<p>Bakgrund: Korrelation beskriver hur två tillgångar samvarierar med avseende på storlek och riktning. Tidigare forskning visar att korrelationer mellan aktiemarknader haft en uppåtgående trend under slutet av 1900-talet i och med den globalisering som skett, där kapital lättare kunnat flyttas mellan marknader. Detta är oroväckande eftersom investerare behöver låga korrelationer för att kunna diversifiera sina innehav. Det motsatta har även visat sig, där enskilda länder som Sverige år 1992 upplevde en bankkris och därmed var ensam med att ha drastiskt fallande avkastning och korrelation.</p><p>Syfte: Syftet med uppsatsen är att undersöka och analysera om det finns ett samband mellan aktiemarknaders korrelationsavvikelser och landsspecifika kriser. Studien avser också att, utifrån ett portföljteoretiskt perspektiv, undersöka och analysera relationen mellan korrelationsavvikelser och aktieavkastning.</p><p>Metod: Uppsatsens metodansats är tvådelad, där fokus ligger på kvantitativa undersökningar av uppsatsens olika frågeställningar. Vissa frågor undersöks även kvalitativt för att få en bredd i studien och tydligare slutsatser.</p><p>Slutsatser: Studien kommer fram till att nedåtgående avvikande korrelation i vissa fall medför avtagande avkastning, men inga försök görs till att kvantifiera denna avtagande avkastning. Studien kommer även fram till att landskriser har en tydlig påverkan på korrelation gentemot världsindex, genom att den tillfälligt blir nedåtgående. Påverkan är tydligast för länder med en annars stabil trend, vilket kännetecknar de utvecklade marknaderna.</p>

Bakgrund: Korrelation beskriver hur två tillgångar samvarierar med avseende på storlek och riktning. Tidigare forskning visar att korrelationer mellan aktiemarknader haft en uppåtgående trend under slutet av 1900-talet i och med den globalisering som skett, där kapital lättare kunnat flyttas mellan marknader. Detta är oroväckande eftersom investerare behöver låga korrelationer för att kunna diversifiera sina innehav. Det motsatta har även visat sig, där enskilda länder som Sverige år 1992 upplevde en bankkris och därmed var ensam med att ha drastiskt fallande avkastning och korrelation. Syfte: Syftet med uppsatsen är att undersöka och analysera om det finns ett samband mellan aktiemarknaders korrelationsavvikelser och landsspecifika kriser. Studien avser också att, utifrån ett portföljteoretiskt perspektiv, undersöka och analysera relationen mellan korrelationsavvikelser och aktieavkastning. Metod: Uppsatsens metodansats är tvådelad, där fokus ligger på kvantitativa undersökningar av uppsatsens olika frågeställningar. Vissa frågor undersöks även kvalitativt för att få en bredd i studien och tydligare slutsatser. Slutsatser: Studien kommer fram till att nedåtgående avvikande korrelation i vissa fall medför avtagande avkastning, men inga försök görs till att kvantifiera denna avtagande avkastning. Studien kommer även fram till att landskriser har en tydlig påverkan på korrelation gentemot världsindex, genom att den tillfälligt blir nedåtgående. Påverkan är tydligast för länder med en annars stabil trend, vilket kännetecknar de utvecklade marknaderna.

Att i förväg försöka förutsäga vilket lag som kommer vinna i en fotbollsmatch har nog de flesta försökt sig på någon gång. Att gissa och att faktiskt försöka att analysera båda lagens förutsättningar är två väldigt olika metoder att komma fram till sitt resultat. I och med att datorkraften de senaste åren kraftigt förbättrats har det också kommit fler och framför allt tyngre matematiska modeller för att skatta utfallet av matcher. I detta examensarbete används Pi-ratingsystemet som går ut på att varje lag får en rating för hur bra man är på hemma- respektive bortaplan. Som en utveckling av den ursprungliga Pi-rating modellen används det i detta arbete tre olika modeller för att prediktera lagens framtida rating. Modellerna som används är enkelt glidande medelvärde, enkel exponentiell utjämning och en ARIMA-modell. En lösning på hur nya lag som inte spelade i ligan föregående år ska behandlas föreslås också. Avslutningsvis diskuteras olika investeringsmetoder som kan användas för att använda resultat från modellerna på marknaden för vadslagning. Resultatet visar att en spelstrategi som utnyttjat Kellys formel ger störst avkastning för kalibreringsdatat. När denna strategi används på matcher utanför kalibreringsåren visar resultatet på en mycket låg vinst och framför allt att vinsten under lång tid är negativ, vilket från en investeringssyn inte är något man önskar. Sammanfattningsvis är denna metod inte i sig själv tillräckligt bra för att ge en säker avkastning men är en bra grund som kan byggas ut för att ta hänsyn till fler faktorer och då ge möjlighet till stabilare och mer långsiktiga vinster. / To predict a soccer game in advance is something that has been done by most people. If the prediction is the result of an advanced mathematical formula or just ha pure guess done on your favorite team is very different. Since the computer power in recent years has greatly improved the number of mathematical approaches has increased and it is especially the computational heavy models that have increased in number. In this thesis the Pi-rating system is used it gives each team a home and away rating that describe how good/bad they are compared to the average competing team. As an extension of the original Pi-rating model, in this thesis time series analysis is used to predict future values of the teams rating, three different methods are tested and they are simple moving average, simple exponential smoothing and an ARIMA-model. A solution to how new teams that did not play in the league last year should be handled is also suggested. Finally a breath discussion and test of different investment methods that can be applied on the final model to be used on the sport betting market. The results show that the greatest returns on the calibration data is achieved when Kelly’s formula is used as an investment method on an ARIMA(0,1,1)-model, but when this strategy is used outside calibration data, the result shows a very low profit and the method  fails to give a stable long term return, which from an investment point of view is not desirable. The conclusion is that this method is not in itself good enough to provide a safe return but is a good foundation that can be expanded to take more factors into account, and then hopefully give bigger and more stable winnings.

In radiation therapy treatment planning, recent works have used machine learning based on historically delivered plans to automate the process of producing clinically acceptable plans. Compared to traditional approaches such as repeated weighted-sum optimization or multicriteria optimization (MCO), automated planning methods have, in general, the benefits of low computational times and minimal user interaction, but on the other hand lack the flexibility associated with general-purpose frameworks such as MCO. Machine learning approaches can be especially sensitive to deviations in their dose prediction due to certain properties of the optimization functions usually used for dose mimicking and, moreover, suffer from the fact that there exists no general causality between prediction accuracy and optimized plan quality.In this thesis, we present a means of unifying ideas from machine learning planning methods with the well-established MCO framework. More precisely, given prior knowledge in the form of either a previously optimized plan or a set of historically delivered clinical plans, we are able to automatically generate Pareto optimal plans spanning a dose region corresponding to plans which are achievable as well as clinically acceptable. For the former case, this is achieved by introducing dose--volume constraints; for the latter case, this is achieved by fitting a weighted-data Gaussian mixture model on pre-defined dose statistics using the expectation--maximization algorithm, modifying it with exponential tilting and using specially developed optimization functions to take into account prediction uncertainties.Numerical results for conceptual demonstration are obtained for a prostate cancer case with treatment delivered by a volumetric-modulated arc therapy technique, where it is shown that the methods developed in the thesis are successful in automatically generating Pareto optimal plans of satisfactory quality and diversity, while excluding clinically irrelevant dose regions. For the case of using historical plans as prior knowledge, the computational times are significantly shorter than those typical of conventional MCO. / Inom strålterapiplanering har den senaste forskningen använt maskininlärning baserat på historiskt levererade planer för att automatisera den process i vilken kliniskt acceptabla planer produceras. Jämfört med traditionella angreppssätt, såsom upprepad optimering av en viktad målfunktion eller flermålsoptimering (MCO), har automatiska planeringsmetoder generellt sett fördelarna av lägre beräkningstider och minimal användarinteraktion, men saknar däremot flexibiliteten hos allmänna ramverk som exempelvis MCO. Maskininlärningsmetoder kan vara speciellt känsliga för avvikelser i dosprediktionssteget på grund av särskilda egenskaper hos de optimeringsfunktioner som vanligtvis används för att återskapa dosfördelningar, och lider dessutom av problemet att det inte finns något allmängiltigt orsakssamband mellan prediktionsnoggrannhet och kvalitet hos optimerad plan. I detta arbete presenterar vi ett sätt att förena idéer från maskininlärningsbaserade planeringsmetoder med det väletablerade MCO-ramverket. Mer precist kan vi, givet förkunskaper i form av antingen en tidigare optimerad plan eller en uppsättning av historiskt levererade kliniska planer, automatiskt generera Paretooptimala planer som täcker en dosregion motsvarande uppnåeliga såväl som kliniskt acceptabla planer. I det förra fallet görs detta genom att introducera dos--volym-bivillkor; i det senare fallet görs detta genom att anpassa en gaussisk blandningsmodell med viktade data med förväntning--maximering-algoritmen, modifiera den med exponentiell lutning och sedan använda speciellt utvecklade optimeringsfunktioner för att ta hänsyn till prediktionsosäkerheter.Numeriska resultat för konceptuell demonstration erhålls för ett fall av prostatacancer varvid behandlingen levererades med volymetriskt modulerad bågterapi, där det visas att metoderna utvecklade i detta arbete är framgångsrika i att automatiskt generera Paretooptimala planer med tillfredsställande kvalitet och variation medan kliniskt irrelevanta dosregioner utesluts. I fallet då historiska planer används som förkunskap är beräkningstiderna markant kortare än för konventionell MCO.

Die vorliegende Dissertation beschäftigt sich mit der Anwendung der Theorie der großen Abweichungen auf verschiedene Fragestellungen der stochastischen Analysis und stochastischen Dynamik von Sprungprozessen. Die erste Fragestellung behandelt die erste Austrittszeit aus einem beschränkten Gebiet für eine bestimmte Klasse von Sprungdiffusionen mit exponentiell leichten Sprüngen. In Abhängigkeit von der Leichtheit des Sprungmaßes wird das asymptotische Verhalten der Verteilung und insbesondere der Erwartung der ersten Austrittszeit bestimmt wenn das Rauschen verschwindet. Dabei folgt die Verteilung der ersten Austrittszeit einem Prinzip der großen Abweichungen im Falle eines superexponentiellen Sprungmaßes. Wohingegen im subexponentiellen Fall die Verteilung einem Prinzip moderater Abweichungen genügt. In beiden Fällen wird die Asymptotik bestimmt durch eine deterministische Größe, die den minimalen Energieaufwand beschreibt, um die Sprungdiffusion einen optimalen Kontrollpfad, der zum Austritt führt, folgen zu lassen. Die zweite Fragestellung widmet sich dem Grenzverhalten gekoppelter Vorwärts-Rückwärtssysteme stochastischer Differentialgleichungen bei kleinem Rauschen. Dazu assoziiert ist eine spezielle Klasse nicht-lokaler partieller Differentialgleichungen, die auch in nicht-lokalen Modellen der Fluiddynamik eine Rolle spielen. Mithilfe eines probabilistischen Ansatzes und der Markovschen Struktur dieser Systeme wird die Konvergenz auf Ebene von Viskositätslösungen untersucht. Dabei wird ein Prinzip der großen Abweichungen für die involvierten Stochastischen Prozesse hergeleitet. / This thesis deals with applications of Large Deviations Theory to different problems of Stochastic Dynamics and Stochastic Analysis concerning Jump Processes. The first problem we address is the first exit time from a fixed bounded domain for a certain class of exponentially light jump diffusions. According to the lightness of the jump measure of the driving process, we derive, when the source of the noise vanishes, the asymptotic behavior of the law and of the expected value of first exit time. In the super-exponential regime the law of the first exit time follows a large deviations scale and in the sub-exponential regime it follows a moderate deviations one. In both regimes the first exit time is comprehended, in the small noise limit, in terms of a deterministic quantity that encodes the minimal energy the jump diffusion needs to spend in order to follow an optimal controlled path that leads to the exit. The second problem that we analyze is the small noise limit of a certain class of coupled forward-backward systems of Stochastic Differential Equations. Associated to these stochastic objects are some nonlinear nonlocal Partial Differential Equations that arise as nonlocal toy-models of Fluid Dynamics. Using a probabilistic approach and the Markov nature of these systems we study the convergence at the level of viscosity solutions and we derive a large deviations principles for the laws of the stochastic processes that are involved.

I detta tvärvetenskapliga arbete studeras från den matematiska sidan tre klassiska populationsmodeller: Malthus tillväxtmodell, Verhulsts logistiska modell och Lotka-Volterras jägarebytesmodell. De klassiska modellerna jämförs med stokastiska. De stokastiska modeller som studeras är födelsedödsprocesser och deras diffusionsapproximation. Jämförelse görs med medelvärdesbildade simuleringar. Det krävs många simuleringar för att kunna genomföra jämförelserna. Dessa simuleringar måste utföras i datormiljö och det är här den datalogiska aspekten av arbetet kommer in. Modellerna och deras resultathantering har implementerats i både MatLab och i C, för att kunna möjliggöra en undersökning om skillnaderna i tidsåtgången mellan de båda språken, under genomförandet av ovan nämnda jämförelser. Försök till tidsoptimering utförs och även användarvänligheten under implementeringen av de matematiska problemen i de båda språken behandlas. Följande matematiska slutsatser har dragits, att de medelvärdesbildade lösningarna inte alltid sammanfaller med de klassiska modellerna när de simuleras på stora tidsintervall. I den logistiska modellen samt i Lotka-Volterras modell dör förr eller senare de stokastiska simuleringarna ut när tiden går mot oändligheten, medan deras deterministiska representation lever vidare. I den exponentiella modellen sammanfaller medelvärdet av de stokastiska simuleringarna med den deterministiska lösningen, dock blir spridningen stor för de stokastiska simuleringarna när de utförs på stora tidsintervall. Datalogiska slutsatser som har dragits är att när det kommer till att implementera få modeller, samt resultatbearbetning av dessa, som ska användas upprepade gånger, är C det bäst lämpade språket då det visat sig vara betydligt snabbare under exekvering än vad MatLab är. Dock måste hänsyn tas till alla de svårigheter som implementeringen i C drar med sig. Dessa svårigheter kan till stor del undvikas om implementeringen istället sker i MatLab, då det därmed finns tillgång till en uppsjö av väl lämpade funktioner och färdiga matematiska lösningar. / In this interdisciplinary study, three classic population models will be studied from a mathematical view: Malthus’ growth, Verhulst’s logistic model and Lotka-Volterra’s model for hunter and prey. The classic models are being compared to the stochastic ones. The stochastic models studied are the birthdeath processes and their diffusion approximation. Comparisons are made by averaging simulations. It requires numerous simulations to carry out the comparisons. The simulations must be carried out on a computer and this is where the computer science emerges to the project. The models, along with the handling of the results, have been implemented in both MatLab and in C in order to allow a comparison between the two languages whilst executing the above mentioned study. Attempts to time optimization and an evaluation concerning the user-friendliness regarding the implementation of mathematical problems will be performed. Mathematic conclusions, which have been drawn, are that the averaging solutions do not always coincide with the traditional models when they are being simulated over large time. In the logistic model and in Lotka-Volterra’s model the stochastic simulations will sooner or later die when the time is moving towards infinity, whilst their deterministic representation keeps on living. In the exponential model, the mean values of the stochastic simulations and of the deterministic solution coincide. There is, however, a large spread for the stochastic simulations when they are carried out over a large time. Computer scientific conclusions drawn from the study includes that when it comes to implementing a few models, along with the handling of the results, to be used repeatedly, C is the most appropriate language as it proved to be significantly faster during execution. However, all of the difficulties during the implementation of mathematical problems in C must be kept in mind. These difficulties can be avoided if the implementation instead takes place in MatLab, where a numerous of mathematical functions and solutions will be available.

<p>I detta tvärvetenskapliga arbete studeras från den matematiska sidan tre klassiska populationsmodeller: Malthus tillväxtmodell, Verhulsts logistiska modell och Lotka-Volterras jägarebytesmodell. De klassiska modellerna jämförs med stokastiska. De stokastiska modeller som studeras är födelsedödsprocesser och deras diffusionsapproximation. Jämförelse görs med medelvärdesbildade simuleringar.</p><p>Det krävs många simuleringar för att kunna genomföra jämförelserna. Dessa simuleringar måste utföras i datormiljö och det är här den datalogiska aspekten av arbetet kommer in. Modellerna och deras resultathantering har implementerats i både MatLab och i C, för att kunna möjliggöra en undersökning om skillnaderna i tidsåtgången mellan de båda språken, under genomförandet av ovan nämnda jämförelser. Försök till tidsoptimering utförs och även användarvänligheten under implementeringen av de matematiska problemen i de båda språken behandlas.</p><p>Följande matematiska slutsatser har dragits, att de medelvärdesbildade lösningarna inte alltid sammanfaller med de klassiska modellerna när de simuleras på stora tidsintervall. I den logistiska modellen samt i Lotka-Volterras modell dör förr eller senare de stokastiska simuleringarna ut när tiden går mot oändligheten, medan deras deterministiska representation lever vidare. I den exponentiella modellen sammanfaller medelvärdet av de stokastiska simuleringarna med den deterministiska lösningen, dock blir spridningen stor för de stokastiska simuleringarna när de utförs på stora tidsintervall.</p><p>Datalogiska slutsatser som har dragits är att när det kommer till att implementera få modeller, samt resultatbearbetning av dessa, som ska användas upprepade gånger, är C det bäst lämpade språket då det visat sig vara betydligt snabbare under exekvering än vad MatLab är. Dock måste hänsyn tas till alla de svårigheter som implementeringen i C drar med sig. Dessa svårigheter kan till stor del undvikas om implementeringen istället sker i MatLab, då det därmed finns tillgång till en uppsjö av väl lämpade funktioner och färdiga matematiska lösningar.</p> / <p>In this interdisciplinary study, three classic population models will be studied from a mathematical view: Malthus’ growth, Verhulst’s logistic model and Lotka-Volterra’s model for hunter and prey. The classic models are being compared to the stochastic ones. The stochastic models studied are the birthdeath processes and their diffusion approximation. Comparisons are made by averaging simulations.</p><p>It requires numerous simulations to carry out the comparisons. The simulations must be carried out on a computer and this is where the computer science emerges to the project. The models, along with the handling of the results, have been implemented in both Mat- Lab and in C in order to allow a comparison between the two languages whilst executing the above mentioned study. Attempts to time optimization and an evaluation concerning the user-friendliness regarding the implementation of mathematical problems will be performed.</p><p>Mathematic conclusions, which have been drawn, are that the averaging solutions do not always coincide with the traditional models when they are being simulated over large time. In the logistic model and in Lotka-Volterra’s model the stochastic simulations will sooner or later die when the time is moving towards infinity, whilst their deterministic representation keeps on living. In the exponential model, the mean values of the stochastic simulations and of the deterministic solution coincide. There is, however, a large spread for the stochastic simulations when they are carried out over a large time.</p><p>Computer scientific conclusions drawn from the study includes that when it comes to implementing a few models, along with the handling of the results, to be used repeatedly, C is the most appropriate language as it proved to be significantly faster during execution. However, all of the difficulties during the implementation of mathematical problems in C must be kept in mind. These difficulties can be avoided if the implementation instead takes place in MatLab, where a numerous of mathematical functions and solutions will be available.</p>

<p>I detta tvärvetenskapliga arbete studeras från den matematiska sidan tre klassiska populationsmodeller: Malthus tillväxtmodell, Verhulsts logistiska modell och Lotka-Volterras jägarebytesmodell. De klassiska modellerna jämförs med stokastiska. De stokastiska modeller som studeras är födelsedödsprocesser och deras diffusionsapproximation. Jämförelse görs med medelvärdesbildade simuleringar.</p><p>Det krävs många simuleringar för att kunna genomföra jämförelserna. Dessa simuleringar måste utföras i datormiljö och det är här den datalogiska aspekten av arbetet kommer in. Modellerna och deras resultathantering har implementerats i både MatLab och i C, för att kunna möjliggöra en undersökning om skillnaderna i tidsåtgången mellan de båda språken, under genomförandet av ovan nämnda jämförelser. Försök till tidsoptimering utförs och även användarvänligheten under implementeringen av de matematiska problemen i de båda språken behandlas.</p><p>Följande matematiska slutsatser har dragits, att de medelvärdesbildade lösningarna inte alltid sammanfaller med de klassiska modellerna när de simuleras på stora tidsintervall. I den logistiska modellen samt i Lotka-Volterras modell dör förr eller senare de stokastiska simuleringarna ut när tiden går mot oändligheten, medan deras deterministiska representation lever vidare. I den exponentiella modellen sammanfaller medelvärdet av de stokastiska simuleringarna med den deterministiska lösningen, dock blir spridningen stor för de stokastiska simuleringarna när de utförs på stora tidsintervall.</p><p>Datalogiska slutsatser som har dragits är att när det kommer till att implementera få modeller, samt resultatbearbetning av dessa, som ska användas upprepade gånger, är C det bäst lämpade språket då det visat sig vara betydligt snabbare under exekvering än vad MatLab är. Dock måste hänsyn tas till alla de svårigheter som implementeringen i C drar med sig. Dessa svårigheter kan till stor del undvikas om implementeringen istället sker i MatLab, då det därmed finns tillgång till en uppsjö av väl lämpade funktioner och färdiga matematiska lösningar.</p> / <p>In this interdisciplinary study, three classic population models will be studied from a mathematical view: Malthus’ growth, Verhulst’s logistic model and Lotka-Volterra’s model for hunter and prey. The classic models are being compared to the stochastic ones. The stochastic models studied are the birthdeath processes and their diffusion approximation. Comparisons are made by averaging simulations.</p><p>It requires numerous simulations to carry out the comparisons. The simulations must be carried out on a computer and this is where the computer science emerges to the project. The models, along with the handling of the results, have been implemented in both MatLab and in C in order to allow a comparison between the two languages whilst executing the above mentioned study. Attempts to time optimization and an evaluation concerning the user-friendliness regarding the implementation of mathematical problems will be performed.</p><p>Mathematic conclusions, which have been drawn, are that the averaging solutions do not always coincide with the traditional models when they are being simulated over large time. In the logistic model and in Lotka-Volterra’s model the stochastic simulations will sooner or later die when the time is moving towards infinity, whilst their deterministic representation keeps on living. In the exponential model, the mean values of the stochastic simulations and of the deterministic solution coincide. There is, however, a large spread for the stochastic simulations when they are carried out over a large time.</p><p>Computer scientific conclusions drawn from the study includes that when it comes to implementing a few models, along with the handling of the results, to be used repeatedly, C is the most appropriate language as it proved to be significantly faster during execution. However, all of the difficulties during the implementation of mathematical problems in C must be kept in mind. These difficulties can be avoided if the implementation instead takes place in MatLab, where a numerous of mathematical functions and solutions will be available.</p>

I detta tvärvetenskapliga arbete studeras från den matematiska sidan tre klassiska populationsmodeller: Malthus tillväxtmodell, Verhulsts logistiska modell och Lotka-Volterras jägarebytesmodell. De klassiska modellerna jämförs med stokastiska. De stokastiska modeller som studeras är födelsedödsprocesser och deras diffusionsapproximation. Jämförelse görs med medelvärdesbildade simuleringar. Det krävs många simuleringar för att kunna genomföra jämförelserna. Dessa simuleringar måste utföras i datormiljö och det är här den datalogiska aspekten av arbetet kommer in. Modellerna och deras resultathantering har implementerats i både MatLab och i C, för att kunna möjliggöra en undersökning om skillnaderna i tidsåtgången mellan de båda språken, under genomförandet av ovan nämnda jämförelser. Försök till tidsoptimering utförs och även användarvänligheten under implementeringen av de matematiska problemen i de båda språken behandlas. Följande matematiska slutsatser har dragits, att de medelvärdesbildade lösningarna inte alltid sammanfaller med de klassiska modellerna när de simuleras på stora tidsintervall. I den logistiska modellen samt i Lotka-Volterras modell dör förr eller senare de stokastiska simuleringarna ut när tiden går mot oändligheten, medan deras deterministiska representation lever vidare. I den exponentiella modellen sammanfaller medelvärdet av de stokastiska simuleringarna med den deterministiska lösningen, dock blir spridningen stor för de stokastiska simuleringarna när de utförs på stora tidsintervall. Datalogiska slutsatser som har dragits är att när det kommer till att implementera få modeller, samt resultatbearbetning av dessa, som ska användas upprepade gånger, är C det bäst lämpade språket då det visat sig vara betydligt snabbare under exekvering än vad MatLab är. Dock måste hänsyn tas till alla de svårigheter som implementeringen i C drar med sig. Dessa svårigheter kan till stor del undvikas om implementeringen istället sker i MatLab, då det därmed finns tillgång till en uppsjö av väl lämpade funktioner och färdiga matematiska lösningar. / In this interdisciplinary study, three classic population models will be studied from a mathematical view: Malthus’ growth, Verhulst’s logistic model and Lotka-Volterra’s model for hunter and prey. The classic models are being compared to the stochastic ones. The stochastic models studied are the birthdeath processes and their diffusion approximation. Comparisons are made by averaging simulations. It requires numerous simulations to carry out the comparisons. The simulations must be carried out on a computer and this is where the computer science emerges to the project. The models, along with the handling of the results, have been implemented in both Mat- Lab and in C in order to allow a comparison between the two languages whilst executing the above mentioned study. Attempts to time optimization and an evaluation concerning the user-friendliness regarding the implementation of mathematical problems will be performed. Mathematic conclusions, which have been drawn, are that the averaging solutions do not always coincide with the traditional models when they are being simulated over large time. In the logistic model and in Lotka-Volterra’s model the stochastic simulations will sooner or later die when the time is moving towards infinity, whilst their deterministic representation keeps on living. In the exponential model, the mean values of the stochastic simulations and of the deterministic solution coincide. There is, however, a large spread for the stochastic simulations when they are carried out over a large time. Computer scientific conclusions drawn from the study includes that when it comes to implementing a few models, along with the handling of the results, to be used repeatedly, C is the most appropriate language as it proved to be significantly faster during execution. However, all of the difficulties during the implementation of mathematical problems in C must be kept in mind. These difficulties can be avoided if the implementation instead takes place in MatLab, where a numerous of mathematical functions and solutions will be available.

Private and public clouds require users to specify requests for resources such as CPU and memory (RAM) to be provisioned for their applications. The values of these requests do not necessarily relate to the application’s run-time requirements, but only help the cloud infrastructure resource manager to map requested virtual resources to physical resources. If an application exceeds these values, it might be throttled or even terminated. Consequently, requested values are often overestimated, resulting in poor resource utilization in the cloud infrastructure. Autoscaling is a technique used to overcome these problems. In this research, we formulated two new predictive CPU autoscaling strategies forKubernetes containerized applications, using time-series analysis, based on Holt-Winters exponential smoothing and long short-term memory (LSTM) artificial recurrent neural networks. The two approaches were analyzed, and their performances were compared to that of the default Kubernetes Vertical Pod Autoscaler (VPA). Efficiency was evaluated in terms of CPU resource wastage, and insufficient CPU percentage and amount for container workloads from Alibaba Cluster Trace 2018, and others. In our experiments, we observed that Kubernetes Vertical Pod Autoscaler (VPA) tended to perform poorly on workloads that periodically change. Our results showed that compared to VPA, predictive methods based on Holt- Winters exponential smoothing (HW) and Long Short-Term Memory (LSTM) can decrease CPU wastage by over 40% while avoiding CPU insufficiency for various CPU workloads. Furthermore, LSTM has been shown to generate stabler predictions compared to that of HW, which allowed for more robust scaling decisions. / Privata och offentliga moln kräver att användare begär mängden CPU och minne (RAM) som ska fördelas till sina applikationer. Mängden resurser är inte nödvändigtvis relaterat till applikationernas körtidskrav, utan är till för att molninfrastrukturresurshanteraren ska kunna kartlägga begärda virtuella resurser till fysiska resurser. Om en applikation överskrider dessa värden kan den saktas ner eller till och med krascha. För att undvika störningar överskattas begärda värden oftast, vilket kan resultera i ineffektiv resursutnyttjande i molninfrastrukturen. Autoskalning är en teknik som används för att överkomma dessa problem. I denna forskning formulerade vi två nya prediktiva CPU autoskalningsstrategier för containeriserade applikationer i Kubernetes, med hjälp av tidsserieanalys baserad på metoderna Holt-Winters exponentiell utjämning och långt korttidsminne (LSTM) återkommande neurala nätverk. De två metoderna analyserades, och deras prestationer jämfördes med Kubernetes Vertical Pod Autoscaler (VPA). Prestation utvärderades genom att observera under- och överutilisering av CPU-resurser, för diverse containerarbetsbelastningar från bl. a. Alibaba Cluster Trace 2018. Vi observerade att Kubernetes Vertical Pod Autoscaler (VPA) i våra experiment tenderade att prestera dåligt på arbetsbelastningar som förändras periodvist. Våra resultat visar att jämfört med VPA kan prediktiva metoder baserade på Holt-Winters exponentiell utjämning (HW) och långt korttidsminne (LSTM) minska överflödig CPU-användning med över 40 % samtidigt som de undviker CPU-brist för olika arbetsbelastningar. Ytterligare visade sig LSTM generera stabilare prediktioner jämfört med HW, vilket ledde till mer robusta autoskalningsbeslut.