O principal objetivo desta tese é estudar os difeomorfismos planares que satisfazem as hipóteses da Versão Modificada da Conjectura Discreta de Markus-Yamabe. Para estes difeomorfismos, definimos um conceito construtivo de número de rotação. Além disto, exibimos um contra-exemplo para a Versão Modificada da Conjectura Discreta de Markus-Yamabe que apresenta uma intersecção homoclínica transversal e implica a existência de infinitos pontos periódicos hiperbólicos / The main goal of this thesis is to study the plane diffeomorphisms satisfying the hypothesis of the Modified Version of the Discrete Conjecture of Markus-Yamabe. For these diffeomorphisms, we define a constructive concept of rotation number. Moreover, we present a counter-example to the Modified Version of the Discrete Markus-Yamabe Conjecture which exhibits a transversal homoclinic intersection, implying the existence of infinitely many hyperbolic periodic points

Orientador: Ali Messaoudi / Banca: Eduardo Garibaldi / Banca: Sylvain Philippe Pierre Bonnot / Banca: Paulo Ricardo da Silva / Banca: Márcio Ricardo Alves Gouveia / Resumo: Neste trabalho, definimos a máquina de somar estocástica relacionada à base de Fibonacci e a uma sequência de probabilidades (Pi) i>1. Obtemos uma cadeia de Markov cujo estados são o conjunto dos inteiros não-negativos. Estudamos propriedades probabilísticas dessa cadeia, como transiência e recorrência. Mostramos também que o espectro associado a essa cadeia de Markov está relacionado ao conjunto de Julia fibrado de uma classe de endomorfismos em C 2. Além disso, estudamos propriedades dinâmicas e topológicas de uma classe de endomorfismos de C 2 (ou R 2). Precisamente, as aplicações consideradas são fn(x, y) = ( x y+ cn, x), onde cn E2 C (ou cn E R), para todo n>0 / Abstract: In this work we define a stochastic adding machine associated to the Fibonacci baseand to a probabilities sequence (Pi) i>1. We obtain a Markov chain whose states are the set of nonnegative integers. We study probabilistic properties of this chain, such as transience and recurrence. We also prove that the spectrum associated to this Markov chain is connected to the filled Julia sets for a class of endomorphisms in C 2. Furthermore, we study topological and dynamical properties of a class of endomorphisms of C 2 (or R 2). Precisely, the considered maps are fn(x, y) = (x y + cn, x), where cn 2 C (or cn E R), for all n>0 / Doutor

In this thesis, we present a dynamical systems analysis of models of movement coordination, namely the Haken-Kelso-Bunz (HKB) model and the Jirsa-Kelso excitator (JKE). The dynamical properties of the models that can describe various phenomena in discrete and rhythmic movements have been explored in the models' parameter space. The dynamics of amplitude-phase approximation of the single HKB oscillator has been investigated. Furthermore, an approximated version of the scaled JKE system has been proposed and analysed. The canard phenomena in the JKE system has been analysed. A combination of slow-fast analysis, projection onto the Poincare sphere and blow-up method has been suggested to explain the dynamical mechanisms organising the canard cycles in JKE system, which have been shown to have different properties comparing to the classical canards known for the equivalent FitzHugh-Nagumo (FHN) model. Different approaches to de fining the maximal canard periodic solution have been presented and compared. The model of two HKB oscillators coupled by a neurologically motivated function, involving the effect of time-delay and weighted self- and mutual-feedback, has been analysed. The periodic regimes of the model have been shown to capture well the frequency-induced drop of oscillation amplitude and loss of anti-phase stability that have been experimentally observed in many rhythmic movements and by which the development of the HKB model has been inspired. The model has also been demonstrated to support a dynamic regime of stationary bistability with the absence of periodic regimes that can be used to describe discrete movement behaviours.

Orientador: Juliano Antonio de Oliveira / Banca: Edson Denis Leonel / Banca: Tiago Pereira da Silva / Resumo: Neste trabalho estudamos o decaimento das órbitas para os pontos fixos em bifurcações distintas em mapeamentos unidimensionais não lineares discretos. Consideramos o mapa Gauss, analisamos o diagrama de órbitas e estudamos o decaimento das trajetórias para o ponto de equilíbrio nas bifurcações tangente e de duplicação de período. Encontramos analítica e numericamente o conjunto de expoentes críticos que descrevem propriedades de escala nas bifurcações e próximos delas. Estes expoentes caracterizam o tipo de bifurcação do problema. Estudamos, também, eventos chamados crises de fronteiras, que ocorrem a partir de determinado valor do parâmetro de controle $\nu$. Estendemos nossos estudos considerando o mapa Hassell e introduzimos uma perturbação no problema. Assim como no mapa Gauss, analisamos nestes sistemas o diagrama de órbitas, os decaimentos das trajetórias para os pontos fixos nas bifurcações transcríticas e investigamos analítica e numericamente para determinar os expoentes críticos destas bifurcações. Com o intuito de investigar os efeitos da perturbação paramétrica introduzida ao mapa Hassell, construímos e analisamos as trajetórias no espaço de parâmetros. Utilizamos, como ferramentas, as órbitas superestáveis e extremas. Nas duas classes de mapas (Gauss e Hassell), caracterizamos o caos via expoentes de Lyapunov. Mostramos, também que, quando obtidos os expoentes críticos e utilizando transformações de escalas apropriadas nos eixos coordenados, todas as curvas de de... (Resumo completo, clicar acesso eletrônico abaixo) / Abstract: In this work we study the decay of the orbits to the xed points in di erent bifurcations of nonlinear discrete one-dimensional mappings. We consider the Gauss map and analyze the orbit diagram to study the convergence of the trajectories to the equilibrium point at the fold and ip bifurcation. We nd numerically and analytically the set of critical exponents that describe some scaling properties at the bifurcations and near them. These critical exponents can also characterize which types of bifurcations that arises from the problem in question. We also study particular events called boundary crisis that occur from above a speci c value of the control parameter . We continue the studies considering the Hassell map and its perturbed version. Just like in the Gauss map, we analyze the orbit diagrams within these systems, as well as the convergence of the orbits to the xed points at the transcritical bifurcations, while also investigating numerically and analytically to determine the speci c critical exponents of those bifurcations. With parametric perturbation added to the Hassell map, we build and analyze the trajectories on the parameter space. We apply, as tools, the superstable and extreme orbits. In the two classes of the maps (Gauss and Hassell), we quantify the chaos by Lyapunov exponents. After the critical exponents are obtained, using convenient scale transformations in the coordinate axes we show that all the curves of decay to the xed points are collapsed into a univ... (Complete abstract click electronic access below) / Mestre

Orientador: Luiz Antonio Barreiro / Banca: Edson Denis Leonel / Banca: Emanuel Fernandes de Lima / Resumo: Esta dissertação teve por objetivo abordar os principais assuntos referentes a dinâmica não-linear de um pêndulo duplo, como estudo das trajetórias no espaço de fase obtidas para condições iniciais periódicas (modos normais do pêndulo duplo) e para condições iniciais que impliquem em trajetórias caóticas, estudo dos expoentes de Lyapunov e seções de Poincaré do sistema. Para esta análise utilizou-se de simulações numéricas realizadas no software Mathematica bem como estudo a partir de um pêndulo duplo experimental filmado a partir de imagens estroboscópicas digitais, as quais foram devidamente tratadas no software Tracker e posteriormente analisadas no software Mathematica. Efetuou-se o estudo da ação de uma força externa aplicada por um motor no pêndulo duplo experimental a partir da qual foi possível obter-se uma aproximação do experimento real sujeito a forças dissipativas com a dinâmica efetuada por um pêndulo duplo ideal, sendo este um dos fatores que justifica-se a utilização das equações que regem o pêndulo duplo ideal para o problema que estava sendo estudado (pêndulo real), devido a energia ser mantida consideravelmente constante durante os testes realizados / Abstract: This study aims to address the main issues regarding the nonlinear dynamics of the dissipative and forced double pendulum as well as the dissipative pendulum with ideal pendulum approximation at short time intervals (0 to 10s of lming).We investigate some properties of the phase space under di erent initial conditions, of the Lyapunov exponents indicativing Chaos of the system and of the Poincaré sections allowing us to obtain detailed information about the complex dynamics that occurs in the quadrimensional phase space of the double pendulum. We observed that for short time the dynamics of the double pendulum can be approximated by the ideal pendulum since the loss of energy was minimal moreover the introduction of an external force in the system compensated for the loss of energy by the action of the dissipative forces making it possible to a more complete analyzes of the dynamics as the study of the section of Poincaré in the system could be performed. It was noticed that the theoretical results widely studied are similar to the experimental results therefore emphasizing the importance of this methodology in the study of chaotic systems / Mestre

Orientador: Ricardo Egydio de Carvalho / Banca: Emanuel Fernandes de Lima / Banca: Leonardo Kleber Castelano / Resumo: O objetivo principal deste trabalho é utilizar a teoria de dinâmica não linear no controle da dissociação molecular através da introdução da dissipação em um modelo já bem conhecido na literatura, que consiste em um potencial de interação interatômico e uma perturbação na forma de interação dipolo - campo elétrico. Tal campo elétrico pode ser proveniente dos fótons, pois a incidência de fótons já mostrou ser uma ferramenta efetiva na dissociação molecular. Primeiramente, o estudo mostra a possibilidade de controle de dissociação sem dissipação para condições bastante específicas, em seguida tais condições são generalizadas com a introdução da dissipação, tais como condições iniciais, tempo de exposição à perturbação e possíveis valores dos parâmetros de controle (constantes nas equações de movimento), mostrando os benefícios que a dissipação pode trazer no controle e na descrição da dissociação molecular. O sistema é confinado em um atrator cuja energia seja suficiente para que haja dissociação caso o mesmo esteja submetido somente ao potencial de interação de Morse. É realizada também uma varredura nos parâmetros de controle, no intuito de mostrar que a dissociação também pode ser controlada em uma ampla gama de valores para estes parâmetros. Este trabalho ainda faz um estudo baseado na probabilidade de dissociação como função de cada parâmetro de controle, de maneira que os resultados deste são comparados com resultados de outros trabalhos já conhecidos na literatura / Abstract: The main objective of this work is to use the nonlinear dynamics theory in the control of the molecular dissociation through the introduction of dissipation in a literature well-known model that consists of an interatomic interaction potential and of a perturbation given by the interaction between the molecule dipole - electric field. This field may be from the photons, because the incidence of photons has already proved to be an effective tool in molecular dissociation. First of all, the study shows the possibility of the dissociation control without dissipation in very specific conditions. These conditions are generalized as the work makes the introduction of the dissipation, like the initial conditions, exposure time to the perturbation and possible values of the control parameters (constants in the motion equations), showing the benefits the dissipation can bring to the control and to the description of the molecular dissociation. The system is trapped in an attractor whose energy is enough to bring dissociation in case it is subjected to only the Morse potential interaction. This study also sweeps the parameters in order to show that the dissociation can also be controlled to a wide range of the values of the control parameters. This work makes a study based in the dissociation probability as a function of each control parameter so the results of this work can be compared with results of other works already known in the literature / Mestre

Orientador: Edson Denis Leonel / Banca: Juliano Antônio de Oliveira / Banca: Ana Paula Mijolaro / Resumo: Neste trabalho investigaremos o comportamento do decaimento e relaxação para os pontos de equilíbrio, em especial em pontos de bifurcação, para uma família de mapeamentos discretos unidimensionais do tipo logístic-like. Faremos uma análise para três tipos de bifurcação: (i) transcrítica; (ii) forquilha e; (iii) duplicação de período. Discutiremos algumas hipóteses de escala que conduzem a uma lei de escala envolvendo três expoentes críticos. Próximo ao ponto fixo, a variável dinâmica varia muito lentamente. Essa propriedade permite transformar uma equação de diferenças, natural do mapeamento discreto, em uma equação diferencial ordinária (EDO). Resolvemos esta equação que fornece a evolução para o estado estacionário. Nossas simulações numéricas confirmam a previsão teórica e valida a aproximação acima mencionada / Abstract: In this work we investigate the behavior of the decay and relaxation to the equilibrium,especially at the bifurcation, for a family of one-dimensional discrete mappings, logistic-like. Our investigation consider three types of bifurcation: (i) transcritical; (ii) pitchforkand; (iii) period doubling. We discuss some scaling hypotheses leading to a scaling lawinvolving three critical exponents. Near the fixed points, the dynamical variable variesvery slowly. This property allows us to transform the equation of differences, hencenatural from discrete mappings, into an ordinary differential equation (ODE). We solvesuch equation which furnishes the evolution towards the stationary state. Our numericalsimulations confirm the theoretical results validating the above mentioned approximation / Mestre

Cette thèse traite de la synchronisation et de la désynchronisation des systèmes dynamiques. Dans une première partie nous abordons, sous l’angle de la biologie systémique, le problème de la désynchronisation qui consiste à induire un comportement chaotique dans un système ayant une dynamique stable. Nous étudions ce problème sur un réseau génétique appelé V-système, inventé afin de coupler le plus simplement possible une bifurcation de Hopf et une hystérèse. Après avoir démontré qu’un champ de vecteurs de R^n présentant un tel couplage peut, sous certaines conditions, avoir un comportement chaotique, nous donnons un ensemble de paramètres pour lequel le V-système associé satisfait ces conditions et vérifions numériquement que le mécanisme responsable du chaos prend place dans ce système. Dans une deuxième partie, nous nous intéressons à la synchronisation de systèmes organisés hiérarchiquement. Nous commençons par définir une structure hiérarchique pour un ensemble de 2^n systèmes par une matrice représentant les étapes d’un processus de regroupement deux par deux. Cela nous amène naturellement au cas d’un ensemble de Cantor de systèmes, pour lequel nous obtenons un résultat de synchronisation globale généralisant le cas fini. Enfin nous traitons de la situation où certains défauts apparaissent dans la hiérarchie, i.e que certains liens entre les systèmes sont brisés. Nous montrons que l’on peut accepter un nombre infini de liens brisés, tout en gardant une synchronisation locale, à condition que ces liens soient uniquement présents aux N premiers étages de la hiérarchie (pour un N fixé) et qu’ils soient suffisamment espacés dans ces étages. / This thesis deals with the synchronization and desynchronization of dynamical systems. In a first part we tackle (under a biological viewpoint) the desynchronization problem, which consists in the induce- ment of a chaotic behavior in a stable dynamical system. We study this problem on a gene regulatory network called V-system, invented in order to couple in a very simple way, a Hopf bifurcation and a hysteresis-type dynamics. After having proved that a vector field on Rn admitting such a coupling may, under some condi- tions, show a chaotic dynamics, we give a set of parameters for which the associated V-system satisfies these conditions and verify numerically that the mechanism responsible of the chaotic motion occurs in this system. In a second part, we take interest in the synchronization of hierarchically organized dynamical systems. We first define a hierarchical structure for a set of 2^n systems by a matrix representing the steps of a matching process in groups of size two. This leads us naturally to the case of a Cantor set of systems, for which we obtain a global synchronization result generalizing the finite case. Finally, we deal with the situation where some defects appear in the hierarchy, that is to say when some links between certain systems are broken. We prove we can afford an infinite number of such broken links while keeping a local synchronization, providing they are only present at the first N stages of the hierarchy (for a fixed integer N) and they are enough spaced out in these stages.

Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico / O estudo de propriedades caÃticas de alguns sistemas complexos vem se desenvolvendo amplamente a partir do avanÃo tecnolÃgico proporcionado pelos computadores. Dentre esses sistemas, podemos ressaltar os bilhares, que devido à sua simplicidade e enorme aplicabilidade vem se destacando dentre os demais modelos. Neste trabalho, estudamos as propriedades de alguns bilhares sujeitos à aÃÃo de um campo externo. Aqui, o campo externo à representado por meio de um campo de velocidade que à obtido a partir do escoamento de um fluido. Este fluido exerce uma forÃa de arrasto sobre a partı́cula que encontra-se confinada pela fronteira que define o bilhar. Ao contrÃrio dos outros trabalhos realizados com bilhares, propomos uma abordagem totalmente numÃrica levandoem consideraÃÃo vÃrios fatores que poderiam influenciar na dinÃmica da partı́cula, como por exemplo, a forÃa elÃstica que a partı́cula sofre ao colidir com a fronteira, o regime de escoamento do fluido e o efeito do arraste na trajetÃria da partı́cula, causado por uma forÃa que à proporcinal a uma potÃncia da velocidade na forma F ∝ v γ . A partir desta abordagem, foi possı́vel observar um decaimento na energia da partı́cula, que se deu de forma linear (γ = 1.0), polinomial do segundo grau (γ = 1.5) e exponencial (γ = 2.0). AlÃm disso, quando analisamos o espaÃo de fase dos sistemas (bilhares), o efeito do parÃmetro dissipativo contribuiu para o surgimento de um mar de caos em alguns casos, e ainda, para o surgimento de um atrator, cujo efeito à oriundo tambÃm da aÃÃo do campo externo. / The study of the chaotic properties of some complex systems has been largely developed from the technological advancement provided by computers. Among these systems, we can highlight the billiards, which, due to their simplicity and enormous applicability, they have stood out among the other models. In this work, we study the properties of some billiards, when subject to the action of an external field. Here the external field is represented by a velocity field, wich is obtained from the flow of a fluid. Such fluid exerts a drag force on the particle bounded by the boundary defining the billiard. In contrast to the other works done with billiards, we propose a totally numerical approach, taking into account several factors that could exercise influence on the particle dynamics, such as the elastic force that the particle suffers when it collides with the boundary, the outflow regime of the fluid, and the drag effect on the trajectory of the particle, caused by a force that is proportional to a potential of the velocity in the form F ∝ v γ . From this aproach we could observe a decay on the energy of the particle, which occurred in a linear form (γ= 1.0), polynomial of the second degree (γ = 1.5) and exponential (γ = 2.0). Moreover, as we analyzed the phase space of the systems (billiards), the effect of the dissipation parameter contributed to the emerging of a sea of chaos in some cases, and also to the appearance of an attractor, whose effect also originates from the action of the external field.

Investigaremos algumas propriedades dinâmicas e de transporte para um conjunto de partículas clássicas não interagentes em diversos sistemas físicos. Os sistemas descritos aqui, em sua maioria, apresentam estrutura mista no espaço de fase no sentido de que curvas invariantes do tipo spanning, mares de caos e ilhas periódicas estão presentes. A descrição de cada sistema será feita utilizando mapeamentos discretos não lineares. Detalharemos a forma de obter os mapeamentos assim como discutiremos algumas de suas propriedades dinâmicas. Expoentes de Lyapunov serão utilizados para caracterizar a região de caos nos sistemas. Hipóteses de escala são usadas para provar que certos observáveis, por exemplo a energia média ao longo de mares de caos, são invariantes de escala. Consideraremos também que quando uma partícula, ou de forma equivalente um conjunto delas atinge uma determinada altura no espaço de fases, ela pode escapar. Ao estudar o escape de partículas, vemos que o histograma do número de partículas que atingem uma certa altura (ou energia) h no espaço de fases em uma dada iterada n, ao qual observamos ser invariante de escala, cresce rapidamente até atingir um máximo e então tende à zero para n grande. Quando a altura h varia proporcionalmente a posição da primeira curva invariante spanning, podemos confirmar uma invariância de escala do histograma de frequências. O mesmo ocorre para a probabilidade de sobrevivência da partícula à dinâmica. Neste contexto, abordaremos os seguintes problemas: (1) Um guia de ondas senoidalmente corrugado; (2) Uma família de mapas Hamiltonianos bidimensionais que recupera diversos modelos; (3) Partículas confinadas em uma caixa com potenciais infinitos nas bordas e contendo em seu interior um poço de potencial dependente periodicamente do tempo; (4) Analisaremos um bilhar ovóide com dependência temporal introduzida através de giro, onde para certas condições observamos que este não apresenta um aparente crescimento ilimitado de energia (aceleração de Fermi), desta forma sendo um possível contra-exemplo da conjectura LRA. Esta tese é um resumo de 8 artigos que foram publicados em revistas internacionais. / We investigate some dynamical and transport properties for a set of non-interacting classical particles. The systems here described, for the most part, present mixed structure in the phase space in the sense that invariant spanning curves, chaotic seas and periodic islands are present. The dynamics of each model is described by using non-linear mappings. We show all the details to construct the mappings and discuss some of their dynamical properties including fixed points stability among others. Lyapunov exponents will be obtained to characterize the chaotic dynamics observed in the phase space. Moreover some scaling hypotheses are used to prove that certain observables, including the average energy, are scaling invariant. We consider also that when a particle or an ensemble of them reach a certain portion of the phase space, they can escape. When studying the escape, we see that the histogram for the number of particles that reach certain height (or energy) h in the phase space for the iteration n, for which we observe to be scaling invariant, grows quickly until reaching a maximum and then goes towards zero for large enough n. When changing the height h proportionally to the position of the first invariant spanning curve, we can confirm the scaling invariance. The same happens for the survival probability for a particle in the chaotic dynamics. In this way, we will discuss the following problems: (1) A corrugated waveguide; (2) A family of two-dimensional Hamiltonian mappings which can reproduce different scaling exponents; (3) Particles confined to bounce in the interior of a time-dependent potential well; (4) We will analyse a rotating oval billiard, where for certain conditions we observed that this system does not present the unbounded energy growth (Fermi acceleration), in this way it is a possible counterexample of the LRA conjecture. This thesis is as summary of eight papers already published.