En aquest treball, estudiarem diferents exemples de construccions d'anells i de monoides. En cada cas hem intentat fer notables les idees en la construcció per generadors i relacions. Una eina que utilitzarem bastant per a trobar formes normals a partir de presentacions de monoides és el Lema del Diamant [15, Theorem I.4.9]. En altres casos, no obtenim formes normals d'elements pròpiament dites, però podem aconseguir expressions per als elements que no són úniques però si conserven certes propietats. En altres casos, ens és molt útil de?nir funcions sobre els generadors d'un anell per poder treballar amb l'estructura graduada de l'anell i les components homogènies dels elements. Els exemples que tractarem, seran anells i monoides amb condicions de cadena. Tractar les condicions de cadena amb generadors i relacions ens planteja la di?cultat de que generalment ens calen una quantitat in?nita d'aquests. Això fa que l'exemple vingui presentat per molts generadors i moltes relacions.

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Entenderemos por anillos "blowup" cierto tipo de anillos graduados asociados a filtraciones de un anillo conmutativo A. Los anillos blowup aparecen a menudo en Algebra Conmutativa y Geometría Algebraica. Expondremos a continuación algunas de las aplicaciones de estos anillos en diversos problemas y que han motivado el estudio de sus propiedades. En el estudio de singularidades aparecen también anillos "blowup" asociados a filtraciones no ádicas. Otra de las aplicaciones de los anillos blowup es la construcción de contraejemplos al Problema 14 de Hilbert. Además, buenas propiedades aritméticas de los anillos "blowup" asociados a un ideal nos aseguran un buen comportamiento de sus funciones de Hilbert y viceversa.Lo anterior supone una pequeña ilustración de las múltiples ocasiones en que aparecen los anillos "blowup" y de porqué es interesante el estudio de sus propiedades aritméticas.En esta memoria estudiaremos principalmente la profundidad, y en particular la propiedad Cohen-Macaulay de los anillos y módulos "blowup" noetherianos asociados a filtraciones generales de un anillo local (A, m) de dimensión d. Diversos autores se han dedicado al estudio de tal propiedad en el caso de filtraciones ádicas en los últimos años el número de trabajos en esta dirección ha sido muy alto. Podemos destacar esencialmente dos tipos de resultados. Por una parte, los que relacionan la propiedad Cohen-Macaulay de A, GA{I) y RA{I) y, por otra, resultados positivos acerca de la propiedad Cohen-Macaulay de los mismos. Un tercer tipo de resultados sería el estudio de la propiedad Cohen-Macaulay de Fm(/), pero los resultados conocidos en este sentido son escasos.

L'objectiu del projecte era el d'estudiar diversos aspectes dels forats negres en dimensions més altes que quatre. Concretament, volíem estudiar els anells negres en cinc dimensions amb l'objectiu de generalitzar les solucions existents i obtenir-ne de noves. En primer lloc hem construït un anell negre no supersimètric amb càrregues D1-D5-P mitjançant una sèrie de "boosts" i dualitats. Hem pogut construir aquesta nova solució gràcies al fet que hem utilitzat una solució de partida amb tres càrregues dipolars independents. En el límit supersimètric però només podem recuperar la solució supersimètrica amb tres càrregues conservades i dues càrregues dipolars. Hem obtingut una nova solució d'anell negre amb rotació a la dos-esfera. L'anell negre original en canvi presenta rotació i al llarg de la u-esfera. La nostra solució però presenta singularitats còniques. Ara bé, aquesta solució proporcionà evidències de l'existència d'un anell negre amb doble rotació. Hem construït també un saturn negre. Aquesta nova solució en cinc dimensions consta d'un forat negre de Myers-Perry envoltat per un anell negre. Per tal que la configuració estigui en equilibri, ambdós objectes presenten rotació independent al pla de l'anell. Hem obtingut aquesta solució exacta mitjançant el mètode de Belinsky-Zakharov.En el context de la correspondència AdS/CFT, hem estudiat la geometria dels forats negres supersimètrics en AdS(5). Totes les solucions conegudes estan determinades per un espai base de Kähler que depen, en principi, d'una funció arbitrària. Supersimetria imposa que aquesta funció hagi d'obeïr una equació de sisè ordre.Finalment, hem construït totes les solucions supersimètriques de supergravetat en onze dimensions (teoria M a baixes energies) amb un factor AdS(3). Aquestes solucions han de ser duals a teories superconformes amb diverses supersimetries. També hem fet una proposta sobre les propietats geomètriques globals de tota solució supersimètrica amb una teoria de camps dual. / The goal of this project was to study various aspects of higher dimensional black holes. More specifically, we wanted to study black rings in five dimensions with the objective of generalising the existing solutions and find new ones. In a first instance, we constructed a non-supersymmetric black ring with D1-D5-P charges by means of a sequence of boosts and dualities. In order to construct this solution, it was key to start with a seed solution with three dipole charges. In the supersymmetric limit, we can only recover the supersymmetric solution with three charges and two dipoles. We have constructed a black ring with a rotating two-sphere. The original black ring carried angular momentum along the S1. However, our solution has conical singularities. This solution gave evidence in favour of the existence of a doubly spinning black ring.We have also constructed a black saturn. This solution in five dimensions consists of a Myers-Perry black hole surrounded by a black ring. In order for this configuration to be in equilibrium, both black objects have to have rotation in the plane of the ring. We have contructed this solution by means of the Belinsky-Zakharov technique. In the context of the AdS/CFT correspondence, we have studied the geometry of the known supersymmetric AdS(5) black holes. All known solutions are determined by a K¨ahler base space which depends, in principle, on an arbitray function. Supersymmetry imposes that this function has to satisfy a sixth order differential equation.Finally, we have constructed all supersymmetric solutions of eleven-dimensional supergravity (M-theory at low energies) with an AdS(3) factor. These solutions should be dual to superconformal field theories with various supersymmetries. We have also formulated a proposal of the global geometric properties of all supersymmetric solutions with a field theory dual.

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We have investigated several properties of semiconductor electronic nanostructures. In the first part of the thesis, within the density functional theory we have addressed the ground state and the dipolar response of quantum rings. In particular, we have considered single-quantum-ring systems and also vertically and concentrically coupled quantum rings. As parameters, we have taken both the inter-ring distance and the intensity of externally applied electric and/or magnetic fields. The calculation of the addition energies and the dipolar response has allowed us to study the evolution of these properties as a function of the mentioned parameters, and to describe as well some of the properties of double-ring systems in terms of those of the single rings, especially in the limits of small (strong coupling regime) and large (weak coupling regime) ring separations.Also, we have studied the effects of the Rashba and Dresselhaus spin-orbit interactions in quantum wells and wires submitted to magnetic fields. For the formers, we have not taken into account the electron-electron interaction in most of the calculations and we have employed an analytic formalism that has allowed us to obtain exact results for the electronic eigenstates and eigenenergies in some particular cases, as well as non-exact expressions obtained after doing some approximations that have turned out to be very accurate when compared with the numerically obtained results. For the quantum wires, we have employed a generalization of the local spindensity approximation that allows to treat systems with non-collinear spins (e.g. due to the spinorbit interaction) similarly as those systems in which one can define a common spin quantization axis. This way we have been able to compute the single-particle orbitals and also the conductance of the wire as a funcion of both the magnetic field and the spin-orbit coupling strengths, investigating the effects of the exchange-correlation interaction.KEY WORDS: Nanostructures, Quantum Rings, Quantum Wires, Spin-Orbit, Far-Infrared Response / Hem investigat diverses propietats de les nanoestructures electròniques de semiconductor. En primer lloc, utilitzant el formalisme de la teoria del funcional de la densitat hem estudiat l'estat fonamental i la resposta a l'infraroig llunyà d'anells quàntics. En particular, hem considerat els sistemes formats per un sol anell, i també per anells dobles acoblats verticalment i concèntricament.Com a paràmetres hem pres les distàncies de separació entre els anells, i també la intensitat d'un cert camp elèctric i/o magnètic aplicat sobre els sistemes. El càlcul de les energies d'addició i de la resposta dipolar ens ha permès observar la seva evolució en funció d'aquests paràmetres, i també descriure algunes de les propietats dels anells dobles en termes de les dels anells simples, especialment en els límits de separacions molt petites (límit d'acoblament quàntic fort) i molt grans (límit d'acoblament quàntic dèbil).Per altra banda, hem estudiat els efectes de les interaccions d'spin-òrbita de Rashba i de Dresselhaus en pous i fils quàntics sotmesos a camps magnètics. En el cas dels primers, s'ha omès en gairebé tots els càlculs la interacció electró-electró i s'ha emprat un formalisme anal.lític que ens ha permès obtenir resultats exactes pels autoestats i les autoenergies dels electrons en alguns casos particulars, i d'altres expressions no exactes obtingudes després de realitzar certes aproximacions, però que han resultat ser molt acurades en comparar-les amb els resultats numèrics. En el cas dels fils quàntics hem utilitzat una generalització de l'aproximació local d'spin que ens ha permès estudiar un sistema on els spins no són colineals degut a la presència de la interacció d'spin-òrbita de manera similar als sistemes en que sí ho són. Així hem calculat les energies monoparticulars i la conductància del fil en funció del camp magnètic i de la intensitat dels acoblaments de Rashba i de Dresselhaus, investigant els efectes de la interacció d'intercanvi-correlació.

Esta memoria recoge algunos de los puntos fundamentales e inéditos que han aparecido al iniciar un estudio sobre los métodos espectrales en Análisis y, en particular, sobre los anillos y estructuras diferenciables. Dicho estudio se ha realizado bajo la dirección del profesor Dr. J. Sancho Guimerà y en colaboración con J. Muñoz. El camino recorrido puede seguirse a través del articulo "Sobre las álgebras localmente convexas" de J. Muñoz y J. Ortega (Coll. Math 1969), la memoria "Caracterización de las álgebras diferenciables y síntesis espectral para módulos sobre tales álgebras", tesis doctoral de J. Muñoz y la presente memoria.El capitulo I y la primera parte del capítulo III son, básicamente, de preparación para los teoremas de caracterización anteriormente citados. En la segunda parte del capítulo III se vuelve al problema de la localización para productos tensoriales de A-álgebras y módulos sobre las mismas. En el primer apartado del capitulo III se estudian las derivaciones y diferenciales para A-álgebras de Fréchet y se dar para ellas propiedades análogas a las algebraicas de las diferenciales de Kalher. En el capitulo IV se describen diversos ejemplos de morfismos "t" lisos que tienen interés en Análisis. Se definen los morfismos "t" lisos asociados a un fibrado trivial de base Spec (A) y fibra R(n) ó una variedad, así como el asociado a un módulo proyectivo que son las A-secciones de un fibrado localmente trivial de fibra R(n). De esta forma la estructura diferenciable ce las fibras se transporta a una "estructura A-diferenciable" en las A-secciones de dichos fibrados se demuestra que la A-variedad de las A-secciones del fibrado trivial de fibra una variedad es localmente isomorfa a un módulo proyectivo de los citados anteriormente. Como resultado marginal y como muestra de las posibilidades de estos planteamientos se observa como la demostración del teorema de existencia de soluciones en ecuaciones diferenciales ordinarias da directamente el teorema de dependencia diferenciable de las soluciones respecto a las condiciones iniciales y respecto a una familia de parámetros de las que depende la propia ecuación diferencial.

DE LA TESIS:La noción de "ideal primo" (Dedekind 1871) ha ido adquiriendo cada vez mayor importancia hasta ocupar, con la Teoría de Esquemas de Grothendieck el centro mismo del Algebra Conmutativa. El estudio de los anillos conmutativos se convierte así en el de los esquemas afines con base en espacios topológicos que son el espectro primo de un anillo conmutativo, correspondiéndose funtorialmente los homomorfismos de anillos A->B con morfismos de esquemas que inducen en los espacios base las aplicaciones continuas Spec B -> Spec A. Un responsable fundamental en una parte de esta evolución es W. Krull (1899-1971). Señalemos algunos aspectos de su contribución únicamente desde el punto de vista de nuestro trabajo. A Krull se debe (en 1926) la definición de dimensión de un anillo como supremo de las longitudes de las cadenas de ideales primos de A asociando por primera vez el objeto geométrico Spec A al objeto algebraico A. Su famoso "Hauptidealsatz" hace que, en palabras de Northcott un anillo noetheriano deje de ser un pálido reflejo de un anillo de polinomios y convierte al conjunto ordenado Spec A en algo semejante al conjunto de subvariedades irreducibles de una variedad algebraica afín Spec A verifica la condición de cadena descendente en un sentido fuerte la altura de un ideal primo es finita entre dos ideales primos comparables no adyacentes existen infinitos ideales primos, etc. Más tarde Krull demuestra que si A es un anillo local regular h(P)+ch(P)=dim A para todo P Spec A Pasamos a describir el contenido de la memoria en términos generales Un complemento de esta descripción son las introducciones a los tres capítulos de que consta así como los comenta nos intercalados en ellos. Se ha preferido prescindir de capítulo 0 y de enunciados de definiciones y resultados conocidos, salvo en contadas ocasiones bien especificadas. A cambio se citan con precisión todos los datos utilizados a riesgo de ser a veces un poco prolijos. El estudio de la propiedad de going-between ocupa los capítulos II y III de nuestra memoria El capítulo I es independiente de dicha propiedad y tiene como fin básico el cálculo de la dimensión de Krull en una extensión de anillos. Parte de los resultados son utilizados luego en los dos capítulos posteriores pero creemos que primordialmente son de interés por sí mismos. La motivación principal está en conseguir para una extensión ACB de anillos íntegros fórmulas que relacionen dim B con dim A y gr tr (A)B en las condiciones mas generales posibles. Tales fórmulas existen en la literatura solo cuando B es un anillo de polinomios ó una extensión entera aparte del clásico caso de las álgebras afines sobre un cuerpo El objetivo se logra de hecho de forma óptima con la única restricción de que A sea un anillo noetheriano.Se comienza el capítulo I introduciendo lo que hemos llamado radical dimensional de un anillo y dando métodos de calculo de dicho ideal y también de la intersección de ciertas familias de idea les primos de un anillo noetheriano relacionadas con la dimensión. El radical dimensional aparece luego como la obstrucción a que la dimensión de Krull pueda expresarse para un anillo noetheriano cualquiera en términos del grado de trascendencia como ocurre con las álgebras afines sobre un cuerpo. En el capítulo II se comienza el estudio de la propiedad de "going-between". Se define lo que llamamos GB-extensión A C B es una GB-extensión si la aplicación Spec B -> Spec A tiene la propiedad de "going-between". Tras el examen de las generalidades del caso se centra el interés en la relación entre GB-extensiones y las más simples GD-extensiones, definidas relativamente a la propiedad de "going-down". Se observa el papel de puente que van a jugar en ello los anillos de valoración a causa de la simplicidad de su espectro. El capítulo III presenta los resultados de mayor interés (y sin duda los más complejos) en torno a la propiedad de "going-between". Se trata en definitiva de averiguar qué anillos noetherianos son GB(2)-anillos lamentablemente la condición se revela muy restrictiva por encima de la dimensión 3. Se abordan con diferentes métodos dos casos fundamentales anillos que son álgebras finitogeneradas y anillos de series formales. Resulta obligado explicar la disparidad de los métodos empleados en las dos partes del capítulo III. La condición necesaria (III 1-1) es en principio de generalidad total, pero plantea a su vez un difícil problema (conjetura de Kaplansky-Hochster) cuando se puede asegurar que dos ideales primos de altura 2 contienen simultáneamente algún ideal primo de altura 1. Aunque en ciertos casos geométricos el problema aparece como "naif", existen contraejemplos al caso general y de hecho sólo recientemente se tienen datos positivos en anillos de polinomios (McAdam). Esto explica el largo y paciente peregrinaje que representan las demostraciones de las proposiciones (III 1-4) y (III 1-6) antes mencionadas y la forma de sus enunciados. Asimismo pone de manifiesto que el método no es aplicable a los anillos de series. Finalmente digamos que los resultados obtenidos hacen pensar como improbable la existencia de GB(2)-anillos noetherianos de dimensión superior a 3 e incluso en éste último caso, un GB(2)-anillo aparece como algo muy semejante a un anillo henseliano.

The original interest in sandwiched singularities comes from a natural question posed by J. Nash in the early sixties to H. Hironaka: “Does a finite succession of Nash transformations or normalized Nash transformations resolve the singularities of a reduced algebraic variety?” In 1975, A. Nobile proved that, in characteristic zero, a Nash transformation is an isomorphism only in case the original variety is already non-singular. It turns out, in particular, that curve singularities are resolved by a succession of Nash transformations. Rebasoo proved in his Ph. D. thesis that Nash transformations also resolve certain kinds of quasi-homogeneous hypersurface singularities in (C)3. In 1982, G. Gonzalez-Sprinberg proved that normalized Nash transformations resolve rational double points and cyclic quotients singularities of surfaces. Then, H. Hironaka proved that after a finite succession of normalized Nash transformations one obtains a surface “X” which birationally dominates a non-singular surface. By definition, the singularities of “X” are sandwiched singularities. Some years later, M. Spivakovsky proves that sandwiched singularities are resolved by normalized Nash transformations, thus giving a positive answer to the original question posed by Nash for the case of surfaces over C. Since then, a constant interest in sandwiched singularities has been shown, and they have been deeply studied from the point of view of deformation theory by de Jong and van Straten, and also by Stolen and Mohring. Sandwiched singularities have been also studied as a nice testing ground for the Nash and the wedge Problem by Lejeune-Jalabert and Reguera, where the main idea is to extend combinatorial arguments for toric surface singularities to sandwiched ones. Sandwiched singularities are the singularities obtained by blowing-up a complete ideal in the local ring of a regular point on a surface. They are rational surface singularities (roughly speaking, isolated singularities whose resolution has no effect on the arithmetic genus of the surface) and among them are included all cyclic quotients and minimal surface singularities. Sandwiched singularities are Cohen-Macaulay, but are not complete intersections and in general, there are no simple equations for them. The purpose of this memoir is to study sandwiched singularities through their relationship to the infinitely near base points of the complete ideals blownup to obtain them. Now, we briefly summarize the main contents of each one of the chapters. Chapter I is of preliminary nature and gives references to the literature for proofs. Concepts and well-known facts about infinitely near points, weighted clusters, complete ideals and rational and sandwiched surface singularities are reviewed and some consequences that are needed in the memoir are derived. In Chapter II we establish the main link between the study of sandwiched singularities and the theory of Enriques diagrams of weighted clusters and we derive some results on sandwiched singularities by using the unloading procedure. Chapter III deals essentially with the principality of divisors going through a sandwiched singularity. It is well known that Wei divisors going through a singularity (X, Q) are not Cartier divisors in general. In Chapter IV we use the results of Chapter III to explore the connection between the ideal sheaves on “X” with finite cosupport contained in the exceptional locus and the complete m(o)-primary ideals in R. Chapter V is devoted to derive consequences related to the Nash conjecture of arcs for sandwiched singularities. In Appendix A, we provide the listings of three programs in language C implementing some of the algorithms proposed. These programs have been used to compute some of the examples presented throughout the memoir. Part of the results of this thesis has been published or will be published in: • J. Fernandez-Sanchez, On sandwiched singularities and complete ideals, J. Pure Appl. Algebra 185 (2003), no. 1-3, 165-175. [19] • J. Fernandez-Sanchez, Nash families of smooth arcs on a sandwiched singularity, To appear in Math. Proc. Cambridge. Philos. Soc. [18] • J. Fernandez-Sanchez, Equivalence of the Nash conjecture for primitive and sandwiched singularities, To appear in Proc. Amer. Math. Soc. [17]

The aim of this work is to study the ring-theoretic properties of the diagonals of a Rees algebra, which from a geometric point of view are the homogenous coordinate rings of embeddings of blow-ups of projective varieties along a subvariety. First we are going to introduce the subject and the main problems. After that we shall review the known results about these problems, and finally we will give a summary of the contents and results obtained in this work. / L’objectiu d’aquesta memòria és l’estudi de les propietats aritmètiques de les diagonals d’una àlgebra de Rees o, des d’un punt de vista geomètric, dels anells de coordenades homogenis d’immersions d’explosions de varietats projectives al llarg d’una subvarietat. En primer lloc, anem a introduir el tema i els principals problemes que tractarem. A continuació, exposarem els resultats coneguts sobre aquests problemes i finalment farem un resum dels resultats obtinguts en aquesta memòria.