Deux algèbres clairement distinctes selon un point de vue mathématique, seront considérées : - l'algèbre conventionnelle pour le chapitre analyse du temps de cycle - l'algèbre (max, +) et l'extension l'algèbre (min, max, +) pour les chapitres sur l'analyse de la vivacité et la commande prédictive. En dehors du fait que les chapitres suivants permettent de diffuser des résultats dans des thèmes centraux à la section 61 et qu'ils s'insèrent dans la démarche de l'automaticien, ils suivent aussi la logique suivante. Les chapitres principalement sur le taux et la commande prédictive participent à une réflexion globale sur la justification de l'algèbre (max, +) et son extension dans l'algèbre (min, max, +) et la programmation linéaire. De même, la nécessité d'avoir des temps de calcul efficaces pour la plus grande classe de problèmes possibles dans les chapitres vivacité et commande prédictive sur un horizon glissant, motive cette réflexion tout en poussant à s'intéresser au domaine informatique. Le dernier chapitre Prospective donnera une synthèse basée sur ces différents chapitres qui permettra de mieux formaliser cette réflexion et de proposer un projet scientifique.

Les systèmes à événements discrets qui mettent en jeu des phénomènes de synchronisation possèdent une description linéaire dans l'algèbre (max,+). Une théorie des systèmes linéaires dans les dioïdes, développée par analogie à la théorie conventionnelle des systèmes, a alors vu le jour. Dans ce mémoire, nous abordons des problèmes de commande des systèmes (max,+)-linéaires. Jusque-là, les commandes de systèmes linéaires dans les dioïdes ont principalement considéré le critère du juste-à-temps et des objectifs de commande comme la poursuite d'une trajectoire de référence ou la poursuite d'un transfert de référence. La première contribution à la commande réside dans la prise en compte d'un nouvel objectif pour la commande en juste-à-temps. Plus précisément, on considère des spécifications sous la forme de contraintes sur l'état du système. Ensuite, nous abordons un nouveau critère de commande. On s'intéresse à la synthèse d'un correcteur qui ralentit le moins possible le transfert du système tout en assurant un objectif de commande défini par un ensemble de contraintes sur l'état. Les réseaux de transport admettent une description linéaire dans l'algèbre (max,+). La dernière partie de ce mémoire est consacrée à leur étude. Plus précisément, on propose des outils pour l'évaluation de performances et la commande de ces systèmes. Le problème de synthèse de tables d'horaires est notamment formulé en un problème de commande de système (max,+)-linéaire.

Ce mémoire a pour vocation de prouver aux membres du jury ma capacité à diriger des recherches. Il est organisé de la manière suivante : La première partie regroupe mon curriculum vitae, et une liste de publications. Le chapitre 2 est une présentation générale d'une partie des travaux que j'ai initié au cours de la dernière décennie. Dans un souci de cohérence d'ensemble je n'ai présenté que les travaux relatifs à la commande de systèmes (max,+) linéaires. Ils constituent le dénominateur commun aux trois thèses que j'ai encadrées. Ce chapitre inclut quelques nouveautés à l'attention du lecteur averti, notamment la synthèse d'un observateur d'état est introduite pour la première fois ici. Il se termine sur la présentation de quelques perspectives de recherche. La troisième partie regroupe quelques publications qui permettront au lecteur de retrouver les preuves des résultats énoncés dans le second chapitre.

Les travaux de recherche concernant l'ordonnancement mobilisent un nombre important de chercheurs. Cette forte émulation est principalement due au large panorama des problématiques d'ordonnancement. Parmi elles, le problème d'atelier à cheminement multiple, communément appelé " Job-Shop ", tient une place particulièrement prépondérante tant ce problème est rencontré dans le milieu industriel. De nombreux sujets de recherche, en France et à l'étranger, sont issus de cette problématique. Les problèmes de Job-Shop peuvent souvent être simplifiés en les considérant comme des problèmes cycliques. L'ordonnancement des tâches devient ainsi cyclique et son objectif est d'organiser les activités de production en répétant un cycle de base que l'on a optimisé. De nombreux paramètres entrent en jeu dans l'optimisation du cycle de base tels que la période du cycle choisie, l'ordre des opérations élémentaires pour réaliser un travail, la durée de ces opérations, le nombre de produits à réaliser par cycle, etc. Plusieurs approches ont été utilisées pour résoudre ce problème. Parmi elles, nous pouvons citer l'approche par réseaux de Petri et plus particulièrement par graphes d'événements temporisés, l'approche par les graphes, l'approche par la programmation linéaire et l'approche par la théorie des tas. L'approche par les graphes permet une représentation graphique du problème sous forme d'un graphe où les noeuds représentent les différentes opérations et où les arcs illustrent les contraintes du problème d'ordonnancement cyclique, un tel problème admet une solution réalisable si, et seulement si, le graphe associé est consistant. Cette propriété de consistance d'un problème d'ordonnancement cyclique et de son graphe permet d'élaguer l'arbre de recherche de la procédure de séparation et d'évaluation proposée pour cette approche. Concernant l'approche par la théorie des tas, le sous-problème de l'évaluation d'une solution peut être résolu aisément avec l'aide de la théorie des tas. En effet, en traduisant le problème dans une structure mathématique adaptée, l'évaluation du taux de production du cycle revient au calcul d'une valeur propre d'un produit de matrices dans lequel chacune des matrices représente une opération élémentaire. Cette propriété s'avère particulièrement intéressante dans le cas de l'évaluation successive d'un grand nombre d'ordonnancement. En outre, la théorie des tas permet une représentation très intuitive d'un ordonnancement, puisque celui-ci s'illustre comme un empilement de plusieurs briques (en fait, un " tas " de briques) dont le contour supérieur correspond aux dates de fin des dernières opérations des machines.

De nombreux systèmes de transport peuvent être modélisées par des synchronisations ordinaires (pour tout k>=l, l'occurrence k de l'événement B se produit au moins t unités de temps après l'occurrence k-l de l'événement A). Ces systèmes sont linéaires dans l'algèbre (max,+). Pour certaines applications, il est primordial de modéliser la simultanéité entre événements. Comme la synchronisation ordinaire ne suffit pas à exprimer ce phénomène, nous introduisons la synchronisation partielle (l'événement B ne peut se produire que quand l'événement A se produit). Dans ce mémoire, des méthodes développées pour la modélisation et le contrôle de systèmes linéaires dans l'algèbre (max,+) sont étendues à des systèmes régis par des synchronisations ordinaires et partielles. Nous considérons uniquement des systèmes divisés en un système principal et un système secondaire et gouvernés par des synchronisations ordinaires entre événements dans le même système et des synchronisations partielles d'événements dans le système secondaire par des événements dans le système principal. Nous introduisons une commande optimale et une commande prédictive pour cette classe de systèmes par analogie avec les résultats disponibles pour les systèmes linéaires dans l'algèbre (max,+). En considérant un comportement donné pour le système principal, il est aussi possible de représenter le système secondaire par une fonction de transfert et de modifier sa dynamique pour suivre un modèle de référence. / Many transportation networks can be modeled by (max,+)-linear systems, i.e., discrete event systems ruled by standard synchronizations (conditions of the form: "for all k>=l, occurrence k of event B is at least t units of time after occurrence k-l of event A"). In some applications, it is also necessary to model simultaneity between events (e.g., for a road equipped with traffic lights, a vehicle can cross an intersection only when the associated traffic light is green). Such conditions cannot be expressed using standard synchronizations. Hence, we introduce the partial synchronization (condition of the form: "event B can only occur when event A occurs"). In this thesis, we consider a class of discrete event systems ruled by standard and partial synchronizations, called (max,+)-systems with partial synchronization. Such systems are split into a main system and a secondary system such that there exist only standard synchronizations between events in the same system and partial synchronizations of events in the secondary system by events in the main system. We adapt some modeling and control approaches developed for (max,+)-linear systems to (max,+)-systems with partial synchronization. Optimal feedforward control and model predictive control for (max,+)-linear systems are extended to (max,+)-systems with partial synchronization. Furthermore, transfer relation and model reference control are provided for the secondary system under a predefined behavior of the main system.

Au cours des dernières décennies, de grands efforts en recherche et développement ont été faits pour développer et promouvoir les véhicules électriques (VEs). La plupart de ces recherches portent essentiellement sur le développement des moteurs électriques de ces véhicules et des technologies de batteries de recharge. Cependant, un des obstacles majeurs pour le déploiement des VEs à grande échelle réside dans l'incertitude d’assister et de guider les conducteurs de ce type de véhicule d’une façon appropriée pour atteindre les stations de recharge tout en satisfaisant leurs souhaits (points de recharge disponibles, moins d’attente possible, proposition d’autres points d’intérêts : restaurant, shopping, etc.). Afin de remédier à ce manque, nous proposons dans ce travail de thèse une approche distribuée et adaptative orientée modèles pour la gestion de l'énergie pour la recharge des VEs. Pour ce faire, nous nous somme focalisés sur la modélisation des processus de recharge en utilisant une approche formelle basée sur des outils de systèmes à événements discrets, à savoir l'algèbre (max, +) et les réseaux de Petri. Les modèles développés ont permis d’étudier, d’analyser et d’évaluer le comportement du système de recharge. De plus, une approche d'optimisation basée sur la programmation linéaire est proposée afin d’affecter et d’orienter d'une façon optimale les VEs vers les stations de recharge appropriées et ordonnancer leurs opérations de recharge. Afin de prédire le taux et la durée de recharge moyens des VEs compte tenu des dates d’arrivée des demandes de recharge et l'état de recharge de chaque véhicule, une approche dédiée basée sur une fonction prédictive est proposée. En utilisant cette approche, les opérations de recharge pourraient être planifiées en minimisant les temps d'attente des VEs au sein des stations de recharge et en assurant un taux de recharge acceptable pour chaque demande. Les résultats d’analyse et de simulations obtenus ont montré que les approches de modélisation, d’optimisation et de prédiction proposées permettent d’affecter de façon adéquate et optimale les VEs aux stations de recharge tout en satisfaisant toutes les contraintes du processus de recharge. / In the last decades, very great research and development efforts have been made to develop and promote electric vehicles (EVs). Most efforts have been made to further develop the power engine of these vehicles and batteries technologies. However, one of the major obstacles to the large deployment of EVs is the uncertainty of drivers to get a suitable and vacant place at a charging station (CS). In this manuscript, we focus on the charging process modelling using formal approaches based on discrete event system tools namely (max,+) algebra and Petri nets. In addition, an optimization approach based on linear programming is proposed to optimally assign and reroute EVs to the suitable CSs and schedule their charging operations. In order to predict, manage and handle charging needs of EVs, a dedicated model based on a predictive function is introduced. The aim is to predict the average charging rate and time while considering the inter-arrival of charging requests and the state of charging of EVs. Using this approach, charging operations could be planned while minimizing waiting times of EVs and avoiding queuing situations within CSs. Simulation results showed that the proposed approaches allow assigning adequately and optimally EVs to CSs while satisfying all process constraints.

L'analyse idempotente étudie les espaces linéaires de dimension infinie dans lesquels l'opération maximum se substitue à l'addition habituelle. Nous démontrons un ensemble de résultats dans ce cadre, en soulignant l'intérêt des outils d'approximation fournis par la théorie des domaines et des treillis continus. Deux champs d'étude sont considérés : l'intégration et la convexité. En intégration idempotente, les propriétés des mesures maxitives à valeurs dans un domaine, telles que la régularité au sens topologique, sont revues et complétées ; nous élaborons une réciproque au théorème de Radon-Nikodym idempotent ; avec la généralisation Z de la théorie des domaines nous dépassons différents travaux liés aux représentations de type Riesz des formes linéaires continues sur un module idempotent. En convexité tropicale, nous obtenons un théorème de type Krein-Milman dans différentes structures algébriques ordonnées, dont les semitreillis et les modules idempotents topologiques localement convexes ; pour cette dernière structure nous prouvons un théorème de représentation intégrale de type Choquet : tout élément d'un compact convexe K peut être représenté par une mesure de possibilité supportée par les points extrêmes de K. Des réflexions sont finalement abordées sur l'unification de l'analyse classique et de l'analyse idempotente. La principale piste envisagée vient de la notion de semigroupe inverse, qui généralise de façon satisfaisante à la fois les groupes et les semitreillis. Dans cette perspective nous examinons les propriétés "miroir" entre semigroupes inverses et semitreillis, dont la continuité fait partie. Nous élargissons ce point de vue en conclusion.

Nous établissons une nouvelle décomposition des surmartingales, additive dans l'algèbre Max-Plus. Elle consiste essentiellement à exprimer toute surmartingale quasi-continue à gauche de la classe (D) comme une espérance conditionnelle d'un certain processus de running supremum. Comme application, nous montrons comment la décomposition Max-Plus permet en particulier de résoudre le problème Américain d'arrêt optimal sans avoir à calculer le prix de l'option. Ensuite, nous donnons quelques exemples illustratifs basés sur des processus de diffusion uni-dimensionnels. Une autre application intéressante concerne l'assurance de portefeuille. Nous proposons en effet une nouvelle approche au problème classique de maximisation d'utilité, avec garantie Américaine. Pour cela, nous nous ramenons à un problème général de martingales, sous contrainte de dominer un obstacle, ou de façon équivalente son enveloppe de Snell, à toute date intermédiaire. L'optimisation est relative à l'ordre convexe sur la valeur terminale, de manière à minimiser le rôle de la fonction d'utilité. Nous montrons l'optimalité de la "martingale Max-Plus" et nous traitons un exemple explicite dans le cadre d'un Brownien géométrique. Par ailleurs, nous exploitons les liens entre les martingales d'Azéma-Yor et la décomposition Max-Plus pour résoudre certains problèmes d'optimisation de portefeuille sous contraintes d'état et d'autres relatifs aux options Américaines perpétuelles. Nous retrouvons en particulier, d'une manière élémentaire, la plupart des résultats classiques sur les frontières Américaines de processus de Lévy. Le dernier chapitre propose de nouvelles méthodes numériques pour valoriser les contrats Swing.

Les travaux présentés dans cette thèse constituent une contribution à la modélisation, à l'analyse et à la commande des systèmes de transport public par l'adaptation des réseaux de Petri (RdP) et algèbre des dioïdes. Nous étudions en particulier la gestion optimisée des correspondances par une planification des horaires d'un réseau de transport en commun. Nous développons dans ce sens des modèles capables d'apporter des solutions aux problèmes d'amélioration de la qualité de service de transport en commun, par les minimisations des temps de correspondance et des ressources matérielles utilisées. Notre travail est effectué en considérant deux études de cas de fonctionnement des bus au niveau des arrêts de correspondance où des échanges de passagers sont susceptibles de se produire. Un fonctionnement synchronisé pour lequel nous utilisons un modèle graphe d'événements temporisés (GET) et un modèle (max, +) linéaire stationnaire qui lui est associé. Un fonctionnement non-synchronisé modélisé par un graphe d'événements temporisés avec retrait dynamique de jetons (GETRDJ). Ce dernier modèle graphique, possédant des conflits structurels, a une description analytique dans l'algèbre (max, +) de forme linéaire non-stationnaire. La résolution mathématique du modèle obtenu passe par une politique de résolution des conflits associés au modèle graphique. Nous proposons dans ce sens une politique de routage déterminée a priori prenant en compte les caractéristiques du système. Cette politique permet d'une part, d'arbitrer les conflits sur le modèle graphique, et d'autre part, de résoudre le modèle mathématique. L'analyse des solutions obtenues ainsi que les éléments propres de la matrice caractéristique du modèle (max, +) permet de déterminer les différents temps de correspondance des voyageurs et d'estimer ainsi les performances du système étudié. Dans le souci de minimiser les temps de correspondance des voyageurs et améliorer la qualité de service, nous proposons une politique de commande de ces réseaux de bus. Deux approches sont alors proposées. La première permet de synthétiser une commande basée sur les techniques développées dans le cadre de la théorie de la résiduation dans les dioïdes. La seconde est fondée sur des résultats de simulation qui permettent d'obtenir une commande à partir des optima globaux des fonctions objectifs. Les résultats obtenus sont validés sur une partie du réseau de transport en commun de la ville de Montbéliard.

Les systèmes de commande en réseau (SCR) sont de plus en plus répandus dans le milieu industriel. Ils procurent en effet de nombreux avantages en termes de coût, de flexibilité, de maintenance, etc. Cependant,l'introduction d'un réseau, qui par nature est composé de ressources partagées, impacte considérablement les performances temporelles des systèmes de commande. Un signal de commande par exemple n'arrive à destination qu'après un certain délai. Pour s'assurer que ce délai soit inférieur à un certain seuil de sécurité ou du respect d'autres contraintes temps réels de ces systèmes, une évaluation au préalable, avant la mise en service d'un SCR, s'avère donc nécessaire. Dans nos travaux de recherche, nous nous intéressons à la réactivité des SCR client/serveur et évaluons leur temps de réponse.Notre contribution dans ces travaux est d'adopter une approche analytique à base de l'algèbre (Max,+) et remédier aux problèmes des méthodes existantes comme l'explosion combinatoire de la vérification formelle ou de la non exhaustivité des approches par simulation. Après modélisation des SCR client/serveur à l'aide de Graphe d'Evénements Temporisés puis représentation de leurs dynamiques à l'aides d'équations (Max,+) linéaires, nous obtenons des formules de calcul direct du temps de réponse. Plus précisément, nous adoptons une analyse déterministe pour calculer les bornes, minimale et maximale, du temps de réponse puis une analyse stochastique pour calculer la fonction de sa distribution. De plus, nous prenons en compte dans nos travaux tous les délais élémentaires qui composent le temps de réponse, y compris les délais de bout-en-bout, dus à la traversée du seul réseau de communication. Ce dernier étant naturellement composé de ressources partagées, rendant l'utilisation des modèles (Max,+) classiques impossibles, nous introduisons une nouvelle approche de modélisation à base du formalisme (Max,+) mais prenant en compte le concept de conflit ou ressource partagée.L'exemple d'un réseau de type Ethernet est considéré pour évaluer ces délais de bout-en-bout. Par ailleurs, cette nouvelle méthode (Max,+) est assez générique et reste applicable à de nombreux systèmes impliquant des ressources partagées, au delà des seuls réseaux de communication. Enfin, pour vérifier la validité des résultats obtenus dans nos travaux, notamment la formule de la borne maximale du temps de réponse, une compagne de mesures expérimentales sont menées sur une plateforme dédiée. Différentes configurations et conditions de trafic dans un réseau Ethernet sont considérées.