Cette thèse contient des preuves de convergence ou de divergence d'algorithmes d'optimisation appelés stratégies d'évolution (ESs), ainsi que le développement d'outils mathématiques permettant ces preuves.Les ESs sont des algorithmes d'optimisation stochastiques dits ``boîte noire'', i.e. où les informations sur la fonction optimisée se réduisent aux valeurs qu'elle associe à des points. En particulier, le gradient de la fonction est inconnu. Des preuves de convergence ou de divergence de ces algorithmes peuvent être obtenues via l'analyse de chaînes de Markov sous-jacentes à ces algorithmes. Les preuves de convergence et de divergence obtenues dans cette thèse permettent d'établir le comportement asymptotique des ESs dans le cadre de l'optimisation d'une fonction linéaire avec ou sans contrainte, qui est un cas clé pour des preuves de convergence d'ESs sur de larges classes de fonctions.Cette thèse présente tout d'abord une introduction aux chaînes de Markov puis un état de l'art sur les ESs et leur contexte parmi les algorithmes d'optimisation continue boîte noire, ainsi que les liens établis entre ESs et chaînes de Markov. Les contributions de cette thèse sont ensuite présentées:o Premièrement des outils mathématiques généraux applicables dans d'autres problèmes sont développés. L'utilisation de ces outils permet d'établir aisément certaines propriétés (à savoir l'irreducibilité, l'apériodicité et le fait que les compacts sont des small sets pour la chaîne de Markov) sur les chaînes de Markov étudiées. Sans ces outils, établir ces propriétés était un processus ad hoc et technique, pouvant se montrer très difficile.o Ensuite différents ESs sont analysés dans différents problèmes. Un (1,\lambda)-ES utilisant cumulative step-size adaptation est étudié dans le cadre de l'optimisation d'une fonction linéaire. Il est démontré que pour \lambda > 2 l'algorithme diverge log-linéairement, optimisant la fonction avec succès. La vitesse de divergence de l'algorithme est donnée explicitement, ce qui peut être utilisé pour calculer une valeur optimale pour \lambda dans le cadre de la fonction linéaire. De plus, la variance du step-size de l'algorithme est calculée, ce qui permet de déduire une condition sur l'adaptation du paramètre de cumulation avec la dimension du problème afin d'obtenir une stabilité de l'algorithme. Ensuite, un (1,\lambda)-ES avec un step-size constant et un (1,\lambda)-ES avec cumulative step-size adaptation sont étudiés dans le cadre de l'optimisation d'une fonction linéaire avec une contrainte linéaire. Avec un step-size constant, l'algorithme résout le problème en divergeant lentement. Sous quelques conditions simples, ce résultat tient aussi lorsque l'algorithme utilise des distributions non Gaussiennes pour générer de nouvelles solutions. En adaptant le step-size avec cumulative step-size adaptation, le succès de l'algorithme dépend de l'angle entre les gradients de la contrainte et de la fonction optimisée. Si celui ci est trop faible, l'algorithme convergence prématurément. Autrement, celui ci diverge log-linéairement.Enfin, les résultats sont résumés, discutés, et des perspectives sur des travaux futurs sont présentées. / In this dissertation an analysis of Evolution Strategies (ESs) using the theory of Markov chains is conducted. Proofs of divergence or convergence of these algorithms are obtained, and tools to achieve such proofs are developed.ESs are so called "black-box" stochastic optimization algorithms, i.e. information on the function to be optimized are limited to the values it associates to points. In particular, gradients are unavailable. Proofs of convergence or divergence of these algorithms can be obtained through the analysis of Markov chains underlying these algorithms. The proofs of log-linear convergence and of divergence obtained in this thesis in the context of a linear function with or without constraint are essential components for the proofs of convergence of ESs on wide classes of functions.This dissertation first gives an introduction to Markov chain theory, then a state of the art on ESs and on black-box continuous optimization, and present already established links between ESs and Markov chains.The contributions of this thesis are then presented:o General mathematical tools that can be applied to a wider range of problems are developed. These tools allow to easily prove specific Markov chain properties (irreducibility, aperiodicity and the fact that compact sets are small sets for the Markov chain) on the Markov chains studied. Obtaining these properties without these tools is a ad hoc, tedious and technical process, that can be of very high difficulty.o Then different ESs are analyzed on different problems. We study a (1,\lambda)-ES using cumulative step-size adaptation on a linear function and prove the log-linear divergence of the step-size; we also study the variation of the logarithm of the step-size, from which we establish a necessary condition for the stability of the algorithm with respect to the dimension of the search space. Then we study an ES with constant step-size and with cumulative step-size adaptation on a linear function with a linear constraint, using resampling to handle unfeasible solutions. We prove that with constant step-size the algorithm diverges, while with cumulative step-size adaptation, depending on parameters of the problem and of the ES, the algorithm converges or diverges log-linearly. We then investigate the dependence of the convergence or divergence rate of the algorithm with parameters of the problem and of the ES. Finally we study an ES with a sampling distribution that can be non-Gaussian and with constant step-size on a linear function with a linear constraint. We give sufficient conditions on the sampling distribution for the algorithm to diverge. We also show that different covariance matrices for the sampling distribution correspond to a change of norm of the search space, and that this implies that adapting the covariance matrix of the sampling distribution may allow an ES with cumulative step-size adaptation to successfully diverge on a linear function with any linear constraint.Finally, these results are summed-up, discussed, and perspectives for future work are explored.

Depuis la fin du XIXe siècle / le début du XXe siècle, les cours d'eau européens sont affectés par une incision et une contraction généralisées des chenaux, en réponse à l'intensification des activités humaines et à la transition climatique entre le Petit Âge Glaciaire (PAG) et le Réchauffement Global actuel (RG). Sur la Garonne, ce phénomène a été observé et décrit depuis les années 1960 dans la portion dite toulousaine (linéaire de 90 km entre les confluences de l'Ariège et du Tarn). Toutefois, peu d'études se sont intéressées à l'évolution de la dynamique fluviale à plus long terme. Cette thèse propose une reconstitution de la trajectoire d'évolution de la Garonne toulousaine sur une échelle de temps pluriséculaire. L'objectif est d'évaluer : 1) l'inscription de la tendance actuelle sur la période antérieure aux années 1950 ; 2) l'effet de la transition PAG/RG et des aménagements ponctuels de l'Epoque Moderne sur la dynamique fluviale ; 3) le mode de fonctionnement hydro-sédimentaire de la Garonne avant le XXe siècle et 4) l'existence de tendances/disparités spatiales au sein du linéaire. La démarche méthodologique mise en oeuvre repose sur la complémentarité chronologique et spatiale des données traitées, issues de l'analyse des documents cartographiques historiques et de travaux de terrain menés sur 11 paléochenaux de la Garonne. Les résultats révèlent : 1) une tendance au méandrage au cours de la phase terminale du PAG (seconde moitié du XIXe siècle), marquée par des discontinuités le long du linéaire ; 2) une réduction de la dynamique fluviale amorcée dès la fin du XIXe siècle / le début du XXe siècle dans la partie amont/médiane du linéaire, en réponse à des facteurs de contrôle multiples et 3) une réduction de la dynamique fluviale plus tardive dans la partie aval, sous l'effet d'une campagne de protection des berges. Par ailleurs, cette étude fournit des données sur la période correspondant à l'Optimum Climatique Médiéval (OM, 900-1300) et révèle une faiblesse documentaire concernant le PAG avant le XIXe siècle. / Since the end of the nineteenth century, significant morphological channel changes have been observed along European rivers. The major processes involved, channel incision and narrowing, appear as the result of increasing human activities and the transition from the Little Ice Age (LIA) to Global Warming (GW). On the Garonne River (southwestern France) this phenomenon has been observed and described since the 1960th between the Ariège and Tarn tributaries (The Toulouse Garonne, 90 km). However, very few studies have focused on a longer evolutionary period. In this study, we propose to analyze the evolutionary trajectory of the Toulouse Garonne on a plurisecular timescale. The aim of this study is to assess: 1) the evolutionary tendency before the 1950th; 2) the impact of the LIA to GW transition and former human disturbances on fluvial dynamics; 3) the hydro-sedimentary pattern of the Garonne River before the twentieth century; and 4) the presence of spatial discontinuities within the reach. The analysis is based on two types of data, which are complementary in terms of chronology and spatial cover: historical maps and field data collected on 11 palaeochannels. The results show: 1) a meandering channel in the late LIA (second half of the nineteenth century), with spatial discontinuities along the Toulouse Garonne; 2) a morphological adjustment since the late nineteenth / early twentieth centuries in the upstream and middle reaches, in response to several controls and; 3) a later adjustment in the downstream reach, in response to bank protection. Furthermore, this study provides new data on morphological channel features over the Medieval Climatic Optimum (MCO, 900-1300) and reveals that only a very few data allows to assess the channel behavior over the LIA.

Cette thèse présente des travaux originaux dans le domaine des méthodes de moyennisation d'ordre élevé. On s'intéresse notamment à des procédures de moyennisation dite stroboscopique ou quasi-stroboscopique dans des espaces de Banach ou de Hilbert. Ces procédures sont ensuite appliquées à des exemples concrets: des équations d'évolutions hautement oscillantes. Plus précisément, on montre dans un premier temps un résultat de moyennisation stroboscopique dans un espace de Banach où l'on obtient des estimations d'erreurs exponentielles. Ce théorème est ensuite appliqué sur deux équations des ondes semi-linéaire hautement oscillantes. On montre également que la Stroboscopic Averaging Method s'applique à une équation des ondes semi-linéaire avec conditions de Dirichlet. On trouve enfin numériquement, une dynamique intéressante de l'équation des ondes semi-linéaire mise en lumière par la procédure de moyennisation. Dans un second temps, on présente un théorème de moyennisation quasi-stroboscopique dans un espace de Hilbert quelconque avec des estimations d'erreurs exponentielles. Ce théorème est alors appliqué de façon indirecte à une équation de Schrödinger semi-linéaire oscillante. Cette équation est d'abord projeté dans un espace de dimension finie pour qu'on puisse lui appliquer le théorème de moyennisation quasi-stroboscopique. On écrit alors un résultat de moyennisation quasi-stroboscopique pour l'équation de Schrödinger semi-linéaire avec des estimations d'erreur polynomiales. / This thesis presents some original work in the field of high order averaging procedure. In particular, we are interested in stroboscopic and quasi-stroboscopic averaging procedure in abstract Banach or Hilbert spaces. This procedures is applied to concrete examples: some highly oscillatory evolution equations. More precisely, we first show a theorem of stroboscopic averaging in a Banach space where we obtain exponential error estimates. This theorem is then applied on two semi-linear and highly oscillatory wave equations. We also put in evidence that the {\it Stroboscopic Averaging Method} works fine with a semi-linear wave equation with Dirichlet conditions. Finally, the averaging procedure puts in evidence, numerically, an interesting dynamics regarding the semi-linear wave equation with Dirichlet conditions. In a second part, we present a quasi-stroboscopic averaging theorem in a Hilbert space with exponential error estimates. This theorem is applied on a semi-linear Schrödinger equation. This equation has first, to be project in a finite dimensional space in order to fit in the hypotheses of the theorem. We then write a quasi-stroboscopic averaging theorem for a semi-linear Schrödinger equation with polynomial error estimates.

Les principaux résultats obtenus dans ce travail concernent l’existence et l’unicité des solutions de différents types de l’équation de Liénard forcée et des résultats de dépendance pour les solutions S-asymptotiquement w-périodiques d’équations d’évolution. Pour réaliser notre objectif, nous utilisons des outils d’analyse fonctionnelle non linéaire et des résultats sur des équations linéaire. / No English summary available.

Le but de cette thèse est de présenter quelques contributions dans le cadre du contrôle des équations différentielles stochastiques en dimension finie où infinie :<br />(1) Contrôle stochastique non borné sous contraintes d'état.<br />Nous étudions une condition nécessaire sous laquelle les solutions d'une EDS régie par un processus de contrôle non-borné restent dans un voisinage arbitrairement petit d'un ensemble donné de contraintes.<br />(2) Contrôlabilité approchée pour des équations différentielles linéaires avec bruit contrôlé.<br />Dans cette deuxième partie, on s'intéresse à la propriété de contrôlabilité approchée pour une EDS linéaire. Nous proposons une généralisation de la condition de Kalman pour le cas général où le contrôle agit sur le bruit.<br />(3) Contrôlabilité approchée pour des équations différentielles linéaires en dimension infinie.<br />La troisième partie est dédiée à l'étude de la propriété de contrôlabilité approchée pour un système stochastique linéaire dans un espace de Hilbert réel et séparable. En particulier, nous montrons l'existence et unicité pour la solution de l'EDSR duale lorsque les opérateurs qui agissent sur Y et Z sont non-bornés. Dans le cas d'un générateur infinitésimal d'un semi-groupe exponentiellement stable, nous montrons que le test généralisé de Hautus donne une condition nécessaire pour la contrôlabilité approchée.<br />(4) Assurance, réassurance et paiement de dividendes.<br />Nous introduisons un modèle d'assurance qui permet la réassurance et le paiement des dividendes. Notre modèle prend en compte plusieurs contrats homogènes ainsi que la législation européenne en vigueur concernant les provisions des sociétés d'assurance.

La phylogénie moléculaire fournit un outil complémentaire aux études paléontologiques et géologiques en permettant la construction des relations phylogénétiques entre espèces ainsi que l’estimation du temps de leur divergence. Cependant lorsqu’un arbre phylogénétique est inféré, les chercheurs se focalisent surtout sur la topologie, c'est-à-dire l’ordre de branchement relatif des différents nœuds. Les longueurs des branches de cette phylogénie sont souvent considérées comme des sous-produits, des paramètres de nuisances apportant peu d’information. Elles constituent cependant l’information primaire pour réaliser des datations moléculaires. Or la saturation, la présence de substitutions multiples à une même position, est un artefact qui conduit à une sous-estimation systématique des longueurs de branche. Nous avons décidé d’estimer l‘influence de la saturation et son impact sur l’estimation de l’âge de divergence. Nous avons choisi d’étudier le génome mitochondrial des mammifères qui est supposé avoir un niveau élevé de saturation et qui est disponible pour de nombreuses espèces. De plus, les relations phylogénétiques des mammifères sont connues, ce qui nous a permis de fixer la topologie, contrôlant ainsi un des paramètres influant la longueur des branches. Nous avons utilisé principalement deux méthodes pour améliorer la détection des substitutions multiples : (i) l’augmentation du nombre d’espèces afin de briser les plus longues branches de l’arbre et (ii) des modèles d’évolution des séquences plus ou moins réalistes. Les résultats montrèrent que la sous-estimation des longueurs de branche était très importante (jusqu'à un facteur de 3) et que l’utilisation d'un grand nombre d’espèces est un facteur qui influence beaucoup plus la détection de substitutions multiples que l’amélioration des modèles d’évolutions de séquences. Cela suggère que même les modèles d’évolution les plus complexes disponibles actuellement, (exemple: modèle CAT+Covarion, qui prend en compte l’hétérogénéité des processus de substitution entre positions et des vitesses d’évolution au cours du temps) sont encore loin de capter toute la complexité des processus biologiques. Malgré l’importance de la sous-estimation des longueurs de branche, l’impact sur les datations est apparu être relativement faible, car la sous-estimation est plus ou moins homothétique. Cela est particulièrement vrai pour les modèles d’évolution. Cependant, comme les substitutions multiples sont le plus efficacement détectées en brisant les branches en fragments les plus courts possibles via l’ajout d’espèces, se pose le problème du biais dans l’échantillonnage taxonomique, biais dû à l‘extinction pendant l’histoire de la vie sur terre. Comme ce biais entraine une sous-estimation non-homothétique, nous considérons qu’il est indispensable d’améliorer les modèles d’évolution des séquences et proposons que le protocole élaboré dans ce travail permettra d’évaluer leur efficacité vis-à-vis de la saturation. / Molecular phylogeny provides an additional tool complementary to paleontological and geological studies, allowing the reconstruction of phylogenetic relationships between species and the estimate of their divergence time. Researchers are mainly focusing on the topology of a phylogenetic tree; i.e. the relative connection between different nodes. Whereas, the branch lengths of this phylogeny are often considered as secondary, i.e. as additional parameters containing little information. However, the branch lengths are the primary information for molecular dating. Importantly, saturation, the presence of multiple substitutions at the same position, is an artifact that leads to an underestimation of the branch length. We are therefore interested in estimating the magnitude of this phenomenon and its impact on divergence time. We chose to study the mammalian mitochondrial genome, which is available for many species and displays a high level of saturation. Furthermore, the phylogenetic relationships of mammalians are known, thus allowing us to fix the topology, thus eliminating one of the parameters influencing the branch lengths. We used two main approaches to improve the detection of multiple substitutions: (i) an increase in the number of species breaks the longest branches of the tree, (ii) more realistic models of sequence evolution. The results demonstrate that there is a very pronounced underestimation of branch lengths (up to a factor of 3). Furthermore, the use of a large number of species is the factor that influences most the detection of multiple substitutions, not the improvement of the model of sequence evolution. This suggests that even the most complex evolutionary models currently available, like the CAT+ Covarion model, which takes into account the heterogeneity of the substitution process between sites and the rates of evolution over time, are still far from taking the entire complexity of biological processes into account. Despite the important underestimation of branch lengths, the impact on dating appeared to be relatively limited, because the underestimation is more or less homothetic. This is obviously true for the complex evolutionary models. Since multiple substitutions are most effectively detected when breaking the long internal branches via the addition of species. This raises the problem of bias in the taxonomic sampling, due to the impact of extinction on the history of life on earth. Because this kind of bias leads to a non-homothetic underestimation, we consider it essential to improve models of sequence evolution and suggest that the protocol developed in this work will allow to evaluate their effectiveness towards saturation.

L'étude des bactéries pathogènes opportunistes d'origine environnementale ayant des modes de vie variés, libre et autonome ou contraint à une niche spécifique représentée par l'hôte, présente un intérêt dans la compréhension de l'adaptation des bactéries à leurs hôtes et de l'apparition de nouveaux pathogènes. Le genre Aeromonas regroupe des bactéries communes des milieux aquatiques, principalement des eaux douces. Elles sont capables d'entretenir différents types de relations avec leurs hôtes (parasitisme/symbiose) et peuvent être hébergées par un large spectre d'organismes. Chez l'homme, elles sont la cause d'une large variété d'infections (gastroentérite, bactériémie, infection de la peau et des tissus mous, etc.) mais les difficultés d'identification des souches et une taxonomie confuse engendrent une méconnaissance de la pathogénicité réelle des différentes espèces décrites.Le but de ce travail était d'étudier les mécanismes d'évolution génomique et génétique à l'origine de la remarquable capacité d'adaptation des Aeromonas à leurs hôtes, notamment à l'homme. Une analyse comparative de la diversité génétique et génomique d'une large collection de 195 souches représentative des différentes espèces du genre et d'origines variées (humaine, animale et environnementale) a été menée. La diversité génétique a été appréhendée au moyen d'une approche multilocus incluant l'étude des séquences de 7 gènes de ménage (dnaK, gltA, gyrB, radA, rpoB, tsf, zipA). En parallèle, nous avons étudié la variabilité des copies multiples du gène rrs en explorant leur diversité génétique par une méthode d'électrophorèse en condition dénaturante (PCR-TTGE) et la variabilité du nombre et de la répartition des opérons rrn dans le chromosome de ces bactéries par électrophorèse en champ pulsé.Ces différentes approches nous ont permis de mettre en évidence : i) une diversité très élevée des 7 gènes de ménage analysés ainsi que l'existence de transferts latéraux, ii) l'existence de sous-groupes de souches adaptées à un hôte ou à une localisation anatomique particulière, iii) un nombre important d'opérons rrn (8 à 11), iv) l'existence de profils de distribution chromosomique des opérons rrn spécifique d'espèce ou de groupes d'espèces proches, v) une forte proportion (41,5%) des souches présentant une hétérogénéité de séquences des différentes copies du gène rrs. Nos résultats montrent également la valeur taxonomique de l'étude de la diversité génétique et génomique à l'aide des approches proposées au sein du genre Aeromonas.Nous montrons que : i) l'ARN ribosomique 16S est un marqueur informatif pour étudier les modes d'évolution et conduire des études de taxonomie mixte et consensuelle dans le genre Aeromonas à condition d'étudier la diversité de ses multiples copies, ii) A. caviae présente des caractéristiques génétiques particulières témoignant d'un processus d'adaptation en cours à une niche écologique que nous supposons être l'intestin humain. Nos résultats supportent également un mode d'évolution des bactéries du genre Aeromonas dit en complexes d'espèces accompagné de phénomènes de spéciation pouvant en partie expliquer les difficultés rencontrées pour établir une taxonomie claire du genre Aeromonas. / Abstract :Studying opportunistic pathogenic bacteria with an environmental origin and a wide variety of lifestyles, either free-living or host-adapted, is useful to improve the understanding of bacterial adaptation to hosts and the emergence of novel pathogens. The genus Aeromonas groups water-living bacteria, mainly in freshwater. They are able to support several types of relations with their hosts (parasitism/ symbiosis) and are harbored by a large spectrum of hosts. In human, they are involved in a wide range of infections (gastroenteritis, bacteraemia, wound and soft tissue infection, etc.) but difficulties in identifying strains and a confused taxonomy results in incomplete knowledge of the real strain pathogenicity of each described species.The aim of this work was to study the mechanisms of genomic and genetic evolution related to the outstanding ability of Aeromonas adaptation to host, including human. We led a comparative analysis of the genetic and genomic diversity on a large strain collection (195 strains) representative of the species of the genus and from various sources (human, animal, environmental). We studied the genetic diversity using a 7 housekeeping gene multilocus strain analysis (dnaK, gltA, gyrB, radA, rpoB, tsf, zipA). We also described the variability in the i) rrs multiple gene copies using a PRC-TTGE method and ii) the number and distribution of the rrn operons within the chromosome using a pulse field gel electrophoresis. Our results also showed the taxonomic value of the study of genetic and genomic diversity using the approaches proposed in the genus Aeromonas.These various approaches enabled us to highlight: i) a high genetic diversity in the housekeeping genes together with horizontal gene transfers events, ii) some clusters that were either host-adapted or adapted to particular anatomical locations, iii) a high number of rrn operons (from 8 to 11), iv) the presence of patterns of rrn operon that were either species-specific or specific to groups of closely related species, v) a high frequency (41,5%) of strains harboring sequence heterogeneities between rrs copies. We showed that: i) 16 rRNA is a valuable marker for studying the modes of evolution of aeromonads and the taxonomy within the genus Aeromonas provided that multiple copy diversity is taken into account, ii) A. caviae displays particular genetic characteristic that suggested an ongoing process of adaptation to a niche that we supposed to be human digestive tract. Our results also support an evolution mode in complex of species with some speciation process that could at least in part explain difficulties for determining a clarified taxonomy within the genus Aeromonas.

La thèse est constituée de cinq chapitres. Le premier chapitre est consacré à étudier le sous-différentiel de Hölder ainsi que le cône normal de Hölder. Nous établissons différentes règles de calcul pour ce type de sous-différentiel. La relation entre le sous-différentiel de Hölder de la fonction distance et le cône normal de Hölder d'un ensemble S en un point x est également traitée dans le cas où x est dans S ou en dehors de S. Le deuxième chapitre étudie les fonctions inférieurement $s$-régulières dans un espace de Banach. Cette classe de fonctions est une extension de celle dite "Primal lower nice functions" (pln en abrégé), introduite par R.A. Poliquin dans les espaces de dimension finie. Le but de cette partie est de donner dans le contexte d'espaces Banachiques plus généraux, une caractérisation sous-différentielle de ces fonctions ainsi que l'égalité avec d'autres sous-différentiels connus. Nous nous intéressons dans le troisième chapitre à l'étude des propriétés de différentiabilité de l'enveloppe de Moreau d'une fonction inférieurement $s$-régulière. Nous établissons entre autres, sous des conditions assez générales, que l'enveloppe de Moreau d'une telle fonction est de classe C^{1,alpha} et que l'application proximale associée est Höldérienne.Dans les chapitres 4 et 5, nous obtenons des résultats d'existence de solutions d'inégalités variationnelles. Nous considérons le cas d'inclusion différentielle associée au sous-différentiel d'une fonction plr avec une perturbation. Le cas d'inclusion différentielle gouvernée par le cône normal d'un ensemble prox-régulier est aussi étudié. / The thesis contains five chapters. The first chapter is devoted to study the Hölder subdifferential and the Hölder normal cone. We establish different calculus rules for this type of subdifferential. The relationship between the Hölder subdifferential of the distance function and the Hölder normal cone of a set S at a point x is also studied in the case where either x is in S or outside of S. The second chapter studies the s-lower regular functions in a Banach space. This class of functions is an extension of the Primal lower nice functions ( pln for short) introduced by R.A. Poliquin in finite dimensional spaces. The purpose of this section is to establish in the context of general Banach spaces, a subdifferential characterization of these functions as well as the equality with other known subdifferentials. We are interested in the third chapter in the study of differentiability properties of the Moreau envelope associated to an s-lower regular function. We show, under enough general conditions that, the Moreau envelope of such functions is of class C^{1,alpha} and the associated proximal mapping is Hölderian. In chapters 4 and 5, we obtain existence results of solution of variational inequalities. We consider the case of differential inclusion associated to plr functions with single-valued perturbation. The case of differential inclusion governed by the normal cone of prox-regular sets is also studied.

Selon une vision populaire, l’évolution serait un processus de « progrès » qui s’accompagnerait d’un accroissement de la complexité moléculaire des êtres vivants. Cependant, les programmes de séquençage des génomes ont révélé l’existence d’espèces dont les lignées ont, au contraire, subi une réduction massive de leur génome. Ainsi, chez les cyanobactéries Prochlorococcus et Pelagibacter ubique, certaines lignées ont subi une réduction de 30% de leur génome. Une telle évolution « à rebours », dite évolution réductive, avait déjà été observée pour des bactéries endosymbiotiques, pour lesquelles la sélection naturelle n’est pas assez efficace pour éliminer les mutations délétères comme les pertes de gènes. Cela vient notamment du fait que ces bactéries endosymbiotiques subissent, à chaque reproduction de leur hôte, une réduction drastique de leur taille de population. Cette explication semble peu plausible pour des cyanobactéries marines comme Prochlorococcus et Pelagibacter, qui ont un mode de vie libre et qui font partie des bactéries les plus abondantes des océans. D’autres hypothèses ont ainsi été proposées pour expliquer l’évolution réductive comme l’adaptation à un environnement stable et pauvre en nutriments, des forts taux de mutation, mais aucun de ces hypothèses ne semble capable d’expliquer toutes les caractéristiques génomiques observées. Dans cette thèse, nous nous intéressons au cas de l’évolution réductive chez Prochlorococcus, pour laquelle de nombreuses séquences et données sont disponibles. Deux approches sont utilisées pour cette étude : une analyse phylogénétique des génomes de Prochlorococcus, et une approche théorique de simulation où nous testons différents scénarios évolutifs pouvant conduire à une évolution réductive. La combinaison de ces deux approches permet finalement de proposer un scénario plausible pour expliquer l'évolution réductive chez Prochlorococcus. / Given a popular view, evolution is an incremental process based on an increase of molecular complexity of organisms. However, some organisms have undergo massive genome reduction like the endosymbionts. In this case the reduction can be explained by the Muller’s ratchet due to the endosymbiont lifestyle with small population and lack of recombination. However, in some marine bacteria, like Prochlorococcus et Pelagibacter, lineage have undergo up to 30% of genome reduction. Their lifestyle is almost the opposite to the one of the endosymbionts and reductive genome evolution can not be easily explicable by the Muller’s ratchet. Some other hypothesis has been proposed but none can explain all the observed genomic characteristics. In the thesis, I am interested in the reductive evolution of Prochlorococcus. I used two approaches: a theoretical one using simulation where different scenarios are tested and an analysis of Prochlorococcus genomes in a phylogenetic framework to determine the causes and characteristics of genome reduction. The combination of these two approaches allows to propose an hypothetical evolutive history for the reductive genome evolution of Prochlorococcus.

Cette thèse présente des résultats théoriques sur le chaos dans les systèmes quantiques. Dans sa première partie, nous étudions la dynamique du rotateur pulsé. Ce système, qui est la référence pour l'étude du chaos quantique, présente un gel de la diffusion en impulsion, appelé localisation dynamique. Celle-ci est un phénomène purement quantique basé sur des interférences destructives.<br /><br />Comme tout phénomène d'interférence, la localisation dynamique est affectée par l'émission spontanée. Dans cette thèse, nous proposons une méthode basée sur la spectroscopie Raman, pour limiter l'impact de l'émission spontanée. Nous menons une étude analytique complète de la dynamique, en très bon accord avec nos simulations numériques.<br /><br />Du fait de sa périodicité temporelle, le rotateur pulsé présente aussi des résonances quantiques, qui sont l'analogue de l'effet Talbot optique. En décrivant ces résonances dans l'espace des positions, nous en donnons une image simple et intuitive, basée sur des notions classiques comme la force.<br /><br />Les condensats de Bose-Einstein ont ouvert la voie à l'obtention de phénomènes quantiques nouveaux. La non-linéarité de leur équation d'évolution permet notamment l'observation du chaos quasi-classique. Nous proposons ici une méthode pour le détecter, basée sur la mesure de la position moyenne du condensat. Cette méthode, dont la validité est confirmée par les exposants de Lyapunov du système, permet de distinguer sans équivoque les trajectoires chaotiques et régulières.