Périodes et ``quasi-périodes'' (aussi appelées, resp., périodes de première et deuxième espèce) d'une variété abélienne $A$ définie sur un sous-corps de $\CC$ s'obtiennent par intégration, le long des chemins fermés sur $A(\CC)$, des différentielles rationnelles sur $A$, méromorphes et sans résidus de sorte que ces intégrales soient bien définies; les premières sont obtenues en se restreignant aux différentielles régulières. Au premier chapitre de la thèse, la ``méthode modulaire'' de Barré, Diaz, Gramain, Philibert et Nesterenko est utilisée et quelque peu raffinée pour obtenir notamment une mesure d'approximation algébrique du quotient d'une période d'une courbe elliptique définie sur $\bar\QQ$ par sa quasi-période associée; ceci améliore un résultat récent de N. Saradha, en lui faisant presque contenir celui obtenu en 1980 par Reyssat avec la ``méthode elliptique''. Puis, dans la deuxième partie, nous étudions diverses extensions possibles des théorèmes de Chudnovsky (des années 70) sur l'indépendance algébrique de quasi-périodes de courbes elliptiques; ceci inclut des extensions aux variétés abéliennes de dimension quelconque, ainsi que des résultats d'approximation (algébrique) simultanée précisant les assertions d'indépendance algébrique. Au coeur des deux parties, bien que celles-ci soient par ailleurs très différentes, se trouve une astuce suggérée par Chudnovsky au début des années 80, consistant à faire apparaître et exploiter des propriétés de ``G-fonctions'' (ou ``condition d'Eisenstein'' de Polya et Szegö) dans les estimations arithmétiques de la preuve de transcendance; pour ce faire on utilise, dans la deuxième partie, des généralisations en plusieurs variables du théorème d'Eisenstein et de la fonction sigma de Weierstrass qui avaient servi à Chudnovsky, et dans la première, les liens entre les fonctions modulaires (thêta notamment) et hypergéométriques.

Nous étudions des aspects combinatoires et algorithmiques relatifs aux codes identifiants dans les graphes. Un code identifiant est un ensemble de sommets d'un graphe tel que, d'une part, chaque sommet hors du code a un voisin dans le code et, d'autre part, tous les sommets ont un voisinage distinct à l'intérieur du code. Nous caractérisons tout d'abord les graphes orientés et non-orientés atteignant les bornes supérieures connues pour la taille minimum d'un code identifiant. Nous donnons également de nouveaux majorants et minorants sur ce paramètre pour les graphes de degré maximum donné, les graphes de maille au moins 5, les graphes d'intervalles et les graphes adjoints. Nous étudions ensuite la complexité algorithmique des problèmes de décision et d'optimisation associés à la notion de code identifiant. Nous montrons que ces problèmes restent algorithmiquement difficiles, même quand on les restreint aux graphes bipartis, co-bipartis, split, d'intervalles ou adjoints. Enfin, nous donnons un algorithme PTAS pour les graphes d'intervalles unitaires.

Dans cette thèse, nous étudions la complexité algorithmique de problèmes d'optimisation impliquant un processus de diffusion dans un graphe. Plus précisément, nous nous intéressons tout d'abord au problème de sélection d'un ensemble cible. Ce problème consiste à trouver le plus petit ensemble de sommets d'un graphe à "activer" au départ tel que tous les autres sommets soient activés après un nombre fini d'étapes de propagation. Si nous modifions ce processus en permettant de "protéger" un sommet à chaque étape, nous obtenons le problème du pompier dont le but est de minimiser le nombre total de sommets activés en protégeant certains sommets. Dans ce travail, nous introduisons et étudions une version généralisée de ce problème dans laquelle plus d'un sommet peut être protégé à chaque étape. Nous proposons plusieurs résultats de complexité pour ces problèmes à la fois du point de vue de l'approximation mais également de la complexité paramétrée selon des paramètres standards ainsi que des paramètres liés à la structure du graphe.

Cette thèse porte sur des propriétés d'approximation généralisant la moyennabilité pour les groupes localement compacts. Ces propriétés sont définies à partir des multiplicateurs de certaines algèbres associés aux groupes. La première partie est consacrée à l'étude de la propriété p-AP, qui est une extension de la AP de Haagerup et Kraus au cadre des opérateurs sur les espaces Lp. Le résultat principal dit que les groupes de Lie simples de rang supérieur et de centre fini ne satisfont p-AP pour aucun p entre 1 et l'infini. La deuxième partie se concentre sur les multiplicateurs de Schur radiaux sur les graphes. L'étude de ces objets est motivée par les liens avec les actions de groupes discrets et la moyennabilité faible. Les trois résultats principaux donnent des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une fonction sur les nombres naturels définisse un multiplicateur radial sur des différentes classes de graphes généralisant les arbres. Plus précisément, les classes de graphes étudiées sont les produits d'arbres, les produits de graphes hyperboliques et les complexes cubiques CAT(0) de dimension finie. / This thesis focusses on some approximation properties which generalise amenability for locally compact groups. These properties are defined by means of multipliers of certain algebras associated to the groups. The first part is devoted to the study of the p-AP, which is an extension of the AP of Haagerup and Kraus to the context of operators on Lp spaces. The main result asserts that simple Lie groups of higher rank and finite centre do not satisfy p-AP for any p between 1 and infinity. The second part concentrates on radial Schur multipliers on graphs. The study of these objects is motivated by some connections with actions of discrete groups and weak amenability. The three main results give necessary and sufficient conditions for a function of the natural numbers to define a radial multiplier on different classes of graphs generalising trees. More precisely, the classes of graphs considered here are products of trees, products hyperbolic graphs and finite dimensional CAT(0) cube complexes.

Nous considérons des problèmes de gestion des stocks multi-échelon à temps périodique avec des demandes non stationnaires. Ces hypothèses sur la demande apparaissent notamment lorsque des prévisions sur la demande sont utilisées dynamiquement (de nouvelles prévisions sont fournies à chaque période). La structure des coûts comprend des coûts fixes et variables d’approvisionnement, des coûts de stockage et des coûts de mise en attente des demandes. Le délai d’approvisionnement est supposé constant. Le problème consistant à déterminer la politique optimale qui minimise les coûts sur un horizon fini peut être formulé grâce à un programme dynamique. Dans le cadre déterministe, les problèmes auxquels nous nous intéressons sont le plus souvent NP-difficiles, ce qui fait rapidement exploser l’espace d’état. Il devient alors nécessaire de recourir à des heuristiques. Nous nous orientons vers la recherche d'algorithmes d'approximation combinatoires pour le problème One Warehouse Multi Retailers et plus généralement pour des systèmes de distribution divergents. Nous nous intéresserons dans un premier temps à des systèmes de distribution à deux étages avec un entrepôt central et des entrepôts secondaires qui voient la demande finale. Dans un deuxième temps, des structures logistiques plus complexes pourront être considérées. L’objectif sera de proposer des heuristiques originales, basées sur des techniques de répartition des coûts, de les comparer numériquement à la politique optimale sur de petites instances et, si possible, d’établir des garanties de performance. / Inventory management has always been a major component of the field of operations research and numerous models derived from the industry aroused the interest of both the researchers and the practitioners. Within this framework, our work focuses on several classical inventory problems, for which no tractable method is known to compute an optimal solution. Specifically, we study deterministic models, in which the demands of the customers are known in advance, and we propose approximation techniques for each of the corresponding problems that build feasible approximate solutions while remaining computationally tractable. We first consider continuous-time models with a single facility when demand and holding costs are time-dependent. We present a simple technique that balances the different costs incurred by the system and we use this concept to build approximation methods for a large class of such problems. The second part of our work focuses on a discrete time model, in which a central warehouse supplies several retailers facing the final customers demands. This problem is known to be NP-hard, thus finding an optimal solution in polynomial time is unrealistic unless P=NP. We introduce a new decomposition of the system into simple subproblems and a method to recombine the solutions to these subproblems into a feasible solution to the original problem. The resulting algorithm has a constant performance guarantee and can be extended to several generalizations of the system, including more general cost structures and problems with backlogging or lost-sales.

Godefroy et Ozawa ont montré qu’il existe un espace compact dont l’espace libre n’a pas la propriété d’approximation. Il est donc naturel de se demander quels sont les espaces métriques dont l’espace libre à la propriété d’approximation bornée. Grothendieck a montré qu’un dual séparable ayant la propriété d’approximation a la propriété d’approximation métrique. Ce résultat justifie l’utilité de savoir si un espace libre est un dual. Le premier chapitre est consacré à la dualité. Pour commencer nous présentons un théorème permettant de montrer qu’un espace de Banach séparable est le dual d’un sous-espace de son dual, sous conditions. Nous expliquons ensuite comment appliquer ce théorème dans le cadre des espaces libres. Dans la suite du chapitre nous l’appliquons aux espaces propres dénombrables ou ultramétriques. Dans le deuxième chapitre nous nous intéressons à la propriété d’approximation métrique sur l’espace libre des espaces propres dénombrables. Nous énonçons tout d’abord un résultat dû à Kalton puis nous l’utilisons pour montrer que sous ces hypothèses, l’espace libre a la propriété d’approximation métrique. Le troisième chapitre est dédié à l’étude des espaces libres sur les espaces ultramétriques. Nous montrons dans un premier temps que lorsque l’espace ultramétrique est propre, son espace libre a la propriété d’approximation métrique et est isomorphe à l1, de plus il admet un prédualisomorphe à c0. Enfin, en collaboration avec P. Kaufmann et A. Prochàzka, nous montrons que l’espace libre sur un espace ultramétrique n’est jamais isométrique à un espace l1 et nous généralisons ce résultat à certains sous-ensembles des arbres réels séparables. / Godefroy and Ozawa have proved that there exists a compact space with a free space failing the approximation property. Then it is natural to ask what are the metric spaces whose freespace has the bounded approximation property. Grothendieck has proved that a separable Banach space with the approximation property has the metric approximation property. This result justifies why it is interesting to know whether a free space is a dual space. The first chapter is dedicated to duality. First we introduce a result to prove that a Banach space is a dual space, under some conditions. Then we explain how to use it in the context offree spaces and finally we apply it to countable or ultrametric proper metric spaces.In the second chapter, we study the metric approximation property of free spaces overcountable proper metric spaces.In the third chapter, ultrametric spaces are investigated. We prove first that the free spaceover a proper ultrametric space has the metric approximation property, is isomorphic to l1 andadmits a predual isomorphic to c0. Finally, in collaboration with P. Kaufmann et A. Proch`azka,we prove that the free space over a ultrametric space is never isometric to l1 and we generalizethis result to some subsets of separable R-trees.

Le sujet principal de cette thèse porte sur l'approximation polynômiale des fonctions aléatoires au moyen de la projection L2 aléatoire discrète, et son application aux problèmes inverses pour les équations aux dérivées partielles avec des données aléatoires. Les motivations proviennent de l'approximation paramétrique de la solution de modèles aux dérivées partielles. La thèse se compose de deux parties, avec un chapitre d'introduction qui résume les techniques modernes de l'approximation polynômiale des fonctions de variables aléatoires. La première partie, du chapitre 1 au chapitre 4, contient l'analyse théorique de la projection L2 aléatoire discrète pour résoudre le problème direct, par exemple, pour rapprocher les moments d'une fonction aléatoire à partir de ses observations, ou pour calculer la solution à un modèle numérique avec des coefficients stochastiques. La stabilité et l'optimalité de l'erreur d'approximation évaluée dans la norme L2 pondérée sont traités. Dans la dernière partie de la thèse, composé des chapitres 5 et 6, la méthodologie développée précédemment pour le problème direct est appliqué aux problèmes inverses pour les équations aux dérivées partielles à coefficients stochastiques. La méthode de factorisation est appliquée dans le cadre de la tomographie par impédance électrique, d'abord dans le cas de coefficient inhomogène, puis dans le cas de coefficient constante par morceaux, à valeurs dans chaque région affectée par l'incertitude. Enfin, dans le chapitre 6 les variantes de la méthode de factorisation proposées dans le chapitre précédent sont accélérés en utilisant les techniques qui ont été présentés dans la première partie de la thèse.

Dans cette thèse, nous étudions la complexité algorithmique de problèmes d'optimisation impliquant un processus de diffusion dans un graphe. Plus précisément, nous nous intéressons tout d'abord au problème de sélection d'un ensemble cible. Ce problème consiste à trouver le plus petit ensemble de sommets d'un graphe à “activer” au départ tel que tous les autres sommets soient activés après un nombre fini d'étapes de propagation. Si nous modifions ce processus en permettant de “protéger” un sommet à chaque étape, nous obtenons le problème du pompier dont le but est de minimiser le nombre total de sommets activés en protégeant certains sommets. Dans ce travail, nous introduisons et étudions une version généralisée de ce problème dans laquelle plus d'un sommet peut être protégé à chaque étape. Nous proposons plusieurs résultats de complexité pour ces problèmes à la fois du point de vue de l'approximation mais également de la complexité paramétrée selon des paramètres standards ainsi que des paramètres liés à la structure du graphe. / In this thesis, we investigate the computational complexity of optimization problems involving a “diffusion process” in a graph. More specifically, we are first interested to the target set selection problem. This problem consists of finding the smallest set of initially “activated” vertices of a graph such that all the other vertices become activated after a finite number of propagation steps. If we modify this process by allowing the possibility of ``protecting'' a vertex at each step, we end up with the firefighter problem that asks for minimizing the total number of activated vertices by protecting some particular vertices. In fact, we introduce and study a generalized version of this problem where more than one vertex can be protected at each step. We propose several complexity results for these problems from an approximation point of view and a parameterized complexity perspective according to standard parameterizations as well as parameters related to the graph structure.

Durant cette thèse, nous avons introduit les problèmes de Bin Covering avec Contrainte de Distance (BCCD) et de Bin Packing avec Contrainte de Distance (BPCD), qui trouvent leur application dans les réseaux de grande échelle, tel Internet. L'étude de ces problèmes que nous effectuons dans des espaces métriques quelconques montre qu'il est impossible de travailler dans un tel cadre sans avoir recours à de l'augmentation de ressources, un procédé qui permet d'élaborer des algorithmes construisant des solutions moins contraintes que la solution optimale à laquelle elles sont comparées. En plus de résultats d'approximation intéressants, nous prouvons la difficulté de ces problèmes si ce procédé n'est pas utilisé. Par ailleurs, de nombreux outils ont pour objectif de plonger les grands réseaux qui nous intéressent dans des espaces métriques bien décrits. Nous avons alors étudié nos problèmes dans plusieurs espaces métriques spécifiques, et, en particulier, ceux générés par certains de ces outils, comme Vivaldi et Sequoia. / During this Ph.D we introduced Bin Covering under Distance Constraint (BCCD in French) and Bin Packing under Distance Constraint (BPCD in French). Those two problems find their applications in the context of large scale networks, like Internet. We studied those problems in general metric spaces, and proved that using resource augmentation is mandatory. Resource augmentation allows to build algorithms working on solutions with less constraints than the optimal solution to which it is compared to. We found interesting approximations algorithms using this relaxation, and proved the necessity of this resource augmentation. However many tools are used to embed large networks we are interested in in specific metric spaces. Thus we studied those problems in different specific metric spaces, in particular those generated by the use of Vivaldi and Sequoia, two of those tools.

Cette recherche étudie l'enseignement des premiers éléments de l'Analyse réelle à la transition lycée/université à travers un modèle de variables macro-didactiques (VMD) relatives aux niveaux de formalisation et de familiarité des savoirs mathématiques proposés aux élèves. Lorsque l'on passe du lycée à l'université, les valeurs de ces variables sont dichotomiques et témoignent d'une profonde mutation dans le travail mathématique demandé. Nous nous posons la question des moyens que peut se donner l'enseignement des mathématiques, à l'entrée à l'université, pour gérer des variations aussi importantes et permettre aux étudiants d'accéder aux objets de l'Analyse réelle. <br />Une ingénierie a porté sur la construction et l'expérimentation, dans le cadre de la TSD (Théorie des Situations Didactiques), de deux situations sur les limites, que nous avons expérimentées à un niveau du cursus où seule l'existence formelle des objets de l'Analyse réelle a été établie par les professeurs. Nous avons ciblé le travail des étudiants sur les méthodes d'approximation, afin de favoriser des allers/retours entre les "preuves pragmatiques" géométriques ou numériques et l'utilisation des théorèmes d'Analyse. Les situations prennent en compte la dialectique sémantique/ syntaxique dans un processus de preuve, et permettent un retour efficace sur les savoirs visés. L'entrée dans un processus de preuves mixtes – pragmatiques vs formelles – a ainsi été rendu obligatoire dans le travail des étudiants, à travers l'émergence du problème général de l'existence et de l'accessibilité des nombres, des limites et des suites. <br />En conclusion, nous proposons de poursuivre l'étude du milieu théorique des situations de l'Analyse réelle, d'introduire d'autres situations expérimentales et d'étudier plus en profondeur les connaissances des étudiants dans le contrat didactique instauré par de telles situations.