Les caractéristiques des fluctuations des concentrations de polluants dans un environnement intérieur normalement occupé dépendent fortement de plusieurs paramètres, en particulier des occupants et de leurs activités et comportement, qui altèrent de manière considérable la nature statistique de leur variabilité temporelle. Ces fluctuations sont rarement disponibles et décrites dans la littérature. La mise à disposition de mesures en continu de la concentration en formaldéhyde et en particules (de 0,35 à 20 µm de diamètre) dans l’air d’un environnement de bureau et d’une maison expérimentale sur plusieurs mois avec un pas de temps fin (entre 1 min et 1 heure) a permis d’engager une réflexion sur la nature de ces fluctuations et leur prévisibilité. L’objectif de la thèse se décline en trois axes de recherche : (i) la caractérisation des fluctuations des concentrations des polluants cible ; (ii) la mise en évidence des sources de variabilité de ces fluctuations et (iii) la prévision des concentrations de ces polluants. Le premier axe concerne la détermination des caractéristiques communes partagées par les différents polluants. Le deuxième axe porte, à l'aide des approches par séparation aveugle des sources, sur l'estimation des déterminants des sources de variabilité. Le troisième axe est consacré à la prévision des fluctuations de concentration des polluants. L'analyse des séries temporelles pour ce type de données (hautes fréquences) doit prendre en compte l’échelle de temps sur laquelle évoluent plusieurs microstructures. Plusieurs outils ont été employés : l'analyse spectrale (dépendance à long terme par la mesure fractale et la statistique R/S), la mesure de l’oméga-prédictibilité, ainsi que la décomposition des séries en composantes latentes par STL (seasonal trend decomposition using Loess), SSA (singular spectrum analysis) et SBD (spectral band decomposition).L'identification des sources de variabilité de particules a été abordée par les méthodes de séparation aveugle des sources basées sur une factorisation matricielle en profils et contributions, sous contrainte statistique d'indépendance (ACI) ou de non-négativité (NNMF ou PMF). Les factorisations ont été appliquées à la matrice constituée des séries temporelles de différentes gammes de taille des particules. Certains profils ou contributions des sources ont pu été interprétés grâce aux variables exogènes "traceurs" de certaines sources (comme le CO2 indicateur de la présence de la source occupants).Concernant la prévision des concentrations de polluants, le choix des modèles a été basé sur la structure de la série temporelle, mise en évidence lors de l’étape de caractérisation. On constate de meilleures performances de prévisions sur la série ayant subi un prétraitement statistique de décomposition STL, SSA ou SBD. Plusieurs types de modèles stochastiques (linéaires ou non linéaires) ont été appliqués ensuite à ces composantes et le résultat final de la prévision est donné par leur combinaison. La caractéristique de non-linéarité qui apparaît sous forme de changements abrupts de concentration causée en grande partie par la manipulation des ouvrants et qui se greffe sur l'évolution régulière du système dynamique mérite un traitement spécial. Un nouveau type de modèles de prévision a été développé pour répondre aux exigences de la nature des données hautes fréquences présentant ce type de non linéarité. Ce modèle associe une étape de décomposition des séries en bandes spectrales (SBD) couplée avec une étape de modélisation par des modèles autorégressifs à seuil (TAR) ou par la dynamique du chaos : FFT-(TAR/Chaos).Les résultats montrent que le prétraitement par décomposition en bandes spectrales ou STL améliore sensiblement la prévision des concentrations de formaldéhyde et des particules fines jusqu’à un horizon de 10 heures pour le formaldéhyde (pas de temps 1 minute) et de 1 à 4 jours pour les particules selon leur taille (pas de temps horaire) / The time fluctuation features of particulate concentrations in a real occupied indoor environment are strongly dependent of several parameters and in particular the occupation and occupants’ activities and behaviors. These parameters considerably alter the statistical variability of the time series dynamics. These fluctuations are rarely available and described in the literature. These types of fluctuations are rarely available and described in the literature. The availability of continuous measurements of concentrations of formaldehyde and particulate matter (from 0.35 to 20 µm of diameter) in an indoor environment (office and a test house) during several months with a fine time resolution (from 1 min to 1 hour) permitted to initiate a process of reflection on the nature of these fluctuations and their predictability. The aim of the thesis follows three main axis of research: (i) characterizing indoor environment pollutant concentrations variability; (ii) revealing the sources of variability of these fluctuations and (iii) forecasting the pollutant concentrations in a real indoor environment. The first axis concerns the determination of the common features shared by the different pollutants. The second axis focuses on the sources variability estimating using a Blind Source Separation (BSS) approach. Lastly, the third axis focuses on the forecasting of pollutant concentrations. The time series analysis for this type of data (high frequency) should take into account the time scale on which microstructures evolve. Several tools were employed, such as the spectral analysis (long-range dependency by fractal dimension measures and R/S statistic), the omega-predictability, as well as the time series decomposition into latent components by STL (Seasonal Trend Decomposition using Loess), SSA (Singular Spectrum Analysis) and SBD (Spectral Band Decomposition).The identification of the sources of particles concentrations is developed using BSS based methods which are based on a matrix factorization as profiles and contributions under a statistical independence constraint (ICA) or a non-negativity constraint (NNMF or PMF). The factorizations were applied to the matrix of the time series of different particle size bins. Some profiles or source contributions could be interpreted using exogenous variables as fingerprints of some sources (such as CO2 concentrations used as indicator of the “occupation”).Concerning the pollutant concentrations forecasting, the model selection was made in agreement with the time series structures, highlighted in the characterization stage. One can notice better performances forecasts when using the series having been preprocessed by decomposition: STL, SSA or decomposition in spectral bands (based Transform Fourier), SBD. Several types of stochastic models (linear or nonlinear) were then applied to these components and the final forecast result is given by their combination. A special type of nonlinearities involving a special treatment is the abrupt concentration changes in time series concentrations due mainly to windows manipulation and graft on the regular evolution of the dynamic system. A new type of forecast models has been developed in adequacy with the requirements of the nature of high-frequency data. This model combine spectral band decomposition step (SBD) coupled with a modeling stage based on autoregressive switching threshold model (TAR) or chaos dynamic: FFT- (TAR / Chaos).The results show that the pretreatment by spectral band decomposition or STL improves significantly formaldehyde and fine particles concentrations forecast on 10-hour horizon for formaldehyde (sampled every minute) and on a horizon of 1 to 4 days for the particles (sampled every hour), depending on their size bins

La quantification et la propagation des incertitudes dans les modèles physiques apparaissent comme des voies essentielles vers l'amélioration de la prédiction de leur réponse. Le développement d'outils de modélisation des incertitudes et d'estimation de leur impact sur la réponse d'un modèle a constitué un axe de recherche privilégié dans de nombreux domaines scientifiques. Cette dernière décennie, un intérêt croissant a été porté à des méthodes numériques basées sur une vision fonctionnelle des incertitudes. Ces méthodes, couramment baptisées ``méthodes spectrales stochastiques'', sont issues d'un mariage fructueux de l'analyse fonctionnelle et de la théorie des probabilités.<br /><br />Reposant sur des bases mathématiques fortes, les méthodes spectrales de type Galerkin semblent constituer une voie prometteuse pour l'obtention de prédictions numériques fiables de la réponse de modèles régis par des équations aux dérivées partielles stochastiques (EDPS). Plusieurs inconvénients freinent cependant l'utilisation de ces techniques et leur transfert vers des applications de grande taille : le temps de calcul, les capacités de stockage mémoire requises et le caractère ``intrusif'', nécessitant une bonne connaissance des équations régissant le modèle et l'élaboration de solveurs spécifiques à une classe de problèmes donnée. Un premier volet de mes travaux de recherche a consisté à proposer une stratégie de résolution alternative tentant de lever ces inconvénients. L'approche proposée, baptisée méthode de décomposition spectrale généralisée, s'apparente à une technique de réduction de modèle a priori. Elle consiste à rechercher une décomposition spectrale optimale de la solution sur une base réduite de fonctions, sans connaître la solution a priori. <br /><br />Un deuxième volet de mes activités a porté sur le développement d'une méthode de résolution d'EDPS pour le cas où l'aléa porte sur la géométrie. Dans le cadre des approches spectrales stochastiques, le traitement d'aléa sur l'opérateur et le second membre est en effet un aspect aujourd'hui bien maîtrisé. Par contre, le traitement de géométrie aléatoire reste un point encore très peu abordé mais qui peut susciter un intérêt majeur dans de nombreuses applications. Mes travaux ont consisté à proposer une extension de la méthode éléments finis étendus (X-FEM) au cadre stochastique. L'avantage principal de cette approche est qu'elle permet de traiter le cas de géométries aléatoires complexes, tout en évitant les problèmes liés au maillage et à la construction d'espaces d'approximation conformes.<br /><br />Ces deux premiers volets ne concernent que l'étape de prédiction numérique, ou de propagation des incertitudes. Mes activités de recherche apportent également quelques contributions à l'étape amont de quantification des incertitudes à partir de mesures ou d'observations. Elles s'insèrent dans le cadre de récentes techniques de représentation fonctionnelle des incertitudes. Mes contributions ont notamment porté sur le développement d'algorithmes efficaces pour le calcul de ces représentations. En particulier, ces travaux ont permis la mise au point d'une méthode d'identification de géométrie aléatoire à partir d'images, fournissant une description des aléas géométriques adaptée à la simulation numérique. Une autre contribution porte sur l'identification de lois multi-modales par une technique de représentation fonctionnelle adaptée.

Dans cette thèse, nous étudions les solutions de l'équation de Boltzmann. Nous nous intéressons au cadre homogène en espace où la solution f(t; x; v) dépend uniquement du temps t et de la vitesse v. Nous considérons des sections efficaces singulières (cas dit non cutoff) dans le cas Maxwellien. Pour l'étude du problème de Cauchy, nous considérons une fluctuation de la solution autour de la distribution Maxwellienne puis une décomposition de cette fluctuation dans la base spectrale associée à l'oscillateur harmonique quantique. Dans un premier temps, nous résolvons numériquement les solutions en utilisant des méthodes de calcul symbolique et la décomposition spectrale des fonctions de Hermite. Nous considérons des conditions initiales régulières et des conditions initiales de type distribution. Ensuite, nous prouvons qu'il n'y a plus de solution globale en temps pour une condition initiale grande et qui change de signe (ce qui ne contredit pas l'existence globale d'une solution faible pour une condition initiale positive - voir par exemple Villani Arch. Rational Mech. Anal 1998). / In this thesis, we study the solutions of the Boltzmann equation. We are interested in the homogeneous framework in which the solution f(t; x; v) depends only on the time t and the velocity v. We consider singular crosssections (non cuto_ case) in the Maxwellian case. For the study of the Cauchy problem, we consider a uctuation of the solution around the Maxwellian distribution then a decomposition of this uctuation in the spectral base associated to the quantum harmonic oscillator At first, we solve numerically the solutions using symbolic computation methods and spectral decomposition of Hermite functions. We consider regular initial data and initial conditions of distribution type. Next, we prove that there is no longer a global solution in time for a large initial condition that changes sign (which does not contradict the global existence of a weak solution for a positive initial condition - see for example Villani Arch. Rational Mech. Anal 1998).

Dans cette thèse, nous étudions certaines équations différentielles partielles avec mécanisme dissipatif, telles que l'équation de Boltzmann, l'équation de Landau et certains systèmes hyperboliques symétriques avec type de dissipation. L'existence globale de solutions ou les taux de dégradation optimaux des solutions pour ces systèmes sont envisagées dans les espaces de Sobolev ou de Besov. Les propriétés de lissage des solutions sont également étudiées. Dans cette thèse, nous prouvons principalement les quatre suivants résultats, voir les chapitres 3-6 pour plus de détails. Pour le premier résultat, nous étudions le problème de Cauchy pour le non linéaire inhomogène équation de Landau avec des molécules Maxwelliennes (= 0). Voir des résultats connus pour l'équation de Boltzmann et l'équation de Landau, leur existence globale de solutions est principalement prouvée dans certains espaces de Sobolev (pondérés) et nécessite un indice de régularité élevé, voir Guo [62], une série d'oeuvres d'Alexander Morimoto-Ukai-Xu-Yang [5, 6, 7, 9] et des références à ce sujet. Récemment, Duan-Liu-Xu [52] et Morimoto-Sakamoto [145] ont obtenu les résultats de l'existence globale de solutions à l'équation de Boltzmann dans l'espace critique de Besov. Motivés par leurs oeuvres, nous établissons l'existence globale de la solution dans des espaces de Besov spatialement critiques dans le cadre de perturbation. Précisément, si le datum initial est une petite perturbation de la distribution d'équilibre dans l'espace Chemin-Lerner eL 2v (B3=2 2;1 ), alors le problème de Cauchy de Landau admet qu'une solution globale appartient à eL 1t eL 2v (B3=2 2;1 ). Notre résultat améliore le résultat dans [62] et étend le résultat d'existence globale de l'équation de Boltzmann dans [52, 145] à l'équation de Landau. Deuxièmement, nous considérons le problème de Cauchy pour l'équation de Kac non-coupée spatialement inhomogène. Lerner-Morimoto-Pravda-Starov-Xu a considéré l'équation de Kac non-coupée spatialement inhomogène dans les espaces de Sobolev et a montré que le problème de Cauchy pour la fluctuation autour de la distribution maxwellienne admise S 1+ 1 2s 1+ 1 2s Propriétés de régularité Gelfand-Shilov par rapport à la variable de vélocité et propriétés de régularisation G1+ 1 2s Gevrey à la variable de position. Et les auteurs ont supposé qu'il restait encore à déterminer si les indices de régularité 1 + 1 2s étaient nets ou non. Dans cette thèse, si la donnée initiale appartient à l'espace de Besov spatialement critique, nous pouvons prouver que l'équation de Kac inhomogène est bien posée dans un cadre de perturbation. De plus, il est montré que la solution bénéficie des propriétés de régularisation de Gelfand-Shilov en ce qui concerne la variable de vitesse et des propriétés de régularisation de Gevrey en ce qui concerne la variable de position. Dans notre thèse, l'indice de régularité de Gelfand-Shilov est amélioré pour être optimal. Et ce résultat est le premier qui présente un effet de lissage pour l'équation cinétique dans les espaces de Besov. A propos du troisième résultat, nous considérons les équations de Navier-Stokes-Maxwell compressibles apparaissant dans la physique des plasmas, qui est un exemple concret de systèmes composites hyperboliques-paraboliques à dissipation non symétrique. On observe que le problème de Cauchy pour les équations de Navier-Stokes-Maxwell admet le mécanisme dissipatif de type perte de régularité. Par conséquent, une régularité plus élevée est généralement nécessaire pour obtenir le taux de dégradation optimal de L1(R3)-L2(R3) type, en comparaison avec cela pour l'existence globale dans le temps de solutions lisses. / In this thesis, we study some kinetic equations and some partial differential equations with dissipative mechanism, such as Boltzmann equation, Landau equation and some non-symmetric hyperbolic systems with dissipation type. Global existence of solutions or optimal decay rates of solutions for these systems are considered in Sobolev spaces or Besov spaces. Also the smoothing properties of solutions are studied. In this thesis, we mainly prove the following four results, see Chapters 3-6 for more details. For the _rst result, we investigate the Cauchy problem for the inhomogeneous nonlinear Landau equation with Maxwellian molecules ( = 0). See from some known results for Boltzmann equation and Landau equation, their global existence of solutions are mainly proved in some (weighted) Sobolev spaces and require a high regularity index, see Guo [62], a series works of Alexandre-Morimoto-Ukai-Xu-Yang [5, 6, 7, 9] and references therein. Recently, Duan-Liu-Xu [52] and Morimoto-Sakamoto [145] obtained the global existence results of solutions to the Boltzmann equation in critical Besov spaces. Motivated by their works, we establish the global existence of solutions for Landau equation in spatially critical Besov spaces in perturbation framework. Precisely, if the initial datum is a small perturbation of the equilibrium distribution in the Chemin-Lerner space eL 2v (B3=2 2;1 ), then the Cauchy problem of Landau equation admits a global solution belongs to eL 1t eL 2v (B3=2 2;1 ). Our results improve the result in [62] and extend the global existence result for Boltzmann equation in [52, 145] to Landau equation. Secondly, we consider the Cauchy problem for the spatially nhomogeneous non-cuto_ Kac equation. Lerner-Morimoto-Pravda-Starov-Xu [117] considered the spatially inhomogeneous non-cuto_ Kac equation in Sobolev spaces and showed that the Cauchy problem for the uctuation around the Maxwellian distribution admitted S 1+ 1 2s 1+ 1 2s Gelfand-Shilov regularity properties with respect to the velocity variable and G1+ 1 2s Gevrey regularizing properties with respect to the position variable. And the authors conjectured that it remained still open to determine whether the regularity indices 1+ 1 2s is sharp or not. In this thesis, if the initial datum belongs to the spatially critical Besov space eL 2v (B1=2 2;1 ), we prove the well-posedness to the inhomogeneous Kac equation under a perturbation framework. Furthermore, it is shown that the weak solution enjoys S 3s+1 2s(s+1) 3s+1 2s(s+1) Gelfand-Shilov regularizing properties with respect to the velocity variableand G1+ 1 2s Gevrey regularizing properties with respect to the position variable. In our results, the Gelfand-Shilov regularity index is improved to be optimal. And this result is the _rst one that exhibits smoothing e_ect for the kinetic equation in Besov spaces. About the third result, we consider compressible Navier-Stokes-Maxwell equations arising in plasmas physics, which is a concrete example of hyperbolic-parabolic composite systems with non-symmetric dissipation. It is observed that the Cauchy problem for Navier-Stokes-Maxwell equations admits the dissipative mechanism of regularity-loss type. Consequently, extra higher regularity is usually needed to obtain the optimal decay rate of L1(R3)-L2(R3) type, in comparison with that for the global-in-time existence of smooth solutions.