s original publications. Firstly, we construct Q-operators whose eigenvalues yield the Q-functions for rational homogeneous spin chains. The Q-operators are introduced as traces over certain monodromies of R-operators. Our construction allows us to derive the hierarchy of commuting Q-operators and the functional relations among them. We study how the nearest-neighbor Hamiltonian and in principle also higher local charges can be extracted from the Q-operators directly. Secondly, we formulate the Yangian invariance condition, also studied in relation to scattering amplitudes of N=4 super Yang-Mills theory, in the RTT-realization. We find that Yangian invariants can be interpreted as special eigenvectors of certain inhomogeneous spin chains. This allows us to apply the algebraic Bethe ansatz and derive the corresponding Bethe equations that are relevant to construct the invariants. We examine the connection between the Yangian invariant spin chain eigenstates whose components can be understood as partition functions of certain two-dimensional lattice models and tree-level scattering amplitudes of the four-dimensional gauge theory. Finally, we conclude and discuss some future directions and implications of our studies for planar N=4 super Yang-Mills theory.

Diese Arbeit untersucht die N = 4 super-Yang-Mills-Theorie bei schwacher Kopplung, mit dem Ziel eines tieferen Verständnisses von Größen der Theorie als Zustände des integrablen Modells dass der planaren Theorie zu Grunde liegt. Wir leiten On-Shell-Diagramme für Formfaktoren des chiralen Energie-Impuls-Tensor-Multipletts aus der BCFW-Rekursion her, und untersuchen deren Eigenschaften. Dies erlaubt die Herleitung eines Graßmannschen Integrals. Für NMHV-Formfaktoren bestimmen wir die Integrationskontur. Dies erlaubt es das Integral mit einer Twistor-String-Formulierung in Beziehung zu setzen. Mit Hilfe dieser Methoden zeigen wir dass Formfaktoren des chiralen Energie-Impuls-Tensor-Multipletts und On-Shell-Funktionen mit Einfügungen beliebiger Operatoren Eigenzustände integrabler Transfermatrizen sind. Diese Identitäten verallgemeinern die Yangsche Invarianz der On-Shell-Funktionen von Amplituden. Wir zeigen weiterhin dass ein Teil der Yangschen Symmetrien erhalten bleibt. Wir erweitern unsere Untersuchung auf nichtplanare On-Shell-Funktionen und zeigen dass sie ebenfalls solche Symmetrien besitzen. Weitere Identitäten mit Transfermatrizen werden hergeleitet, und zeigen insbesondere dass Diagramme auf Zylindern als Intertwiner fungieren. Als Schritt hin zur Berechnung der Eigenzustände des integrablen Modells zu höheren Schleifenordnungen untersuchen wir Einspuroperatoren. Hier erlaubt die Quantum Spectral Curve die nichtperturbative Berechnung ihres Spektrums, liefert jedoch keine Information zu den Zustände. Die QSC kann als Q-System verstanden werden, welches durch Baxter Q-Operatoren formulierbar sein sollte. Um darauf hinzuarbeiten untersuchen wir die Q-Operatoren nichtkompakter Superspinketten und entwickeln ein effiziente Methode zur Berechnung ihrer Matrixelemente. Dies erlaubt es das gesamte Q-System durch Matrizen für jeden Anregungssektor zu realisieren, und liefert die Grundlage für perturbative Rechnungungen mit der QSC in Operatorform. / This thesis investigates weakly coupled N = 4 super Yang-Mills theory, aiming at a better understanding of various quantities as states of the integrable model underlying the planar theory. We use the BCFW recursion relations to develop on-shell diagrams for form factors of the chiral stress-tensor multiplet, and investigate their properties. The diagrams allow to derive a Graßmannian integral for these form factors. We devise the contour of this integral for NMHV form factors, and use this knowledge to relate the integral to a twistor string formulation. Based on these methods, we show that both form factors of the chiral stress-tensor multiplet as well as on-shell functions with insertions of arbitrary operators are eigenstates of integrable transfer matrices. These identities can be seen as symmetries generalizing the Yangian invariance of amplitude on-shell functions. In addition, a part of these Yangian symmetries are unbroken. We furthermore consider nonplanar on-shell functions and prove that they exhibit a partial Yangian invariance. We also derive identities with transfer matrices, and show that on-shell diagrams on cylinders can be understood as intertwiners. To make progress towards the calculation of the higher loop eigenstates of the integrable model, we consider single trace operators, for which the Quantum Spectral Curve determines their spectrum non-perturbatively. This formulation however carries no information about the states. The QSC is an algebraic Q-system, for which an operatorial form in terms of Baxter Q-operators should exist. To initiate the development such a formulation we investigate the Q-operators of non-compact super spin chains and devise efficient methods to evaluate their matrix elements. This allows to obtain the entire Q-system in terms of matrices for each magnon sector. These can be used as input data for perturbative calculations using the QSC in operatorial form.