Ce travail de recherche porte sur les aspects géométriques desmathématiques et de l'informatique.<br />Il est fortement motivé par des applications telles que la conception assistée par ordinateur,<br />l'imagerie médicale, le calcul scientifique et la simulation ou encore la réalité virtuelle et<br />le multimédia. Plus précisément, cette thèse propose une analyse de la géométrie des surfaces<br />tant d'un point de vue local que global.<br />Tout d'abord, étant donnée une surface lisse connue via un échantillonnage, nous étudions le<br />problème de l'estimation des quantités différentielles locales: normale, courbures et quantités<br />d'ordre supérieur. Une méthode d'estimation utilisant un ajustement polynomial est développée:<br />les propriétés de convergence sont établies et un algorithme est proposé et implémenté.<br />D'un point de vue global, nous analysons les lignes d'extrême de courbure sur une surface,<br />appelées ridges. Pour le cas d'une surface discrétisée par un maillage, des conditions<br />précises d'échantillonnage sont données, et sous ces hypothèses, un algorithme produisant une<br />approximation topologiquement certifiée des ridges est développé. Dans le cas d'une surface<br />paramétrée, nous établissons que les ridges ont une structure implicite globale, et étudions les<br />singularités de la courbe associée dans le domaine de paramétrage en termes de systèmes zerodimensionnels.<br />Pour une paramétrisation polynomiale, ces équations sont aussi polynomiales<br />et des méthodes spécifiques de calcul formel sont développées pour calculer la topologie de la<br />courbe singulière des ridges.

Ce mémoire porte sur la segmentation des fibres de la matière blanche et sur le développement d'outils visuels permettant d'interagir avec les résultats. Pour y parvenir, une métrique innovatrice permettant de quantifier la différence entre deux fibres de la matière blanche est créée. Cette mesure fait appel à des notions de multirésolution, de courbure, de torsion afin de caractériser la forme géométrique d'une fibre. Elle regroupe également des mesures plus simples telles la distance du cosinus, la distance euclidienne entre les centres de masse et la différence des longueurs d'arc pour capter respectivement l'orientation, la translation et la taille d'une fibre. Ensuite, une nouvelle technique de segmentation permettant de gérer des quantités importantes de données est développée. Finalement, ces nouvelles méthodes sont validées sur différents jeux de données.

Ces deux dernières décennies, les techniques de somme connexe essentiellement basées sur des outils d'analyse ont permis de faire des progrès importants dans la compréhension de nombreux problèmes non linéaires issus de la géométrie (étude des métriques à courbure scalaire constante en géométrie Riemannienne, métriques auto-duales, métrique ayant des groupes d'holonomie spéciaux, métriques extrémales en géométrie Kaehlerienne, équations de Yang-Mills, étude des surfaces minimales et des surfaces à courbure moyenne constante, métriques d'Einstein, etc.). Ces techniques se sont avérées être un outil puissant pour démontrer l'existence de solutions à des problèmes hautement non linéaires. Si les techniques permettant d'effectuer des sommes connexes en des points isolés sont bien comprises et fréquemment utilisées, les techniques permettant d'effectuer des sommes connexes le long de sous-variétés ne sont pas encore bien maîtrisées. Le principal objectif de cette thèse est de combler (partiellement) cette lacune en développant de telles techniques applicables dans le cadre de l'étude des métriques à courbure scalaire constante et aussi dans le cadre de l'étude des équations de comptabilité d'Einstein en relativité générale

Mémoire numérisé par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal.

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

La déformation de matériaux élastique dont l'une au moins des dimensions est petite apparaît dans un grand nombre de structures naturelles ou artificielles pour lesquelles une courbure spontanée est présente. Dans ces travaux de thèse, nous couplons plusieurs approches théoriques à des expériences macroscopiques sur des rubans élastiques afin de comprendre la dynamique d'enroulement de biomembranes ouvertes d'un trou. La motivation est issue d'observations récentes d'enroulements obtenues au cours de la sortie de parasites de la Malaria de globules rouges infectés, et de l'explosion de vésicules polymère. Dans une première partie, nous étudions théoriquement la stabilité d'un pore et la propagation de l'enroulement sur une biomembrane sphérique ouverte. Nous modélisons de façon géométrique l'enroulement toroïdal de la membrane par une spirale d'Archimède de révolution et décentrée. Avec cette hypothèse, nous montrons que la stabilité du pore vis-à-vis de l'enroulement dépend fortement de la tension de ligne et du cisaillement et nous discutons ces résultats dans le cadre de l'enroulement de membranes MIRBCs. De plus, en prenant en compte les différentes sources de dissipation, nous obtenons un très bon accord entre les données expérimentales obtenues pour les MIRBCs et la dynamique d'enroulement obtenue par le calcul. Notre approche montre en particulier que la dissipation dans la membrane due à la redistribution de la matière durant l'enroulement domine sur la dissipation visqueuse dans le milieu.Cependant, la complexité de la géométrie sphérique, ainsi que le nombre limité d'observations microscopiques à l'échelle de la membrane sont une entrave au développement de modèles plus détaillés qui permettraient de décrire complètement le couplage entre écoulement et déformation. Nous avons donc étudié dans une seconde partie la déformation d'enroulement dans le cas de rubans élastiques ayant une courbure spontanée dans différents milieux visqueux et pour différentes conditions élastiques. A grands nombres de Reynolds, en raison de la localisation de la courbure pour les rubans au cours de la propagation du front d'enroulement le long du matériau, nous montrons que l'enroulement atteint rapidement une vitesse de propagation constante. Dans ce régime, le ruban s'enroule sur lui-même de façon compacte, sur un cylindre dont la taille est prévue à partir de la solution de l'onde stationnaire pour l'Elastica. A faible nombre de Reynolds, cependant, se rapprochant des conditions d'enroulement d'une membrane microscopique, nous mettons en évidence l'influence des forces de lubrification sur la nature non-compacte de l'enroulement. La taille globale de la spirale de ruban augmente dans le temps conduisant à une diminution de la puissance élastique libérée et donc à une diminution de la vitesse. Nous discutons dans quelle mesure ces résultats peuvent faire avancer la modélisation de l'enroulement dans les MIRBCs et les vésicules polymère. / Curling deformation of thin elastic surfaces appears in numerous natural and man-made structures where a spontaneous curvature is present. In this thesis, we couple theoretical approaches and macroscopic experiments on elastic ribbons to understand the dynamics of curling of opened bio-membranes, motivated by the need to better understand recent microscopic observations during egress of Malaria infected red blood cells (MIRBC) and bursting of artificial polymersomes.In a first part, we study theoretically pore stability and curling propagation of an initially opened spherical bio-membrane. We model geometrically curling deformation as the revolution of a decentered Archimedean spiral, leading to a prescribed toroidal wrapping of the membrane. In this configuration, we show how the stability of a pore to curling depends strongly on both line-tension and shear elasticity and we discuss these results in relation to the curling of MIRBCs membranes. Moreover, taking into account viscous dissipations, the consequent dynamics we calculate agrees quantitatively well with experimental data obtained during opening of MIRBCs. Our approach shows in particular how the membrane dissipation resulting from the surface redistribution dominates curling dynamics over outer viscous dissipation.However, the complexity of the spherical geometry and the lack of detailed images in microscopic observations hamper the development of more accurate models where the coupling between flow and deformation is fully understood. Subsequently, we study in a second part the curling deformation of macroscopic naturally curved elastic ribbons in different viscous media and elastic conditions. At high Reynolds numbers, due to the tendency of ribbons to localize bending deformations when a curling front travels down the material, we show that curling reaches rapidly a constant propagating velocity. In this regime, the ribbon wraps itself into a compact roll whose size is predicted through the solitary wave solution of the associated Elastica. At low Reynolds numbers, however, closer to the hydrodynamic conditions of curling in microscopic membranes, we show that the strong lubrication forces induce a non-compact curling. The overall size of the spiraling ribbon increases in time leading to a temporal decrease of the released elastic power and therefore a consequent decrease in velocity. We discuss how such discovery sheds a new light on the modeling of curling in MIRBCs and polymersomes.

La motivation initiale de cette thèse est l'étude d'une discrétisation volumique de surface (Chapitre 2) naturellement liée à la structure de varifold. Le point clé est qu'il est possible de munir d'une structure de varifold la plupart des objets utilisés pour représenter ou discrétiser des surfaces c'est-à-dire aussi bien des objets tels que les sous variétés ou les ensembles rectifiables que des objets tels que des nuages de points ou encore la discrétisation volumique proposée, ce qui permet d'étudier dans un cadre unifié une surface et sa discrétisation. Une difficulté essentielle est que, généralement, ces structures discrètes ne sont pas rectifiables, ce qui soulève la question suivante : comment assurer qu'un varifold, obtenu comme limite de discrétisations volumiques, soit une surface, au moins en un sens faible ? De façon plus précise : quelles conditions sur une suite de varifolds quelconques assurent que le varifold limite est rectifiable (Chapitre 3) ou encore qu'il est à variation première bornée (Chapitre 5) ? On obtient des conditions quantitatives assurant la rectifiabilité grâce à des énergies liées aux nombres beta de Jones. On s'intéresse ensuite à la régularité du varifold limite en termes de courbure (variation première). On a essayé de contrôler la variation première en utilisant des techniques de construction de mesures de type packing (Chapitre 4), une forme régularisée de la variation première d'un varifold. Cette régularisation permet de définir des énergies de Willmore approchées qui Gamma convergent dans l'espace des varifolds vers l'énergie de Willmore ainsi qu'une approximation de la courbure qui est testée numériquement dans le Chapitre 6 / The starting point of this work is the study of a volumetric surface discretization model naturally connected to the varifolds structure introduced in Chapter 2. The point is that not only the discretization we propose can be endowed with a structure of varifold but also a great part of objects used for surface representation and discretization (triangulation, cloud points, level sets etc.) so that we can use varifolds tools to study in some unified setting different ways of discretizing surfaces. An important point to overcome is that these structures are generally not rectifiable so that we address the following question: how to ensure that the limit of a sequence of such discrete surfaces is regular? More precisely, what conditions on a sequence of varifolds (not necessarily rectifiable nor with bounded variation) ensure that the limit varifold is rectifiable (Chapter 3) or has bounded first variation (Chapter 5)? We obtain quantitative conditions of rectifiability for variflods considering energies linked to Jones' beta numbers. We then address the question in terms of first variation (generalized curvature) of a limit varifold. We first try a packing measure construction of the first variation of a varifold V (Chapter 4), then we define a regularized form of the classical first variation, allowing us to exhibit an energetic condition ensuring that a limit of a sequence of varifolds has bounded first variation. We use this regularized form to build an approximate Willmore energy Gamma-converging in the class of varifolds to the Willmore energy. In Chapter 6, we test numerically a notion of approximate curvature derived from the regularized first variation

Dans l'objectif d'améliorer et d'automatiser la chaîne de reproductiond'objet qui va de l'acquisition à l'impression 3D. Nous avons cherché à caractériserde la saillance sur les objets 3D modélisés par la structure d'un maillage 3D.Pour cela, nous avons fait un état de l'art des méthodes d'estimation des proprié-tés différentielles, à savoir la normale et la courbure, sur des surfaces discrètes sousla forme de maillage 3D. Pour comparer le comportement des différentes méthodes,nous avons repris un ensemble de critères de comparaison classique dans le domaine,qui sont : la précision, la convergence et la robustesse par rapport aux variations duvoisinage. Pour cela, nous avons établi un protocole de tests mettant en avant cesqualités. De cette première comparaison, il est ressorti que l'ensemble des méthodesexistantes présentent des défauts selon ces différents critères. Afin d'avoir une estimationdes propriétés différentielles plus fiable et précise nous avons élaboré deuxnouveaux estimateurs. / With the aim to improve and automate the object reproduction chainfrom acquisition to 3D printing .We sought to characterize the salience on 3D objectsmodeled by a 3D mesh structure. For this, we have a state of the art of estimatingdifferential properties methods, namely normal and curvature on discrete surfaces inthe form of 3D mesh. To compare the behavior of different methods, we took a set ofclassic benchmarks in the domain, which are : accuracy, convergence and robustnesswith respect to variations of the neighbourhood. For this, we have established atest protocol emphasizing these qualities. From this first comparision, it was foundthat all the existing methods have shortcomings as these criteria. In order to havean estimation of the differential properties more reliable and accurate we developedtwo new estimators.

Dans de nombreux tissus épithéliaux, les cellules ne migrent pas sur des substrats plats mais font au contraire partie d’une monocouche bidimensionnelle courbée. C'est le cas par exemple pour les tubules rénaux, les acini du sein, les alvéoles pulmonaires ou bien les cryptes du côlon et de l’intestin. Cependant, malgré l’omniprésence de cette courbure hors plan in vivo, peu d’études expérimentales s’interrogent sur son influence sur le développement et la migration cellulaire. En effet, le comportement collectif des cellules au sein d’un épithélium à deux dimensions a été principalement étudié sur des substrats plans, négligeant ainsi l'influence de la topologie de l’environnement de culture sur le développement cellulaire. Dans ce manuscrit de thèse, nous exposons les différentes expériences menées afin de caractériser et de quantifier l’influence de cette courbure hors du plan sur le développement, la migration ainsi que les propriétés mécaniques des tissus épithéliaux. Un dispositif expérimental a été mis au point afin d’obtenir des courbures et des conditions initiales reproductibles. Afin de découpler l’effet du à la courbure de ceux dus au confinement latéral, nous avons reproduit les mêmes expériences sur des substrats plats où les cellules sont confinées dans des bandes adhésives de largueurs comparables au périmètre des tubes.En mettant en parallèle nos résultats sur ces deux types de substrats, nous suggérons que forcer les cellules à croître sur des cylindres de diamètre pertinent biologiquement induit de nouvelles propriétés biologiques qui sont à dissocier de l'effet du au confinement latéral du tissu. / That the mechanics of a cell’s microenvironment greatly influences cellular behaviors and phenotypes is well established. For example, the morphology, performance and even fate of a cell adhering to a substrate is highly influenced by the substrate rigidity. Similarly, cytoskeleton organization and cell polarity can be controlled by confining the cell to 2d micro patterns while micro or nano substrate topography influences cell adhesion and orientation. On the other hand, significantly less research exists regarding the effect of out of plane curvature on individual cells and cell assemblies, despite the intrinsic curvature of epithelial sheets which frequently form tubes, cysts, crypts, or villi with radii of curvature on the order of a few cell diameters. This thesis accordingly examines the relationship between the collective properties of epithelial tissue and out of plane curvature by employing micro fabricated environments to deconstruct the response of a cell monolayer to the geometry of its neighborhood. Curved substrates provide a controlled way to study the role of a fixed out of plane curvature on a system otherwise identical to the classic 2D assay. In particular, fibers with curvature radii between 0.5um-100um were populated with MDCK cells from a model epithelial, kidney-derived, cell line and the resulting migration dynamics and cell architecture quantified. The specific cellular behaviors induced by large curvatures provide plausible explanations of certain aspects of tubulogenesis.

Après avoir rappelé la définition et quelques propriétés des pseudogroupes de Lie, on définit les structures infinitésimales régulières. On peut toujours associer des connexions affines à de telles structures ; courbure et torsion de ces connexions. Équivalence locale de deux structures infinitésimales. Application à l'étude des structures presque complexes, presque paracomplexes, presque symplectiques, presque hermitiennes, presque parahermitiennes, presque quaternioniennes, presque quaternioniennes de deuxième espèce.