Cette thèse donne un aperçu des différentes attaques que doivent contrer les implémentations et propose quelques solutions en distinguant trois niveaux, le niveau hardware, le niveau mathématique et le niveau algorithmique. L'état de l'art fait au chapitre 2 montre bien que les possibilités données à l'attaquant sont multiples et variées. Au niveau hardware, les résultats obtenus dans le projet ESPASS-IS ont motivé la définition de nouveaux projets entre le laboratoire TIMA, le LIRMM et STMicroelectronics . Au niveau mathématique, la mise en ÷uvre de LRA et la collaboration initiée avec le LIRMM a ouvert la voie à de nombreux sujets de recherches vers des arithmétiques à la fois rapides et compactes mais prenant en compte un nouvel élément d'optimisation : la robustesse aux injections de fautes et la minimisation des fuites au travers des canaux cachés. Au niveau algorithmique particulièrement, l'article publié à CHES'00 a fait parti de la toute première vague de travaux de sécurisation des implémentations des courbes elliptiques et constitue une publication très citée dans le domaine.

Nous étudions les fibrations de Lefschetz réelles. Nous présentons des invariants de fibrations de Lefschetz réelles au dessus de $D^2$ ou $S^2$ n'ayant que des valeurs critiques réelles. Dans le cas où le genre des fibres est égal à 1, nous obtenons un objet combinatoire, appelé le diagramme de collier. En utilisant les diagrammes de collier nous obtenons une classification des fibrations de Lefschetz réelles de genre 1 admettant une section réelle et dont toutes les valeurs critiques sont réelles. On définit les diagrammes de collier raffinés pour les fibrations qui n'admettent pas de section réelle. Grâce aux diagrammes de collier, nous observons l'existence de quelques exemples intéressants.

L'étude des propriétés actuelles des galaxies permet à la fois de comprendre les processus physiques de leur évolution passée et le contenu de l'Univers en matière visible et noire. Les moyens d'observations actuels permettent de quantifier de façon statistique les propriétés morphologiques et cinématiques des galaxies, en fonction de leur environnement. Afin d'interpréter en détail ces propriétés observées, nous avons modélisé la formation et l'évolution passée des galaxies au moyen de simulations numériques. Les codes utilisés, en partie déjà existants et en partie développés au cours de la thèse, modélisent la dynamique gravitationnelle des étoiles et de la matière noire, l'hydrodynamique du gaz interstellaire, et la formation stellaire. Les résultats de ces simulations peuvent alors être comparés quantitativement aux observations, dans plusieurs domaines de longueurs d'ondes.<br /><br />Dans une première partie, nous étudions la morphologie des galaxies isolées. Nous montrons que la plupart des galaxies spirales possèdent une concentration centrale allongée, appelée barre, qui devrait être détruite rapidement par échange de moment angulaire avec le gaz interstellaire. La persistance des barres depuis dix milliards d'années ne peut s'expliquer que si elles ont été reformées, ce qui nécessite l'accrétion de grandes quantités de gaz diffus par les galaxies. L'étude d'autres types d'asymétries, les modes m=1, vient renforcer cette conclusion, et nous déduisons le taux caractéristique d'accrétion de gaz par les galaxies au cours des derniers milliards d'années, de plusieurs masses solaires par ans. Une importante contrainte pour les modèles cosmologiques en découle : l'Univers doit contenir suffisamment de baryons, et ceux-ci ne doivent tous former des étoiles rapidement dans l'Univers jeune, pour que les galaxies continuent à accréter quelques dizaines de pourcents de leur masse à des redshifts inférieurs à z=1.<br /><br /> Les galaxies ont donc grandi par accrétion progressive de gaz diffus, mais les collisions et fusions de galaxies ont également joué un rôle important dans leur évolution. Il est déjà établi que les fusions de galaxies de masses comparables détruisent les disques spiraux et forment des galaxies elliptiques, de forme sphéroïdale. Nous montrons que même la fusion avec de petites galaxies affecte fortement les disques, et qu'un grand nombre de fusions détruisent les galaxies spirales pour en faire des galaxies lenticulaires ou elliptiques ; l'accrétion de gaz évoquée précédemment peut alors expliquer la reformation ultérieure d'un disque galactique fin. Nous avons également établi qu'une succession de fusions mineures avec des galaxies naines peut avoir les mêmes effets qu'une fusion majeure unique avec une galaxie massive, et former une elliptique. Ce nouveau mécanisme de formation amène à réviser l'interprétation des observations sur le contenu en matière noire des galaxies elliptiques, ce qui pourrait déboucher sur des contraintes importantes sur la nature même de cette matière noire.<br /><br />D'autres évènements se produisant lors des collisions de galaxies (formation d'anneaux, naissance de galaxies naines dans les débris de marée) ont été étudiés à l'aide de nos modèles numériques. Ils permettent de contraindre les propriétés de la matière noire en traçant son comportement dynamique dans les collisions de galaxies. La confrontation des modèles aux données observationnelles tend à prouver qu'une partie de la matière noire est mobilisée les débris de collisions et de marées galactiques. Bien qu'une confirmation reste à établir à l'aide d'observations à plus haute résolution, cela indique une dynamique collisionnelle et dissipative pour une partie de la matière noire, probablement sa composante baryonique, favorisant les modèles de matière noire sous forme de gaz froid.<br /><br />La comparaison statistique des observations et des modèles numériques à haute résolution a donc permis d'obtenir un certain nombre de contraintes sur les processus principaux d'évolution des galaxies et sur la matière contenue dans l'Univers. A l'avenir, les possibilités de modélisation et d'observation des galaxies de l'Univers lointain permettront de comprendre encore mieux les mécanismes d'évolution des galaxies, ainsi que la formation stellaire à grande échelle, donc l'histoire des bayons contenus dans l'Univers. Cela permettra d'établir des contraintes plus précises sur les scénarios cosmologiques de formation et d'évolution de l'Univers dans son ensemble.

Le but de cette thèse est d'étudier la structure galoisienne de torseurs sous des schémas en groupes finis (ou quasi-finis) et plats. Pour cela, nous utilisons (et généralisons) un homomorphisme défini par W. Waterhouse, ainsi que le << class invariant homomorphism >> défini par M. J. Taylor.<br /><br />Dans le chapitre I, nous étudions les propriétés fonctorielles de ces homomorphismes. Nous en déduisons une généralisation de résultats de Taylor, Srivastav, Agboola et Pappas concernant le noyau du class invariant homomorphism pour les variétés abéliennes ayant partout bonne réduction qui sont isogènes à un produit de courbes elliptiques.<br /><br />Dans le chapitre II, nous donnons une lecture du class invariant homomorphism dans le langage des 1-motifs.<br /><br />Dans le chapitre III, nous généralisons la construction du class invariant homomorphism pour un sous-groupe fini et plat d'un schéma en groupes semi-stable (sur un schéma de base intègre, normal et noethérien) dont la fibre générique est une variété abélienne. Nous étendons également les résultats de Taylor, Srivastav, Agboola et Pappas à cette situation.<br /><br />Dans le chapitre IV, nous généralisons la construction du chapitre III en considérant un sous-groupe fermé, quasi-fini et plat du modèle de Néron d'une variété abélienne (la base étant un schéma de Dedekind). Ceci nous permet de généraliser un résultat arakélovien du à Agboola et Pappas.

Cette thèse présente l'étude de divers problèmes mathématiques en modélisation des solides, tant à l'échelle atomique qu'à l'échelle macroscopique. Les modèles correspondants sont très simplifiés, mais présentent tout de même des comportements qualitatifs acceptables, et permettent, du fait de leur simplicité, de pousser l'analyse mathématique plus loin que dans le cas de modèles plus réalistes.<br /><br />Une première partie (chapitres 2,3,4) est consacrée à l'étude de l'origine de la structure cristalline. Ce problème peut être posé de la façon suivante : les modèles étudiés ici rendent-ils compte du fait qu'à température nulle, la matière est ordonnée ? ou, de façon équivalente, l'état de minimum d'énergie de N atomes identiques ressemble-t-il, pour N grand, à une structure périodique ? Ce type de problème est relié au problème de limite thermodynamique, dont certains aspects sont également étudiés ici.<br /><br />Dans un deuxième temps, nous étudions au chapitre 5 le cas où précisément, la matière n'est pas ordonnée : dans le cas d'un système périodique, il est possible de définir l'énergie du système pour les modèles utilisés ici par le processus de limite thermodynamique. Nous étudions ce même processus dans un cas non-périodique, donnant des hypothèses générales qui permettent de mener à bien une telle étude.<br /><br />Les chapitres 6 et 7 sont consacrés à l'étude du lien possible entres des théories macroscopiques des solides et ces modèles microscopiques, le premier dans le cas de comportements mécaniques, le deuxième dans le cas du comportement en présence d'un champ électrique.<br /><br />Enfin, le dernier chapitre présente une brève introduction à certaines techniques utilisées en numérique des solides, pour des modèles beaucoup plus élaborés que ceux des chapitres précédents.

Cette thèse s'intéresse à la résolution d'EDP non linéaire sur une variété riemannienne compacte (M,g) de dimension n 3 de la forme : . Ces équations ont une structure variationnelle et on cherche des solutions qui minimisent l'énergie : parmi les fonctions u de W1,2 qui vérifient Cf(u)= . Th. Aubin a montré qu'on a toujours : , où cn est une constante qui ne dépend que de la dimension, et que de plus si l'inégalité est stricte, alors l'équation a des solutions minimisantes. Je montre dans mon travail des théorèmes d'existence dans le cas limite où cette inégalité est une égalité en utilisant une notion de « fonction critique » introduite par E. Hebey et M. Vaugon, et je montre différents résultats concernant ces fonctions critiques.

Mes travaux de recherches concernent les différentes théories cohomologiques associées aux actions de groupes de Lie compacts sur des variétés différentiables: cohomologie équivariante, K-théorie équivariante, et la théorie des opérateurs transversalement elliptiques. Ils se situent au carrefour entre la géométrie symplectique et la théorie des représentations. Le fil conducteur de ma recherche a été le programme de (\it localisation non-abélienne) de Witten. Dans ce mémoire, je rappelle les techniques mises en oeuvre pour réaliser ce programme, et les résultats qui en découlent.

La notion de modules de Drinfeld est le centre de cette thèse, cette notion fut introduite par Drinfeld en 1973, comme étant des " modules elliptiques" appelés de nos jours modules de Drinfeld. Ceux sont des objets algèbriques analogues aux courbes elliptiques sur les corps des nombres et sur les corps finis, obtenus par la réduction modulo une place non-archimédiennene. Une étude de l'arithmétique de tels objet devient légitime, motivée par l'arithmétique des courbes définies sur un corps fini initiée par Artin, Hasse et Weil. Dans cette direction on pousse cette analogie, pour un module de Drinfeld de rang 2, à la majorité de points étudiés pour des courbes elliptiques sur un corps fini. On donne plus précisement un analogue du théorème de Weil, théorème de Deuring-Waterhouse, et un analogue du travail de S. Vladut sur la cyclicité de tel structure algébrique.

Cette thèse est consacrée aux problèmes de minorations de hauteur normalisée des points et des sous-variétés non de torsion. Le chapitre 1 est un chapitre de rappels, les autres sont originaux. On prouve au chapitre 2 un résultat de densité de petits points. Ceci nous permet d'obtenir, pour les sous-variétés de variétés abéliennes de type C.M., une minoration en fonction du degré de la sous-variété, optimale aux puissances de log du degré près. On montre en toute généralité qu'une ``bonne minoration'' de la hauteur des points entraîne une minoration analogue de la hauteur des sous-variétés. Ceci nous permet en particulier de prouver que, sur les variétés abéliennes, le problème de Lehmer pour les points est équivalent au problème de Lehmer pour les sous-variétés. Le chapitre 3 est un raffinement du précédent dans le cas des hypersurfaces. La preuve, qui passe par l'introduction d'une fonction auxiliaire, suit le schéma classique des preuves de transcendance. En utilisant l'inégalité des pentes, due à Bost, on retrouve ensuite au chapitre 4 le célèbre résultat de Dobrowolski concernant le problème originel de Lehmer sur la minoration de la hauteur des entiers algébriques. Le chapitre 5 étend un résultat de Amoroso et Zannier au cas des courbes elliptiques C.M. : on obtient une minoration du type Lehmer, mais où le degré de l'extension engendrée par le point P sur K est remplacé par le degré de l'extension engendrée par le point P sur la clôture abélienne de K. Ceci nous permet de simplifier la preuve d'un résultat de Viada. Enfin au chapitre 6, on fait le lien entre diverses conjectures relatives au problème de Lehmer sur les variétés abéliennes.

Ce travail porte sur les problèmes de régularités en optimisation de forme. Précisément nous étudions la régularité d'un ouvert qui minimise l'énergie du problème de Dirichlet pour le Laplacien parmi tous les ouverts de mesure fixée inclus dans un grand ouvert (par exemple l'espace tout entier). La première étape consiste à regarder la régularité de la fonction d'état optimale (la solution du problème de Dirichlet sur l'ouvert minimal): on montre que, là où elle garde un signe constant, elle est localement lipschitzienne (dans tout l'espace et pas seulement dans l'ouvert optimal). La deuxième étape consiste à étudier la régularité du bord de l'ouvert optimal. Si la fonction d'état est lipschitzienne, on montre que cet ouvert est à périmètre fini. On peut également montré que, là où le terme source est positif, le Laplacien de la fonction d'état est égal, sur le bord de l'ouvert optimal, à une constante multipliée par la mesure de Hausdorff du bord. Cette constante est un multiplicateur de Lagrange dans une équation d'Euler-Lagrange. De manière formelle, cela signifie que la dérivée normale de la fonction d'état est constante sur le bord. Ceci est bien le résultat attendu: si on suppose que l'ouvert optimal est régulier, on le retrouve facilement. On peut enfin déduire de cela que, loin du support du terme source, la frontière de l'ouvert optimal est, en dehors d'un ensemble négligeable, une hypersurface analytique.