Thèse numérisée par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Cette thèse vise à approfondir les analogies entre les valeurs propres de matrices aléatoires sur les groupes compacts et les zéros de fonctions L, en particulier la fonction zêta.

Ce travail de thèse se veut une contribution à l’homogénéisation numérique des milieux élasto-plastiques hétérogènes aléatoires via des calculs sur des grands volumes. La thèse comporte deux parties principales. La première est dédiée à la réponse élasto-plastique macroscopique des composites, à distribution aléatoire de la seconde phase, sollicités en traction uniaxiale. La deuxième est focalisée sur la réponse macroscopique à la limite d’écoulement des milieux poreux aléatoires sur une large gamme de triaxialités. Dans la première partie, nous décrivons une méthode d’homogénéisation numérique pour estimer la réponse élasto-plastique macroscopique de milieux composites aléatoires à deux phases. La méthode est basée sur des simulations éléments finis utilisant des cellules cubiques tridimensionnelles de différentes tailles mais plus petites que le volume élémentaire représentatif de la microstructure. Dans une seconde partie, nous décrivons une étude d’homogénéisation numérique par éléments finis sur des cellules cubiques tridimensionnelles afin de prédire la surface d’écoulement macroscopique de milieux poreux aléatoires contenant une ou deux populations de vides. La représentativité des résultats est examinée en utilisant des cellules cubiques contenant des vides sphéroïdales, répartis et orientés aléatoirement. Les résultats numériques sont comparés à des critères d’écoulement existants de type Gurson. / This PhD dissertation deals with the numerical homogenization of heterogeneous elastic-plastic random media via large volume computations. The dissertation is presented in two main parts. The first part is dedicated to the effective elastic-plastic response of random two-phase composites stretched under uniaxial loading. The second part is focused on the effective yield response of random porous media over a wide range of stress triaxialities. In the first part, we describe a computational homogenization methodology to estimate the effective elastic-plastic response of random two-phase composite media. The method is based on finite element simulations using three-dimensional cubic cells of different size but smaller than the deterministic representative volume element of the microstructure. In the second part, we describe using the finite element method a computational homogenization study of three-dimensional cubic cells in order to estimate the effective yield surface of random porous media containing one or two populations of voids. The representativity of the overall yield surface estimates is examined using cubic cells containing randomly distributed and oriented spheroidal voids. The computational results are compared with some existing Gurson-type yield criteria.

De nombreuses problématiques d'apprentissage artificiel peuvent être modélisées grâce à des fonctions à valeur vectorielles. Les noyaux à valeurs opérateurs et leur espace de Hilbert à noyaux reproduisant à valeurs vectorielles associés donnent un cadre théorique et pratique pour apprendre de telles fonctions, étendant la littérature existante des noyaux scalaires. Cependant, lorsque les données sont nombreuses, ces méthodes sont peu utilisables, ne passant pas à l'échelle, car elle nécessite une quantité de mémoire évoluant quadratiquement et un temps de calcul évoluant cubiquement vis à vis du nombre de données, dans leur implémentation la plus naïve. Afin de faire passer les noyaux à valeurs opérateurs à l'échelle, nous étendons une technique d'approximation stochastique introduite dans le cadre des noyaux scalaires. L'idée est de tirer parti d'une fonction de redescription caractérisant le noyau à valeurs opérateurs, dont les fonctions associées vivent dans un espace de dimension infinie, afin d'obtenir un problème d'optimisation linéaire de dimension finie. Dans cette thèse nous développons dans un premier temps un cadre général afin de permettre l'approximation de noyaux de Mercer définis sur des groupes commutatifs localement compacts et étudions leurs propriétés ainsi que la complexités des algorithmes en découlant. Dans un second temps nous montrons des garanties théoriques en bornant l'erreur commise par l'approximation, avec grande probabilité. Enfin, nous mettons en évidence plusieurs applications des Représentations Opérateurs Aléatoires de Fourier (ORFF) telles que la classification multiple, l'apprentissage multi-tâche, la modélisation des séries temporelles, la régression fonctionnelle et la détection d'anomalies. Nous comparons également ce cadre avec d'autres méthodes de la littérature et concluons par des perspectives à moyen et long terme. / Many problems in Machine Learning can be cast into vector-valued approximation. Operator-Valued Kernels and vector-valued Reproducing Kernel Hilbert Spaces provide a theoretical and practical framework to address that issue, extending nicely the well-known setting of scalar-valued kernels. However large scale applications are usually not affordable with these tools that require an important computational power along with a large memory capacity. In this thesis, we propose and study scalable methods to perform regression with Operator-Valued Kernels. To achieve this goal, we extend Random Fourier Features, an approximation technique originally introduced for scalar-valued kernels, to Operator-Valued Kernels. The idea is to take advantage of an approximated operator-valued feature map in order to come up with a linear model in a finite-dimensional space. This thesis is structured as follows. First we develop a general framework devoted to the approximation of shift-invariant MErcer kernels on Locally Compact Abelian groups and study their properties along with the complexity of the algorithms based on them. Second we show theoretical guarantees by bounding the error due to the approximation, with high probability. Third, we study various applications of Operator Random Fourier Features (ORFF) to different tasks of Machine learning such as multi-class classification, multi-task learning, time serie modelling, functionnal regression and anomaly detection. We also compare the proposed framework with other state of the art methods. Fourth, we conclude by drawing short-term and mid-term perspectives of this work.

Cette thèse a pour objet l'étude de processus aléatoires en milieu aléatoire. Ce type de processus a été introduit pour la première fois en 1965 par A.A. Chernov, et a depuis fait l'objet de nombreuses recherches. Parallèlement au modèle élémentaire unidimensionnel ́etudié par A.A. Chernov, de nombreuses tentatives ont ́eté faites récemment afin d'appliquer le même type d'approche dans des contextes différents. Nous nous focalisons particulièrement sur deux exemples. Tout d'abord nous étudions le cas de la marche aléatoire en milieu aléatoire sur les arbres, pour laquelle nous étendons un critère de récurrence/transience dû à R. Lyons et R. Pemantle, avant de présenter une étude du comportement asymptotique dans le régime critique. Nous montrons dans un premier cas un théorème central limite, et dans un second nous identifions un équivalent en (logn)^3. Le régime intermédiaire entre ces deux comportements a fait l'objet de travaux plus anciens de Y. Hu et Z. Shi. Dans une autre partie nous étudions un processus aléatoire en milieu aléatoire à temps continu, connu sous le nom de diffusion de Brox. Nous étendons à ce processus des résultats dûs à A. Fribergh, N. Gantert et S. Popov concernant l'accélération et le ralentissement.

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Cette thèse présente une étude des propriétés de la lumière émise par des diffuseurs atomiques distribués aléatoirement dans l'espace euclidien, et interagissant avec le champ électromagnétique. Dans ce cadre, une théorie ab initio des lasers aléatoires est formulée en terme des propriétés statistiques de la `matrice de Green'. Cette dernière appartient à la famille des matrices aléatoires euclidiennes (MAE) pour lesquelles nous développons une théorie analytique donnant notamment accès à la distribution de probabilité de leurs valeurs propres. Dans un premier temps, nous démontrons les équations quantiques microscopiques régissant la dynamique du champ électrique ainsi que celle des opérateurs atomiques, et explicitons comment la matrice de Green (dont les éléments sont égaux à la fonction de Green de l'équation de Helmholtz évaluée entre les différentes paires d'atomes constituant le milieu) émerge naturellement du formalisme quantique. Nous exprimons à la fois l'intensité et le spectre de la lumière en termes des propriétés de la matrice de Green, caractérisons les forces de Langevin quantiques, et montrons de quelle manière le seuil semi-classique d'un laser aléatoire est affecté par la prise en considération des fluctuations quantiques (chapitres 2 et 3). Une description mésoscopique et semi-classique de la lumière diffusée par un grand nombre d'atomes soumis à une pompe externe et distribués aléatoirement dans l'espace libre est présentée dans le quatrième chapitre. Après avoir établi une condition de seuil laser universelle, valide quelle que soit la configuration des atomes, nous démontrons une équation de transport obéie par l'intensité moyenne en présence de gain, discutons différentes approximations de cette dernière (équation de Bethe-Salpeter, équation de Boltzmann, équation de diffusion), établissons un `mapping' avec les MAE, et analysons la condition de seuil laser déduite de l'équation de transport. Poussés par la volonté de caractériser analytiquement les propriétés statistiques de la matrice de Green, nous développons dans les chapitres 5 et 6 une théorie générale des MAE, hermitiennes et non hermitiennes, valide dans la limite de grande taille matricielle. Nous obtenons des équations couplées pour la résolvante et le corrélateur des vecteur propres d'une MAE arbitraire, puis testons la validité de nos résultats sur trois matrices jouant un rôle important dans l'étude de la propagation des ondes en milieux désordonnés: la matrice de Green dans l'espace tridimensionnel, sa partie imaginaire, et sa partie réelle. D'un point de vue physique, nous sommes capables de décrire analytiquement avec une bonne précision la distribution de probabilité des taux d'émission lumineux dus à un grand nombre d'atomes, ainsi que celle du déplacement lumineux collectif dû à l'interaction lumière-matière. Par ailleurs, nous proposons d'utiliser la distribution des valeurs propres de la matrice de Green non hermitienne comme une carte unique sur laquelle peuvent s'identifier différents régimes de désordre (balistique, diffusif, localisé, milieu effectif, superradiance). Finalement, nous combinons les équations microscopiques de l'interaction lumière-matière avec nos résultats relatifs aux MAE non-hermitiennes afin de caractériser dans le détail le comportement des lasers aléatoires. Le seuil laser ainsi que l'intensité au delà du seuil sont calculés analytiquement dans l'approximation semi-classique, et le spectre de la lumière sous le seuil est évalué en prenant en compte les effets quantiques. Notre théorie s'applique aussi bien à basse densité qu'à haute densité de diffuseurs atomiques. / This thesis is devoted to the study of the properties of light emitted by a collection of atomic scatterers distributed at random positions in Euclidean space and interacting with the electromagnetic field. In this respect, an ab initio analytic theory of random lasing is formulated in terms of the statistical properties of the so-called `Green's matrix'. The latter belongs to the family of Euclidean random matrices (ERM's), for which we develop an analytic theory giving access to their eigenvalue distribution. First, we derive quantum microscopic equations for the electric field and atomic operators, and show how the non-Hermitian Green's matrix (a matrix with elements equal to the Green's function of the Hemholtz equation between pairs of atoms in the system) emerges in the quantum formalism. We provide expressions for the intensity and the spectrum of light in terms of the properties of the Green's matrix, characterize quantum Langevin forces, and reveal how the semiclassical random laser threshold is washed out by quantum fluctuations (chapters 2 and 3). A mesoscopic and semiclassical description of light scattered by an arbitrary large number of pumped atoms randomly distributed in free space is the subject of chapter 4. After deriving a universal lasing threshold condition valid for any configuration of atoms, we provide a microscopic derivation of transport equation in the presence of gain, discuss various approximations of the latter (Bethe-Salpeter, Boltzmann, diffusion equations), reveal a mapping to ERM's, and analyze the lasing threshold condition inferred from the transport equation. Facing the problem of characterizing analytically the statistical properties of the Green's matrix, we develop in chapters 5 and 6 a theory for Hermitian and non-Hermitian ERM's in the limit of large matrix size. We obtain self-consistent equations for the resolvent and the eigenvector correlator of arbitrary ERM and apply our results to three different ERM's relevant to wave propagation in random media: the three-dimensionnal Green's matrix, its imaginary part and its real part. From a physical point of view, we are able to describe analytically with a fair precision the full probability distribution of decay rates of light emitted by a large number of atoms, as well as of the collective frequency shift induced by the light-matter interaction. In addition, we promote the idea that the eigenvalue distribution of the Green's matrix can serve as a map on which signatures of various regimes of disorder can be distinguished (ballistic, diffusive, localized, effective medium, and superradiance regimes). Finally, we combine microscopic equations of motion of light-matter interaction with our results for non-Hermitian ERM's to tackle the problem of random lasing. Lasing threshold and the intensity of laser emission are calculated analytically in the semiclassical approximation, and the spectrum of light below threshold is computed by taking into account quantum effects. Our theory applies all the way from low to high density of atoms.

Cette thèse est consacrée à différents modèles de marches aléatoires en milieux aléatoires; elle est constituée de $5$ chapitres. Les chapitres $1$ et $4$ sont essentiellement bibliographiques, ils couvrent une partie de la littérature consacrée au modèle i.i.d ainsi qu'à différents modèles où l'environnement est construit à partir d'une percolation. Dans le chapitre $2$ nous étudions la classe des marches admettant une direction asymptotique dans le cas du modèle i.i.d., c'est-à-dire tel que $X_n/|X_n|$ ait une limite deterministe sous la loi annealed. Nous établissons notamment qu'une marche admet une direction asymptotique si et seulement si elle est transiente dans toute les directions d'un ouvert non vide de $\mathbb{R}^d$. Dans le chapitre $3$, nous étudions un modèle de marches en temps continu en milieux aléatoires. Les différents résultats de cette partie décrivent l'impact du couplage entre les transitions et les taux de saut sur la vitesse de la marche. Le chapitre $5$ est consacré à un modèle de marche ralentie par les clusters d'une percolation sous-critique dans $\mathbb{Z}^d$. Nous montrons que, selon la force du ralentissement, la marche se place dans un régime sous-diffusif ou diffusif.

Le modèle de dimères est un système de mécanique statistique qui modélise l'adsorption de molécules diatomiques sur la surface d'un cristal, représenté par un réseau périodique plan biparti. On attribue à chaque type d'arête une énergie. Pour une telle distribution d'énergie, il existe une famille à deux paramètres de mesures de Gibbs, dont les comportements sont classifiés en trois phases : gazeuse, liquide, solide.<br /><br />Dans la première partie, on étudie le comportement d'un tel système près de la transition liquide-solide. En examinant le cas du réseau hexagonal, nous exhibons deux types de comportements limites. Le premier est une collection de chemins aléatoires conditionnés à s'éviter. Le deuxième, le modèle du collier de perles, est un processus ponctuel sur ZxR. Ces deux modèles limites ont pour marginales le processus déterminantal sur R avec noyau sinus, décrivant aussi les valeurs propres des grandes matrices aléatoires de l'ensemble GUE. Le modèle du collier de perles est universel : on montre qu'il est la limite de tout modèle de dimères sur un graphe planaire biparti périodique.<br /><br />Dans une deuxième partie, on étudie la statistique des motifs dessinés par des dimères. Les fluctuations de densité d'un motif convergent à la limite d'échelle vers un champ gaussien. Dans le cas liquide, l'objet limite est la somme d'une dérivée du champ libre et d'un bruit blanc indépendant. Pour une mesure gazeuse, la limite est juste un bruit blanc.<br /><br />Enfin, on aborde un problème de dénombrement de chemins sur le graphe-échelle, lié à l'étude du noyau de la chaleur sur le groupe de l'allumeur de réverbères, ainsi qu'à celle des opérateurs de Schrödinger aléatoires.

Dans cette thèse, nous considérons les générateurs de nombres aléatoires en cryptographie. D'une part, nous avons étudié des générateurs, comme HAVEGE, qui produisent leurs données en se basant sur des événements imprévisibles. D'autre part, nous avons examiné les chiffrements à flots, qui peuvent être vus comme des générateurs de nombre pseudo-aléatoires qui produisent une suite chiffrante à partir d'une courte séquence initiale dépendant de la clé, et du vecteur d'initialisation, l'IV. Nous avons étudié plus particulièrement le chiffrement Dragon, ainsi qu'un modèle utilisant des fonctions aléatoires qui nous a été inspiré par une attaque sur le chiffrement MICKEY. Enfin, nous avons étudié plusieurs aspects des registres à décalages avec retenue (ou FCSR pour "feedback with carry shift register" en anglais) utilisés dans le chiffrement F-FCSR.