Dans la première partie de cette thèse, on étudie, sur une variété compacte M, le problème de Yamabe avec singularités. Ce problème consiste à chercher une métrique riemannienne conforme à g de courbure scalaire constante, sachant que la métrique g n'a pas la régularité habituelle (elle peut être de classe C^1). Le cas équivariant est également considéré. Pour le résoudre, on commence par étudier les équations de type Yamabe. On montre que les propriétés connues dans le cas C^\infty (le problème de Yamabe) sont encore valides dans notre cas. Sous certaines hypothèses, on montre l'existence et l'unicité des solutions pour le problème de Yamabe avec singularités.<br />La seconde partie de la thèse est consacrée à l'étude de la conjecture de Hebey-Vaugon, énoncée dans le cadre du problème de Yamabe équivariant. On montre que la conjecture est vraie dans certains nouveaux cas, après avoir généralisé un théorème de T. Aubin.

On considère le groupe de Heisenberg $\He_n=\R^{2n+1}$ avec la distance de Carnot-Carathéodory $d_c$ et la mesure de Lebegue $\Lg^{2n+1}$. Dans le premier chapitre, dans le cadre du problème du voyageur de commerce géométrique de $\Hei$, on construit une courbe de longueur finie qui ne vérifie pas le critère de Ferrari, Franchi et Pajot au sujet des ensembles contenus dans une courbe rectifiable. On montre aussi une inégalité sur le déterminant jacobien des applications de contraction sur un point qui suivent les géodésiques. Cette inégalité est essentiellement équivalente à la Propriété de Contraction de Mesure $MCP(0,2n+3)$. Grâce à cette proprété on répond positivement au Chapitre 2 à une question d'Ambrosio et Rigot à propos du transport de mesure dans $\He_n$ (travail en commun avec Figalli). Il s'avère en effet que les mesures traversées par une géodésique de l'espace de Wasserstein sont absolument continues dès qu'une extrémité de la géodésique l'est. Au Chapitre 3 on démontre que la Courbure-Dimension $CD(K,N)$ définie par transport de mesure n'est pas vérifiée pour $\He_n$ et que cela vaut quels que soient les paramètres $K\in\R$ et $N\in[1,+\infty]$. On discute aussi d'autres propriétés de courbures dans le cas du groupe de Heisenberg. Le Chapitre 4 est dédié à la correspondance entre l'équation de la chaleur sous-elliptique et le flot de gradient de l'entropie de Bolzmann dans l'espace de Wassertein.

La formation d'un bourgeon vésiculaire repose sur une machinerie complexe qui déforme, par une action mécanique, une membrane plane en une membrane courbée. Le manteau COPI, responsable de ce phénomène dans le Golgi, se polymérise latéralement à la surface de la membrane, sous le contrôle de la petite protéine G Arf1 activée. Suite à la formation de la vésicule, Arf1 revient à l'état inactif par hydrolyse de son GTP et se dissocie de la membrane, provoquant alors le désassemblage du manteau. Cette réaction d'hydrolyse doit être finement régulée, pour ne pas intervenir trop tôt et compromettre l'assemblage du manteau. Notre laboratoire a révélé que l'activité de la protéine ArfGAP1, responsable de la désactivation d'Arf1, est hypersensible à la courbure membranaire. Ceci permettrait à ArfGAP1 de réguler de manière spatio-temporelle l'état du manteau COPI en couplant son désassemblage à la courbure membranaire qu'il a lui-même induite.<br />Au cours de ma thèse, j'ai montré que la dépendance d'ArfGAP1 à la courbure s'explique par la présence dans cette protéine de deux motifs « ALPS », qui se replient en hélices alpha lors de leur adsorption membranaire. Ce sont des hélices amphipathiques atypiques car, si elles possèdent une face hydrophobe classique, elles ont une face polaire riche en sérine et thréonine et pauvre en résidus chargés. Puisque ces résidus hydroxylés ne peuvent interagir avec les têtes polaires des lipides, la liaison d'un motif ALPS ne repose que sur l'insertion de ses résidus hydrophobes entre les lipides, ce qui est favorisé par l'écartement lipidique induit par la courbure membranaire, mais plus difficile sur membrane plane où les lipides sont plus compactés.

Ce mémoire est consacré à l'étude de quelques problèmes d'interfaces entre fluides non miscibles. La première partie consiste en la description du phénomène d'éclatement d'une bulle à la surface d'un liquide. Un programme de résolution des équations de Navier-Stokes en présence d'une surface libre est utilisé. Il décrit la surface grâce à une chaîne de marqueurs. Cette approche permet de prendre en compte de manière très précise l'effet de la tension superficielle. Une étude paramétrique est conduite qui met en évidence un régime pour lequel on observe une singularité de courbure en temps fini. L'existence de cette singularité est vérifiée à l'aide d'une théorie auto-similaire, fondée sur l'hypothèse d'un écoulement potentiel. <br />La seconde partie traite de la résolution d'écoulements potentiels en géométrie <br />axisymétrique. A ces fins, une méthode d'intégrales de frontières est développée. Elle est d'abord validée à l'aide de la connaissance théorique des modes d'oscillations d'une goutte en apesanteur. Elle est ensuite appliquée à deux problèmes distincts : l'impact d'une goutte sur une surface hydrophobe et la coalescence de deux gouttes en apesanteur. Ce dernier problème présentant deux échelles spatiales très différentes, un raffinement inhomogène du maillage de la surface est opéré. En outre, une comparaison entre les simulations et certains <br />résultats expérimentaux est effectuée.

L'optique adaptative équipe de plus en plus de grands télescopes à travers le<br />monde, mais reste un système coûteux et long à mettre en oeuvre. Il y a<br />quelques années commençait le projet d'équiper l'interféromètre GI2T de<br />l'observatoire de Calern (France) d'une optique adaptative à correction<br />partielle fonctionnant dans le visible. Les spécifications ont conduit à la<br />réalisation d'un système à 31 sous-pupilles analysant avec une fréquence<br />d'échantillonnage de 2500Hz. Pour respecter l'enveloppe budgétaire il a été<br />développé un nouvel analyseur de front d'onde à courbure d'un coût bien<br />inférieur aux analyseurs habituellement utilisés.<br /><br />Des études préliminaires avaient été faites pour les choix des différents<br />éléments du système et nous présentons dans ce mémoire les tests de<br />caractérisation. Après avoir décrit et caractérisé le système, nous présentons<br />les mises au point nécessaires au démarrage du système de contrôle concluant au<br />bon fonctionnement du nouvel analyseur de surface d'onde.<br /><br />Le calculateur en temps réel a été hérité d'un développement conjoint de l'ONERA<br />et de la société Shaktiware. Nous avons dû apporter un certain nombre de<br />modifications à ce contrôleur pour le faire fonctionner avec 31 sous-pupilles.<br />Nous proposons une étude de la fonction de transfert de notre système et des<br />optimisations envisageables pour le choix des algorithmes de contrôle.<br /><br />Notre optique adaptative n'est pas limitée à une utilisation sur<br />l'interféromètre GI2T et nous avons étudié et commencé son installation sur le<br />télescope de 1,5 mètre du Laser-Lune de l'Observatoire de Calern.<br /><br />La série de tests en laboratoire a pu montrer le bon fonctionnement de notre<br />système, mais nous n'avons pu évaluer les performances de l'asservissement à<br />haute fréquence. Des simulations nous prédisent cependant des corrections<br />permettant d'obtenir un rapport de Strehl de 0,15 à 635nm pour un télescope<br />de 1,5 mètre dans des conditions moyennes.

Ce mémoire a pour objectif d'étudier la stabilité de systèmes dynamiques chaotiques à partir de la structure géométrique de leurs attracteurs dont une partie s'appuie sur une variété appelée variété lente. Dans ce but, une nouvelle approche basée sur certains aspects du formalisme de la Mécanique du Point et de la Géométrie Différentielle a été développée et a conduit à une interprétation géométrique et cinématique de l'évolution des courbes trajectoires, intégrales de ces systèmes dynamiques au voisinage de la variété lente.<br /><br />L'utilisation du formalisme de la Mécanique du Point a permis, grâce à l'emploi des vecteurs, vitesse et accélération instantanées attachées à un point courant de la courbe trajectoire, de discriminer le domaine lent du domaine rapide et de situer la position de la variété lente à l'intérieur de l'espace des phases. <br /><br />Certaines notions de Géométrie Différentielle, comme la courbure, la torsion et le plan osculateur, ont fourni une équation analytique de la variété lente indépendante des vecteurs propres lents du système linéaire tangent, donc définie sur un plus grand domaine de l'espace des phases. <br /><br />La variété lente a alors été envisagée comme le lieu des points où la courbure des courbes trajectoires, intégrales de ces systèmes dynamiques, est minimum (en dimension deux ce minimum devient égal à zéro). Le signe de la torsion a permis, de caractériser son attractivité et, de discriminer la partie attractive de la partie répulsive de la variété lente et de statuer sur la stabilité de ces courbes trajectoires.<br /><br />Ainsi, la présence dans l'espace des phases d'une variété lente attractive qui contraint les courbes trajectoires, intégrales du système dynamique à visiter son voisinage permet d'étudier la structure de l'attracteur.<br /><br />Cette approche basée sur certains aspects du formalisme de la Mécanique du Point et de la Géométrie Différentielle et qui s'est accompagnée de l'élaboration de programmes numériques a permis de constituer un nouvel outil d'investigation des systèmes dynamiques chaotiques.<br /><br />Son application à des modèles de référence comme celui de B. Van der Pol, de L.O. Chua ou d'E.N. Lorenz a permis d'obtenir plus directement et avec précision l'équation analytique de leur variété lente. De plus, une étude détaillée des modèles de type prédateur-proie comme celui de Rosenzweig-MacArthur ou d'Hastings-Powell, a conduit d'une part à la détermination de leur variété lente et d'autre part à la conception d'un nouveau modèle de type prédateur-proie à trois espèces appelé Volterra-Gause dont l'attracteur chaotique a la forme d'un escargot (chaotic snail shell).

La protéine MC1 est une petite protéine structurale très abondante chez Methanosarcina thermophila (archaeabactérie). Nous avons utilisé la méthode SELEX (Systematic Evolution of Ligands by EXponential enrichment) pour rechercher ses séquences préférentielles de fixation. Après 10 cycles de sélection, une séquence consensus avec une affinité 50 fois plus forte que celle pour une séquence aléatoire a été déterminée. Cette séquence a été étudiée par simulation de dynamique moléculaire. Le mode de fixation de MC1 sur l'ADN a ensuite été déterminé par des empreintes moléculaires (DMS, OH·). Les résultats montrent une fixation par une face et dans le petit sillon de l'ADN. Une reconnaissance par lecture indirecte des séquences est probable. L'oxydation de certains acides aminés (Trp, Met) par les rayons gamma entraîne une modification des propriétés de la protéine : perte de la reconnaissance de structures et séquences particulières et diminution de sa capacité à courber l'ADN.

Nous étudions des estimations apriori du type sup *inf pour les solutions de l' équation de la courbure sclaire prescrite dans un ouvert de R^n. Nous donnons des résultats quand l'exposant est sous-critique tendant vers l'exposant critique de Sobolev, la perturbation du à l'exposant sous-critique apparait dans l'estimation a priori, ce résultat est vrai en toute dimension superieure ou egale à 3 avec des conditions minimales sur les courbures scalaires prescrites. Nous etudions aussi les cas n=3 et 4, mais sans avoir de perturnation sous-critique. Nous obtenons des inégalités à priori du type (sup)^(1/3) * inf borné sur tout compact de R^3, alors qu'en dimension 4, si les minimas sont uniformément minorés, les maxims sur tout compact sont uniformément majorés. Nous traitons également, le cas où on a une perturbation de l'équation par un terme non linéaire mais en puissance sous-critique, dans ce cas la majorations du sup* inf est obtenue. Dans notre travail, nous nous occupons de la minoration du sup *inf sur une variété compacte de dimension >=2, pour l'équation de la courbure sclaire prescrite, on prouve que si la courbure sclaire est positive sans etre identiquement nulle, alors il y a majorations du sup*inf. Quand à la dimension 2, le résultat est obtenu sur toute surface de Riemann avec des hypotheses de bornitude uniforme du gradient des courbures scalaires prescrites. Pour le cas de la sphère, cette derniere condition n'est pas imposée, la positivité et bornitude uniforme des courbures scalaires prescrites suffisent.

Nous étudions les espaces de formes harmoniques $L^2$ essentiellement sur les variétés de volume fini, à courbure négative et pincée. Notre but est d'en trouver une interprétation topologique. Nous montrons, dans un premier temps, que si la courbure est suffisamment pincée, il y a une telle interprétation simple de ces espaces. Nous construisons également des exemples qui montrent que notre hypothèse de pincement de la courbure est nécessaire et optimale. Dans un deuxième temps, nous considérons des variétés qui sont de plus kaehlériennes, et nous montrons, sans hypothèse sur le pincement, qu'on peut donner une interprétation topologique de l'espace des k-formes harmoniques $L^2$, pour certains entiers k. Enfin, nous étudions plus généralement la $L^p$-cohomologie de nos variétés.

La déformation visco-plastique de la glace est fortement anisotrope, le plan de glissement préferé étant la plan de base. Le fait que dans un polycristal chaque grain possède sa propre direction de déformation produit des incompatibilités et un champ de contrainte complexe. La déformation à été étudiée expérimentellement en mésurant la dis- tortion des plans cristallins de mono- et polycristaux de glace artificielle. Les expériences ont été réalisées à l'aide d'un faisceau synchrotron. Une nouvelle procédure éxperimental, basée sur les méthodes de l'imagerie en diffraction de Bragg, comme lumière blanche, im- agerie sur la courbe de diffraction et topographie laminaire et ponctuelle, a été dévéloppée. Les désorientations angulaires, les largeurs à mi-hauteur et les intensités intégrées ont été mésurées dans les trois dimensions spatiales de l'échantillon et avec une résolution de 50× 50 × 50µm3. Les algorithmes d'analyse de données ont été écrits pour extraire des données des résultats quantitatifs, et pour calculer les neuf composantes du tenseur de courbure ainsi que la distortion entière des plans cristallins. Les résultats ont permis d'observer les premières étappes de la déformation de la glace. Par example la polygonisation d'un grain à été observée.