Ce mémoire étudie la polynomialité de l'algèbre des invariants de l'algèbre des fonctions polynomiales sur le dual d'une certaine algèbre de Lie, lorsque cette dernière est la troncation canonique d'une sous-algèbre biparabolique d'une algèbre de Lie semi-simple complexe.

On construit et étudie la généralisation des algèbres double Poisson décalées à toute catégorie monoïdale symétrique additive. On s’intéresse notamment aux algèbres double Poisson linéaires et quadratiques. Dans un second temps, on étudie la koszulité des propérades DLie et DPois = As ⮽c DLie qui encodent respectivement les algèbres double Lie et les algèbres doubles Poisson. On associe à chacune de ces propérades, un S-module muni d’une structure de monoïde pour un nouveau produit monoïdal dit de composition connexe : on appelle de tels monoïdes protopérades. On montre notamment l’existence, pour toutS-module, d’une protopérade libre associée et l’on explicite la combinatoire sous-jacente en terme de briques et de murs. On définit une adjonction bar-cobar, une dualité de Koszul et une notion de base PBW pour les protopérades. On présente également une tentative de théorème PBW à la Hoffbeck pour les protopérades, de laquelle on déduit la koszulité de la diopérade associée à la propérade DLie. / We construct and study the generalization of shifted double Poisson algebras to all additive symmetric monoidal categories. We are especially interested in linear and quadratic double Poisson algebras. We then study the koszulity of the properads DLie and DPois = As ⮽c DLie which encode double Lie algebras and double Poisson algebras respectively. We associate to each, a S-module with a monoidal structure for a new monoïdal product call the connected composition product : we call such monoids protoperads. We show, for any S-module, the existence of the associated free protoperad and we make explicit the underlying combinatorics. We define a bar-cobar adjunction, the notion of Koszul duality and PBW bases for protoperads. We present an attempt of prove a PBW theorem à la Hoffbeck for protoperads, and prove the koszulity of the dioperad associated to the properad DLie.

Cette thèse consiste en une étude des représentations de dimension finie de la super-algèbre de Lie gl(m,n). Dans le premier chapitre nous rappelons des résultats sur ces super-algèbres de Lie. Dans le second chapitre nous étudions les représentations simples de gl(2,2). Ces modules peuvent être obtenus comme quotient de modules induits dont on connaît les suites de composition, ce qui nous permet de calculer une formule des caractères finie explicite. Dans le troisième chapitre nous étudions les représentations d'une déformation quantique de l'algèbre enveloppante de gl(m,n). Nous rappelons tout d'abord la construction des bases cristallines pour les facteurs directs de puissances tensorielles de la représentation standard. Nous montrons, en affaiblissant la notion de cristal, l'existence de bases cristallines pour des modules qui ne sont pas semi-simpes, et nous donnons une méthode pour les construire. Le quatrième chapitre porte sur le dévissage du bloc maximalement atypique de la catégorie des représentations de dimension finie de gl(2,2). La connaissance de la sous-catégorie pleine des modules projectifs maximalement atypiques nous permet de reconstituer la catégorie. Nous étudions dans un premier temps les modules projectifs indécomposables et nous donnons leurs suites de Loewy. Puis dans un deuxième temps nous étudions leurs morphismes. Pour terminer nous formulons une conjecturons sur la composition de ces morphismes.

Ma thèse consiste en une étude des cercles de contact et plus généralement des p-sphères de contact sous différents points de vue, topologique, géométrique et algébrique. Une p-sphère de contact est l'ensemble des combinaisons linéaires normalisées de p+1 formes de contact si toutes ces formes sont de contact.<br />Dans la première partie nous étudions des p-sphères de contact invariantes sur des fibrés principaux en cercles. Nous classifions les fibrés principaux de dimension 3 qui admettent des p-sphères de contact invariantes et nous construisons des exemples.<br />Dans la partie géométrique nous étudions l'ensemble des structures de contact associées aux éléments d'un cercle de contact. Nous définissons la notion de faisceau de contact et de toupie de contact (sur une variété riemannienne). Nous classifions les variétés de dimension 3 qui admettent des toupies de contact et nous caractérisons les métriques pour lesquelles il peut y avoir des toupies de contact sur une variété donnée.<br />Dans la partie algébrique, nous étudions les groupes de Lie de dimensions 3 et 7 qui admettent des p-sphères de contact invariantes à gauche. Nous obtenons des résultats de classification, ainsi qu'un certain nombre d'exemples. <br />Nous montrons également qu'il n'existe pas de p-sphère de contact sur les variétés de dimension 4n+1 (pour p 1) et que sur les (4n-1)-sphères il existe toujours une ( (4n)-1)-sphère de contact, où est le nombre d'Adams.

Notre travail porte sur les modules de Demazure sur les algèbres de Kac-Moody de type fini et affine et plus spécialement sur sl^(n). Nous étudions le caractère et la dimension des modules de Demazure. Cette étude nous amène à aborder, d'une part, les opérateurs de Demazure, liés aux caractères, et d'autre part, les polynômes de Demazure, liés à la dimension. Nous prouvons tout d'abord différents résultats d'harmonicité pour les polynômes de Demazure. Puis, pour les algèbres de type fini, nous montrons que les opérateurs de Demazure forment une base des Z[P]^W-endomorphismes de Z[P] et que les polynômes de Demazure forment une base de l'ensemble des polynômes, sur P, harmoniques pour W et à valeur dans Z. Enfin, pour l'algèbre sl^(n), nous définissons et étudions un sous-ensemble E de W de densité non nulle sur lequel nous calculons le caractère réel des modules de Demazure et les polynômes de Demazure. En petit rang nous en déduisons les polynômes pour un sous-ensemble plus grand.

Nous étudions dans cette thèse l'algèbre de Hopf H associée à l'opérade pré-Lie. L'espace des éléments primitifs du dual gradué est muni d'une structure pré-Lie à gauche notée ⊲ définie par l'insertion d'un arbre dans un autre. Nous retrouvons la relation de dérivation entre le produit pré-Lie ⊲ et le produit pré-Lie de greffe → sur les éléments primitifs du dual gradué de l'algèbre de Hopf de Connes Kreimer HCK. Nous mettons en évidence un coproduit sur le produit tensoriel H ⊗HCK, qui en fait une algèbre de Hopf dont le dual gradué est isomorphe à l'algèbre enveloppante du produit semi-direct des deux algèbres de Lie considérées. Nous montrons que l'espace engendré par les arbres enracinés qui ont au moins une arête, muni du produit d'insertion, est une algèbre pré-Lie (non libre) engendrée par deux éléments. Nous mettons en évidence deux familles de relations. De plus nous montrons un résultat similaire pour l'algèbre pré-Lie associée à l'opérade NAP. Finalement on introduit les opérades à débit constant et on montre que l'opérade pré-Lie s'obtient comme déformation de l'opérade NAP dans ce cadre.

Nous étudions dans cette thèse l’algèbre de Hopf H associée à l’opérade pré-Lie. L’espace des éléments primitifs du dual gradué est muni d’une structure pré-Lie à gauche notée ⊲ définie par l’insertion d’un arbre dans un autre. Nous retrouvons la relation de dérivation entre le produit pré-Lie ⊲ et le produit pré-Lie de greffe → sur les éléments primitifs du dual gradué de l’algèbre de Hopf de Connes Kreimer HCK. Nous mettons en évidence un coproduit sur le produit tensoriel H ⊗HCK, qui en fait une algèbre de Hopf dont le dual gradué est isomorphe à l’algèbre enveloppante du produit semi-direct des deux algèbres de Lie considérées. Nous montrons que l’espace engendré par les arbres enracinés qui ont au moins une arête, muni du produit d’insertion, est une algèbre pré-Lie (non libre) engendrée par deux éléments. Nous mettons en évidence deux familles de relations. De plus nous montrons un résultat similaire pour l’algèbre pré-Lie associée à l’opérade NAP. Finalement on introduit les opérades à débit constant et on montre que l’opérade pré-Lie s’obtient comme déformation de l’opérade NAP dans ce cadre. / We investigate in this thesis the Hopf algebra structure on the vector space H spanned by the rooted forests, associated with the pre-Lie operad. The space of primitive elements of the graded dual of this Hopf algebra is endowed with a left pre-Lie product denoted by ⊲, defined in terms of insertion of a tree inside another. In this thesis we retrieve the “derivation” relation between the pre-Lie structure ⊲ and the left pre-Lie product → on the space of primitive elements of the graded dual H0CK of the Connes-Kreimer Hopf algebra HCK, defined by grafting. We also exhibit a coproduct on the tensor product H⊗HCK, making it a Hopf algebra the graded dual of which is isomorphic to the enveloping algebra of the semidirect product of the two (pre-)Lie algebras considered. We prove that the span of the rooted trees with at least one edge endowed with the pre-Lie product ⊲ is generated by two elements. It is not free : we exhibit two families of relations. Moreover we prove a similar result for the pre-Lie algebra associated with the NAP operad. Finally, we introduce current preserving operads and prove that the pre-Lie operad can be obtained as a deformation of the NAP operad in this framework.

Soit k un corps de caractéristique différente de 2 et de 3. Les algèbres de Lie colorées généralisent à la fois les algèbres de Lie et les superalgèbres de Lie. Dans cette thèse on étudie des représentations V d'algèbres de Lie colorées g provenant de structures d'algèbres de Lie colorées sur l'espace vectoriel g⨁V. En premier lieu, on s'intéresse à la structure générale des algèbres de Lie simples de dimension 3 sur k. Puis, on classifie à isomorphisme près les superalgèbres de Lie de dimension finie dont la partie paire est une algèbre de Lie simple de dimension 3. Ensuite, pour un groupe abélien ᴦ et un facteur de commutation ɛ de ᴦ, on développe l'algèbre multilinéaire associée aux espaces vectoriels ᴦ-gradués. Dans ce contexte, les algèbres de Lie colorées jouent le rôle des algèbres de Lie. Ce langage nous permet d'énoncer et prouver un théorème de reconstruction d'une algèbre de Lie colorée ɛ-quadratique g⨁V à partir d'une représentation ɛ-orthogonale V d'une algèbre de Lie colorée ɛ-quadratique g. Ce théorème fait intervenir un invariant qui prend ses valeurs dans la ɛ-algèbre extérieure de V et généralise des résultats de Kostant et Chen-Kang. Puis, on introduit la notion de représentation ɛ-orthogonale spéciale V d'une algèbre de Lie colorée ɛ-quadratique g et on montre qu'elle permet de définir une structure d'algèbre de Lie colorée ɛ-quadratique sur l'espace vectoriel g⨁sl(2,k)⨁V⨂k². Enfin on donne des exemples de représentations ɛ-orthogonales spéciales, notamment des représentations orthogonales spéciales d'algèbres de Lie dont : une famille à un paramètre de représentations de sl(2,k)xsl(2,k) ; la représentation fondamentale de dimension 7 d'une algèbre de Lie de type G₂ ; la représentation spinorielle de dimension 8 d'une algèbre de Lie de type so(7). / Let k be a field of characteristic not 2 or 3. Colour Lie algebras generalise both Lie algebras and Lie superalgebras. In this thesis we study representations V of colour Lie algebras g arising from colour Lie algebras structures on the vector space g⨁V. Firstly, we study the general structure of simple three-dimensional Lie algebras over k. Then, we classify up to isomorphism finite-dimensional Lie superalgebras whose even part is a simple three-dimensional Lie algebra. Next, to an abelian group ᴦ and a commutation factor ɛ of ᴦ, we develop the multilinear algebra associated to ᴦ-graded vector spaces. In this context, colour Lie algebras play the rôle of Lie algebras. This language allows us to state and prove a theorem reconstructing an ɛ-quadratic colour Lie algebra g⨁V from an ɛ-orthogonal representation V of an ɛ-quadratic colour Lie algebra g. This theorem involves an invariant taking its values in the ɛ-exterior algebra of V and generalises results of Kostant and Chen-Kang. We then introduce the notion of a special ɛ-orthogonal representation V of an ɛ-quadratic colour Lie algebra g and show that it allows us to define an ɛ-quadratic colour Lie algebra structure on the vector space g⨁sl(2,k)⨁V⨂k². Finally we give examples of special ɛ-orthogonal representations and in particular examples of special orthogonal representations of Lie algebras amongst which are: a one-parameter family of representations of sl(2,k)xsl(2,k) ; the 7-dimensional fundamental representation of a Lie algebra of type G₂ ; the 8-dimensional spinor representation of a Lie algebra of type so(7).

Dans cette étude, nous cherchons à établir des identités polynomiales dans le cadre de la combinatoire non-commutative. Dans un premier temps, nous présentons de nouvelles structures de Nambu-Lie, en classifiant totalement les (n-1)-structures sur l'espace R^n, et en donnant une méthode permettant de construire des crochets de tout ordre sur une algèbre de Lie. Nous proposons également une quantification de l'une de nos structures, grâce aux polynômes standards et aux algèbres de Clifford d'indice pair. Dans un second moment, en généralisant la notion de polynôme standard au cas des algèbres graduées, nous cherchons à démontrer une version du théorème d'Amitsur-Levitzki sur les superalgèbres de Lie osp(1,2n) en suivant une démonstration de Kostant dans le cas classique. Nous sommes amenés à démontrer des super-versions des propriétés et résultats nécessaires à la démonstration dans le cas classique, notamment en définissant un super-opérateur de transgression de Cartan-Chevalley.

Nous construisons un inverse explicite à l'isomorphisme d'antisymétrisation de Cartan-Eilenberg qui permet d'identifier la cohomologie d'une algèbre de Lie sur un anneau de caractéristique zéro et la cohomologie de Hochschild de son algèbre universelle enveloppante.