Le sujet de cette thèse se situe à la frontière entre les mathématiques appliquées et la mécanique. Il s'agit d'étudier, sous un angle mathématique, des problèmes piézoélectriques, c'est à dire des problèmes couplant action mécanique et action électrique, en présence de contact et de frottement. On s'intéresse notamment à l'analyse variationnelle et numérique de ces problèmes. La thèse comporte quatre parties. La première partie contient l'ensemble des outils mathématiques, numériques et mécaniques nécessaires à une bonne compréhension du travail réalisé par la suite. La deuxième partie aborde deux problèmes statiques de contact frottant entre un corps électro-élastique et une fondation. Dans le cas des formulations primales des problèmes, nous prouvons l'existence, l'unicité, et la dépendance continue des solutions faibles, exprimées en termes de déplacements et de potentiel électrique. Une formulation duale équivalente au problème précédent, exprimée en termes de contraintes et de déplacement électrique, est étudiée pour laquelle des résultats d'existence et d'unicité sont établis. La troisième partie aborde deux modèles de contact piézoélectrique dans un cadre évolutif de type quasistatique. Pour chaque modèle, on présente un résultat d'existence. Dans la quatrième partie, le travail porte sur l'analyse numérique et les simulations par différences finies en temps (Euler implicite) et éléments finis en espace. Dans le cas statique, on traite un problème électro-élastique avec contact frottant de type compliance. Le problème discret est posé et les estimations a priori de l'erreur sont obtenues. Le problème est écrit sous forme d'un Lagrangien augmenté couplé à un algorithme de type Newton généralisé. S'ensuit une simulation numérique en dimension deux d'espace et des vérifications numériques de convergence. Des résultats similaires sont obtenus dans le cas d'un problème de contact quasistatique électro-viscoélastique.

Ce travail est une contribution à l'étude de la limite singulière des équations et des systèmes de Réaction-Diffusion. Ces derniers modélisent des problèmes issus de la physique, de la chimie, de la biologie et des sciences de la technologie. En effet, ce type de problème se présente dans la nature et sont caractérisés par la présence de paramètres qui, lorsqu' ils sont suffisamment grands, donnent lieu généralement à un phénomène appelé couches limites. Cette thèse est composée de cinq chapitres traitant les limites singulières des équations et des systèmes de Réaction Diffusion ainsi que l' existence et l'unicité de solution pour un problème d'obstacle et de quelques EDPs elliptique-parabolique doublement non linéaire avec un opérateur de type Leray Lions. Dans le premier chapitre, nous présentons des résultats théoriques et abstraits sur les limites singulières, où nous traitons aussi la compétition entre deux ou plusieurs opérateurs. Nous appliquons ces résultats dans le contexte des équations aux dérivées partielles et nous étudions le comportement de la solution d'un modèle, lorsque les coefficients de diffusion et/ou de réaction deviennent très grands. Dans les deux chapitres qui suivent, nous considérons un système de réaction diffusion intervenant dans des modèles (macroscopiques) de diffusion dans un milieu hétérogène. Nous présentons d'abord une analyse mathématique (existence et unicité de la solution), ensuite nous étudions le comportement de la solution lorsque le paramètre d'homogénéité devient très grand sur un sous domaine. Le chapitre trois est dédié à l'analyse numérique d'un modèle linéaire, nous prouvons l' existence d'une solution approchée satisfaisant des propriétés de stabilité et de convergence vers la solution du problème continu indépendamment du paramètre d'homogénéité. Le chapitre quatre a pour objet l'étude de l'existence et l'unicité de la solution d'un problème d'obstacle doublement non linéaire avec des contraintes bilatérales, dépendantes de l'espace. Enfin, dans le cinquième chapitre, nous présentons une généralisation des résultats du chapitre trois au cas d'un opérateur de type Leray-Lions et une réaction qui dépend de l'espace.

Cette thèse porte sur l'étude probabiliste de modèles écologiques appartenant à la récente théorie des "dynamiques adaptatives". Après avoir précisé et généralisé le cadre et l'heuristique biologique de ces modèles, nous obtenons une justification microscopique d'un modèle d'évolution par sauts à partir d'un système de particules en interaction à valeurs mesure, décrivant la dynamique de la population à l'échelle individuelle. Il s'agit d'un résultat de séparation d'échelles de temps lié à deux asymptotiques : mutations rares et grande population. Ensuite, nous retrouvons une équation différentielle ordinaire connue sous le nom d'"équation canonique des dynamiques adaptatives" en appliquant une asymptotique de petits sauts au processus précédent. Cette asymptotique nous conduit à introduire un modèle d'évolution par diffusion comme approximation diffusion du processus de saut, dont les coefficients présentent une mauvaise régularité : dérive discontinue et diffusion dégénérée aux mêmes points. Nous examinons d'abord l'existence faible, l'unicité en loi et la propriété de Markov forte pour ces processus, questions liées au problème d'atteinte de certains points isolés de l'espace. Enfin, nous démontrons un principe de grandes déviations pour ces diffusions qui permet d'étudier le temps et le lieu de sortie d'un domaine attracteur --- question biologique fondamentale.

Ce travail se compose de deux parties. Dans la première, nous considérons l'équation de Khokhlov-Zabolotskaya-Kuznetsov (KZK) $(u_t - u u_x -\beta u_{xx})_x -\gamma \Delta_y u =0$ dans les espaces de Sobolev des fonctions p\ériodiques sur $x$ de valeur moyenne nulle. La déivation de l'\équation KZK à partir des équations de Navier-Stokes isentropiques non linéaires et de l'approximation de leurs solutions (pour les cas visqueux et non visqueux), les résultats de l'existence, de l'unicité, de la stabilité et du blow-up de la solution de KZK sont obtenus ainsi qu'un résultat sur l'existence d'une solution régulière du syst\éme de Navier-Stokes dans le demi espace avec conditions aux limites péiodiques en temps et de valeur moyenne nulle. Dans la deuxième partie, nous prouvons la contrôabilitélocale des moments de deux systèmes décrits par une équation non-linéaire d'evolution dans un espace de Banach et par une équation non-linéaire de la chaleur quand le contrôle est un multiplicateur du membre de droite. Pour les deux systémes avec une surdétermination intégrale nous obtenons des conditions suffisantes sur la taille du voisinage duquel nous pouvons prendre la fonction de la condition de surdétermination de sorte que le problème inverse ait une solution unique. Nous prouvons également le résultat de contrôlabilité pour l'équation KZK linéarisée.

L'objectif de cette thèse est de fournir des modèles de référence, les méthodes de soutien et des outils qui simulent les change propagations dans un projet de développement de produit (PD) pour aider les prises de décision. Nous établissons d'abord un cadre d'analyse des changes de modéliser le contexte du change apparition et la propagation en prenant en compte les multiples domaines du projet PD simultané- ment. Dans le cadre, nous proposons les modèles conceptuels de change apparition et la propagation qui fournissent une méthode pour identifier les change et propagation et impliquent certaines caractéristiques du change propagations. S'appuyant sur cela, nous vous proposons les procédures de mise en place des réseaux de propagation. Au sein du réseau, nous proposons la méthodologie de simulation de l'évolution propaga- tions, puis de présenter le processus de mise en uvre des méthodologies et des modèles comme un prototype en utilisant la technologie à base multi-agents.

Ce manuscrit présente les fondements dynamiques des jeux de population avec un nombre variable de joueurs ainsi que leurs concepts de solutions et de stabilités. Nous introduisons d'abord les dynamiques de jeux avec retard et étudions leurs stabilités. Nous les appliquons aux réseaux filaires et aux réseaux sans fils. Ensuite nous nous intéressons aux aspects de mobilité et aux distributions spatiales des joueurs sur le réseau. Cela nous conduit à une nouvelle classe de dynamique de jeux à stratégies vectorielles avec des contraintes de migrations, appelée dynamique de jeux d'évolution avec migration. Nous dérivons de telles dynamiques pour les réseaux hybrides et appliquons aux problèmes de contrôle de puissance dans les réseaux hétérogènes, choix entre plusieurs technologies et migration entre plusieurs classes d'utilisateurs. Ensuite nous nous focalisons aux jeux stochastiques de population avec plusieurs classes de joueurs dans lesquels chaque joueur possède son propre état et fait face un vecteur qui évolue dans le temps. Des applications à la gestion d'énergie dans les réseaux sont présentées. Finalement, nous étudions une classe de jeux à champ moyen. Lorsque la taille de la population devient très grande, les asymptotiques du système conduisent à des dynamiques appelées dynamiques de jeux à champ moyen. Cette classe de dynamiques contient les dynamiques standard basées sur des révisions de stratégies. Nous utilisons ce modèle pour analyser les problèmes accès aléatoires à des ressources dans un environnement où les utilisateurs et les ressources sont spatialement distribuées. Nous établissons un lien entre les jeux à champ moyen et les jeux différentiels de population dans lesquels chaque joueur a son état individuel et optimise son paiement à long terme pendant son temps de séjour dans le système sous contraintes que le profil de population évolue selon une dynamique de jeux à champ moyen / His manuscript presents dynamic foundations of population games with variable number of players and their solutions and stability concepts. We first introduce delayed evolutionary game dynamics and study their stability. Applications to both wired and wireless networks are presented. We then introduce mobility and spatial aspects of players distribution into the network dynamics. This leads to a new class of game dynamics with multicomponent strategies and migration constraints called evolutionary game dynamics with migration. We derived such dynamics for hybrid systems such as power control in heterogenous networks, switching between technologies and migration between different classes of users. After that we focus on stochastic population games with multiple classes of players in which each player has its own state and facing to an evolving vector which represents the population profile. We use this model to analyze resource and energy constrained interactions in wireless networks. Finally, we present a class of mean field games. When taking the asymptotics of finite systems, we derive a new class of game dynamics called mean field game dynamics. This class contains the standard evolutionary game dynamics based on revision of pure actions. We apply this model to analyze spatial random access game and dynamic resource competition game with individual states. We establish a link betweenmean field games and differential population games inwhich each player optimizes its long-term objective during its sojourn time in the system subject to the constraint that the population profile evolves according to some mean field game dynamics

L’objectif de cette thèse est de fournir des modèles de référence, les méthodes de soutien et des outils qui simulent les change propagations dans un projet de développement de produit (PD) pour aider les prises de décision. Nous établissons d’abord un cadre d’analyse des changes de modéliser le contexte du change apparition et la propagation en prenant en compte les multiples domaines du projet PD simultané- ment. Dans le cadre, nous proposons les modèles conceptuels de change apparition et la propagation qui fournissent une méthode pour identifier les change et propagation et impliquent certaines caractéristiques du change propagations. S’appuyant sur cela, nous vous proposons les procédures de mise en place des réseaux de propagation. Au sein du réseau, nous proposons la méthodologie de simulation de l’évolution propaga- tions, puis de présenter le processus de mise en uvre des méthodologies et des modèles comme un prototype en utilisant la technologie à base multi-agents. / The overall goal of this Ph.D. research is to provide reference models, support me- thods and tools that simulate change propagations in a Product Development (PD) project to assist decision-makings. We firstly establish a change analysis framework of modeling the context of change occurrence and propagation by taking into account the multiple knowledge areas of PD project simultaneously. Under the framework, we propose the conceptual models of change occurrence and change propagation that pro- vide a qualitative method to identify change and change propagation and imply some characteristics of change propagations. Relying on that, we suggest the procedures of building up the change propagation networks. Within the network, we propose the methodology of simulating change propagations and then present the process of im- plementing the methodologies and the models as a software prototype by using multi- agent based technology.

Cette thèse est divisée en deux parties principales : La première partie concerne la déformation plastique d'un matériau contraint. Nous commençons cette partie par une introduction physique sur la dislocation et son rôle dans l'étude de la déformation plastique. Nous exposons ensuite deux types de modélisation de la déformation plastique ce qui nous conduit à deux équations différentielles à retard de Mecking-Lüke-Grilhé. Nous présentons une analyse mathématique complète des deux modèles linéaire et non linéaire. Nous terminons cette partie par des tests numériques et une comparaison des deux modèles. La deuxième partie de la thèse traite l'instabilité de Rayleigh-Plateau. Cette étude porte sur les instabilités de surface d'un pore cylindrique sans contraintes. Nous nous intéressons à une EDP parabolique non linéaire d'ordre quatre, obtenue à partir d'une équation d'évolution des films minces. Le résultat principal est l'existence globale de la solution et la convergence vers la valeur moyenne de la donnée initiale en temps long. L'étude théorique est aussi appuyée comme dans la première partie par une validation numérique. / This thesis is divided into two main parts: The first part relates to the plastic deformation of a constrained material. We begin this part by physical introduction on the dislocation and its role in the study of plastic deformation. We also present two types modelling for the plastic deformation, which leads to two delayed differential equations of Mecking-Lücke-Grilhé. We present a complete mathematical analysis of linear and nonlinear models. We conclude this part by numerical tests and a comparison of the two models. The second part of the thesis treats the Rayleigh-Plateau instability. This study focuses on the surface instabilities of a cylindrical pore without constraints. We are interested in a nonlinear parabolic PDE of fourth order, obtained from an evolution equation model of thin films. The main result is the global existence of the solution and the convergence to the average value of the initial data in long time. Numerical validation of the theoretical results is also presented in this part.

Dans ce manuscrit de thèse, mes travaux portent sur la combinaison de méthodes pour la prise de décision séquentielle (plusieurs étapes de décision corrélées) dans des environnements complexes et incertains. Les méthodes mises au point sont essentiellement appliquées à des problèmes de gestion et de production d'électricité tels que l'optimisation de la gestion des stocks d'énergie dans un parc de production pour anticiper au mieux la fluctuation de la consommation des clients.Le manuscrit comporte 7 chapitres regroupés en 4 parties : Partie I, « Introduction générale », Partie II, « État de l'art », Partie III, « Contributions » et Partie IV, « Conclusion générale ».Le premier chapitre (Partie I) introduit le contexte et les motivations de mes travaux, à savoir la résolution de problèmes d' « Unit commitment », c'est à dire l'optimisation des stratégies de gestion de stocks d'énergie dans les parcs de production d'énergie. Les particularités et les difficultés sous-jacentes à ces problèmes sont décrites ainsi que le cadre de travail et les notations utilisées dans la suite du manuscrit.Le second chapitre (Partie II) dresse un état de l'art des méthodes les plus classiques utilisées pour la résolution de problèmes de prise de décision séquentielle dans des environnements incertains. Ce chapitre introduit des concepts nécessaires à la bonne compréhension des chapitres suivants (notamment le chapitre 4). Les méthodes de programmation dynamique classiques et les méthodes de recherche de politique directe y sont présentées.Le 3e chapitre (Partie II) prolonge le précédent en dressant un état de l'art des principales méthodes d’optimisation spécifiquement adaptées à la gestion des parcs de production d'énergie et à leurs subtilités. Ce chapitre présente entre autre les méthodes MPC (Model Predictive Control), SDP (Stochastic Dynamic Programming) et SDDP (Stochastic Dual Dynamic Programming) avec pour chacune leurs particularités, leurs avantages et leurs limites. Ce chapitre complète le précédent en introduisant d'autres concepts nécessaires à la bonne compréhension de la suite du manuscrit.Le 4e chapitre (Partie III) contient la principale contribution de ma thèse : un nouvel algorithme appelé « Direct Value Search » (DVS) créé pour résoudre des problèmes de prise de décision séquentielle de grande échelle en milieu incertain avec une application directe aux problèmes d' « Unit commitment ». Ce chapitre décrit en quoi ce nouvel algorithme dépasse les méthodes classiques présentées dans le 3e chapitre. Cet algorithme innove notamment par sa capacité à traiter des grands espaces d'actions contraints dans un cadre non-linéaire, avec un grand nombre de variables d'état et sans hypothèse particulière quant aux aléas du système optimisé (c'est à dire applicable sur des problèmes où les aléas ne sont pas nécessairement Markovien).Le 5e chapitre (Partie III) est consacré à un concept clé de DVS : l'optimisation bruitée. Ce chapitre expose une nouvelle borne théorique sur la vitesse de convergence des algorithmes d'optimisation appliqués à des problèmes bruités vérifiant certaines hypothèses données. Des méthodes de réduction de variance sont également étudiées et appliquées à DVS pour accélérer sensiblement sa vitesse de convergence.Le 6e chapitre (Partie III) décrit un résultat mathématique sur la vitesse de convergence linéaire d’un algorithme évolutionnaire appliqué à une famille de fonctions non quasi-convexes. Dans ce chapitres, il est prouvé que sous certaines hypothèses peu restrictives sur la famille de fonctions considérée, l'algorithme présenté atteint une vitesse de convergence linéaire.Le 7e chapitre (Partie IV) conclut ce manuscrit en résumant mes contributions et en dressant quelques pistes de recherche intéressantes à explorer. / This thesis is dedicated to sequential decision making (also known as multistage optimization) in uncertain complex environments. Studied algorithms are essentially applied to electricity production ("Unit Commitment" problems) and energy stock management (hydropower), in front of stochastic demand and water inflows. The manuscript is divided in 7 chapters and 4 parts: Part I, "General Introduction", Part II, "Background Review", Part III, "Contributions" and Part IV, "General Conclusion". This first chapter (Part I) introduces the context and motivation of our work, namely energy stock management. "Unit Commitment" (UC) problems are a classical example of "Sequential Decision Making" problem (SDM) applied to energy stock management. They are the central application of our work and in this chapter we explain main challenges arising with them (e.g. stochasticity, constraints, curse of dimensionality, ...). Classical frameworks for SDM problems are also introduced and common mistakes arising with them are be discussed. We also emphasize the consequences of these - too often neglected - mistakes and the importance of not underestimating their effects. Along this chapter, fundamental definitions commonly used with SDM problems are described. An overview of our main contributions concludes this first chapter. The second chapter (Part II) is a background review of the most classical algorithms used to solve SDM problems. Since the applications we try to solve are stochastic, we there focus on resolution methods for stochastic problems. We begin our study with classical Dynamic Programming methods to solve "Markov Decision Processes" (a special kind of SDM problems with Markovian random processes). We then introduce "Direct Policy Search", a widely used method in the Reinforcement Learning community. A distinction is be made between "Value Based" and "Policy Based" exploration methods. The third chapter (Part II) extends the previous one by covering the most classical algorithms used to solve UC's subtleties. It contains a state of the art of algorithms commonly used for energy stock management, mainly "Model Predictive Control", "Stochastic Dynamic Programming" and "Stochastic Dual Dynamic Programming". We briefly overview distinctive features and limitations of these methods. The fourth chapter (Part III) presents our main contribution: a new algorithm named "Direct Value Search" (DVS), designed to solve large scale unit commitment problems. We describe how it outperforms classical methods presented in the third chapter. We show that DVS is an "anytime" algorithm (users immediately get approximate results) which can handle large state spaces and large action spaces with non convexity constraints, and without assumption on the random process. Moreover, we explain how DVS can reduce modelling errors and can tackle challenges described in the first chapter, working on the "real" detailed problem without "cast" into a simplified model. Noisy optimisation is a key component of DVS algorithm; the fifth chapter (Part III) is dedicated to it. In this chapter, some theoretical convergence rate are studied and new convergence bounds are proved - under some assumptions and for given families of objective functions. Some variance reduction techniques aimed at improving the convergence rate of graybox noisy optimization problems are studied too in the last part of this chapter. Chapter sixth (Part III) is devoted to non-quasi-convex optimization. We prove that a variant of evolution strategy can reach a log-linear convergence rate with non-quasi-convex objective functions. Finally, the seventh chapter (Part IV) concludes and suggests some directions for future work.

Cette thèse porte sur les équations d’évolution et s’articule autour de trois parties. Dans la première partie, on se propose de se concentrer sur le critère oscillatoire de certaines équations différentielles. Des résultats classiques sur les fonctions presque-périodiques sont rassemblés dans le premier chapitre. Le deuxième chapitre de cette thèse a pour objectif de prouver l’existence d’une solution presque-périodique de Besicovitch d’une équation différentielle de second ordre sur un espace de Hilbert. L’approche utilisée se base sur un formalisme variationnel. La deuxième partie de cette thèse traite le comportement asymptotique des problèmes de Cauchy dans le cas non autonome. Les semi-groupes et les familles d’évolution étant les outils principaux utilisés dans cette partie, le troisième chapitre introduit des résultats importants de cette théorie, notamment ceux permettant de caractériser la stabilité des semigroupes et des familles d’évolution périodiques. Dans le quatrième chapitre de cette contribution, on prouve, en utilisant une approche basée sur les semigroupes, un résultat liant la bornitude de solutions de problèmes de Cauchy périodiques et la stabilité exponentielle uniforme des familles d’évolution issues de ces problèmes. Dans une troisième partie, on focalise l’attention sur quelques résultats sur la dichotomie exponentielle comme une propriété liée au comportement asymptotique des systèmes différentiels. Quelques résultats connus sont, par suite, réunis au cinquième chapitre qui introduit brièvement la notion de dichotomie exponentielle. Dans un dernier chapitre, une caractérisation de la dichotomie exponentielle d’une famille d’évolution en termes de bornitude des solutions de problèmes de Cauchy opératoriels correspondants sera démontrée. / This PhD thesis deals with the evolution equations and is organized in three parts. The first part is devoted to the almost periodic solutions of certain differential equations. Classic results on the almost periodic functions are collected in the first chapter. The second chapter of this thesis aims to prove the existence of an almost-periodic solution of Besicovitch of a second-order differential equation on Hilbert space. The used approach is based on a variational formalism. In the second part of this thesis, we study the asymptotic behavior of Cauchy problems in the non-autonomous case. We give in the third chapter important results on semigroups and evolution families, namely, those allowing to characterize the stability of semigroups and periodic evolution families. We prove in the fourth chapter sufficient conditions for the uniform exponential stability of a strongly continuous, q-periodic evolution family acting on a complex Banach space. The last part in this work focuses the attention on some results on the exponential dichotomy as a property for the asymptotic behavior of the differential systems. Some well-known results are given in the fifth chapter which introduces briefly the concept of the exponential dichotomy. A characterization of the exponential dichotomy for evolution family in terms of boundedness of the solutions to periodic operatorial Cauchy problems will be established.