In this thesis, we study two different kinds of approximation of plurisubharmonic functions. The first one is a Mergelyan type approximation for plurisubharmonic functions. That is, we study which domains in C^n have the property that every continuous plurisubharmonic function can be uniformly approximated with continuous and plurisubharmonic functions defined on neighborhoods of the domain. We will improve a result by Fornaess and Wiegerinck and show that domains with C^0-boundary have this property. We will also use the notion of plurisubharmonic functions on compact sets when trying to characterize those continuous and plurisubharmonic functions that can be approximated from outside. Here a new kind of convexity of a domain comes in handy, namely those domains in C^n that have a negative exhaustion function that is plurisubharmonic on the closure. For these domains, we prove that it is enough to look at the boundary values of a plurisubharmonic function to know whether it can be approximated from outside. The second type of approximation is the following: we want to approximate functions u that are defined on bounded hyperconvex domains Omega in C^n and have essentially boundary values zero and bounded Monge-Ampère mass, with increasing sequences of certain functions u_j that are defined on strictly larger domains. We show that for certain conditions on Omega, this is always possible. We also generalize this to functions with given boundary values. The main tool in the proofs concerning this second approximation is subextension of plurisubharmonic functions.

In this thesis we focus on Dirichlet's problem for the complex Monge-Ampère equation. That is, for a given non-negative Radon measure µ we are interested in the conditions under which there exists a plurisubharmonic function u such that (ddcu)n=µ, where (ddc)n is the complex Monge-Ampère operator. If this function u exists, then can it be chosen with given boundary values? Is this solution uniquely determined within a given class of functions?

This thesis consists of three papers concerning problems related to plurisubharmonic functions on bounded hyperconvex domains, in particular boundary values of such functions. The papers summarized in this thesis are:* Paper I Urban Cegrell and Berit Kemppe, Monge-Ampère boundary measures, Ann. Polon. Math. 96 (2009), 175-196.* Paper II Berit Kemppe, An ordering of measures induced by plurisubharmonic functions, manuscript (2009).* Paper III Berit Kemppe, On boundary values of plurisubharmonic functions, manuscript (2009).In the first paper we study a procedure for sweeping out Monge-Ampère measures to the boundary of the domain. The boundary measures thus obtained generalize measures studied by Demailly. A number of properties of the boundary measures are proved, and we describe how boundary values of bounded plurisubharmonic functions can be associated to the boundary measures.In the second paper, we study an ordering of measures induced by plurisubharmonic functions. This ordering arises naturally in connection with problems related to negative plurisubharmonic functions. We study maximality with respect to the ordering and a related notion of minimality for certain plurisubharmonic functions. The ordering is then applied to problems of weak*-convergence of measures, in particular Monge-Ampère measures.In the third paper we continue the work on boundary values in a more general setting than in Paper I. We approximate measures living on the boundary with measures on the interior of the domain, and present conditions on the approximation which makes the procedure suitable for defining boundary values of certain plurisubharmonic functions.

We present a numerical method to solve the optimal transport problem with a quadratic cost when the source and target measures are periodic probability densities. This method relies on a numerical resolution of the corresponding Monge-Ampère equation. We use an existing Newton-like algorithm that we generalize to the case of a non uniform final density. The main idea consists of designing an iterative scheme where the fully nonlinear equation is approximated by a non-constant coefficient linear elliptic PDE that we discretize and solve at each iteration, in two different ways: a second order finite difference scheme and a Fourier transform (FT) method. The FT method, made possible thanks to a preconditioning step based on the coefficient-averaged equation, results in an overall O(P LogP )-operations algorithm, where P is the number of discretization points. We prove that the generalized algorithm converges to the solution of the optimal transport problem, under suitable conditions on the initial and final densities. Numerical experiments demonstrating the robustness and efficiency of the method on several examples of image processing, including an application to multiple sclerosis disease detection, are shown. We also demonstrate by numerical tests that the method is competitive against some other methods available.

Les pompes à électrons ont été très étudiées et fabriquées par le monde scientifique. Elles génèrent un courant continu proportionnel à une fréquence très bien contrôlée en métrologie. Dans ce contexte métrologique, des principes et matériaux divers comme la pompe en GaAs ou Silicium ou encore le tourniquet supraconducteur ont marqué les avancées. Bien que les courants générés sont toujours plus grands et précis, les exigences fixées pour la métrologie sont difficiles à atteindre et pour l'heure aucune pompe à électrons ne peut être utilisable pour la mise en pratique du futur ampère quantique qui sera probablement défini dans quelques années.Par ailleurs, des chercheurs ont créé des circuits associant des transistors FETs (transistors à effet de champ) et des transistors SETs (transistors mono-électroniques), notamment dans une optique d'une électronique très basse consommation.Cette thèse apporte une contribution nouvelle dans ces deux domaines : une nouvelle pompe à électrons en silicium a été développée, et une co-intégration de circuit CMOS classique avec un dispositif de nanoélectronique quantique a été démontré.Notre pompe à électrons repose sur le principe de deux barrières tunnel réglables et d'un îlot central. Au travers de la modulation des barrières à la fréquence f, la charge électrostatique de l'îlot central est contrôlée, un courant continu I=ef est généré; et ceci même avec une tension nulle aux bornes de la pompe. Nos pompes à électrons utilisent la technologie nanofils silicium-sur-isolant développée par le CEA-LETI. Le nanofil est recouvert de deux grilles (2 MOSFETs en série) pour les barrières réglables, et un îlot de Coulomb métallique de petite taille est « isolé » entre ces deux transistors. Nos échantillons à 100mK nous ont permis de montrer que nous étions capables de contrôler adiabatiquement l'état de charge de l'îlot quantique et de générer des courants quantifiés jusqu'à 900MHz. Nous avons aussi fabriqué les premières pompes à électrons en lithographique optique uniquement, avec pour ces dernières une fréquence maximale de pompage de 300MHz.Notre technologie de fabrication de SETs à grande échelle repose sur une réduction des tailles. Ces techniques n'ont que très rarement été couplées avec des circuits CMOS conventionnels mais fonctionnant à basse température. L'intérêt d'une telle co-intégration est grand dans le domaine de l'information quantique: la mise en place de beaucoup de qubits couplés pourrait nécessiter des circuits « annexes » réalisés en CMOS classique mais cryogénique.Nous avons conçu et fabriqué avec le LETI-DACLE un circuit co-intégrant un circuit oscillant composé de FETs de grandes dimensions et un circuit nanoscopique composé de SETs. Un circuit d'essai comprenant une pompe à électrons pilotée sur la puce par un circuit oscillant a été réalisé et mesuré à basse température.Nos résultats montrent que les circuits oscillants basés sur des oscillateurs en anneaux pour des applications à 300K restent fonctionnels jusqu'à 1K, malgré une très faible baisse de la fréquence d'oscillation. En parallèle, nous avons par la mesure de courant de rectification sur le dispositif nanoscopique mis en évidence que la cohabitation entre circuit FET et SET était réalisable et qu'il est possible d'imaginer un circuit complexe pour réaliser une pompe à électrons et son électronique associée sur une même puce.La conception de pompe à électrons par l'approche de la technologie SOI a montré sa viabilité, avec nos dispositifs potentiellement équivalents aux meilleures pompes crées jusqu'à présent. L'avantage du silicium et des techniques de fabrication modernes ont prouvé qu'il était possible de créer des circuits complexes alliant FET et SET pour des applications faisant intervenir des phénomènes quantiques. Ces travaux montrent le caractère prometteur de la co-intégration de circuits et ouvre la voie à de plus amples investigations dans la réalisation des pompes à électrons en silicium. / Electrons pumps have been extensively studied and manufactured by the scientific world. They generate a DC current proportional to a frequency very well controlled metrology. In this metrological context, the various principles and materials such as GaAs or Silicon pump or the superconducting turnstile have shown great progress. Although the generated level of currents are always higher and accurate, the requirements for the metrology are difficult to meet and for now no electron pump can be used for the realisation of the future quantum ampere that will probably be defined in a few years.Moreover, researchers have created circuits involving transistors FETs (field effect transistors) and transistors SETs (single-electron transistors), particularly to the purpose of a low consumption electronic.This thesis makes a further contribution in both areas: a new silicon electron pump was developed and co-integration of conventional CMOS circuit with a quantum nanoelectronics device was demonstrated.Our electron pump is based on the principle of two tuneable tunnel barriers and a central island. Through the modulation of the barriers at the frequency f, the electrostatic charge of the central island is controlled, a direct current I = ef is generated; and this even with a zero voltage bias across the pump. Our electron pumps use the nanowire technology silicon-on-insulator developed by CEA-LETI. The nanowire is covered with two gates (two MOSFETs in series) as adjustable barriers, and a small metallic Coulomb island is "isolated" between these two transistors. Our samples at 100mK demonstrated that we were able to control the quantum island charge state adiabatically and generated quantified currents up to 900MHz. We also produced the first electron pumps only achieved by optical lithography, with a maximum pumping frequency of 300MHz.Our large scale SETs manufacturing technology is based on the extreme size shrinking. These techniques have rarely been coupled with conventional CMOS circuits, when operating at low temperature. The interest of such co-integration is strong in the field of the quantum information: the establishment of many coupled qubits may require "additionnal" circuits made with classic CMOS but in cryogenic environnement.We designed and fabricated with the LETI-DACLE a co-integration of an oscillating circuit composed of large FETs circuit and a circuit made of nanoscopic SETs. A test circuit comprising an electron pump driven on chip by an oscillating circuit was created and measured at low temperature.Our results show that the oscillating circuit based on ring oscillators for 300K applications remain functional up to 1K, despite a very slight decay in the oscillation frequency. In parallel, by measuring a rectification current on the nanoscale device we demonstrated that cohabitation between FET circuit and SET was realistic and makes possible to imagine a complex circuit to achieve an electron pump and its electronic embedded on a single chip.The electron pump design by the approach of SOI technology has demonstrated its viability, potentially our devices are equivalent versus the best pumps created so far. The advantage of silicon and modern manufacturing techniques have proved that was possible to create complex circuits combining FET and SET for applications involving quantum phenomena. This work shows the promising nature of the co-integration circuits and opens the way for further investigation in the implementation of silicon electron pumps.

Made available in DSpace on 2014-06-12T18:29:06Z (GMT). No. of bitstreams: 2 arquivo6737_1.pdf: 2217853 bytes, checksum: da6a9abf58de3f68dddfaf5ff11f272a (MD5) license.txt: 1748 bytes, checksum: 8a4605be74aa9ea9d79846c1fba20a33 (MD5) Previous issue date: 2010 / Universidade Federal Rural de Pernambuco / O tema central da presente tese é a descrição algebro-geométrica de hipersuperfícies cúbicas, que não são cones e cujo hessiano é identicamente nulo. Hesse (1851) acreditava ter caracterizado os cones por intermédio do anulamento do determinante hessiano, entretanto Gordan e Noether (1876) construíram classes de exemplos de hipersuperfícies que não são cones e cujo hessiano é identicamente nulo. Baseado no posterior trabalho de Perazzo (1902), para as cúbicas, demos formas canônicas e teoremas de estrutura geométricos para tais hipersuperfícies, completando a classificação das mesmas em um espaço projetivo de dimensão menor ou igual a sete. Sob uma ótica mais moderna enfatizamos a conexão entre tais hipersuperfícies e as hipersuperfícies desenvolvíveis, cujo mapa de Gauss é degenerado, via o hessiano que é um importante invariante nesse contexto. Além de produzirmos novos exemplos de hipersuperfícies desenvolvíveis demos uma classificação das mesmas em um espaço de dimensão menor que 6. As hipersuperfícies desenvolvíveis são um moderno e importante tema de pesquisa em várias áreas da matemática tendo ainda aplicações em computação gráfica, desenho industrial e física. Exemplos em dimensão maior que 4 são raros e o entendimento de sua estrutura geométrica é de grande interesse

L'objet de cette thèse est d'étudier la théorie du transport optimal sur un espace de Wiener abstrait. Les résultats qui se trouvent dans quatre principales parties, portent :Sur la convexité de l'entropie relative. On prolongera des résultats connus en dimension finie, sur l'espace de Wiener muni d'une norme uniforme, à savoir que l'entropie relative est (au moins faiblement) 1-convexe le long des géodésiques induites par un transport optimal sur l'espace de Wiener.Sur les mesures à densité logarithmiquement concaves. Le premier des résultats importants consiste à montrer qu'une inégalité de type Harnack est vraie pour le semi-groupe induit par une telle mesure sur l'espace de Wiener. Le second des résultats obtenus nous fournit une inégalité en dimension finie (mais indépendante de la dimension), contrôlant la différence de deux applications de transport optimal.Sur le problème de Monge. On s'intéressera au problème de Monge sur l'espace de Wiener, muni de plusieurs normes : des normes à valeurs finies, ou encore la pseudo-norme de Cameron-Martin.Sur l'équation de Monge-Ampère. Grâce aux inégalités obtenues précédemment, nous serons en mesure de construire des solutions fortes de l'équation de Monge-Ampère (induite par le coût quadratique) sur l'espace de Wiener, sous de faibles hypothèses sur les densités des mesures considérées / The aim of this PhD is to study the optimal transportation theory in some abstract Wiener space. You can find the results in four main parts and they are aboutThe convexity of the relative entropy. We will extend the well known results in finite dimension to the Wiener space, endowed with the uniform norm. To be precise the relative entropy is (at least weakly) geodesically 1-convex in the sense of the optimal transportation in the Wiener space.The measures with logarithmic concave density. The first important result consists in showing that the Harnack inequality holds for the semi-group induced by such a measure in the Wiener space. The second one provides us a finite dimensional and dimension-free inequality which gives estimate on the difference between two optimal maps.The Monge Problem. We will be interested in the Monge Problem on the Wiener endowed with different norms: either some finite valued norms or the pseudo-norm of Cameron-Martin.The Monge-Ampère equation. Thanks to the inequalities obtained above, we will be able to build strong solutions of the Monge-Ampère (those which are induced by the quadratic cost) equation on the Wiener space, provided the considered measures satisfy weak conditions

Tout p-cycle tropical VT de Rn, on attache naturellement un courant fermé (p, p) dimensionnel d'ordre 0 sur (C)n, noté Tp n(VT). Un tel "courant tropical" T p n(VT) ne saurait etre le courant d'intégration sur un quelconque sous-ensemble analytique de (C)n du fait qu'il a pour support l'ensemble log-1(VT) (C)n, où l'application Log désigne la multivluation (Z1, ..., Zn) 7! (logIZ1I, ..., logIZnI). On donne des conditions suffisantes (de nature locale) sur un p-cycle tropical VT pour le courant tropical T p n(VT) qui lui est associé soit" fortement extrémal" dans D0p, p((C)n). En particulier, si une telle condition s'avère remplie pour un p-cycle tropical effectif, alors le courant tropical qui lui est attaché est extrémal dans le cône des courants fermés de bidimension (p, p) sur (C)n. On explique ensuite comment prolonger ces courants tropicaux et les propirétés d'extrémilité dont ils héritent à l'espace projectif CPn. On montre également comment définir le produit de tels courants tropicaux pour en déduire une théorie de l'intersection entre cycles tropicaux. pour opérer ces calculs, on établit une formule pour la mesure de Monge Ampère réelle associée à un polynôme tropical. De plus, comme un tel courant tropical attaché à un p-cycle tropical VT s'obtient en moyennisant des courants d'intégration sur des variétés toriques, on met en correspondance théorie de l'intersection dans le cadre torique et théorie de l'intersection dans le cadre tropical. On explicite enfin certains liens entre les problèmes relevant de l'approximation (an sens ensembliste, pour la métrique de Hausdorff) des cycles tropicaus de Rn par les amibes de cycles algébriques de (C)n et l'approximation (ans sens faible) des courants tropicaux associées par des multiples positifs de courants d'intégration sur de tels cycles algébriques. on explique en quoi ces questions d'approximation se trouvent reliées à une formulation forte de la célèbre confecture de Hodge. / To a tropical p-cycle VT in Rn, we naturally assoicate a closed (p, p)-dimensional current of order zero on (C)n denoted bu T p n(VT). Such e "tropical current" T p n(VT) cannot be an integration current along any analytic set since its support has the form log -1(VT) (C)n, where log is the coordinate-wise valuation with log(I.I). We provide sufficient (local) conditions on a tropical p-cycle such that its associated tropical is "strongly extremal" in Dop, p((C)n). In particular, if these conditions hokd for the effective cycles, then the associated current are extremal in the cone of strongly positive closed currents of bidimension (p, p) on (C)n. Nexte we explain how to extend the currents and extremality results to CPn. Further, we demonstrate how to use the intersection theory of currents to derive an intersection theory for the inderlying tropical cycles. The explicit calculations will be established by using e formula for the real Monge-Ampère measure of a tropical polynomial. Moreoer, since such tropical currents are obtained by an averaging of integration currents on toric sets, an equality between toric intersection multipmicities and the tropical multiplicities is readily settled. Finally, we explain certain relations between approximation problems of tropical cycles by amoebas of algebraic cycles and approximations of the associated currents by positive multiples of integration currents along analytic cycles. Il will be discussed haw these approximtion problems are related to a stronger formulation of the celebrated hodge conjecture.

We study Monge-Ampère-type equations on compact complex manifolds. We prove a C² estimate for solutions to a general class of non-concave parabolic equations, extending work from the Kähler setting. Next we prove C⁰, C², and curvature estimates for solutions to a particular continuity path of elliptic equations on specific examples of non-Kähler manifolds, adapting work on the Chern-Ricci flow. In each case the estimates give a certain type of convergence of the solutions. The estimates are obtained by maximum principle arguments, and in the first part of this work we set up a general framework that facilitates the various C² estimates which follow.

Cette thèse s’intéresse à la modélisation magnétohydrodynamique des écoulements de fluides conducteurs d’électricité multi-échelles en mettant l’emphase sur deux applications particulières de la physique solaire: la modélisation des mécanismes des variations de l’irradiance via la simulation de la dynamo globale et la reconnexion magnétique. Les variations de l’irradiance sur les périodes des jours, des mois et du cycle solaire de 11 ans sont très bien expliquées par le passage des régions actives à la surface du Soleil. Cependant, l’origine ultime des variations se déroulant sur les périodes décadales et multi-décadales demeure un sujet controversé. En particulier, une certaine école de pensée affirme qu’une partie de ces variations à long-terme doit provenir d’une modulation de la structure thermodynamique globale de l’étoile, et que les seuls effets de surface sont incapables d’expliquer la totalité des fluctuations. Nous présentons une simulation globale de la convection solaire produisant un cycle magnétique similaire en plusieurs aspects à celui du Soleil, dans laquelle le flux thermique convectif varie en phase avec l’ ́energie magnétique. La corrélation positive entre le flux convectif et l’énergie magnétique supporte donc l’idée qu’une modulation de la structure thermodynamique puisse contribuer aux variations à long-terme de l’irradiance. Nous analysons cette simulation dans le but d’identifier le mécanisme physique responsable de la corrélation en question et pour prédire de potentiels effets observationnels résultant de la modulation structurelle. La reconnexion magnétique est au coeur du mécanisme de plusieurs phénomènes de la physique solaire dont les éruptions et les éjections de masse, et pourrait expliquer les températures extrêmes caractérisant la couronne. Une correction aux trajectoires du schéma semi-Lagrangien classique est présentée, qui est basée sur la solution à une équation aux dérivées partielles nonlinéaire du second ordre: l’équation de Monge-Ampère. Celle-ci prévient l’intersection des trajectoires et assure la stabilité numérique des simulations de reconnexion magnétique pour un cas de magnéto-fluide relaxant vers un état d’équilibre. / This thesis concentrates on magnetohydrodynamical modeling of multiscale conducting fluids with emphasis on two particular applications of solar physics: the modeling of solar irradiance mechanisms via the numerical simulation of the global dynamo and of magnetic reconnection. Irradiance variations on the time scales of days, months, and of the 11 yr solar cycle are very well described by changes in the surface coverage by active regions. However, the ultimate origin of the long-term decadal and multi-decadal variations is still a matter of debate. In particular, one school of thought argues that a global modulation of the solar thermodynamic structure by magnetic activity is required to account for part of the long-term variations, in addition to pure surface effects. We hereby present a global simulation of solar convection producing solar-like magnetic cycles, in which the convective heat flux varies in phase with magnetic energy. We analyze the simulation to uncover the physical mechanism causing the positive correlation and to predict potential observational signatures resulting from the flux modulation. Magnetic reconnection is central to many solar physics phenomena including flares and coronal mass ejections, and could also provide an explanation for the extreme temperatures (T ∼ 106K) that charaterize the coronna. A trajectory correction to the classical semi-Lagrangian scheme is presented, which is based on the solution to a second-order nonlinear partial differential equation: the Monge-Amp`ere equation. Using the correction prevents the intersection of fluid trajectories and assures the physical realizability of magnetic reconnection simulations for the case of a magneto- fluid relaxing toward an equilibrium state.