The main objective of this research work is to apply the discontinuous Galerkin method to a classical partial differential equation to investigate the properties of the numerical solution and compare the numerical solution to the analytical solution by using discontinuous Galerkin method. This scheme is applied to 1-D non-linear conservation equation (Burgers equation) in which the governing differential equation is simplified model of the inviscid Navier-stokes equations. In this work three cases are studied. They are sinusoidal wave profile, initial shock discontinuity and initial linear distribution. A grid and time step refinement is performed. Riemann fluxes at each element interfaces are calculated. This scheme is applied to forward differentiation method (Euler's method) and to second order Runge-kutta method of this work.

Neste trabalho, introduzimos a noção de desenvolvimento assintótico em classes de Gevrey e mostramos como o conceito clássico de convergência de séries de potências pode ser generalizado para englobar o caso em que o raio de convergência é nulo. Essa técnica pode ser útil em situações em que é necessário trabalhar com séries formais, como no estudo de Equações Diferenciais. Caracterizamos o conjunto das funções holomorfas que admitem desenvolvimento assintótico e, em cada classe de Gevrey, definimos uma aplicação que associa uma função a uma série formal. Determinamos sob quais condições tal aplicação é sobrejetora e sob quais ela é injetora, possibilitando a ampliação do conceito de convergência e as aplicações da teoria. Além disso, mostramos como essa técnica pode ser usada para obter resultados em equações diferenciais. Para isso, fazemos uma breve introdução de Equações Diferenciais com uma variável complexa e introduzimos o conceito de Polígono de Newton, ferramenta que permite obter a classe de Gevrey de uma solução formal. Finalmente, encontramos condições para que a soma de uma solução formal de uma equação diferencial seja uma solução clássica. / In this work, we introduce the notion of Gevrey asymptotic expansion and we show how the classical concept of a convergent power series can be generalized to include the case in which the radius of convergence is zero. This technique can be useful in situations where it is necessary to work with formal power series, as in the study of Differential Equations. We characterize the set of holomorphic functions which admit Gevrey asymptotic expansion and we define in each Gevrey class a map that associates to function in the class a formal series. We determine under which conditions such a map is surjective and under which it is injective, allowing the extension of the concept of convergence and applications of the theory. Furthermore, we show how this technique can be used to obtain results in Differential Equations. For this, we briefly recall the theory of Differential Equations in one complex variable and we introduce the concept of the Newton Polygon, a tool that allows us to find the Gevrey class of a formal solution. Finally, we find suficient conditions for the sum of a formal solution of a differential equation to be a classical solution.

Neste trabalho, introduzimos a noção de desenvolvimento assintótico em classes de Gevrey e mostramos como o conceito clássico de convergência de séries de potências pode ser generalizado para englobar o caso em que o raio de convergência é nulo. Essa técnica pode ser útil em situações em que é necessário trabalhar com séries formais, como no estudo de Equações Diferenciais. Caracterizamos o conjunto das funções holomorfas que admitem desenvolvimento assintótico e, em cada classe de Gevrey, definimos uma aplicação que associa uma função a uma série formal. Determinamos sob quais condições tal aplicação é sobrejetora e sob quais ela é injetora, possibilitando a ampliação do conceito de convergência e as aplicações da teoria. Além disso, mostramos como essa técnica pode ser usada para obter resultados em equações diferenciais. Para isso, fazemos uma breve introdução de Equações Diferenciais com uma variável complexa e introduzimos o conceito de Polígono de Newton, ferramenta que permite obter a classe de Gevrey de uma solução formal. Finalmente, encontramos condições para que a soma de uma solução formal de uma equação diferencial seja uma solução clássica. / In this work, we introduce the notion of Gevrey asymptotic expansion and we show how the classical concept of a convergent power series can be generalized to include the case in which the radius of convergence is zero. This technique can be useful in situations where it is necessary to work with formal power series, as in the study of Differential Equations. We characterize the set of holomorphic functions which admit Gevrey asymptotic expansion and we define in each Gevrey class a map that associates to function in the class a formal series. We determine under which conditions such a map is surjective and under which it is injective, allowing the extension of the concept of convergence and applications of the theory. Furthermore, we show how this technique can be used to obtain results in Differential Equations. For this, we briefly recall the theory of Differential Equations in one complex variable and we introduce the concept of the Newton Polygon, a tool that allows us to find the Gevrey class of a formal solution. Finally, we find suficient conditions for the sum of a formal solution of a differential equation to be a classical solution.

Wang Jing. / Thesis (M.Phil.)--Chinese University of Hong Kong, 2005. / Includes bibliographical references (leaves 55-59). / Abstracts in English and Chinese. / Acknowledgments --- p.i / Abstract --- p.ii / Introduction --- p.3 / Chapter 1 --- Formulation of the Problem --- p.10 / Chapter 1.1 --- Reformulated Navier-Stokes Equations --- p.10 / Chapter 1.2 --- Linearized Problems --- p.15 / Chapter 2 --- Construction of the Approximate Solution --- p.19 / Chapter 2.1 --- Two-scale Asymptotic Expansions --- p.19 / Chapter 2.2 --- Determination of Each Inner and Boundary Terms --- p.22 / Chapter 2.3 --- Truncation Terms --- p.31 / Chapter 3 --- Estimates of the Error Term of the Approximate Solution and Main Results --- p.33 / Chapter 3.1 --- Error Equations --- p.33 / Chapter 3.2 --- Energy Estimates --- p.36 / Chapter 3.2.1 --- BasicL2 Estimates --- p.36 / Chapter 3.2.2 --- Tangential Derivatives Estimates --- p.38 / Chapter 3.2.3 --- Normal Derivatives Estimates --- p.49 / Chapter 3.3 --- Pointwise Estimates --- p.52 / Bibliography --- p.55

In this article we study the geometry associated with the sub-elliptic operator ½ (X²1 +X²2), where X1 = ∂x and X2 = x²/2 ∂y are vector fields on R². We show that any point can be connected with the origin by at least one geodesic and we provide an approximate formula for the number of the geodesics between the origin and the points situated outside of the y-axis. We show there are in¯nitely many geodesics between the origin and the points on the y-axis.

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:27:10Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2010-12-16Bitstream added on 2014-06-13T19:26:07Z : No. of bitstreams: 1 sousajunior_jra_me_rcla.pdf: 1174734 bytes, checksum: cbdf2669884098c54b72817cfc625edd (MD5) / Neste trabalho estudamos o problema da Braquistócrona de duas formas distintas: através da teoria do Cálculo Variacional para problemas com fronteiras xas e também através das considerações feitas por Johann Bernoulli, utilizando conceitos de Óptica e Geometria. Apresentamos também uma simulação computacional dos resultados obtidos / In this work we study the Brachistochrone Problem of two di erent ways; by theory of Variational Calculus for problems with xed boundary and by considerations of Johann Bernoulli, with concepts of Optics and Geometry. A computational simulation of the obtained results, is presented too

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:27:10Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2011-02-03Bitstream added on 2014-06-13T18:07:05Z : No. of bitstreams: 1 flores_apx_me_rcla.pdf: 626396 bytes, checksum: bbb4081c4e9cec255b879824f0d39683 (MD5) / O principal objetivo deste trabalho é o estudo da teoria do Cálculo de Variações com ênfase na Equação de Euler, que trata de uma condição necessária para uma função ser extremo de um funcional. Existe uma grande variedade de problemas, mas neste trabalho trataremos de problemas com fronteiras fixas, tempo final livre, estado final livre, funcional dependente de mais de uma função e problemas com alguns tipos de restrições. Dois problemas do Cálculo de uma variável e um exemplo de controle ótimo são estudados para ilustrar a aplicabilidade do Cálculo Variacional / The main purpose of this work is the study of the theory of the Calculus of Variations, with emphasis on the Euler equation, that is a necessary condition for a function to be an extreme of a functional. There are a large variety of problems but we will consider the problem of xed boundary, free nal time, free nal state, functionals that contain several independent functions and problems with some constraints. Two problems of the Calculus of one variable and an example of optimal control problem are studied to illustrate the applicability of Variational Calculus

Orientador: Suzinei Aparecida Siqueira Marconato / Banca: Renata Zotin Gomes de Oliveira / Banca: Sueli Mieko Tanaki Aki / Resumo: Neste trabalho estudamos o problema da Braquistócrona de duas formas distintas: através da teoria do Cálculo Variacional para problemas com fronteiras xas e também através das considerações feitas por Johann Bernoulli, utilizando conceitos de Óptica e Geometria. Apresentamos também uma simulação computacional dos resultados obtidos / Abstract: In this work we study the Brachistochrone Problem of two di erent ways; by theory of Variational Calculus for problems with xed boundary and by considerations of Johann Bernoulli, with concepts of Optics and Geometry. A computational simulation of the obtained results, is presented too / Mestre

Submitted by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2015-01-14T13:35:24Z No. of bitstreams: 2 license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) Dissertação - Helen Kássia Coelho Gontijo - 2014.pdf: 1533837 bytes, checksum: 06babe56caa781b8fdc2bc90de1a2947 (MD5) / Approved for entry into archive by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2015-01-14T14:11:25Z (GMT) No. of bitstreams: 2 license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) Dissertação - Helen Kássia Coelho Gontijo - 2014.pdf: 1533837 bytes, checksum: 06babe56caa781b8fdc2bc90de1a2947 (MD5) / Made available in DSpace on 2015-01-14T14:11:25Z (GMT). No. of bitstreams: 2 license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) Dissertação - Helen Kássia Coelho Gontijo - 2014.pdf: 1533837 bytes, checksum: 06babe56caa781b8fdc2bc90de1a2947 (MD5) Previous issue date: 2014-07-25 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / This work is based on the study of the polyhedrons and the Euler's Theorem, by applying strategies of teaching using the concrete material, provoking improvements in the reasoning and in the geometrical perception the Euler's Theorem. Not mentioning a bit of history of tracks already made by several mathematicians who have contributed to the study of geometry, where the ideas previously applied by them teach us and help every day. Going to the presentation of a few concepts and de nitions about polyhedrons, as well as the demonstration that exist only ve polyhedrons of Plato. We've tried to expose the demonstration of the Euler's Theorem, through two researchers, Adrien Marie Legendre and of the professor Zoroastro Azambuja Filho, considering them very interesting and easy to understand. However, in the perspective that going from the concrete one is an alternative to improve the quality of teaching, it has been selected the activity Geometry of cutting soaps , which is in an article of Ana Maria Kale , see at [10], and Geometry of straws , at [9], which are based on work experiences of the same author. Before the new technologies we have opted for the mathematical software Poly, available on http://www.peda.com/poly which allows a better visualization of polyhedrons of di cult construction. All these activities have been presented to the students of the second grade in the Secondary Education to verify the Euler's Theorem through concrete experiences, obtaining this way a useful and creative geometrical knowledge, conquering the students' participation and interest. / Este trabalho baseia-se no estudo dos Poliedros e o Teorema de Euler, aplicando estratégias de ensinar usando o material concreto, desencadeando melhoras no raciocínio e na percepção geométrica do Teorema de Euler. Não deixando de mencionar um pouco da história de caminhos já trilhados por vários matemáticos que contribuíram para o estudo da geometria, onde as ideias anteriormente aplicadas por eles nos ensinam e ajudam no dia-a-dia. Partindo então para apresentação de alguns conceitos e de nições sobre Poliedros, bem como a demonstração de que só existem cinco poliedros de Platão. Buscamos expor a demonstração do Teorema de Euler, por dois pesquisadores, Adrien Marie Legendre e do professor Zoroastro Azambuja Filho, considerando-as bem interessantes e de fácil compreensão. Contudo, na perspectiva de que partir do concreto é uma alternativa para melhorar a qualidade de ensino, foi selecionada a atividade Geometria dos cortes de sabão , que se encontra em um artigo de Ana Maria Kale , veja em [10] e Geometria de Canudos , em [9], que são fundamentados em experiências de trabalho da mesma autora. Frente às novas tecnologias optamos pelo uso do software matemático Poly, disponível em http://www.peda.com/poly, que permite uma melhor visualização de poliedros de difícil construção. Todas estas atividades foram apresentadas para os alunos do 2o ano do Ensino Médio para a veri cação do Teorema de Euler através de experiências concretas, obtendo assim um conhecimento geométrico criativo e útil, conquistando a participação e interesse dos estudantes.

Submitted by Cássia Santos (cassia.bcufg@gmail.com) on 2017-03-20T12:17:35Z No. of bitstreams: 2 Dissertação - Wesley da Silva Carvalho - 2016.pdf: 2739140 bytes, checksum: 009cb3705c3ac6a28927493419d88e0c (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) / Approved for entry into archive by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2017-03-20T14:06:03Z (GMT) No. of bitstreams: 2 Dissertação - Wesley da Silva Carvalho - 2016.pdf: 2739140 bytes, checksum: 009cb3705c3ac6a28927493419d88e0c (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) / Made available in DSpace on 2017-03-20T14:06:03Z (GMT). No. of bitstreams: 2 Dissertação - Wesley da Silva Carvalho - 2016.pdf: 2739140 bytes, checksum: 009cb3705c3ac6a28927493419d88e0c (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) Previous issue date: 2016-12-09 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / In this dissertation, we first state Euler's polyhedral formula for a set of points with Euler characteristic 2. We address the two known ways to prove Euler's Theorem: beginning with the classical proof by using Euclidian Geometry and afterwards we take the advantage of Spherical Geometry to give another proof. Furthermore, we address a version of Euler's formula for planar polyhedron, as well as, Pick's formula and the equivalence between Euler and Pick's formula. In the end, we provide application of Euler and Pick's formula, via two pedagogy tools Geoplano and GeoGebra, by giving examples to teach in classroom. / Esta dissertação trata inicialmente da Fórmula de Euler e de sua validade para os conjuntos de pontos com característica de Euler igual a 2. São feitas duas demonstrações da Fórmula de Euler, uma utilizando conceitos de Geometria Euclidiana e uma outra via Geometria Esférica, além da apresentação de uma versão para poliedros planos da Fórmula de Euler. Posteriormente, é apresentada a Fórmula de Pick para o cálculo de áreas de polígonos simples reticulados e sua relação de equivalência com a Fórmula de Pick para poliedros planos. Finalmente mostramos duas possibilidades de trabalho com a Fórmula de Pick, no Geoplano e no software GeoGebra.