Une mosaïque de Poisson-Voronoï est une partition aléatoire de l'espace euclidien en polyèdres, appelés cellules, obtenue à partir d'un ensemble aléatoire discret de points appelés germes. A chaque germe correspond une cellule, qui est l'ensemble des points de l'espace qui sont plus proches de ce germes que des autres germes. Ces modèles sont souvent utilisées dans divers domaines tels que la biologie, les télécommunications, l'astronomie, etc. Les caractéristiques de ces mosaïques et des cellules associées ont été largement étudiées dans l'espace euclidien mais les travaux sur les mosaïques de Voronoï dans un cadre non-euclidien sont rares.Dans cette thèse, on étend la définition de mosaïque de Voronoï à une variétériemannienne de dimension finie et on s'intéresse aux caractéristiques des cellules associées. Plus précisément, on mesure dans un premier temps l'influence que peut avoir la géométrie locale de la variété, c'est-à-dire les courbures sur les caractéristiques moyennes d'une cellule, comme son volume ou son nombre de sommets, en calculant des développements asymptotiques des ces caractéristiques moyennes à grande intensité. Dans un deuxième temps, on s'interroge sur la possibilité de retrouver la géométrie locale de la variété à partir des caractéristiques combinatoires de la mosaïque sur la variété. En particulier, on établit desthéorèmes limites, quand l'intensité du processus des germes tend vers l'infini, pour le nombre de sommets de la mosaïque dans une fenêtre, ce qui permet de construire un estimateur de la courbure et d'en donner quelques propriétés.Les principaux résultats de cette thèse reposent sur la combinaison de méthodesprobabilistes et de techniques issues de la géométrie différentielle. / A Poisson-Voronoi tessellation is a random partition of the Euclidean space intopolytopes, called cells, obtained from a discrete set of points called germs. To each germ corresponds a cell which is the set of the points of the space which are closer to this germ than to the other germs. These models are often used in several domains such as biology, telecommunication, astronomy, etc. The caracteristics of these tessellations and cells have been widely studied in the Euclidean space but only a few works concerns non-Euclidean Voronoi tessellation. In this thesis, we extend the definition of Poisson-Voronoi tessellation to a Riemannian manifold with finite dimension and we study the caracteristics of the associated cells. More precisely, we first measure the influence of the local geometry of the manifold, namely the curvatures, on the caracteristics of the cells, e.g. the mean volume or the mean number of vertices. Second, we aim to recover the local geometry of the manifold from the combinatorial properties of the tessellation on the manifolds. In particular, we establish limit theorems for the number of vertices of the tessellation, when the intensity of the process of the germs tends to infinity. This leads to the construction of an estimator of the curvature of the manifold and makes it possible to derive some properties of it. The main results of this thesis relies on the combination of stochastic methods and techniques from the differential geometry theory.

Dans cette thèse, nous nous sommes intéressés à divers problèmes mettant en oeuvre des structures algébriques de certains anneaux fonctionnels, en particulier dans l'espace H infini des fonctions holomorphes bornées dans le disque unité, dans l'algèbre de Sarason H infini + C et dans C(X,t)={fEC(X) : fot=f}, avec X un espace compact séparé et t une involution topologique sur X. Plus précisément, nous avons caractérisé les idéaux radicaux finiment engendrés dans H infini + C. En second lieu, nous avons démontré que le rang stable absolu de C(X,t) coïncide avec le rang stable Bass et topologique de cette dernière. En dernier lieu, nous nous sommes intéressés au problème de la couronne généralisé dans H infini / In this thesis, we are interested in various problems of algebraic structures of some functional rings, in particular in the space H infinity of bounded analytic functions in the unit disc, in the Sarason algebra H infinity + C and in C(X,t)={fEC(X) : fot=f} with X compact Hausdorff space and t a topological involution on X. More precisely, we have characterized the finitely generated radical ideals in H infinity + C. Secondly, we have demonstrated that the absolute stable rank of C (X, t) coincides with Bass stable rank and topological stable rank. Finally, we are interested in the generalized corona problem in H infinity

Ce travail s'inscrit dans le cadre général de la théorie des espaces de fonctions holomorphes du disque unité. Depuis son apparution au début du 20e siècle cette théorie a retenu l 'attention des analystes. Grâce à leurs travaux, les propriétés et les connexions de ces espaces avec des sujets variés en analyse complexe et en théorie des opérateurs sont maintenant largement connues. Malgré tous les progrès faits, il reste encore des problèmes ouverts par rapport à ces espaces qui sont faciles à énoncer mais extrêmement difficiles à résoudre. La première partie de cette thèse porte sur les moyennes intégrales des dérivées logarithmiques des produits de Blaschke. Plus précisément , nous allons établir de nouvelles estimations pour les moyennes de Hardy et de Bergman pondérées du rapport B(ℓ) / B d 'un produit de Blaschke B qui divise sa ℓ > ou = 1, lorsque les zéros de B satisfont une condition de séparation de type hyperbolique. Ensuite, nous allons montrer que nos estimations entraînent et généralisent les résultats classiques connus sur ces moyennes. Notre approche est basée sur une technique qui a été récemment dévéloppée par Javad Mashreghi , mon directeur de thèse, et Emmanuel Fricain. Dans la deuxième partie de cette thèse, nous allons aborder la question de la caractérisation des zéros de Pespace de Dirichlet classique V. En fait, cette question est extrêmement difficile et reste toujours ouverte. Cependant, en procédant par une nouvelle approche, nous allons obtenir des conditions suffisantes pour qu'une suite soit une suite de zéros pour V. De plus, nous allons donner une caractérisation de certains sous-ensembles du cercle unité, appelés les enselnbles de Carleson , en termes de leurs sous-suites convergentes. Cette caractérisation donne lieu à quelques résultats intéressants sur les zéros de V. Dans un premier temps, nous allons obtenir une caractérisation des sous-ensembles E du cercle unité qui ont la propriété suivante: toute suite de points dont les arguments sont dans E et qui est une suite de Blaschke, est nécessairement une suite de zéros pour V. Dans un deuxième temps, nous allons obtenir un nouveau critère pour les ensembles de Blaschke de V.

Cette thèse est constituée de quatre chapitres. Le premier contient les notions de base qui permettent d'aborder les divers thèmes qui y sont étudiés. Le second est consacré à l'étude des sous-variétés lagrangiennes d'une variété presque kählérienne. J'y présente les résultats obtenus en collaboration avec Burcu Bektas, Joeri Van der Veken et Luc Vrancken. Dans le troisième, je m'intéresse à un problème de géométrie différentielle affine et je donne une classification des hypersphères affines qui sont isotropiques. Ce résultat a été obtenu en collaboration avec Luc Vrancken. Et enfin dans le dernier chapitre, je présente quelques résultats sur les surfaces de translation et les surfaces homothétiques, objet d'un travail en commun avec Rafael López. / Abstract in English not available

Soit $\mathcal{W}(d)$ un $d$-tissu non singulier du plan implicitement présenté par une équation différentielle $F(x,y,y')=0$, et de connexion associée $(E,\nabla)$. De nouveaux invariants de $\mathcal{W}(d)$ sont mis à jour ; en particulier, on montre que $(E,\nabla)$ est entièrement déterminé par la connaissance d'une $1$-forme fondamentale et du polynôme de linéarisation du tissu.\esp Nous indiquons également comment la courbure de la connexion rend compte de la linéarisation du tissu. En étudiant la trace de la courbure de la connexion, on montre que le fibré déterminant de $(E,\nabla)$ est isomorphe au produit tensoriel des fibrés en droites associés aux $3$-tissus extraits. Nous donnons ensuite une caractérisation géométrique des tissus de trace nulle, en généralisant la construction de l'hexagone de Thomsen. En outre, on présente un procédé explicite de détermination du rang de $\mathcal{W}(d)$ pour $d$ quelconque, à partir des seuls coefficients de $F$. En application, nous retrouvons des résultats connus en géométrie des tissus, et indiquons des perspectives nouvelles, notamment pour l'étude des tissus exceptionnels.