Cette thèse traite des problèmes associés à la théorie de grossissement de filtration. Elle est divisée en deux parties.La première partie est consacrée aux temps aléatoires. On étudie les propriétés des différentes classes de temps aléatoires du point de vue du grossissement de la filtration.La deuxième partie concerne l'étude de la stabilité de condition d'arbitrage sur le grossissement de la filtration. On se concentre sur la condition no unbounded profit with bounded risk. Dans un premier temps, on étudie l'absence d'arbitrage dans le cas de grossissement progressif avec un temps aléatoire. Puis on regarde le grossissement initial avec une variable aléatoire qui vérifie l'hypothèse de Jacod. / This thesis treats the problems settled in elargement of filtration theory. It consists of two parts.The first part is devoted to random times. We study the properties of different classes of random times from enlargement of filtration point of view.The second part concerns the study of the stability of the non-arbitrage condition under anlargement of filtration. We are mainly interested in no bounded profit with bounded risk condition. We study absence of arbitrage in the case progressive enlargement up to random time. Then we look at the case of initial enlargement with random variable satisfying Jacod's hypothesis.

Cette thèse a pour objet d’étude divers modèles de marches aléatoires sur les arbres aléatoires.Nous nous sommes consacrés principalement aux aspects qui relevaient à la fois de la théorie des probabilités et de la théorie ergodique. Notre premier modèle est celui des marches aléatoires sur les arbres à longueurs récursives(qui généralise un modèle apparaissant dans un travail récent de Curien et Le Gall). Nous montrons pour ce modèle sous des conditions très générales qu’un phénomène appelé « chute de dimension » se produit pour la mesure harmonique et donnons une formule assez explicite permettant de calculer cette dimension.En utilisant les outils développés pour ce dernier modèle, nous nous intéressons à la marche aléatoire lambda-biaisée sur un arbre de Galton-Watson infini, pour lequel de nombreuses conjectures sont toujours ouvertes. Notre approche nous permet de calculer la dimension de la mesure harmonique en fonction de la loi de la conductance de l’arbre. C’est un résultat nouveau qui nous permet de vérifier numériquement certaines de ces conjectures ouvertes.Le reste de la thèse porte sur un modèle très riche appelé marche aléatoire sur un arbre pondéré aléatoire. D’abord dans le cas transient, où nous montrons par une approche différente de celle des parties précédentes que le phénomène de chute de dimension se produit. Puis sur un cas récurrent appelé sous-diffusif, où nous nous intéressons à la vitesse de convergence vers 0 de la conductance entre la racine et le niveau n de l’arbre lorsque n tend vers l’infini. Nous montrons que la loi limite de cette conductance renormalisée par son espérance est la limite de la martingale de Mandelbrot. / The subject of this thesis is the study of various models of random walks on random trees, with an emphasis on the aspects that fall at the intersection of probability theory and ergodic theory. We called our first model “random walks on Galton-Watson trees with recursive lengths”.It generalizes a model appearing in a recent work by Curien and Le Gall. We show that under fairly general assumptions, a phenomenon called “dimension drop” holds for this model and we give a formula for this dimension. Using the tools developed for the study of the previous model, we turn to the case oft ransient lambda-biased random walks on infinite Galton-Watson trees, for which many famous problems are still open. Our approach allows us to compute the dimension of the harmonic measure as a function of the law of the conductance of the tree. With this new result, we check numerically the validity of some twenty-year-old conjectures.The remainder of this thesis is about a very rich model called random walk on a random weighted Galton-Watson tree. First, we study the transient case, where we show with a different method than in the previous parts, that the dimension drop phenomen on occurs. Then we turn to a recurrent case called subdiffusive and we investigate the rate of decay of the conductance between the root and the n-th level of the tree, as n goes to infinity. We prove that this conductance, suitably renormalized converges to the limit of the Mandelbrot martingale.

Les réseaux complexes sont un paradigme de plus en plus utilisé pour modéliser la structure des systèmes complexes. Les connexions neuronales ou la transmission de maladies entre différents humains sont des exemples typiques de ce genre de structure. L'un des défis de la science des réseaux est de fournir des outils permettant de les analyser, notamment par le développement de modèles aléatoires de réseaux. Ces modèles permettent de supposer un hasard sous-jacent dans la construction d'un ensemble de réseaux, tout en conservant certaines propriétés importantes. En comparant un réseau mesuré dans un système réel à ceux issus d'un ensemble généré à l'aide d'un modèle aléatoire, il est possible d'identifier des propriétés ne pouvant pas s'expliquer par le hasard et ainsi mettre en évidence la présence de processus de formation cachés. Ce projet de maîtrise vise à développer une famille de modèles aléatoires qui se base sur une propriété de centralité des nœuds nommée la décomposition en oignon. Des algorithmes sont développés afin d'échantillonner des réseaux issus de différents ensembles. On montre que ces algorithmes peuvent construire les échantillons sans aucun biais dans le cas où les contraintes sont conservées exactement, et que les échantillons construits sont représentatifs des ensembles dans le cas où les contraintes sont conservées en moyenne sur l'ensemble. Finalement, on compare les nouveaux ensembles développés avec des ensembles déjà existants afin d'obtenir une nouvelle intuition sur le rôle que joue l'organisation à moyenne échelle sur les propriétés des réseaux complexes réels. / Complex networks are recent tools with a growing popularity that are used to study the structure of complex systems. Examples of these structures are the connections between neurons or the transmission of diseases along social ties in a population, both represented as links between nodes. A major challenge in network science is to develop tools that allow to understand these complex structures. Among these tools is the use of random graph models, which allow us to build ensembles of networks that share a common property while also having an underlying randomness. By comparing a network obtained from real data to a random graph model, it is possible to identify certain properties that cannot be explained by randomness, thereby highlighting the existence of some hidden formation process. This project aims to develop a family of random graph models that are based on a centrality property called the Onion Decomposition. Algorithms to create representative samples of these models are proposed. We show that the algorithms build the sample with no bias in the case of exact constraints, or with the proper bias in the case where the constraints are kept on average. Finally, we compare the new ensembles to ensembles in the literature to obtain a better intuition on the role of meso-scale organization in real complex networks.

Dans ce texte est présentée une sélection des travaux de l'auteur, portant, par exemple, sur la convolution libre rectangulaire, la transition de phase BBP, l'infinie divisibilité libre, les vecteurs propres de matrices de Wigner, etc...

Les quadrangulations sont des plongements dans la sphère de graphes planaires pour lesquels toutes les faces sont de degré 4. L'objet central de cette thèse est la quadrangulation infinie de loi uniforme. Cette carte a été définie de deux manières indépendantes. La première méthode, naturelle du point de vue des cartes, est de prendre la limite locale de grandes quadrangulations aléatoires de loi uniforme parmi les quadrangulations de même taille. La seconde méthode repose sur une bijection avec les arbres bien étiquetés. On y construit dans un premier temps un arbre infini de loi uniforme, puis on transporte la loi de cet arbre sur l'ensemble des quadrangulations infinies avec la bijection. L'objet du chapitre 2 de ce mémoire est de démontrer que ces deux constructions aboutissent au même objet. Ce fait n'est a priori pas évident car la bijection entre les arbres et les quadrangulations n'est pas continue pour la topologie de la convergence locale. Le résultat s'obtient alors en étudiant des propriétés combinatoires de cette bijection et les sommets ayant de petites étiquettes dans les générations élevées d'un arbre sous la loi uniforme. Le chapitre 3 utilise ensuite cette équivalence des deux points de vue pour calculer les limites d'échelle de certaines fonctionnelles de la quadrangulation infinie uniforme. En effet, des quantités comme le volume des boules autour d'un point distingué de la quadrangulation infinie uniforme peuvent se calculer grâce à une étude de l'arbre infini uniforme. Ce chapitre est articulé autour de la preuve de la convergence des fonctions de contour de l'arbre infini uniforme vers un processus stochastique lié au serpent brownien.

Dans cette thèse, on s’intéresse à quelques aspects spécifiques des matériaux composites aléatoires : la taille minimale du volume élémentaire représentatif et la détermination des propriétés effectives de transport. L’objectif principal est de proposer une méthode numérique efficace permettant une détermination rapide des propriétés effectives. Les propriétés de type transport sont considérées. Il est montré que cette classe de propriétés peuvent être déterminées soit en réalisant des calculs sur un échantillon de grande taille soit en faisant moyenne sur un nombre suffisant de petites réalisations de microstructures. Cependant, pour un type de microstructure donné, la taille des ces petites réalisations ne peut pas être inférieure à une certaine limite minimale. Celle-ci est fortement influencées par plusieurs facteurs tel que type de microstructure, fractions volumiques des constituants, contrastes de propriétés entre phases, nombre de réalisation et précision acquise. Par ailleurs, deux types de représentativités sont étudiées : représentativité géométrique et celle en rapport avec les propriétés de transport. Par conséquent, deux critères distincts de taille minimale sont proposés en se basant sur des propriétés des fonctions de corrélation à deux-points. Comparant à d’autres méthodes proposées dans de large littératures, le critère proposé ici comporte un avantage car il tient compte de la morphologie de microstructure. En conséquence, des calculs numériques comme ceux par les éléments finis ne sont pas nécessaires pour la détermination de la taille minimale de REV. La validation de la méthodologie proposée est effectuée sur plusieurs exemples de microstructures 2D. / The thesis focuses on random composites and some specific features such as: the minimum size of a representative volume element (RVE) and the determination of effective transport properties. The main objective is to formulate a computationally efficient method which would allow for quick determination of effective properties. The effective properties of transport are considered. It is shown that this class of properties can be estimated either by performing calculations over one large sample or by averaging over a sufficient number of smaller microstructure realizations. However, for a given type of microstructure; the size of such smaller realizations can not be smaller than some critical minimum size. It is shown that this critical size of RVE is strongly affected by several parameters. These are: microstructure type, volume fractions of constituents, contrast in mechanical properties of composite phases, number of performed realizations as well as a desired accuracy. Furthermore, two separate types of representativity are introduced: geometrical representativity and representativity with respect to overall transport properties. Therefore, two distinct criteria for the minimum size of RVE are formulated based on the properties of the two-point correlation function. Comparing to other methods proposed in wide literature, the criterion formulated in the thesis gives an advantage: the condition proposed includes microstructure morphology. Therefore, in order to determine the minimum size of RVE none numerical calculations like those of FE are necessary. A validation of proposed methodology is performed on several examples of 2D microstructures.

Cette thèse s'intéresse à deux modèles de processus auto intéagissant étroitement reliés: le processus de sauts renforcé par sites (VRJP) et la marche aléatoire renforcée par arêtes (ERRW). Nous étudions aussi les liens entre ces processus et un opérateur de Schrödinger aléatoire. Dans le chapitre 3, nous montrons que le VRJP est le seul processus satisfaisant la propriété d'échangeabilité partielle et tel que la probabilité de transition ne dépende que du temps local des voisins, sous quelques conditions techniques. Le chapitre 4 donne la transition de phase entre vitesse positive et vitesse nulle pour un VRJP transitoire sur un arbre de Galton Watson, utilisant le fait que sur un arbre, le VRJP est une marche aléatoire en milieu aléatoire. Dans le chapitre 5, une nouvelle famille exponentielle de loi est introduite et ses liens avec le VRJP sont étudiés. En particulier, nous donnons une preuve de la formule de Coppersmith et Diaconis, n'utilisant que des calculs élémentaires. Finalement, dans le chapitre 6 nous étudions la représentation du VRJP comme mélange de processus de Markov sur les graphes infinis. Nous représentons le VRJP à l'aide de la fonction de Green et d'une fonction propre généralisée d'un opérateur de Schrödinger aléatoire associé au VRJP. En conséquence, nous obtenons un principe d'invariance pour le VRJP quand le renforcement est suffisamment faible, ainsi que la récurrence du ERRW sur ℤ2 pour toute valeurs initiales des paramètres / This thesis is dedicated to the study of two closely related self-interacting processes: the vertex reinforced jump process (VRJP) and the edge reinforced random walk (ERRW). We also study the relations between these processes and a random Schrödinger operator. In Chapter 3, we prove that the VRJP is the only partially exchangeable process whose transition probability depends only on neighbor local times, under some technical conditions. Chapter 4 gives the phase transition between positive speed and null speed of a transient VRJP on a Galton Watson tree, using a representation of random walk in independent random environment. In Chapter 5, we introduce a new exponential family of probability distributions generalizing the Inverse Gaussian distribution, and we show some of its relations to the VRJP. In particular, we give an elementary proof of the formula of Coppersmith and Diaconis. Finally, we show in Chapter 6 that the VRJP on infinite graph is a mixture of Markov jump processes, by constructing the random environment using the Green function and a generalized eigenfunction related to a random Schrödinger operator associated with the VRJP. As a consequence, we obtain a central limit theorem when the reinforcement is weak enough, and also the recurrence of ERRW on ℤ2 for any initial constant weights

L'objet de cette thèse est l'étude d'une classe importante de marches aléatoires en milieu aléatoire, appelée marches aléatoires avec conductances aléatoires. Nous présentons trois principaux résultats montrant des comportements opposés, irrégulier et standard du noyau de la chaleur des marches aléatoires avec conductances aléatoires à queue polynômiale. Les deux premiers (cf. Chapitre 2) portent sur les marches aléatoires simples dans $\Z^d, d>1$, gouvernées par une famille de conductances aléatoires i.i.d. à valeurs dans l'intervalle $[0,1]$, avec une queue polynomiale d'exposant $\gamma$ au voisinage de $0$. Nous montrons en premier lieu pour toute dimension supérieure à $4$ que la probabilité de retour après $2n$ sauts décroit de façon irrégulière en ce sens qu'elle admet une borne inférieure que l'on peut rendre, à un terme sous-polynomial près, aussi proche que l'on veut de $1/n^{2}$ en laissant le paramètre $\gamma$ tendre vers $0$. En considérant le même modèle et à l'opposé du premier résultat, nous montrons en second lieu pour toute dimension $d$ supérieure à $2$ que le noyau de la chaleur de la marche aléatoire admet une borne supérieure que l'on peut rendre, à un terme sous-polynomial près, aussi proche que l'on veut de la borne standard $1/n^{d/2}$ en laissant le paramètre $\gamma$ tendre vers l'infini. Nous considérons dans le troisième résultat (cf. Chapitre 3) les mêmes chaînes de Markov mais en temps continu et étudions la décroissance de la probabilité de retour asymptotique. Nous prouvons pour tout $\gamma> d/2$ que la dimension spectrale est standard, i.e. égale à $d$. Une conséquence prévisible de ce résultat est que ceci reste tout aussi vrai en temps discret.

L'objet de cette thèse est d'établir des théorèmes limites locaux pour des marches aléatoires réfléchies sur N. La théorie des fluctuations des marches aléatoires et la factorisation de Wiener-Hopf y jouent un rôle important. On développera dans la première partie une approche classique que l'on appliquera à l'étude des marches aléatoires sur R+ avec réflexions non élastiques en 0. Dans la deuxième partie, on explicitera une méthode différente qui fait intervenir des outils algébriques, d'analyse complexe et des techniques de factorisation utilisant de manière essentielle les fonctions génératrices. Cette approche a été développée il y a une cinquantaine d'année pour l'étude de marches de Markov, elle sera présentée dans cette partie dans le cas des marches aléatoires à pas i.i.d. où un certain nombre de simplifications apparaissent et sera ensuite utilisée pour étudier les marches aléatoires sur N avec réflexions élastiques ou non élastiques en zéro. Finalement, dans la dernière partie, nous mettons en place les outils nécessaires pour établir une factorisation de Wiener-Hopf dans un cadre markovien afin d'étudier les fluctuations des marches de Markov sur Z ; nous reprenons des travaux anciens dont les démonstrations méritaient d'être détaillées, l'objectif à moyen terme étant d'appliquer les méthodes algébriques décrites ci-dessus pour l'étude de marches de Markov réfléchies sur N.

Cette thèse est consacrée à l'influence des erreurs systématiques et aléatoires sur les grandeurs ellipsométriques. Pour chaque type d'erreur, nous proposons des solutions pour limiter et éliminer leur influence sur le résultat final. La première partie expose les principes fondamentaux qui régissent le fonctionnement d'un ellipsomètre et décrit les dispositifs expérimentaux à élément(s) tournant(s) utilisés au LPMD. Pour chaque configuration, les méthodes de mesures et de calibrage y sont exposées. La deuxième partie traite des erreurs aléatoires et présente des procédures originales, dites de tracking, permettant de réduire leurs impacts sur les paramètres ellipsométriques. Les erreurs de mesure et erreurs produites lors de l'étape du calibrage d'un ellipsomètre à polariseur tournant (PRPSE) sont exposées. Une configuration optimisée nommée PRPCSE, permettant la caractérisation de systèmes dont l'angle Delta est voisin de 0° ou 180° est proposée. Les erreurs aléatoires et les méthodes de réduction d'un ellipsomètre à compensateur tournant (RCE) sont également décrites. La troisième partie, traite des erreurs systématiques d'un ellipsomètre à matrice de Mueller à double compensateur tournant. Une procédure de mesure dite 4-zones, qui permet de réduire l'impact des erreurs sur la matrice de réflexion de l'échantillon est proposée. Des exemples numériques et expérimentaux illustrent les méthodes développées / This thesis is devoted to the influence of systematic and random errors on the ellipsometric parameters. For each error, we propose solutions to reduce and eliminate their influence on the final result. The first part outlines the basic principles of ellipsometry and describes the experimental set-up of rotating element(s) ellipsometers used in LPMD. For each configuration, the methods of measurement and calibration are presented. The second part deals with random errors and presents an original method, called tracking, to reduce their impact on the ellipsometric parameters. Measurement errors and errors generated during the calibration of a rotating polarizer ellipsometer (PRPSE) are exposed. An optimized configuration called PRPCSE, allowing the characterization of systems when the angle Delta is near 0° or 180° is proposed. Random errors and methods of optimization for a Rotating Compensator Ellipsometer (RCE) are also described. The third part deals with the systematic errors of a Mueller Matrix Ellipsometer (MME) in the dual rotating compensator configuration. A measurement procedure called 4-zones, which reduces the impact of errors on the reflection matrix of the sample is given. Numerical and experimental examples illustrate the developed methods