Zufällige Bewegungen wie Diffusion sind ein allgegenwärtiges Phänomen, anzufinden nicht nur in der Physik. Das Hauptobjekt von Diffusionsmodellen ist oft die mittlere quadratische Verschiebung eines Teilchens, welche für sogenannte normal-diffusive Prozesse linear mit der Zeit anwächst. Anomale Diffusion bezeichnet Prozesse, für welche sie nicht-linear wächst; ein wichtiges Beispiel ist die Bewegung großer Moleküle in biologischen Zellen. Erscheinungen wie schwache Ergodizitätsbrechung sind ebenfalls bei anomaler Diffusion zu finden, und es gibt viele mathematische Modelle zu ihrer Beschreibung. Oft ist es schwierig für ein bestimmtes Experiment das "richtige" Modell, d.h. die physikalische Ursache der Anomalie, zu finden. Eine Methode zur Trennung oder Identifikation der physikalischen Ursachen wird also dringend benötigt. In dieser Arbeit stellten wir uns diesem Problem. Zuerst betrachteten wir ein recht allgemeines Modell zur Diffusion in ungeordneten Medien. Mithilfe der Netzwerktheorie trennten wir zwei Mechanismen, nämlich energetische und strukturelle Unordnung, welche beide zu anomaler Diffusion führen. Diese Klassen wurden dann in die Sprache der stochastischen Prozesse übertragen. Das erlaubte uns eine einfache Methode, die des fundamentalen Momentes, zu formulieren. Jene Methode ist in der Lage die energetischen und strukturellen Anteile eines Diffusionsprozesses voneinander zu trennen. Zuletzt behandelten wir Ergodizität und Ergodizitätsbrechung aus der Sicht der energetischen und strukturellen Unordnung. / Random motion, in particular diffusion, is a ubiquitous phenomenon that is encountered not only in physics. The main object of a diffusion model is usually the mean squared displacement (msd) of a particle, which for so-called normal diffusion grows linearly in time. Anomalous diffusion denotes processes, in which the msd grows non-linearly; an important example is the motion of large molecules in biological cells. Many interesting properties like weak ergodicity breaking are connected to anomalous diffusion, and there are many mathematical models exhibiting anomalous behaviour. Given an experiment, it is often difficult to decide, what is the "correct" model, i.e. the physical cause for the anomaly. Therefore, a method capable of separation and identification of different physical mechanisms is urgently required. This thesis approached the mentioned issue. First of all, we considered a quite general model for diffusion in disordered media. We used some network theory to distinguish two physical mechanisms - energetic and structural disorder. Both cause anomalous diffusion. Those classes of disorder were then translated into the language of stochastic processes. This put ourselves in position to propose a simple method, the fundamental moment, that is capable of separating the energetic and structural components of a diffusion process. At last, we discussed ergodicity and ergodicity breaking from the point of view of energetic and structural disorder.

Anomale Diffusion ist ein weitverbreiteter Transportmechanismus, welcher für gewöhnlich mit ensemble-basierten Methoden experimentell untersucht wird. Motiviert durch den Fortschritt in der Einzelteilchenverfolgung, wo typischerweise Zeitmittelwerte bestimmt werden, entsteht die Frage nach der Ergodizität. Stimmen ensemble-gemittelte Größen und zeitgemittelte Größen überein, und wenn nicht, wie unterscheiden sie sich? In dieser Arbeit studieren wir verschiedene stochastische Modelle für anomale Diffusion bezüglich ihres ergodischen oder nicht-ergodischen Verhaltens hinsichtlich der mittleren quadratischen Verschiebung. Wir beginnen unsere Untersuchung mit integrierter Brownscher Bewegung, welche von großer Bedeutung für alle Systeme mit Impulsdiffusion ist. Für diesen Prozess stellen wir die ensemble-gemittelte quadratische Verschiebung und die zeitgemittelte quadratische Verschiebung gegenüber und charakterisieren insbesondere die Zufälligkeit letzterer. Im zweiten Teil bilden wir integrierte Brownsche Bewegung auf andere Modelle ab, um einen tieferen Einblick in den Ursprung des nicht-ergodischen Verhaltens zu bekommen. Dabei werden wir auf einen verallgemeinerten Lévy-Lauf geführt. Dieser offenbart interessante Phänomene, welche in der Literatur noch nicht beobachtet worden sind. Schließlich führen wir eine neue Größe für die Analyse anomaler Diffusionsprozesse ein, die Verteilung der verallgemeinerten Diffusivitäten, welche über die mittlere quadratische Verschiebung hinausgeht, und analysieren mit dieser ein oft verwendetes Modell der anomalen Diffusion, den subdiffusiven zeitkontinuierlichen Zufallslauf. / Anomalous diffusion is a widespread transport mechanism, which is usually experimentally investigated by ensemble-based methods. Motivated by the progress in single-particle tracking, where time averages are typically determined, the question of ergodicity arises. Do ensemble-averaged quantities and time-averaged quantities coincide, and if not, in what way do they differ? In this thesis, we study different stochastic models for anomalous diffusion with respect to their ergodic or nonergodic behavior concerning the mean-squared displacement. We start our study with integrated Brownian motion, which is of high importance for all systems showing momentum diffusion. For this process, we contrast the ensemble-averaged squared displacement with the time-averaged squared displacement and, in particular, characterize the randomness of the latter. In the second part, we map integrated Brownian motion to other models in order to get a deeper insight into the origin of the nonergodic behavior. In doing so, we are led to a generalized Lévy walk. The latter reveals interesting phenomena, which have never been observed in the literature before. Finally, we introduce a new tool for analyzing anomalous diffusion processes, the distribution of generalized diffusivities, which goes beyond the mean-squared displacement, and we analyze with this tool an often used model of anomalous diffusion, the subdiffusive continuous time random walk.

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Anomale Diffusion ist ein weitverbreiteter Transportmechanismus, welcher für gewöhnlich mit ensemble-basierten Methoden experimentell untersucht wird. Motiviert durch den Fortschritt in der Einzelteilchenverfolgung, wo typischerweise Zeitmittelwerte bestimmt werden, entsteht die Frage nach der Ergodizität. Stimmen ensemble-gemittelte Größen und zeitgemittelte Größen überein, und wenn nicht, wie unterscheiden sie sich? In dieser Arbeit studieren wir verschiedene stochastische Modelle für anomale Diffusion bezüglich ihres ergodischen oder nicht-ergodischen Verhaltens hinsichtlich der mittleren quadratischen Verschiebung. Wir beginnen unsere Untersuchung mit integrierter Brownscher Bewegung, welche von großer Bedeutung für alle Systeme mit Impulsdiffusion ist. Für diesen Prozess stellen wir die ensemble-gemittelte quadratische Verschiebung und die zeitgemittelte quadratische Verschiebung gegenüber und charakterisieren insbesondere die Zufälligkeit letzterer. Im zweiten Teil bilden wir integrierte Brownsche Bewegung auf andere Modelle ab, um einen tieferen Einblick in den Ursprung des nicht-ergodischen Verhaltens zu bekommen. Dabei werden wir auf einen verallgemeinerten Lévy-Lauf geführt. Dieser offenbart interessante Phänomene, welche in der Literatur noch nicht beobachtet worden sind. Schließlich führen wir eine neue Größe für die Analyse anomaler Diffusionsprozesse ein, die Verteilung der verallgemeinerten Diffusivitäten, welche über die mittlere quadratische Verschiebung hinausgeht, und analysieren mit dieser ein oft verwendetes Modell der anomalen Diffusion, den subdiffusiven zeitkontinuierlichen Zufallslauf. / Anomalous diffusion is a widespread transport mechanism, which is usually experimentally investigated by ensemble-based methods. Motivated by the progress in single-particle tracking, where time averages are typically determined, the question of ergodicity arises. Do ensemble-averaged quantities and time-averaged quantities coincide, and if not, in what way do they differ? In this thesis, we study different stochastic models for anomalous diffusion with respect to their ergodic or nonergodic behavior concerning the mean-squared displacement. We start our study with integrated Brownian motion, which is of high importance for all systems showing momentum diffusion. For this process, we contrast the ensemble-averaged squared displacement with the time-averaged squared displacement and, in particular, characterize the randomness of the latter. In the second part, we map integrated Brownian motion to other models in order to get a deeper insight into the origin of the nonergodic behavior. In doing so, we are led to a generalized Lévy walk. The latter reveals interesting phenomena, which have never been observed in the literature before. Finally, we introduce a new tool for analyzing anomalous diffusion processes, the distribution of generalized diffusivities, which goes beyond the mean-squared displacement, and we analyze with this tool an often used model of anomalous diffusion, the subdiffusive continuous time random walk.