FREIRE, Raquel Santiago. Desenvolvimento de conceitos algébricos por professores dos anos iniciais do ensino fundamental. 2011. 181f. Tese (Doutorado em Educação) – Universidade Federal do Ceará, Faculdade de Educação, Programa de Pós-Graduação em Educação Brasileira, Fortaleza-CE, 2011. / Submitted by Maria Josineide Góis (josineide@ufc.br) on 2012-07-13T13:38:45Z No. of bitstreams: 1 2011_Tese_RSFREIRE.pdf: 1676352 bytes, checksum: a9f9bd9b6764d80653fcaaaabe9b27da (MD5) / Approved for entry into archive by Maria Josineide Góis(josineide@ufc.br) on 2012-07-18T12:40:35Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2011_Tese_RSFREIRE.pdf: 1676352 bytes, checksum: a9f9bd9b6764d80653fcaaaabe9b27da (MD5) / Made available in DSpace on 2012-07-18T12:40:35Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2011_Tese_RSFREIRE.pdf: 1676352 bytes, checksum: a9f9bd9b6764d80653fcaaaabe9b27da (MD5) Previous issue date: 2011 / It has been shown in many researches that activities connected to the algebraic thought in the initial years has been the only way to obtain meaning and develop concepts such as the equation, the unknown quantity and the equivalence. However, there’s still a lack of investigation regarding how teachers from these respective grades are capable of thinking about these concepts and add them up to their pedagogical practice. Researches about the concepts’ development by teachers from the initial grades in Elementary School have been very few explored in books, especially in Brazil. This research’s objective was to investigate the development of algebraic concepts by Elementary School initial grades’ teachers by using manipulative activities and digital resources. The study was performed with teachers from a State School in Fortaleza through two stages. Initially, 11 teachers took part in a workshop exploring the concepts equations, inequations, relations among unknown quantities, equivalence, relational thought and the use of unknown quantities in activities directed at Elementary School’s initial grades. After the workshop, one of the teachers was chosen to plan and use the activities in her practice. The study data was made of the activities’ observations and records during the workshop, classes’ interviews and observations and activities’ records with the participant teacher of this second stage. The data was analyzed based on the categories of algebraic knowledge pointed out in literature. The results during the workshop pointed out the teachers’ initial difficulty in understanding the basic notions of the algebraic thought as how to solve 1st degree equations and explain the differences between arithmetic and algebraic activities. These difficulties were partially overcome throughout the project. On the second stage, the planning and use of the activities in the classroom point out to a greater comprehension by the teacher about the meaning of equations, the development on the concept of equality, working with unknown quantities and the relations between numeric and symbolic expressions. The data allows us to conclude that the used activities aided in the development of concepts connected to the teachers’ algebraic thought, both in the workshop and in the use of the mentioned activities inside the classroom. This project also points out the importance of investing in continuing education so that teachers can reflect upon the educational practice, developing arithmetic concepts together with algebraic concepts. / Diversas pesquisas têm mostrado que atividades ligadas ao pensamento algébrico nos anos iniciais tem sido uma forma de trazer significado e desenvolver conceitos como os de equação, incógnita e equivalência. No entanto, ainda falta investigar como professores desses anos são capazes de pensar sobre esses conceitos e incorporá-los em sua prática pedagógica. Pesquisas sobre o desenvolvimento de conceitos por professores dos anos iniciais do Ensino Fundamental têm sido pouco exploradas na literatura, em especial no Brasil. O objetivo da presente pesquisa foi investigar o desenvolvimento de conceitos algébricos por professores dos anos iniciais do Ensino Fundamental utilizando atividades manipulativas e recursos digitais. O estudo foi realizado com professoras de uma escola pública da cidade de Fortaleza, em duas etapas. Inicialmente, 11 professoras participaram de uma oficina explorando conceitos de equações, inequações, relações entre quantidades desconhecidas, equivalência, pensamento relacional e o uso de incógnita em atividades voltadas para os anos iniciais do Ensino Fundamental. Após a oficina, uma professora foi selecionada para planejar e utilizar as atividades em sua prática. Os dados do estudo constaram de observações e registros das atividades durante a oficina, entrevistas e observações das aulas com a professora participante da segunda etapa Os dados foram analisados tomando por base, categorias do conhecimento algébrico apontadas na literatura. Os resultados durante a oficina apontaram uma dificuldade inicial das professoras em entender noções básicas do pensamento algébrico como resolver equações do 1º grau e explicar diferenças entre atividades aritméticas e algébricas. Essas dificuldades foram sendo parcialmente superadas ao longo do trabalho. Na segunda etapa, o planejamento e a utilização das atividades em sala de aula apontam para uma maior compreensão por parte da professora sobre o sentido de equações, o desenvolvimento do conceito de igualdade, trabalho com incógnita e relações entre expressões numéricas e simbólicas. Os dados permitem concluir que as atividades utilizadas favoreceram o desenvolvimento de conceitos ligados ao pensamento algébrico nas professoras, tanto na oficina quanto na utilização das atividades em sala de aula. O trabalho também aponta a importância de investir em formações continuadas para que professores possam refletir sobre práticas educativas desenvolver conceitos aritméticos juntamente com conceitos algébricos.

Nos últimos anos, váarios pesquisadores tais como: A. Bodin, A. Dimca, A. Durfee, A. Jacquemard, A. Menegon Neto, A. Némethi, A. Pichon, A. Verjovsky, A. Zaharia, D. Siersma, H. A. Hamm, D. Massey, H. Aguilar-Cabrera, H. H. Vui, J. Cisneros, J. Seade, J. Snoussi, L. D. Tráng, L. Paunescu, L. R. Dias, M. A. S. Ruas, M. Oka, M. Tibar, N. Dutertre, R. N. Araújo dos Santos, S. A. Broughton, T. Gaffney, Y. Chen, entre outros, têm apresentado generalizações dos Teoremas de fibrações de Milnor no ambiente real e complexo (e do Teorema de Kurdyka-Orro-Simon, ver por exemplo [Di, KOS]), visando um melhor entendimento de propriedades topológicas locais e globais das singularidades. Nesta direção de pesquisa esses autores tem utilizado várias ferramentas e técnicas de diversas áreas da matemática. O que mostra a riqueza e a complexidade destes estudos e acrescenta, em nossa modesta opinião, um aspecto que é ao mesmo tempo interessante e desafiador. Neste trabalho, mostraremos como estender as fibrações de Milnor em esferas no caso local e global, real e complexo, para uma aplicação C2-semi-algébrica F = (f1, . . . , fp) : RN → Rp e uma variedade W ⊂ RN semi-algébrica com possível singularidade. Com tal objetivo, introduziremos as condições de Milnor (a) e (b) generalizadas\" e mostraremos como adaptar a técnica da decomposição open book superior com binding singular, introduzida em [AT, ACT1]. Nossos resultados sugerem que tal estrutura de fibração pode ser um caso particular de algum Teorema estrutural mais geral. Além do mais, considerando π : Rp → Rp-1 a projeção canônica na meta, mostraremos que se F satisfaz tais condições, então G = π o F : RN → Rp-1 também satisfaz e, consequentemente, G também induz em W uma fibração suave localmente trivial. Concluiremos mostrando que após as projeções as fibras destes fibrados são homotopicamente equivalentes e, em seguida, apresentando algumas fórmulas que relacionam a característica de Euler do \"link relativo\" W ∩ F-1 (0) com a característica de Euler das fibras. / In the last years, several researchers such as: A. Bodin, A. Dimca, A. Durfee, A. Jacquemard, A. Menegon Neto, A. Némethi, A. Pichon, A. Verjovsky, A. Zaharia, D. Siersma, H. A. Hamm, D. Massey, H. Aguilar-Cabrera, H. H. Vui, J. Cisneros, J. Seade, J. Snoussi, L. D. Trang, L. Paunescu, L. R. Dias, M. A. S. Ruas, M. Oka, M. Tibar, N. Dutertre, R. N. Araújo dos Santos, S. A. Broughton, T. Gaffney, Y. Chen, and others, have proven generalizations of Milnor fibrationss Theorems in the real and complex settings (and Kurdyka-Orro-Simons Theorem, see e.g. [Di, KOS]), aiming a better understanding of the local and global topological properties of singularity. In this research branch, these authors have used many different tools and techniques from several areas of Mathematics. This shows the richness and complexities of these studies and adds, in our modest opinion, an aspect that is simultaneously interesting and challenging. In this work, we introduce the generalized Milnors conditions (a) and (b) to show an extension of the Milnor fibration Theorems on spheres in the local and global cases, in the real and complex setting. For this, we consider a C2-semi-algebraic mapping F = (f1, . . . , fp) : RN → Rp , a possible singular semi-algebraic variety W ⊂ RN, and we show how to adapt the technique of Higher open book decomposition with singular binding, introduced by [AT, ACT1], to prove such extension. Our results suggest that such fibration structure may be a particular case of a more general fibration structure. Furthermore, considering : Rp Rp-1 the canonical projection on the target space, we show that if F satisfies the generalized Milnors conditions (a) and (b), then G = π o F : RN → Rp-1 also satisfies these conditions and, hence G also induces on W a smooth locally trivial fibration. Finally, we show that after the projections on the target space, the fibers of these fiber bundles are homotopically equivalent. We conclude by proving some formulae connecting the Euler characteristic of \"relative link\" W ∩ F-1 (0) with the Euler characteristic of the fibers. Key words and phrases: generalized open book decomposition, fibration structure on semi-algebraic sets, topology of singularity, real and complex Milnors fibrations and, local and global fibration.

Este trabalho descreve algoritmos algébricos para computação em corpos de Galois GF(q), com q = pn onde pé a característica do corpo, que pode ser arbitrariamente grande. Para fundamentar esse estudo é condensada e apresentada Lo ela. a fena.menta algébrica necessári a. Os corpos ·finitos são caracterizados, é mostrado como construí-los e sua aritmética é analisada. Algoritmos determinísticos e probabilísticos são desenvolvidos para. o cálculo de raízes polinomiais e a. fatoração de polinômios sobre esses corpos. Este trabalho é materializado pela implementação de dois algoritmos, o de Cantor-Zassenhaus e o de Rabin, ambos implementados no Sistema de Computação Algébrica MAPLE V Release 3. / This work elescribes algebraic algorithms for computing in Galois Fielels GF(q), with q = pn, where p is the characteristic of the fielel anel may be arbitrar.ialy large. By justifying this work we give a colection of results about topics of Algebra. Dctcnninistics anel probabilistics a.lgorithms are clevelopeel to compute polynomials roots anel for polynornia.l factorization in OF(q).This work is materializccl by the implementation oi' t.wo algorithms, Cantor-Zasscnhaus's algorithm anel Rabin's algoril. hm, both implemented in MAPLE V Rclease 3 Computer Algebra System.

Este trabalho descreve algoritmos algébricos para computação em corpos de Galois GF(q), com q = pn onde pé a característica do corpo, que pode ser arbitrariamente grande. Para fundamentar esse estudo é condensada e apresentada Lo ela. a fena.menta algébrica necessári a. Os corpos ·finitos são caracterizados, é mostrado como construí-los e sua aritmética é analisada. Algoritmos determinísticos e probabilísticos são desenvolvidos para. o cálculo de raízes polinomiais e a. fatoração de polinômios sobre esses corpos. Este trabalho é materializado pela implementação de dois algoritmos, o de Cantor-Zassenhaus e o de Rabin, ambos implementados no Sistema de Computação Algébrica MAPLE V Release 3. / This work elescribes algebraic algorithms for computing in Galois Fielels GF(q), with q = pn, where p is the characteristic of the fielel anel may be arbitrar.ialy large. By justifying this work we give a colection of results about topics of Algebra. Dctcnninistics anel probabilistics a.lgorithms are clevelopeel to compute polynomials roots anel for polynornia.l factorization in OF(q).This work is materializccl by the implementation oi' t.wo algorithms, Cantor-Zasscnhaus's algorithm anel Rabin's algoril. hm, both implemented in MAPLE V Rclease 3 Computer Algebra System.

Submitted by Kamila Costa (kamilavasconceloscosta@gmail.com) on 2015-08-07T13:59:57Z No. of bitstreams: 1 Dissertacao - Erivaldo R. Santana.pdf: 3301648 bytes, checksum: f3e68eae0be26f8d67132dc1bd792d18 (MD5) / Approved for entry into archive by Divisão de Documentação/BC Biblioteca Central (ddbc@ufam.edu.br) on 2015-08-07T14:09:31Z (GMT) No. of bitstreams: 1 Dissertacao - Erivaldo R. Santana.pdf: 3301648 bytes, checksum: f3e68eae0be26f8d67132dc1bd792d18 (MD5) / Approved for entry into archive by Divisão de Documentação/BC Biblioteca Central (ddbc@ufam.edu.br) on 2015-08-07T14:11:00Z (GMT) No. of bitstreams: 1 Dissertacao - Erivaldo R. Santana.pdf: 3301648 bytes, checksum: f3e68eae0be26f8d67132dc1bd792d18 (MD5) / Made available in DSpace on 2015-08-07T14:11:00Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Dissertacao - Erivaldo R. Santana.pdf: 3301648 bytes, checksum: f3e68eae0be26f8d67132dc1bd792d18 (MD5) Previous issue date: 2015-04-30 / CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / This work bears the purpose of setting up the course of the circle quadrature solution attempts, as well as to mention its influences, contributions for the mathematics development until now and to incentive the geometry dynamics use. In it we produce a possible explanation of how geometry has been created besides of a brief study on the number followed of the production GeoGebra software, the too we have utilized to build up the figures and the work implementations. We will utilize the areas equivalence based on Euclides elements to solve an initial problem: that of constructing a quadrilateral equivalent to a given pentagon and, for such, it will be necessary the demonstration of some propositions. We will utilize the square to relate its areas with those of the polygonal figures through the âquadratureâ method. With such we will execute the rectangle, triangle, pentagon quadrature, and that of the convex n sides polygon. We will utilize Pitagoras theorem to sum up the squares areas by bringing up brief comments about its use. Afterward this method will also the utilized in the attempt of squaring the curvelin figures such as the circle which has later on originated the problem of the circle quadrature. For explain such a problem we will utilize the geometric construction along with the demonstration of two methods for obtaining the circle quadrature and its respective results and comparisons. In the sequence, we will know what the are constructive numbers, algebraic and transcendent, which will enable us to reach to a classification of the number and its relation to the circle quadrature problem, reaching out the answer to our problem. While defining the geometrical average we will demonstrate how to obtain some quadrature utilized in such an average in the proposed activities. In other words, we can say that this work aims to produce the circle quadrature problem, the investigation of the methods developed by mathematicians for the solution of this problem in the course of history and, finally, an ascertainment on the answer these methods point us. / Este trabalho tem o intuito de traçar o percurso das tentativas de solução da quadratura do círculo, bem como citar suas influências, contribuições para o desenvolvimento da matemática até os dias de hoje e incentivar o uso da geometria dinâmica. Nele apresentamos uma possível explicação de como surgiu a geometria, além de um breve estudo sobre o número , seguido de uma apresentação do software GeoGebra, ferramenta que utilizamos para construção das figuras e das implementações do trabalho. Utilizaremos a equivalência de áreas baseada na obra dos elementos de Euclides para resolvermos um problema inicial: o de construir um quadrilátero equivalente a um pentágono dado e, para isso, será necessária a demonstração de algumas proposições. Utilizaremos o quadrado para relacionarmos a sua área com as das demais figuras poligonais pelo método da "quadratura". Com isso, executaremos as quadraturas do retângulo, triângulo, pentágono e do polígono convexo de n lados. Utilizaremos o Teorema de Pitágoras para somarmos áreas de quadrados, tecendo breves comentários acerca de seu uso. Posteriormente esse método também foi utilizado na tentativa de quadrar-se áreas de figuras curvilíneas, como o círculo, no que mais tarde originou o problema da quadratura do círculo. Para a exposição deste problema mostraremos a construção geométrica e a demonstração de dois métodos para obtermos a quadratura do círculo e seus respectivos resultados e comparações. Em seguida, definiremos o que são números construtíveis, algébricos e transcendentes, o que nos possibilitará chegar a uma classificação do número e sua relação com o problema da quadratura do círculo, chegando à resposta do nosso problema. Ao definirmos a média geométrica, mostraremos como obter algumas quadraturas utilizando essa média nas atividades propostas. Em outras palavras, podemos dizer que este trabalho objetiva apresentar o problema da quadratura do círculo, a investigação de métodos desenvolvidos por matemáticos para resolução deste problema ao longo da história e finalmente uma constatação acerca da resposta que estes métodos nos apontam.

Apresentamos duas construções para unidades de uma ordem em uma classe de álgebras de quatérnios que é anel de divisão: as unidades de Pell e as unidades de Gauss. Classificamos os anéis de inteiros de extensões quadráticas racionais, $R$, cujo grupo de unidades $\\U (R G)$ é hiperbólico para um certo grupo $G$ fixado. Também classificamos os semigrupos finitos $S$, tal que, para a álgebra unitária $\\Q S$ e para toda $\\Z$-ordem $\\Gamma$ de $\\Q S$, o grupo de unidades $\\U (\\Gamma)$ é hiperbólico. Nesse mesmo contexto, classificamos os {\\it RA}-loops $L$ cujo loop de unidades $\\U (\\Z L)$ não contém um subgrupo abeliano livre de posto dois. / For a given division algebra of a quaternion algebra, we construct and define two types of units of its $\\Z$-orders: Pell units and Gauss units. Also, for the quadratic imaginary extensions over the racionals and some fixed group $G$, we classify the algebraic integral rings for which the unit group ring is a hyperbolic group. We also classify the finite semigroups $S$, for which all integral orders $\\Gamma$ of $\\Q S$ have hyperbolic unit group $\\U(\\Gamma)$. We conclude with the classification of the $RA$-loops $L$ for which the unit loop of its integral loop ring does not contain a free abelian subgroup of rank two.