Cette thèse est constituée de trois parties pouvant être lues indépendamment. Dans la première partie, on s'intéresse à la résolution de problème de contrôle stochastique par des méthodes de quantification. La quantification consiste à trouver la meilleure approximation d'une loi de probabilité continue par une loi de probabilité discrète avec un nombre donné N de points supportant cette loi. Nous allons expliciter un cadre de programmation dynamique " générique " qui permet de résoudre de nombreux problèmes de contrôle stochastique comme les problèmes de temps d'arrêt optimal, de maximisation d'utilité, d'équations différentielles stochastiques rétrogrades, de filtrage... Dans ce cadre, nous donnons trois schémas de discrétisation en espace associée à la quantification d'une chaîne de Markov. Dans la deuxième partie, nous présentons un schéma numérique pour les équations différentielles stochastiques rétrogrades doublement réfléchies. Nous nous plaçons dans un cadre général qui contient des sauts et des processus progressifs dépendant de la trajectoire. On propose une approximation du type schéma d'Euler. Nous prouvons la convergence du schéma pour les équations différentielles stochastiques rétrogrades quand le nombre de pas de temps n tend vers l'infini. Nous donnons aussi la vitesse de convergence pour les game options. Dans la troisième partie, on s'intéresse à la réplication des dérivés sur la variance réalisée. On propose une couverture robuste au modèle de volatilité constituée de positions dynamiques sur des options européennes. On étend ensuite cette méthodologie aux options sur fond et aux processus à saut.

Dans cette thèse, nous étudions des rétroactions visant à stabiliser des systèmes quantiques en temps discret soumis à des mesures quantiques non-destructives (QND), ainsi que la stabilité des filtres quantiques à temps continu. Cette thèse comporte deux parties. Dans une première partie, nous généralisons les méthodes mathématiques sous-jacentes à une rétroaction quantique en temps discret testée expérimentalement au Laboratoire Kastler Brossel (LKB) de l'École Normale Supérieure (ENS) de Paris. Plus précisément,nous contribuons à un algorithme de contrôle qui a été utilisé lors de cette expérience récente de rétroaction quantique. L'expérience consiste en la préparation et la stabilisation à la demande d'états nombres de photons (états de Fock) d'un champ de micro-ondes au sein d'une cavité supraconductrice. Pour cela, nous concevons des filtres à temps-réel permettant d'estimer les états quantiques malgré des imperfections et des retards de mesure, et nous proposons une loi de rétroaction assurant la stabilisation d'un état cible prédéterminé. Cette rétroaction de stabilisation est obtenue grâce à des méthodes Lyapunov stochastique et elle repose sur un filtre estimant l'état quantique. Nous prouvons qu'une telle stratégie de contrôle se généralise à d'autres systèmes quantiques en temps discret soumis à des mesures QND. Dans une seconde partie, nous considérons une extension du résultat obtenu pour des filtres quantiques en temps discret au cas des filtres en temps continu. Dans ce but, nous démontrons la stabilité d'un filtre quantique associé à l'équation maîtresse stochastique usuelle découlant par un processus de Wiener. La stabilité signifie ici que la "distance"entre l'état physique et le filtre quantique associé décroit en moyenne. Cette partie étudie également la conception d'un filtre optimal en temps continu en présence d'imperfections de mesure. Pour ce faire, nous étendons la méthode utilisée précédemment pour construire les filtres quantiques en temps discret tolérants aux imperfections de mesure. Enfin,nous obtenons heuristiquement des filtres optimaux généraux en temps continu, dont la dynamique est décrite par des équations maîtresses stochastiques découlant à la fois par processus de Poisson et Wiener. Nous conjecturons que ces filtres optimaux sont stables.

Cette thèse présente trois sujets de recherche indépendants appartenant au domaine des méthodes numériques et du contrôle stochastique avec des applications en mathématiques financières.<br /><br />Nous présentons dans la première partie une méthode non-paramétrique d'estimation des sensibilités des prix d'options. A l'aide d'une perturbation aléatoire du paramètre d'intérêt, nous représentons ces sensibilités sous forme d'espérance conditionnelle, que nous estimons à l'aide de simulations Monte Carlo et de régression par noyaux. Par des arguments d'intégration par parties, nous proposons plusieurs estimateurs à noyaux de ces sensibilités, qui ne nécessitent pas la connaissance de la densité du sous-jacent, et nous obtenons leurs propriétés asymptotiques. Lorsque la fonction payoff est irrégulière, ils convergent plus vite que les estimateurs par différences finies, ce que l'on vérifie numériquement.<br /><br />La deuxième partie s'intéresse à la résolution numérique de systèmes découplés d'équations différentielles stochastiques progressives rétrogrades. Pour des coefficients Lipschitz, nous proposons un schéma de discrétisation qui converge plus vite que $n^{-1/2+e}$, pour tout $e>0$, lorsque le pas de temps $1/n$ tends vers $0$, et sous des hypothèses plus fortes de régularité, le schéma atteint la vitesse de convergence paramétrique. L'erreur statistique de l'algorithme dûe a l'approximation non-paramétrique d'espérances conditionnelles est également controlée et nous présentons des exemples de résolution numérique de systèmes couplés d'EDP semi-linéaires.<br /><br />Enfin, la dernière partie de cette thèse étudie le comportement d'un gestionnaire de fond, maximisant l'utilité intertemporelle de sa consommation, sous la contrainte que la valeur de son portefeuille ne descende pas en dessous d'une fraction fixée de son maximum courant. Nous considérons une classe générale de fonctions d'utilité, et un marché financier composé d'un actif risqué de dynamique black-Scholes. Lorsque le gestionnaire se fixe un horizon de temps infini, nous obtenons sous forme explicite sa stratégie optimale d'investissement et de consommation, ainsi que la fonction valeur du problème. En horizon fini, nous caractérisons la fonction valeur comme unique solution de viscosité de l'équation d'Hamilton-Jacobi-Bellman correspondante.

Cette thèse se compose de deux parties. Dans la première partie, nous étudions les stratégies de temps minimum pour le traitement de la pollution dans de grandes ressources en eau, par exemple des lacs ou réservoirs naturels, à l'aide d'un bioréacteur continu qui fonctionne à un état quasi stationnaire. On contrôle le débit d'entrée d'eau au bioréacteur, dont la sortie revient à la ressource avec le même débit. Nous disposons de l'hypothèse d'homogénéité de la concentration de polluant dans la ressource en proposant trois modèles spatialement structurés. Le premier modèle considère deux zones connectées l'une à l'autre par diffusion et seulement une d'entre elles connectée au bioréacteur. Avec l'aide du Principe du Maximum de Pontryagin, nous montrons que le contrôle optimal en boucle fermée dépend seulement des mesures de pollution dans la zone traitée, sans influence des paramètres de volume, diffusion, ou la concentration dans la zone non traitée. Nous montrons que l'effet d'une pompe de recirculation qui aide à homogénéiser les deux zones est avantageux si opérée à vitesse maximale. Nous prouvons que la famille de fonctions de temps minimal en fonction du paramètre de diffusion est décroissante. Le deuxième modèle consiste en deux zones connectées l'une à l'autre par diffusion et les deux connectées au bioréacteur. Ceci est un problème dont l'ensemble des vitesses est non convexe, pour lequel il n'est pas possible de prouver directement l'existence des solutions. Nous surmontons cette difficulté et résolvons entièrement le problème étudié en appliquant le principe de Pontryagin au problème de contrôle relaxé associé, obtenant un contrôle en boucle fermée qui traite la zone la plus polluée jusqu'au l'homogénéisation des deux concentrations. Nous obtenons des limites explicites sur la fonction valeur via des techniques de Hamilton-Jacobi-Bellman. Nous prouvons que la fonction de temps minimal est non monotone par rapport au paramètre de diffusion. Le troisième modèle consiste en deux zones connectées au bioréacteur en série et une pompe de recirculation entre elles. L'ensemble des contrôles dépend de l'état, et nous montrons que la contrainte est active à partir d'un temps jusqu'à la fin du processus. Nous montrons que le contrôle optimal consiste à l'atteinte d'un temps à partir duquel il est optimal de recirculer à vitesse maximale et ensuite ré-polluer la deuxième zone avec la concentration de la première. Ce résultat est non intuitif. Des simulations numériques illustrent les résultats théoriques, et les stratégies optimales obtenues sont testées sur des modèles hydrodynamiques, en montrant qu'elles sont de bonnes approximations de la solution du problème inhomogène. La deuxième partie consiste au développement et l'étude d'un modèle stochastique de réacteur biologique séquentiel. Le modèle est obtenu comme une limite des processus de naissance et de mort. Nous établissons l'existence et l'unicité des solutions de l'équation contrôlée qui ne satisfait pas les hypothèses habituelles. Nous prouvons que pour n'importe quelle loi de contrôle la probabilité d'extinction de la biomasse est positive. Nous étudions le problème de la maximisation de la probabilité d'atteindre un niveau de pollution cible, avec le réacteur à sa capacité maximale, avant l'extinction. Ce problème ne satisfait aucune des suppositions habituelles (la dynamique n'est pas lipschitzienne, diffusion dégénérée localement hölderienne, contraintes d'état, ensembles cible et absorbant s'intersectent), donc le problème doit être étudié dans deux étapes: en premier lieu, nous prouvons la continuité de la fonction de coût non contrôlée pour les conditions initiales avec le volume maximal et ensuite nous développons un principe de programmation dynamique pour une modification du problème original comme un problème de contrôle optimal avec coût final sans contrainte sur l'état. / This thesis consists of two parts. In the first part we study minimal time strategies for the treatment of pollution in large water volumes, such as lakes or natural reservoirs, using a single continuous bioreactor that operates in a quasi-steady state. The control consists of feeding the bioreactor from the resource, with clean output returning to the resource with the same flow rate. We drop the hypothesis of homogeneity of the pollutant concentration in the water resource by proposing three spatially structured models. The first model considers two zones connected to each other by diffusion and only one of them treated by the bioreactor. With the help of the Pontryagin Maximum Principle, we show that the optimal state feedback depends only on the measurements of pollution in the treated zone, with no influence of volume, diffusion parameter, or pollutant concentration in the untreated zone. We show that the effect of a recirculation pump that helps to mix the two zones is beneficial if operated at full speed. We prove that the family of minimal time functions depending on the diffusion parameter is decreasing. The second model consists of two zones connected to each other by diffusion and each of them connected to the bioreactor. This is a problem with a non convex velocity set for which it is not possible to directly prove the existence of its solutions. We overcome this difficulty and fully solve the studied problem applying Pontryagin's principle to the associated problem with relaxed controls, obtaining a feedback control that treats the most polluted zone up to the homogenization of the two concentrations. We also obtain explicit bounds on its value function via Hamilton-Jacobi-Bellman techniques. We prove that the minimal time function is nonmonotone as a function of the diffusion parameter. The third model consists of a system of two zones connected to the bioreactor in series, and a recirculation pump between them. The control set depends on the state variable; we show that this constraint is active from some time up to the final time. We show that the optimal control consists of waiting up to a time from which it is optimal the mixing at maximum speed, and then to repollute the second zone with the concentration of the first zone. This is a non intuitive result. Numerical simulations illustrate the theoretical results, and the obtained optimal strategies are tested in hydrodynamic models, showing to be good approximations of the solution of the inhomogeneous problem. The second part consists of the development and study of a stochastic model of sequencing batch reactor. We obtain the model as a limit of birth and death processes. We establish the existence and uniqueness of solutions of the controlled equation that does not satisfy the usual assumptions. We prove that with any control law the probability of extinction is positive, which is a non classical result. We study the problem of the maximization of the probability of attaining a target pollution level, with the reactor at maximum capacity, prior to extinction. This problem does not satisfy any of the usual assumptions (non Lipschitz dynamics, degenerate locally H"older diffusion parameter, restricted state space, intersecting reach and avoid sets), so the problem must be studied in two stages: first, we prove the continuity of the uncontrolled cost function for initial conditions with maximum volume, and then we develop a dynamic programming principle for a modification of the problem as an optimal control problem with final cost and without state constraint.

L'objectif de ce travail de thèse est une étude quantitive des differents problèmes mathematiques qui apparaissent en trading algorithmique. Concrètement, on propose une approche scientifique pour optimiser des processus relatifs a la capture et provision de liquidités pour des marchés electroniques.Du au fort caractère appliqué de ce travail, on n'est pas seulement intéressés par la rigeur mathématique de nos résultats, mais on souhaite aussi a comprendre ce travail de recherche dans le contexte des differentes étapes qui font partie de l'implementation pratique des outils que l'on developpe; par exemple l'interpretation du modèle, l'estimation de parametres, l'implementation informatique etc.Du point de vue scientifique, le coeur de notre travail est fondé sur deux techniques empruntées au monde de l'optimisation et des probabilités, celles sont : le contrôle stochastique et l'approximation stochastique.En particulier, on présente des resultats academiques originaux pour le probleme de market-making haute fréquence et le problème de liquidation de portefeuille en utilisant des limit-orders; dans le deux cas on utilise une approche d'optimisation dite backwards. De la même façon, on résout le problème de market-making en utilisant une approche "forward", ceci étant innovateur dans la litterature du trading optimal car il ouvre la porte à des techniques d'apprentissage automatique.Du pont de vue pratique, cette thèse cherches à creer un point entre la recherche academique et l'industrie financière. Nos resultats sont constamment considérés dans la perspective de leur implementation pratique. Ainsi, on concentre une grande partie de notre travail a étudier les differents facteurs qui sont importants a comprendre quand on transforme nos techniques quantitatives en valeur industrielle: comprendre la microstructure des marchés, des faits stylisés, traitrement des données, discussions sur les modèles, limitations de notre cadre scientifique etc. / This PhD thesis focuses on the quantitative analysis of mathematical problems arising in the field of optimal algorithmic trading. Concretely, we propose a scientific approach in order to optimize processes related to the capture and provision of liquidity in electronic markets. Because of the strongly industry-focused character of this work, not only we are interested in giving rigorous mathematical results but also to understand this research project in the context of the different stages that come into play during the practical implementation of the tools developed throughout the following chapters (e.g. model interpretation, parameter estimation, programming etc.).From a scientific standpoint the core of our work focuses on two techniques taken from the world of optimization and probability; these are, stochastic control and stochastic approximation. In particular, we provide original academic results for the problem of high frequency market making and the problem of portfolio liquidation by using limit orders; both by using a backward optimization approach. We also propose a forward optimization framework to solve the market making problem; the latter approach being quite innovative for optimal trading, as it opens the door for machine learning techniques.From a practical angle, this PhD thesis seeks to create a bridge between academic research and practitioners. Our mathematical findings are constantly put in perspective in terms of their practical implementation. Hence, we focus a large part of our work on studying the different factors that are of paramount importance to understand when transforming our quantitative techniques into industrial value: understanding the underlying market microstructure, empirical stylized facts, data processing, discussion about the models, limitations of our scientific framework etc.

Les processus markoviens déterministes par morceaux (PDMP) forment une vaste classe de processus stochastiques caractérisés par une évolution déterministe entre des sauts à mécanisme aléatoire. Ce sont des processus de type hybride, avec une composante discrète de mode et une composante d’état qui évolue dans un espace continu. Entre les sauts du processus, la composante continue évolue de façon déterministe, puis au moment du saut un noyau markovien sélectionne la nouvelle valeur des composantes discrète et continue. Dans cette thèse, nous construisons des PDMP évoluant dans des espaces de mesures (de dimension infinie), pour modéliser des population de cellules en tenant compte des caractéristiques individuelles de chaque cellule. Nous exposons notre construction des PDMP sur des espaces de mesure, et nous établissons leur caractère markovien. Sur ces processus à valeur mesure, nous étudions un problème d'arrêt optimal. Un problème d'arrêt optimal revient à choisir le meilleur temps d'arrêt pour optimiser l'espérance d'une certaine fonctionnelle de notre processus, ce qu'on appelle fonction valeur. On montre que cette fonction valeur est solution des équations de programmation dynamique et on construit une famille de temps d'arrêt $epsilon$-optimaux. Dans un second temps, nous nous intéressons à un PDMP en dimension finie, le TCP, pour lequel on construit un schéma d'Euler afin de l'approcher. Ce choix de modèle simple permet d'estimer différents types d'erreurs. Nous présentons des simulations numériques illustrant les résultats obtenus. / Piecewise deterministic Markov processes (PDMP) form a large class of stochastic processes characterized by a deterministic evolution between random jumps. They fall into the class of hybrid processes with a discrete mode and an Euclidean component (called the state variable). Between the jumps, the continuous component evolves deterministically, then a jump occurs and a Markov kernel selects the new value of the discrete and continuous components. In this thesis, we extend the construction of PDMPs to state variables taking values in some measure spaces with infinite dimension. The aim is to model cells populations keeping track of the information about each cell. We study our measured-valued PDMP and we show their Markov property. With thoses processes, we study a optimal stopping problem. The goal of an optimal stopping problem is to find the best admissible stopping time in order to optimize some function of our process. We show that the value fonction can be recursively constructed using dynamic programming equations. We construct some $epsilon$-optimal stopping times for our optimal stopping problem. Then, we study a simple finite-dimension real-valued PDMP, the TCP process. We use Euler scheme to approximate it, and we estimate some types of errors. We illustrate the results with numerical simulations.

Dans le cadre de ma thèse, je me suis intéressée à analyser mathématiquement un indicateur de rupture de volatilité très utilisé par les praticiens en salle de marché. L'indicateur Bandes de Bollinger appartient à la famille des méthodes dites d'analyse technique et donc repose exclusivement sur l'historique récente du cours considéré et un principe déduit des observations passées des marchés, indépendamment de tout modèle mathématique. Mon travail consiste à étudier les performances de cet indicateur dans un univers qui serait gouverné par des équations différentielles stochastiques (Black -Scholes) dont le coefficient de diffusion change sa valeur à un temps aléatoire inconnu et inobservable, pour un praticien désirant maximiser une fonction objectif (par exemple, une certaine utilité espérée de la valeur du portefeuille à une certaine maturité).

L'objectif de cette thèse est de développer la théorie du contrôle stochastique et ses applications en dynamique des populations. D'un point de vue théorique, nous présentons l'étude de problèmes de contrôle stochastique à horizon fini sur des processus de diffusion, de branchement non linéaire et de branchement-diffusion. Dans chacun des cas, nous raisonnons par la méthode de la programmation dynamique en veillant à démontrer soigneusement un argument de conditionnement analogue à la propriété de Markov forte pour les processus contrôlés. Le principe de la programmation dynamique nous permet alors de prouver que la fonction valeur est solution (régulière ou de viscosité) de l'équation de Hamilton-Jacobi-Bellman correspondante. Dans le cas régulier, nous identifions également un contrôle optimal markovien par un théorème de vérification. Du point de vue des applications, nous nous intéressons à la modélisation mathématique du cancer et de ses stratégies thérapeutiques. Plus précisément, nous construisons un modèle hybride de croissance de tumeur qui rend compte du rôle fondamental de l'acidité dans l'évolution de la maladie. Les cibles de la thérapie apparaissent explicitement comme paramètres du modèle afin de pouvoir l'utiliser comme support d'évaluation de stratégies thérapeutiques.

Dans cette thèse, nous étudions trois classes de modèles utilisés dans la littérature pour représenter les systèmes quantiques: 1 -L'équation de Schrödinger où le contrôle agit sur le système de façon bilinéaire; 2 -L'équation de Lindblad; 3 -Les filtres quantiques (modèles stochastiques). Les contributions de la thèse concernant l'équation de Schrödinger se répartissent en trois parties. Dans le premier chapitre, nous étudions la contrôlabilité d'un tel système. Le cas de dimension finie étant déjà bien exploré, nous traitons l'exemple d'un oscillateur harmonique quantique comme un cas typique des problèmes de dimension infinie. Parmi les résultats obtenus nous retrouvons transposée dans les termes de la théorie du contrôle, l'assertion bien connue des physiciens: ``les sources classiques de contrôle ne peuvent générer que de la lumière classique''. La question de la génération des trajectoires est abordée dans le Chapitre 2. Le contrôle en boucle ouverte du système est alors traité à l'aide des méthodes de stabilisation de Lyapounov. Ces méthodes de contrôle par feedback sont utilisées en simulation et le contrôle retrouvé est ensuite inséré en boucle ouverte dans le système physique. La convergence est étudiée dans différentes configurations et des exemples numériques tirés de la chimie quantique sont testés. Enfin dans le chapitre 3, nous étudions le problème inverse d'identification de l'Hamiltonien. Malgré le grand intérêt pratique que présente ce problème, peu de contributions ont été apportées jusqu'à maintenant. Nous étudions d'abord le problème mathématique d'identifiabilité. Une première réponse positive à cette question est apportée. Ensuite nous considérons le problème d'identification. A l'aide de méthodes numériques d'optimisation, nous proposons une première approche qui permet de résoudre ce problème inverse. Au sujet de l'équation de Lindblad, la contribution de cette thése se résume à la réduction du modèle lorsque certaines hypothèses sur les durées de vie atomiques sont vérifiées. Cette étude peut être considérée comme une première étape vers le contrôle en boucle fermée d'un ensemble statistique de systèmes quantiques. Finalement dans le chapitre 5, nous considérons les filtres quantiques. Certaines méthodes issues de la théorie des probabilités ainsi que les techniques de Lyapounov stochastiques nous permettent d'étudier la stabilisation globale de ces modéles.

Cette thèse porte sur les méthodes numériques pour les équations aux dérivées partielles (EDP) non-linéaires dégénérées, ainsi que pour des problèmes de contrôle d'EDP non-linéaires résultants d'un nouveau problème de transport optimal. Toutes ces questions sont motivées par des applications en mathématiques financières. La thèse est divisée en quatre parties. Dans une première partie, nous nous intéressons à la condition nécessaire et suffisante de la monotonie du $\theta$-schéma de différences finies pour l'équation de diffusion en dimension un. Nous donnons la formule explicite dans le cas de l'équation de la chaleur, qui est plus faible que la condition classique de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL). Dans une seconde partie, nous considérons une EDP parabolique non-linéaire dégénérée et proposons un schéma de type ''splitting'' pour la résoudre. Ce schéma réunit un schéma probabiliste et un schéma semi-lagrangien. Au final, il peut être considéré comme un schéma Monte-Carlo. Nous donnons un résultat de convergence et également un taux de convergence du schéma. Dans une troisième partie, nous étudions un problème de transport optimal, où la masse est transportée par un processus d'état type ''drift-diffusion'' controllé. Le coût associé est dépendant des trajectoires de processus d'état, de son drift et de son coefficient de diffusion. Le problème de transport consiste à minimiser le coût parmi toutes les dynamiques vérifiant les contraintes initiales et terminales sur les distributions marginales. Nous prouvons une formule de dualité pour ce problème de transport, étendant ainsi la dualité de Kantorovich à notre contexte. La formulation duale maximise une fonction valeur sur l'espace des fonctions continues bornées, et la fonction valeur correspondante à chaque fonction continue bornée est la solution d'un problème de contrôle stochastique optimal. Dans le cas markovien, nous prouvons un principe de programmation dynamique pour ces problèmes de contrôle optimal, proposons un algorithme de gradient projeté pour la résolution numérique du problème dual, et en démontrons la convergence. Enfin dans une quatrième partie, nous continuons à développer l'approche duale pour le problème de transport optimal avec une application à la recherche de bornes de prix sans arbitrage des options sur variance étant donnés les prix des options européennes. Après une première approximation analytique, nous proposons un algorithme de gradient projeté pour approcher la borne et la stratégie statique correspondante en options vanilles.