This report analyzes and compares Barycentric Lagrange interpolation to Cardinal Trigonometric interpolation, with regards to computational cost and accuracy. It also covers some edge case scenarios which may interfere with the accuracy and stability. Later on, these two interpolation methods are applied on parameterized curves and surfaces, to compare and contrast differences with the standard one dimensional scenarios. The report also contains analysis of and comparison with regular Lagrange interpolation. The report concludes that Barycentric Lagrange interpolation is generally speaking more computationally efficient, and that the inherent need for periodicity makes Cardinal Trigonometric interpolation less reliable in comparison. On the other hand, Barycentric Lagrange interpolation is difficult to implement for higher dimensional problems, and also relies heavily on Chebyshev spaced nodes, something which can cause issues in a practical application of interpolation. Given ideal scenarios, Cardinal Trigonometric interpolation is more accurate, and for periodic functions generally speaking better than Barycentric Lagrange interpolation. Regular Lagrange interpolation is found to be unviable due to the comparatively big computational cost.

Masters of Science / The main purpose of this thesis is to study the interplay between relational structures and topology, and to portray pairings in terms of some finite poset models and order preserving maps. We show the interrelations between the categories of topological spaces, closure spaces and relational structures. We study the 4-point non-Hausdorff model S4 weakly homotopy equivalent to the circle s'. We study pairings of some objects in the category of relational structures, similar to the multiplication of Hopf spaces in topology. The multiplication S4 x S4 ---7 S4 fails to be order preserving for posets. Nevertheless, applying a single barycentric subdivision on S4 to get Ss, an 8-point model of the circle enables us to define an order preserving poset map Ss x Ss ---7 S4' Restricted to the axes, this map yields weak homotopy equivalences Ss ---7 S4' Hence it is a pairing. Further, using the non-Hausdorff join Ss ® Ss, we obtain a version of the Hopf map Ss ® Ss ---7 §S4. This model of the Hopf map is in fact a map of non-Hausdorff double mapping cylinders.

Triangle is the mostly used primitive in computer graphics. Calculation of its intersection with a ray has many applications and is often a bottleneck of a program. This work focuses on its usage and various methods of calculation. It tries to combine these techniques to achieve high performance on modern processors.

Les résultats des chirurgies orthopédiques correctrices sont difficilement prévisibles et, malheureusement, parfois infructueux. D’autres maladies résultantes d’un handicap majeur tel que l’escarre sont encore très peu comprises. Malgré une prévalence dans la population conséquente, peu d’études ont été menées sur ces thèmes. L’étude volumétrique du muscle en tant que tissu mou actif manque d’informations détaillées. Particulièrement les déformations et raideurs subséquentes aux contractions de muscles à arrangement de fascicules complexes. La modélisation volumétrique des muscles, fournirait un outil puissant pour la simulation personnalisée des contraintes subies par le corps, durant des contactes prolongés ou récurrents avec des dispositifs médicaux standards et inadaptés à la morphologie, mais aussi la planification d’opérations chirurgicales ou de séquences de stimulation électrique fonctionnelle. Il n’existe actuellement aucun logiciel permettant la reconstruction automatique de l’architecture des fascicules, aponévroses et tendons à partir d’acquisitions IRM d’un patient spécifique. La méthode actuelle de modélisation volumétrique du muscle est coûteuse en temps de calcul, donc inefficaces pour des simulations temps-réel du comportement du système musculo-squelettique avec représentation des fonctions physiologiques. Cette thèse est dirigée par les contributions nombreuses qui restent encore à apporter dans le domaine. Les méthodes de modélisation actuelles basées sur la méthode des éléments finis classique sont complexes, manquent de flexibilité ou de précision en temps-réel. Nous proposons une approche multi-modèles basée sur le mapping barycentrique qui découple la fonction de densité d’énergie de déformations du muscle en un ensemble de modèles indépendants de moindre complexité, avec les objectifs suivants : - Améliorer la reconstruction de l’architecture musculaire à partir des acquisitions IRM en terme de complexité et flexibilité. - Séparer la modélisation du muscle en modèles simple et indépendants, de manière à offrir plus de flexibilité, en réduisant la complexité, qui permettront de découpler les résolutions des éléments déformables des éléments actifs du muscle. - En diminuant le nombre d’éléments finis garantissant la cohérence des résultats, nous diminuons le temps de calcul nécessaire à chaque pas de simulation .Nos méthodes s’inspirent des travaux précédents sur la représentation tri-dimensionnelle de la géométrie et l’architecture complexes des muscles de [Blemker and Delp, 2005]. De plus, la définition mathématique est étudiée [Chi et al., 2010] pour caractériser la densité d’énergie de déformations du muscle squelettique. En rapport avec les méthodes précédentes, nous revendiquons les avancées suivantes : - Amélioration de la représentation 3D des muscles de patients spécifiques avec architecture et géométrie complexes, à partir de mesures IRM. La méthode est plus flexible et rapide que les précédentes. - Une nouvelle méthode de modélisation des déformations musculaires via la modélisation découplée des différents tissus musculaires. Cette nouvelle approche permet une définition indépendante des fascicules musculaires, tissus conjonctifs, tendons et aponévroses en gardant une grande précision de déformations. Les performances sont confrontées au rendement de la méthode FEM classique. - Nous atteignons des vitesses de simulation élevées de muscles complexes sur des machines standards par rapport à la FEM. Les performances nous ont permis de simuler en temps-réel la force et les déformations d’un muscle d’individus spécifiques, avec une entrée d’activation actualisée en temps-réel à partir de mesures EMG. - La modélisation d’un muscle nécessite plus de compétence qu’une équipe de recherche peut envisager maitriser. L’approche multi-modèles permet un travail collaboratif, où chaque spécialiste se focalise uniquement sur son domaine de compétence. La modélisation en est extrêmement simplifiée. / Corrective orthopedic surgeries results are difficult to be predicted and, unfortunately, sometimes unsuccessful. Other diseases resulting from a motor disability as bedsores are still poorly understood, despite a significant prevalence in the population. However, studies on these topics still insufficient especially for the analysis considering the muscle as a soft tissue volumetric organ. Muscle fascicule architectures and their correlation with movement efficiency is poorly documented, it lack of the detailed information regarding its volumetric deformations and stiffness changes along with muscle contractions.Muscle volumetric modeling, would provide a powerful tool for the personalized accurate simulation of body stresses of disabled or SCI patients during prolonged or friction contacts with standard medical devices non-adapted to particular morphologies, but also the planning of surgeries or functional electrical stimulation sequences.There is currently no software for automatic reconstruction of the architecture of fascicles, aponeurosis and tendons from MRI acquisitions of a specific subject. Actual volumetric muscle modeling is expensive in computational time, and not effective for real-time simulations of musculoskeletal system behavior with representation of physiological functions. The objective of this thesis is directed by the many contributions that have yet to make in the area. The current modeling methods based on the conventional finite element method are complex, inflexible or inaccurate in real-time. We propose a multi-model based on barycentric mapping approach that decouples the muscle strain density energy function into a set of independent less complex models, with the following objectives:- Improve complex muscle architecture reconstruction from the MRI acquisitions in term of complexity and flexibility.- Split muscle modeling into simple independent models, to offer more flexibility and reducing complexity of modeling which allows to have independent resolutions between deformable elements and muscle fiber elements..- By reducing the number of finite elements ensuring consistency of results of force and deformations, we reduce the computation time required for each simulation.Our methods are inspired by the previous work on the three-dimensional representation of the geometry and the complex architecture of muscles [Blemker and Delp, 2005]. In addition, the mathematical definition is studied [Chi et al., 2010] to characterize the energy density of deformations of skeletal muscle.Related with the above methods, we demand the following advances:- Improved three-dimensional representation of specific patients with muscle architecture and complex geometry from MRI measurement for personalized modeling. The method is more flexible and faster than previous.- A novel modeling method for muscle deformation via decoupled modeling of solid and muscle fiber mechanics is established. This new modeling allowed independent definitions between deformable elements and fiber force generation elements while keeping its muscle deformation accuracy. The performance is compared to conventional FEM method. - We reach high computational speed on standard machines for muscle complex simulations compared to FEM. Real-time simulation of specific person’s muscle strain and force is performed with an activation input updated in real-time from surface EMG measures.- Muscle modeling requires interdisciplinary knowledge from different research team members. The multi-model approach allows collaborative work, where each specialist focuses only on its area of expertise thanks to the modular designed modeling.

Název práce: Geometrické lineární a nelineární problémy prostor· funkcí Autor: Petr Petráček Katedra: Katedra matematické analýzy 'kolitel: prof. RNDr. Jaroslav Lukeš, DrSc., Katedra matematické analýzy Abstrakt: Tato práce sestává ze čtyř vědeckých článk·. lánky prezentované v prvních dvou kapitolách se věnují teorii reálných a komplexních L1-preduál·. lánky prezentované v třetí a čtvrté kapitole jsou věnovány problematice line- ability a algebrability podmnožin reálných funkcí a měr. V Kapitole 1 předsta- vujeme charakterizaci komplexních L1-preduál· pomocí komplexního barycent- rického zobrazení. Tato charakterizace je přirozeným rozšířením charakterizace reálných L1 preduál· pocházející od Bednara a Laceyho. V Kapitole 2 odpoví- dáme na otázku položenou Laceym v roce 1973. Dokazujeme přitom existenci kompaktního prostoru K a uzavřeného podprostoru H ⊂ C(K) obsahujícího kon- stantní funkce, pro který platí ∂HK = K, H je maximální vzhledem k ∂HK a H není L1-preduál. V Kapitole 3 se věnujeme lineabilitě množin nikde mono- tonních znaménkových Radonových měr na Rd . Konkrétně dokazujeme existence vektorového prostoru dimenze c jehož každý nenulový prvek je nikde monotonní míra absolutně spojitá vzhledem k d-rozměrné Lebesgueově míře. Nadto dokazu- jeme, že existuje takový lineární prostor, který je hustý...

This thesis addresses the problem where we want to apply machine learning over a small data set of multivariate time series. A challenge when classifying data is when the data set is small and overfitting is at risk. Augmentation of small data sets might avoid overfitting. The multivariate time series used in this project represent motion data of people with reconstructed ACLs and a control group. The approach was pairing motion data from the training set and using Euclidean Barycentric Averaging to create a new set of synthetic motion data so as to increase the size of the training set. The classifiers used were Dynamic Time Warping -One Nearest neighbour and Time Series Forest. In our example we found this way of increasing the training set a less productive strategy. We also found Time Series Forest to generally perform with higher accuracy on the chosen data sets, but there may be more effective augmentation strategies to avoid overfitting.

Goal of this work is to write an optimized program for visualization of 3D scenes using ray tracing method. First, the theory of ray tracing together with particular techniques are presented. Next part focuses on different approaches to accelerate the algorithm. These are space partitioning structures, fast ray-triangle intersection technique and possibilities to parallelize the whole ray tracing method. A standalone chapter addresses the design and implementation of the ray tracing program.

The research objective of this dissertation is to create and demonstrate methods for parameterizing the Pareto frontiers of continuous multi-attribute design problems using barycentric coordinates, and in doing so, to enable intuitive exploration of optimal trade spaces. This work is enabled by two observations about Pareto frontiers that have not been previously addressed in the engineering design literature. First, the observation that the mapping between non-dominated designs and Pareto efficient response vectors is a bijection almost everywhere suggests that points on the Pareto frontier can be inverted to find their corresponding design variable vectors. Second, the observation that certain common classes of Pareto frontiers are topologically equivalent to simplices suggests that a barycentric coordinate system will be more useful for parameterizing the frontier than the Cartesian coordinate systems typically used to parameterize the design and objective spaces. By defining such a coordinate system, the design problem may be reformulated from y = f(x) to (y,x) = g(p) where x is a vector of design variables, y is a vector of attributes and p is a vector of barycentric coordinates. Exploration of the design problem using p as the independent variables has the following desirable properties: 1) Every vector p corresponds to a particular Pareto efficient design, and every Pareto efficient design corresponds to a particular vector p. 2) The number of p-coordinates is equal to the number of attributes regardless of the number of design variables. 3) Each attribute y_i has a corresponding coordinate p_i such that increasing the value of p_i corresponds to a motion along the Pareto frontier that improves y_i monotonically. The primary contribution of this work is the development of three methods for forming a barycentric coordinate system on the Pareto frontier, two of which are entirely original. The first method, named "non-domination level coordinates," constructs a coordinate system based on the (k-1)-attribute non-domination levels of a discretely sampled Pareto frontier. The second method is based on a modification to an existing "normal boundary intersection" multi-objective optimizer that adaptively redistributes its search basepoints in order to sample from the entire frontier uniformly. The weights associated with each basepoint can then serve as a coordinate system on the frontier. The third method, named "Pareto simplex self-organizing maps" uses a modified a self-organizing map training algorithm with a barycentric-grid node topology to iteratively conform a coordinate grid to the sampled Pareto frontier.

Pro optimalizaci letových trajektorií ve velmi malé nadmorské výšce, terenní vlastnosti musí být zahrnuty velice přesne. Proto rychlá a efektivní evaluace terenních dat je velice důležitá vzhledem nato, že čas potrebný pro optimalizaci musí být co nejkratší. Navyše, na optimalizaci letové trajektorie se využívájí metody založené na výpočtu gradientu. Proto musí být aproximační funkce terenních dat spojitá do určitého stupne derivace. Velice nádejná metoda na aproximaci terenních dat je aplikace víceroměrných simplex polynomů. Cílem této práce je implementovat funkci, která vyhodnotí dané terenní data na určitých bodech spolu s gradientem pomocí vícerozměrných splajnů. Program by měl vyčíslit více bodů najednou a měl by pracovat v $n$-dimensionálním prostoru.

On considère le problème d’advection-diffusion stationnaire v(∇u, ∇v)+( β•∇u, v) = (f, v) et non stationnaire d/dt (u(t), v) + v(∇u, ∇v)+( β•∇u, v) = (g(t), v), ainsi que le problème d’advection (β•∇u, v) = (f, v) sur un domaine polygonal borné du plan. Le terme de diffusion est approché par des éléments de Crouzeix Raviart et le terme de convection par une méthode upwind sur des volumes barycentriques finis avec un maillage triangulaire. Pour le problème stationnaire d’advection-diffusion, la L²-stabilité (c’est-à-dire indépendante du coefficient de diffusion v) est démontrée pour la solution du problème approché obtenue par cette méthode d’éléments finis et de volumes finis. Pour cela une condition sur la géométrie doit être satisfaite. Des exemples de maillages sont donnés. Toujours avec cette condition géométrique sur le maillage, une inégalité de stabilité (où la discrétisation en temps n’est pas couplée à une condition sur la finesse du maillage) est obtenue pour le cas non-stationnaire. La discrétisation en temps y est faite par un schéma d’Euler implicite. Une majoration de l’erreur, proportionnelle au pas en temps et à la finesse du maillage, est ensuite proposée et exprimée explicitement en fonction des données du problème. Pour le problème d’advection, une approche utilisant la théorie des graphes est utilisée pour obtenir l’existence et l’unicité de la solution, ainsi que le résultat de stabilité. Comme pour la stabilité du problème d’advection-diffusion, une condition géométrique - qui est équivalente pour les points intérieurs du maillage à celle du problème d’advection-diffusion - est nécessaire. / We consider the stationary linear convection-diffusion equation v(∇u, ∇v)+( β•∇u, v) = (f, v), the time dependent d/dt (u(t), v) + v(∇u,∇v)+( β•∇u, v)= (g(t), v) equation and the linear advection equation (β•∇u, v) = (f, v) on a two dimensional bounded polygonal domain. The diffusion term is discretized by Crouzeix-Raviart piecewise linear finite elements, and the convection term by upwind barycentric finite volumes on a triangular grid. For the stationary convection-diffusion problem, L²-stability (i.e. independent of the diffusion coefficient v) is proven for the approximate solution obtained by this combined finite-element finite-volume method. This result holds if the underlying grid satisfies a condition that is fulfilled, for example, by some structured meshes. Using again this condition on the grid, stability is shown for the time dependent convection-diffusion equation (without any link between mesh size and time step). An implicit Euler approach is used for the time discretization. It is shown that the error associated with this scheme decays linearly with the mesh size and the time step. This result holds without any link between mesh size and time step. The dependence of the corresponding error bound on the diffusion coefficient is completely explicit. For the stationary advection equation, an approach using graph theory is used to obtain existence, uniqueness and stability. As in the stationary linear convection-diffusion equation, the underlying grid must satisfy some geometric condition. / Gegenstand der Arbeit ist die zweidimensionale stationäre Konvektion-Diffusionsgleichung v(∇u, ∇v)+( β•∇u, v) = (f, v), die zeitabhängige Konvektion-Diffusionsgleichung d/dt (u(t), v) + v(∇u,∇v)+( β•∇u, v)= (g(t), v), sowie die Konvektionsgleichung (β•∇u, v) = (f, v). Der Diffusionsterm ist diskretisiert mittels Crouzeix-Raviart stückweise lineare Finite Elemente. Das Gebiet ist in Dreiecke unterteilt und der Konvektionsterm ist mittels einer upwind Methode auf Baryzentrische Finite Volumenelemente definiert. Für die stationäre Konvektion-Diffusionsgleichung, wird (d.h. von v unabhängige) L²-Stabilität der numerischen Lösung bewiesen. Voraussetzung dafür, ist die Erfüllung gewisser geometrischer Bedingungen an die Unterteilung des Gebiets. Beispiele von Unterteilungen die diese Bedingungen erfüllen, werden gegeben. Wieder an dieser geometrischen Bedingung geknüpft, wird Stabilität (d.h. die Zeitdiskretisierung ist entkoppelt von der Netzweite) für die zeitabhängige Konvektion-Diffusionsgleichung, bewiesen. Für die Zeitableitung wird dabei eine Implizite Euler Diskretisierung verwendet. Eine obere Schranke für den Diskretisierungsfehler, proportional zum Zeitdiskretisierungsparameter und zur Netzfeinheit, ausgedrückt als Funktion der Daten der Differenzialgleichung, wird gezeigt. Für die Konvektionsgleichung wird ein graphentheoretischer Zugang verwendet, der es ermöglicht Existenz, Eindeutigkeit und Stabilität, zu bekommen. Für die Stabilität, werden ähnliche geometrische Bedingungen an die Unterteilung des Gebiets gestellt, wie beim stationären Konvektion-Diffusionsproblem.