Made available in DSpace on 2014-06-11T19:30:22Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2008-03-31Bitstream added on 2014-06-13T19:19:04Z : No. of bitstreams: 1 cellini_cp_me_sjrp.pdf: 781641 bytes, checksum: 70ed1b385d132f8255370c0014be09b4 (MD5) / Neste trabalho são abordados alguns aspectos da teoria de dualidade. Ele pode ser dividido em três partes principais. Na primeira demonstramos o teorema de Dualidade de Poincaré para variedades (sem bordo) orientáveis. Para tanto, fez-se necessário o uso do limite direto e cohomologia com suporte compacto. Na segunda definimos grupos de dualidade, em particular, grupo de dualidade de Poincaré, apresentamos alguns resultados e observações sobre a relação existente entre tais grupos e os grupos fundamentais de variedades asféricas fechadas, que é ainda um problema em aberto. Finalmente, alguns resultados envolvendo invariantes cohomológicos ends e grupos de dualidade são apresentados. / In this work we consider some aspects of duality theory. It can be divided in three principal parts. In the first we prove the Poincaré Duality theorem for orientable manifolds (without boundary). For that, it is necessary the use of the direct limit and cohomology with compact supports. In the second part we de¯ne duality groups, in particular, Poincaré duality groups, we introduce some results and observations about the relationship between such groups and fundamental groups of aspherical closed manifolds, that still is an open problem. Finally, some results envolving the cohomological invariant ends and duality groups are presented.

Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico / O presente trabalho aborda um teorema classico de decomposiÃÃo do espaÃo das p-formas suaves sobre uma variedade Riemaniana compacta e orientada, conhecido como teorema da decomposiÃÃo de Hodge, assim como suas consequÃncias. No decorrer do mesmo, foi feita uma passagem por diversas ferramentas interessantes, como espaÃos Sobolev (capÃtulo 2) e EDP elÃptica (capÃtulo 3), assim como uma abordagem suscinta de formas diferenciÃveis. / This dissertation presents a classical theorem of decomposition of the space of smooths p-forms on compact oriented Riemannian manifold , known as the theorem of Hodge decomposition, and its consequences. During the same was made a passage for several interesting tools, such as Sobolev spaces(Chapter 2) and elliptical PDE (Chapter 3), as well as a succinct approach about diferenciable forms (Chapter 1).

A Cohomologia de Hochschild é um invariante associado a álgebras o qual pode nos fornecer propiedades homologicas das álgebras e suas categorias de módulos. Além disso tem aplicações em Geometria Algébrica e Teoria de Representações, entre outras áreas. Para álgebras A sobre um corpo, o i-ésimo grupo de cohomologia de Hochschild HH^i(A,M) de A, com coeficientes no bimódulo M, coincide com Ext^i_{A^e}(A,M). Logo, este pode ser calculado usando uma resolução projetiva da álgebra como A-bimódulo. Diferentes autores como Dieter Happel, Claude Cibils, Edward Green, David Anick, Michael Bardzell e Andrea Solotar desenvolveram ferramentas para a construção destas resoluções em casos específicos. Um resultado recente e muito importante é apresentado por Andrea Solotar e Sergio Chohuy, onde se mostra a construção de uma resolução projetiva de bimódulos para álgebras associativas generalizando o resultado para álgebras monomiais feito por Bardzell. Nesta dissertação pretendemos introduzir ao leitor no conceito de Cohomologia de Hochschild mostrando a importância da mesma mediante resultados conhecidos para álgebras de dimensão finita. Além disso, apresentamos os conceitos e resultados do trabalho de Chohuy e Solotar mencionado acima. No decorrer deste trabalho complementamos algumas demonstrações dos resultados enunciados com o fim de propiciar uma ferramenta para o melhor entendimento dos tópicos trabalhados aqui. / The Hochschild Cohomology is an invariant attached to associative algebras which may provide us some homological aspects of the algebras and its category of modules. Moreover, it has applications to Algebraic Geometry and Representation Theory, among others areas. For algebras A over a field the Hochschild cohomology group HH^i(A,M) of A with coeficients in a bimodule M coincides with Ext^i_{A^e}(A,M). So it can be computed using a projective resolution of the algebra, as a bimodule over itself. Therefore different authors like Dieter Happel, Claude Cibils, Edward Green, David Anick, Michael Bardzell, Sergio Chohuy and Andrea Solotar developed tools for the construction of these resolutions in particular cases. A recent and very important result was introduced by Andrea Solotar and Sergio Chohuy, where they show a construction of a projective bimodule resolution for associative algebras generalizing the result for monomial algebras made by Bardzell. In this dissertation we intend to introduce the reader in the cohomology Hochschild concept, showing its importance through known results for finite dimensional algebras. Besides, we exhibit the concepts and results of Chohuy and Solotar mentioned before. During this text, we complement some demonstrations with the purpose of giving a tool for the a better understanding.

Neste trabalho, introduzimos uma generalização da noção de módulo de homologia local de um módulo com respeito a um ideal, o qual nós chamamos de módulo de homologia local com respeito a um par de ideais. Estudamos suas várias propriedades tais como teoremas de anulamento e de não anulamento, e Artinianidade. Também fazemos sua conexão com a homologia e cohomologia local usual. Introduzimos uma generalização da noção de largura de um ideal sobre um módulo aplicando o conceito de módulo de homologia local com respeito a um par de ideais. Também introduzimos o conceito de um módulo co-Cohen-Macaulay para um par de ideais, o qual é uma generalização o conceito de um módulo co-Cohen-Macaulay. Para finalizar, introduzimos o limite inverso de homologia local, e estudamos algumas de suas propriedades, analisamos a sua estrutura, o anulamento, não anulamento e Artinianidade. / In this work, we introduce a generalization of the notion of local homology module of a module with respect to an ideal, which we call of local homology module with respect to a pair of ideals. We study its various properties such as vanishing and nonvanishing theorems, and Artinianness. We also do its connection with ordinary local homology and cohomology. We introduce a generalization of the notion of width of an ideal on a module applying the concept of local homology module with respect to a pair of ideals. Also we introduce the concept of a co-Cohen-Macaulay module for a pair of ideals, what is a generalization of the concept of a co-Cohen-Macaulay module. To finish, we introduce the inverse limit of local homology, and we study some of its properties, we analyze the their structure, the vanishing, non-vanishing and Artinianness.

Provamos o Teorema do Limite Central para transformações expansoras por pedaços em um intervalo e observáveis com variação limitada. Utilizamos a abordagem desenvolvida por R. Rousseau-Egele, como apresentada por A. Broise. O método da demonstração se baseia no estudo de pertubações do operador de transferência de Ruelle-Perron-Frobenius. Uma contribuição original é dada no último capítulo, onde provamos que, para transformações markovianas expansoras, todos os observáveis não constantes, contínuos e com variação limitada não são infinitamente cohomólogos à zero, generalizando um resultado de Bamón, Rivera-Letelier, Urzúa and Kiwi para observáveis lipschitzianos e transformações \'z POT. n\' . A demonstração se baseia na teoria dos operadores de Ruelle-Perron-Frobenius desenvolvida nos capítulos anteriores / We prove the Central Limit Theorem for piecewise expanding interval transformations and observables with bounded variation, using the approach of J.Rousseau-Egele as described by A. Broise. This approach makes use of pertubations of the so-called Ruelle-Perron-Frobenius transfer operator. An original contribution is given in the last chapter, where we prove that for Markovian expanding interval maps all observables which are non constant, continuous and have bounded variation are not infinitely cohomologous with zero, generalizing a result by Bamón, Rivera-Letelier, Urzúa and Kiwi for Lipschitzian observables and the transformations \'z POT. n\' . Our demosntration uses the theory of Ruelle-Perron-Frobenius operators developed in the previos chapters

A Cohomologia de Hochschild é um invariante associado a álgebras o qual pode nos fornecer propiedades homologicas das álgebras e suas categorias de módulos. Além disso tem aplicações em Geometria Algébrica e Teoria de Representações, entre outras áreas. Para álgebras A sobre um corpo, o i-ésimo grupo de cohomologia de Hochschild HH^i(A,M) de A, com coeficientes no bimódulo M, coincide com Ext^i_{A^e}(A,M). Logo, este pode ser calculado usando uma resolução projetiva da álgebra como A-bimódulo. Diferentes autores como Dieter Happel, Claude Cibils, Edward Green, David Anick, Michael Bardzell e Andrea Solotar desenvolveram ferramentas para a construção destas resoluções em casos específicos. Um resultado recente e muito importante é apresentado por Andrea Solotar e Sergio Chohuy, onde se mostra a construção de uma resolução projetiva de bimódulos para álgebras associativas generalizando o resultado para álgebras monomiais feito por Bardzell. Nesta dissertação pretendemos introduzir ao leitor no conceito de Cohomologia de Hochschild mostrando a importância da mesma mediante resultados conhecidos para álgebras de dimensão finita. Além disso, apresentamos os conceitos e resultados do trabalho de Chohuy e Solotar mencionado acima. No decorrer deste trabalho complementamos algumas demonstrações dos resultados enunciados com o fim de propiciar uma ferramenta para o melhor entendimento dos tópicos trabalhados aqui. / The Hochschild Cohomology is an invariant attached to associative algebras which may provide us some homological aspects of the algebras and its category of modules. Moreover, it has applications to Algebraic Geometry and Representation Theory, among others areas. For algebras A over a field the Hochschild cohomology group HH^i(A,M) of A with coeficients in a bimodule M coincides with Ext^i_{A^e}(A,M). So it can be computed using a projective resolution of the algebra, as a bimodule over itself. Therefore different authors like Dieter Happel, Claude Cibils, Edward Green, David Anick, Michael Bardzell, Sergio Chohuy and Andrea Solotar developed tools for the construction of these resolutions in particular cases. A recent and very important result was introduced by Andrea Solotar and Sergio Chohuy, where they show a construction of a projective bimodule resolution for associative algebras generalizing the result for monomial algebras made by Bardzell. In this dissertation we intend to introduce the reader in the cohomology Hochschild concept, showing its importance through known results for finite dimensional algebras. Besides, we exhibit the concepts and results of Chohuy and Solotar mentioned before. During this text, we complement some demonstrations with the purpose of giving a tool for the a better understanding.

Introduzimos o conceito de estrutura de Poisson não comutativa em álgebras associativas e mostra como este conceito se relaciona com o caso clássico, quando a álgebra em questão é a álgebra de funções em uma variedade de Poisson. Mostramos como quocientes simpléticos, não necessariamente suaves, fornecem exemplos de estruturas de Poisson não comutativas. / We introduce the concept of noncommutative Poisson structure on associative algebras and shows how this concept is related to the classical case, that is, the algebra under study is the algebra of functions on a Poisson manifold. We also show how symplectic quotients, not necessarily smooth, provides examples of noncommutative Poisson structures.

Sigui R l'anell de polinomis amb coeficients en un cos k de característica zero. El nostre objectiu és, tot seguint la linia de recerca encetada per G. Lyubeznik, utilitzar en profunditat la teoria de D-mòduls per tal d'estudiar els mòduls de cohomologia local de R amb suport un ideal I. En especial, ens interessa descriure de forma efectiva l'anul.lació, les propietats de finitud i entendre millor l'estructura d'aquests mòduls. La principal eina que utilitzarem és un invariant que podem associar als mòduls de cohomologia local i més en general a tot D-mòdul holònom: el cicle característic.En primer lloc demostrem que les multiplicitats del cicle característic dels mòduls de cohomologia local són invariants de l'anell quocient R/I. En el cas dels ideals monomials, aquests invariants ens permeten descriure les resolucions lliures minimals i les propietats aritmètiques de R/I. També descriuen la cohomologia del complementari dels arranjaments de varietats lineals.Seguidament donem una fórmula explícita pel càlcul del cicle característic dels mòduls de cohomologia local amb suport un ideal monomial. Aquesta fórmula ens permet donar una descripció del suport, l'anul.lació, els nombres de Bass i els primers associats d'aquests mòduls a partir de la descomposició primaria minimal de l'ideal I.Per acabar estudiem l'estructura dels mòduls de cohomologia local amb suport un ideal monomial tot utilitzant les següents eines: la filtració que s'obté de la degeneració de la successió espectral de Mayer-Vietoris, la correspondencia de Riemann-Hilbert i la multi-graduació associada a aquests mòduls. / Let R be the polynomial ring over a characteristic zero field k. Our goal is to study the local cohomology modules of R with support an ideal I. To this purpose we follow the path opened by G. Lyubeznik using the theory of D-modules. Our aim is to provide an effective description of the vanishing and the finiteness properties of these modules as well as to have a better understanding of their structure. The main tool we are going to use is an invariant that one may associate to any holonomic D-module: the characteristic cycle. First of all we prove that the multiplicities of the characteristic cycle of local cohomology modules are invariants of the quotient ring R/I. For the case of monomial ideals, these invariants allow us to describe the minimal free resolution and the arithmetical properties of R/I. They also describe the cohomology of the complementary of the corresponding arrangement of linear varieties. We also give an explicit formula to compute the characteristic cycle of a local cohomology module supported on a monomial ideal. This formula allow us to describe the support, the vanishing, the Bass numbers and the associated primes of these modules in terms of the minimal primary decomposition of the ideal I. Finally we study the structure of the local cohomology modules supported on a monomial ideal using the following approaches: the filtration one obtains by the degeneration of the Mayer-Vietoris spectral sequence, the Riemann-Hilbert correspondence and the multi-grading associated to these modules.

A first goal of this thesis is to contribute to the knowledge of cohomological properties of non-standard multigraded modules. In particular we study the Hilbert function of a non-standard multigraded module, the asymptotic depth of the homogeneous components of a multigraded module and the asymptotic depth of the Veronese modules. To reach our purposes, we generalize some cohomological invariants to the non-standard multigraded case and we study properties on the vanishing of local cohomology modules. In particular we study the generalized depth of a multigraded module.In chapters 2, 3 and 4, we consider multigraded rings S, finitely generated over the local ring S0 by elements of degrees g1,.,gr with gi=(g1i,.,gii,.,0) non-negative integral vectors and gii not zero for i=1,.,r. In Chapter 2, we prove that the Hilbert function of a multigraded S-module is quasi-polynomial in a cone of N^r. Moreover the Grothendieck-Serre formula is satisfied in our situation as well.In Chapter 3, using the quasi-polynomial behavior of the Hilbert function of the Koszul homology modules of a multigraded S-module M with respect to a system of generators of the maximal ideal of S0, we can prove that the depth of the homogeneous components of M is constant for degrees in a subnet of a cone of N^r defined by g1,.,gr. In some cases we can assure constant depth in all the cone. By considering the multigraded blow-up algebras associated to ideals I1,.,Ir in a Noetherian local ring (R,m), we can prove that the depth of R/I1^n1.Ir^nr is constant for n1,.,nr large enough.In Chapter 4, we study the depth of (a,b)-Veronese modules for a, b large enough. In particular we prove that in almost-standard case (i.e. the degrees of the generators are positive multiples of the canonical basis) with S0 a quotient of a regular local ring, this depth is constant for a, b in some regions of N^r. To reach this result we need a previous study about Veronese modules and about the vanishing of local cohomology modules. In particular we prove that, in the moregeneral case, if S0 is a quotient of a regular local ring, the generalized depth is invariant by taking Veronese transforms. Moreover in the almost-standard case the generalized depth coincides with the index of finite graduation of the local cohomology modules with respect to the homogeneous maximal ideal.A second goal of the thesis is the study of the depth of blow-up algebras associated to an ideal. In Chapter 5 we obtain refined versions of some conjectures on the depth of the associated graded ring of an ideal. By using certain non-standard bigraded structures, the integers that appear in Guerrieri's Conjecture and in Wang's Conjecture can be interpreted as a multiplicities of some bigraded modules. In particular we have given an answer to the question formulated by A. Guerrieri and C. Huneke in 1993. We have proved that given an m-primary ideal I in a Cohen-Macaulay local ring (R,m) of dimension d>0 with minimal reduction J, assuming that the lengths of the homogeneous components of the Valabrega-Valla module of I and J are less than or equal to 1, then the depth of the associated graded ring of I is greater than or equal to d-2.Finally, in Chapter 6, the study of the Hilbert function of certain submodules of the bigraded modules studied before, allows us to prove some cases in which the Hilbert function of an m-primary ideal in a one-dimensional Cohen-Macaulay local ring is non-decreasing. / CATALÀ: TÍTOL DE LA TESI: "Estructures Multigraduades i la Profunditat d'Àlgebres de Blow-up"TEXT DEL RESUM:Un primer objectiu d'aquesta tesi és contribuir al coneixement de propietats cohomològiques de mòduls multigraduats no-estàndard. En particular estudiem la funció de Hilbert d'un mòdul multigraduat no-estàndard, la profunditat asimptòtica de les components homogènies d'un mòdul multigraduat i la profunditat asimptòtica dels mòduls de Veronese. Per a això, generalitzem alguns invariants cohomològics en el cas multigraduat no-estàndard i estudiem propietats d'anul·lació de mòduls de cohomologia local. En particular estudiem la profunditat generalitzada d'un mòdul multigraduat.En els capítols 2, 3 i 4, considerem anells multigraduats S finitament generats sobre l'anell local S0 per elements de graus g1,...,gr amb gi=(g1i,...,gii,...,0) vectors enters no-negatius i gii no nul per a i=1,...,r. Al Capítol 2, demostrem que la funció de Hilbert d'un S-mòdul multigraduat és quasi-polinòmica en un con de N^r. A més es satisfà la fórmula de Grothendieck-Serre en la nostra situació.Al Capítol 3, utilitzant el comportament quasi-polinòmic de la funció de Hilbert dels mòduls d'homologia de Koszul d'un S-mòdul M multigraduat respecte d'un sistema de generadors de l'ideal maximal de S0, podem demostrar que la profunditat de les components homogènies de M és constant per a graus en una subxarxa d'un con de N^r definit per g1,...,gr. En alguns casos es pot assegurar profunditat constant en tot un con. Considerant els anells de blow-up multigraduats associats a ideals I1,...,Ir en un anell local Noetherià (R,m), podem demostrar que la profunditat de R/I1^n1...Ir^nr és constant per a n1,...,nr prou grans.Al Capítol 4, estudiem la profunditat dels mòduls de (a,b)-Veronese per a a,b prou grans. En particular demostrem que en el cas quasi-estàndard (i.e. amb generadors de graus múltiples positius de la base canònica) amb S0 quocient d'un anell local regular, aquesta profunditat és constant per a a,b en certes regions de N^r. Per arribar a aquest resultat ens cal un estudi previ dels mòduls de Veronese i de l'anul·lació de mòduls de cohomologia local. En particular demostrem que, en el cas més general, si S0 és quocient d'un anell local regular, la profunditat generalitzada és invariant per transformacions Veronese. A més en el cas quasi-estàndard la profunditat generalitzada coincideix amb l'índex de graduació finita dels mòduls de cohomologia local respecte de l'ideal homogeni maximal.Un segon objectiu de la tesi és l'estudi de la profunditat de les àlgebres de blow-up associades a un ideal. Al Capítol 5 s'obtenen versions refinades de conjectures sobre la profunditat de l'anell graduat associat a un ideal. Utilitzant algunes estructures bigraduades no-estàndard, es poden interpretar els enters que apareixen a la Conjectura de Guerrieri i a la Conjectura de Wang com a multiplicitats de mòduls bigraduats. En particular hem pogut donar resposta a una pregunta formulada per A. Guerrieri i C. Huneke al 1993. Hem demostrat que donat un ideal I m-primari en un anell local (R,m) Cohen-Macaulay de dimensió d>0 amb reducció minimal J, suposant que les longituds de les components homogènies del mòdul de Valabrega-Valla de I i J siguin menors o iguals que 1, aleshores la profunditat de l'anell graduat associat a I és major o igual que d-2.Finalment, al Capítol 6, l'estudi de la funció de Hilbert de certs submòduls dels mòduls bigraduats estudiats anteriorment, permet provar alguns casos en què la funció de Hilbert d'un ideal m-primari en un anell local Cohen-Macaulay de dimensió 1, és no decreixent.

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:26:55Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2006-03-15Bitstream added on 2014-06-13T19:47:19Z : No. of bitstreams: 1 castro_fr_me_sjrp.pdf: 783980 bytes, checksum: fd80e9aa8c69641da08ee43dfa94509d (MD5) / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / O objetivo principal deste trabalho é estudar a Teoria de Cohomologia de Grupos visando apresentar de forma detalhada algumas aplicações dessa teoria na Topologia e na Algebra, mais especificamente na Teoria de Grupos, com destaque para o Teorema de Schur-Zassenhaus e o Teorema de Classificação de p-grupos que possuem um subgrupo ciclico de índice p (p primo). / The aim of this work is to study the Cohomology Theory of Groups in order to present in detailed form some applications of this theory in Topology and in Algebra, more specifically, in the Theory of Groups, with prominence for the Schur-Zassenhaus Theorem and the Theorem of Classification of p-groups which contain a cyclic subgroup of index p, where p is a prime.